Bài tập ôn tập Toán 11 Cánh diều Chương 2 có đáp án

Xét dãy ${u_n} = - {n^2}$.

Ta có ${u_{n + 1}} - {u_n} = - {\left( {n + 1} \right)^2} + {n^2} = - 2n - 1 < 0,\forall n \in {\mathbb{N}^*}$.

Do đó ${u_n} = - {n^2}$ là dãy số giảm. Chọn D.

Xét ${u_n} = - 5n + 1$.

Ta có ${u_{n + 1}} - {u_n} = - 5\left( {n + 1} \right) + 1 + 5n - 1 = - 5$.

Do đó ${u_n} = - 5n + 1$ là một cấp số cộng. Chọn C.

Ta có $d = {u_2} - {u_1} = 3 - 1 = 2$.

Khi đó ${u_5} = {u_1} + 4d = 1 + 4 \cdot 2 = 9$. Chọn B.

Ta có ${u_n} = {u_1} + \left( {n - 1} \right)d = 1 + \left( {n - 1} \right)2 = 2n - 1$.

Theo đề ta có $33 = 2n - 1 \Leftrightarrow n = 17$. Chọn A.

Ta có ${u_2} = {u_1} - 2 = 1 - 2 = - 1;{u_3} = {u_2} - 2 = - 1 - 2 = - 3$; ${u_4} = {u_3} - 2 = - 3 - 2 = - 5$; ${u_5} = {u_4} - 2 = - 5 - 2 = - 7$.

5 số hạng đầu của dãy số là $1; - 1; - 3; - 5; - 7$. Chọn B.

Ta có $q = \frac{{{u_2}}}{{{u_1}}} = \frac{3}{1} = 3$.

Do đó công bội là 3 và số hạng đầu tiên là 1. Chọn A.

${S_n} = {n^2} + 4n = \frac{n}{2}\left[ {2{u_1} + \left( {n - 1} \right)d} \right]$$= n{u_1} + \frac{{n\left( {n - 1} \right)d}}{2}$$= \frac{d}{2}{n^2} + n\left( {{u_1} - \frac{d}{2}} \right)$.

Suy ra $\{\begin{matrix}\frac{d}{2}=1 \\ {u}_{1}-\frac{d}{2}=4\end{matrix}$ $\Leftrightarrow \{\begin{matrix}d=2 \\ {u}_{1}=5\end{matrix}$ Chọn B.

Ta có $\{\begin{matrix}{S}_{6}=18 \\ {S}_{10}=110\end{matrix}$ $\Leftrightarrow \{\begin{matrix}3(2{u}_{1}+5d)=18 \\ 5(2{u}_{1}+9d)=110\end{matrix}$ $\Leftrightarrow \{\begin{matrix}2{u}_{1}+5d=6 \\ 2{u}_{1}+9d=22\end{matrix}$ $\Leftrightarrow \{\begin{matrix}{u}_{1}=-7 \\ d=4\end{matrix}$

Suy ra ${S_{20}} = 10\left[ {2 \cdot \left( { - 7} \right) + 19 \cdot 4} \right] = 620$. Chọn A.

Dãy các số nguyên dương chia hết cho 3 lập thành một cấp số cộng với ${u_1} = 3;d = 3$.

Ta có ${S_{50}} = \frac{{50}}{2}\left( {2{u_1} + 49d} \right) = 25\left( {2 \cdot 3 + 49 \cdot 3} \right) = 3825$. Chọn D.

Xét dãy số ${u_n} = 7 \cdot {3^n}$.

Ta có $\frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} = \frac{{7 \cdot {3^{n + 1}}}}{{7 \cdot {3^n}}} = 3$. Do đó ${u_n} = 7 \cdot {3^n}$ là cấp số nhân. Chọn D.

Theo đề ta có ${u_1} = 2;{u_5} = 22$.

Ta có ${u_5} = {u_1} + 4d \Leftrightarrow 22 = 2 + 4d \Rightarrow d = 5$.

Do đó 3 số hạng xen giữa 2 số 2 và 22 là 7; 12; 17. Chọn A.

Theo đề ta có ${u_1} = - 3;{u_n} = 23;d = 2$.

Ta có ${u_n} = {u_1} + \left( {n - 1} \right)d$$\Leftrightarrow - 3 + \left( {n - 1} \right).2 = 23$$\Leftrightarrow n = 14$.

Suy ra cấp số cộng có 14 số hạng. Do đó cần viết xen kẽ giữa hai số đã cho 12 số hạng. Chọn A.

Ta có ${u_1} = 2;{u_6} = 486$.

Mà ${u_6} = {u_1}{q^5}$$\Leftrightarrow 486 = 2{q^5} \Leftrightarrow {q^5} = 243 \Leftrightarrow q = 3$. Chọn A.

Ta có $q = \frac{{{u_2}}}{{{u_1}}} = \frac{{{u_3}}}{{{u_2}}} = \frac{{{u_4}}}{{{u_3}}} = ... = - 2$.

Dãy số này lập thành một cấp số nhân với ${u_1} = 1;q = - 2$.

Khi đó ${S_{20}} = \frac{{{u_1}\left( {1 - {q^{20}}} \right)}}{{1 - q}}$$= \frac{{1 - {{\left( { - 2} \right)}^{20}}}}{{1 - \left( { - 2} \right)}}$$= - 349525$. Chọn A.

Theo đề ta có $\{\begin{matrix}{u}_{5}-{u}_{4}=576 \\ {u}_{2}-{u}_{1}=9\end{matrix}$ $\Leftrightarrow \{\begin{matrix}{u}_{1}{q}^{4}-{u}_{1}{q}^{3}=576 \\ {u}_{1}q-{u}_{1}=9\end{matrix}$ $\Leftrightarrow \{\begin{matrix}{u}_{1}{q}^{3}(q-1)=576 \\ {u}_{1}(q-1)=9\end{matrix}$ $\Leftrightarrow \{\begin{matrix}{q}^{3}=64 \\ {u}_{1}(q-1)=9\end{matrix}$ $\Leftrightarrow \{\begin{matrix}q=4 \\ {u}_{1}=3\end{matrix}$

Tổng 5 số hạng đầu tiên của cấp số nhân là ${S_5} = \frac{{{u_1}\left( {1 - {q^5}} \right)}}{{1 - q}} = \frac{{3\left( {1 - {4^5}} \right)}}{{1 - 4}} = 1023$. Chọn C.

Theo đề ta có $\{\begin{matrix}2x=5+15 \\ x+y=2\cdot 15\end{matrix}$ $\Leftrightarrow \{\begin{matrix}x=10 \\ y=20\end{matrix}$

Suy ra $3x + 2y = 3 \cdot 10 + 2 \cdot 20 = 70$. Chọn B.

Có ${S_n} = 253$$\Leftrightarrow \frac{n}{2}\left[ {2{u_1} + \left( {n - 1} \right)d} \right] = 253$$\Leftrightarrow \frac{n}{2}\left[ {6 + 4\left( {n - 1} \right)} \right] = 253$$\Leftrightarrow \frac{n}{2}\left( {4n + 2} \right) = 253$

$\Leftrightarrow 2{n^2} + n - 253 = 0$$\Leftrightarrow n = 11$ (vì $n \in {\mathbb{N}^*}$). Chọn B.

Ta có ${u_1} = 1;{u_2} = 6;{u_3} = 11;{u_4} = 16$$\Rightarrow d = {u_2} - {u_1} = {u_3} - {u_2} = {u_4} - {u_3} = ... = 5$.

Dãy số này lập thành một cấp số cộng với ${u_1} = 1;d = 5$.

Khi đó ${u_n} = {u_1} + \left( {n - 1} \right)d = 1 + \left( {n - 1} \right) \cdot 5 = 5n - 4$. Chọn B.

a) Ta có ${u_n} = {u_1} + \left( {n - 1} \right)d = \frac{3}{2} + \left( {n - 1} \right)\frac{1}{2} = \frac{1}{2}n + 1$.

b) ${u_8} = \frac{1}{2} \cdot 8 + 1 = 5$.

c) Có ${u_n} = \frac{{15}}{4}$$\Leftrightarrow \frac{1}{2}n + 1 = \frac{{15}}{4}$$\Leftrightarrow n = \frac{{11}}{2}$ (loại, vì $n \in {\mathbb{N}^*}$).

Vậy $\frac{{15}}{4}$ không là một số hạng của cấp số cộng đã cho.

d) Ta có ${S_{100}} = \frac{{100}}{2}\left( {2{u_1} + 99d} \right) = 50\left( {3 + \frac{{99}}{2}} \right) = 2625$.

Đáp án: a) Sai; b) Đúng; c) Sai; d) Sai.

a) Ta có $\frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} = \frac{1}{{{2^{n + 1}}}}:\frac{1}{{{2^n}}} = \frac{1}{2} < 1$. Suy ra dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ là dãy số giảm.

b) ${u_8} = \frac{1}{{{2^8}}} = \frac{1}{{256}}$.

c) Ta có $\frac{1}{{{2^n}}} = 64$$\Leftrightarrow {2^n} = \frac{1}{{64}}$$\Leftrightarrow {2^n} = \frac{1}{{64}} \Rightarrow n = - 6$ (loại, vì $n \in {\mathbb{N}^*}$).

d) $0 < \frac{1}{{{2^n}}} \le \frac{1}{2}$. Suy ra dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ là một dãy số bị chặn.

Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Sai; d) Đúng.

a) Ta có ${u_4} = {u_2}{q^2}$$\Leftrightarrow 9 = 4{q^2}$$\Leftrightarrow q = - \frac{3}{2}$ vì $q < 0$.

b) ${u_1} = \frac{{{u_2}}}{q} = \frac{4}{{\frac{{ - 3}}{2}}} = - \frac{8}{3}$.

c) ${u_5} = {u_4}q = 9 \cdot \frac{{ - 3}}{2} = - \frac{{27}}{2}$.

d) ${u_8} = {u_1}{q^7} = \frac{{ - 8}}{3} \cdot {\left( {\frac{{ - 3}}{2}} \right)^7} = \frac{{729}}{{16}} \ne \frac{{ - 2187}}{{32}}$.

Đáp án: a) Đúng; b) Đúng; c) Sai; d) Sai.

a) ${u_1} = \frac{{4 \cdot 1 + 5}}{{1 + 1}} = \frac{9}{2}$.

b) ${u_2} = \frac{{4 \cdot 2 + 5}}{{2 + 1}} = \frac{{13}}{3};{u_3} = \frac{{4 \cdot 3 + 5}}{{3 + 1}} = \frac{{17}}{4}$.

Khi đó ${u_1} + {u_2} + {u_3} = \frac{9}{2} + \frac{{13}}{3} + \frac{{17}}{4} = \frac{{157}}{{12}}$.

c) ${u_{20}} = \frac{{4 \cdot 20 + 5}}{{20 + 1}} = \frac{{85}}{{21}}$.

d) ${u_n} = \frac{{4n + 5}}{{n + 1}} = \frac{{4\left( {n + 1} \right)}}{{n + 1}} + \frac{1}{{n + 1}} = 4 + \frac{1}{{n + 1}} > 4$.

Dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ là một dãy số bị chặn dưới.

Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Đúng; d) Sai.

a) $\{\begin{matrix}{u}_{2}+{u}_{5}=42 \\ {u}_{4}+{u}_{9}=66\end{matrix}$ $\Leftrightarrow \{\begin{matrix}2{u}_{1}+5d=42 \\ 2{u}_{1}+11d=66\end{matrix}$ $\Leftrightarrow \{\begin{matrix}{u}_{1}=11 \\ d=4\end{matrix}$

b) ${u_3} + {u_{10}} = {u_1} + 2d + {u_1} + 9d = 2{u_1} + 11d = 2 \cdot 11 + 11 \cdot 4 = 66$.

c) Theo câu a, $d = 4$.

d) ${S_{10}} = \frac{{10}}{2}\left( {2{u_1} + 9d} \right) = 5\left( {22 + 9 \cdot 4} \right) = 290$.

Đáp án: a) Sai; b) Đúng; c) Đúng; d) Sai.

a) $\{\begin{matrix}{u}_{4}-{u}_{2}=36 \\ {u}_{5}-{u}_{3}=72\end{matrix}$ $\Leftrightarrow \{\begin{matrix}{u}_{1}{q}^{3}-{u}_{1}q=36 \\ {u}_{1}{q}^{4}-{u}_{1}{q}^{2}=72\end{matrix}$ $\Leftrightarrow \{\begin{matrix}{u}_{1}q({q}^{2}-1)=36 \\ {u}_{1}{q}^{2}({q}^{2}-1)=72\end{matrix}$ $\Leftrightarrow \{\begin{matrix}{u}_{1}=6 \\ q=2\end{matrix}$

b) ${u_6} = {u_1}{q^5} = 6 \cdot {2^5} = 192$.

c) ${S_5} = \frac{{{u_1}\left( {1 - {q^5}} \right)}}{{1 - q}} = \frac{{6\left( {1 - {2^5}} \right)}}{{1 - 2}} = 186$.

d) Ta có ${u_n} = {u_1}{q^{n - 1}} = 6 \cdot {2^{n - 1}}$.

Đáp án: a) Sai; b) Đúng; c) Đúng; d) Sai.

a) ${u_1} = - 1;{u_2} = {u_1} + 3 = 2;{u_3} = {u_2} + 3 = 5;{u_4} = {u_3} + 3 = 8$.

b) ${u_5} = {u_4} + 3 = 11$.

c) Có ${u_{n + 1}} - {u_n} = 3$. Do đó dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ là một cấp số cộng với ${u_1} = - 1;d = 3$.

Do đó ${u_n} = {u_1} + \left( {n - 1} \right)d = - 1 + \left( {n - 1} \right)3 = 3n - 4$.

d) Ta có${u_{35}} = 3 \cdot 35 - 4 = 101$.

Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Sai; d) Đúng.

a) Ta có ${u_2} = {u_1} + 5 = 2 + 5 = 7$.

b) Có $d = {u_{n + 1}} - {u_n} = 5$.

c) Ta có ${u_n} = {u_1} + \left( {n - 1} \right)d = 2 + \left( {n - 1} \right) \cdot 5 = 5n - 3$.

d) Ta có ${S_{10}} = 10{u_1} + \frac{{10 \cdot 9 \cdot 5}}{2} = 20 + 225 = 245$.

${S_{100}} = 100{u_1} + \frac{{100 \cdot 99 \cdot 5}}{2} = 200 + 24750 = 24950$.

Vậy $S = {u_{11}} + {u_{12}} + ... + {u_{100}} = {S_{100}} - {S_{10}} = 24705$.

Đáp án: a) Đúng; b) Đúng; c) Sai; d) Sai.

a) Ta có ${u_2} = 680 - 50 = 630$.

b) Giá tiền của chiếc ô tô qua các năm lập thành một cấp số cộng với công sai $d = - 50$.

c) Giá trị của chiếc ô tô sau 3 năm sử dụng là ${u_4} = {u_1} + 3d = 680 - 3 \cdot 50 = 530$ triệu đồng.

d) Ta có ${u_n} = {u_1} + \left( {n - 1} \right)d = 680 - 50\left( {n - 1} \right) = - 50n + 730$.

Theo đề ta có $- 50n + 730 < 340$$\Leftrightarrow n > 7{,}8$.

Vậy sau ít nhất 8 năm sử dụng thì giá của chiếc ô tô nhỏ hơn một nửa giá ban đầu của nó.

Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Đúng; d) Đúng.

a) Ta thấy số tiền lương năm sau hơn năm trước 24 triệu đồng nên số tiền lương hằng năm $\left( {{u_n}} \right)$ là cấp số cộng có ${u_1} = 120$ và công sai $d = 24$.

Do đó ${u_n} = {u_1} + \left( {n - 1} \right)d = 120 + \left( {n - 1} \right) \cdot 24 = 24n + 96$.

Số tiền lương sinh viên nhận được ở năm thứ hai là ${u_2} = 144$.

b) ${u_{10}} = 24 \cdot 10 + 96 = 336$.

c) Dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ là cấp số cộng có ${u_1} = 120$ và công sai d = 24.

d) Tổng số tiền bạn sinh viên tiết kiệm được sau n năm là:

$S = \frac{n}{2}\left[ {2{u_1} + \left( {n - 1} \right)d} \right] - 70n = \frac{n}{2}\left[ {2 \cdot 120 + \left( {n - 1} \right) \cdot 24} \right] - 70n$ $= 12{n^2} + 38n$.

Ta có $S \ge 2000 \Leftrightarrow 12{n^2} + 38n - 2000 \ge 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}n \ge 11{,}42\\n \le - 14{,}59\end{array} \right.$.

Do đó ít nhất sau 12 năm thì sinh viên đó có thể mua được căn chung cư 2 tỉ đồng.

Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Sai; d) Sai.

Tổng số tiền tập thể lớp 11A cần là $52 \cdot 50000 = 2600000$ đồng.

Tổng số tiền 40 bạn bỏ vào heo đất là $40{S_n} = \frac{{40n\left[ {4000 + \left( {n - 1} \right) \cdot 1000} \right]}}{2}$.

Theo đề ta có $\frac{{40n\left[ {4000 + \left( {n - 1} \right) \cdot 1000} \right]}}{2} = 2600000$$\Leftrightarrow n\left( {1000n + 3000} \right) = 130000$

$\Leftrightarrow {n^2} + 3n - 130 = 0$$\Leftrightarrow n = 10$ (vì $n \in {\mathbb{N}^*}$).

Vậy sau 10 ngày thì tập thể lớp 11A có vừa đủ số tiền để thực hiện kế hoạch từ thiện của mình.

Trả lời: 10.

Ta có $\{\begin{matrix}{u}_{3}=-3 \\ {u}_{8}=-23\end{matrix}$ $\Leftrightarrow \{\begin{matrix}{u}_{1}+2d=-3 \\ {u}_{1}+7d=-23\end{matrix}$ $\Leftrightarrow \{\begin{matrix}{u}_{1}=5 \\ d=-4\end{matrix}$

Khi đó ${S_{16}} = \frac{{16}}{2}\left( {2{u_1} + 15d} \right) = 8\left[ {2 \cdot 5 - 15 \cdot \left( { - 4} \right)} \right] = 560$.

Trả lời: 560.

Cứ sau mỗi năm sử dụng, giá trị của chiếc máy ủi giảm 20% so với giá trị của nó trong năm liền trước đó, tức là giá trị của chiếc máy ủi năm sau thì bằng 80% giá trị của chiếc máy ủi so với năm liền trước đó.

Giá trị của máy ủi sau năm thứ nhất là $3000 \cdot 80\% = 2400$ triệu đồng.

Giá trị của chiếc máy ủi sau mỗi năm lập thành một cấp số nhân với ${u_1} = 2400;q = 0{,}8$.

Do đó giá trị của chiếc máy ủi sau 5 năm sử dụng là:

${u_5} = {u_1} \cdot {q^4} = 2400 \cdot 0,{8^4} \approx 983$ triệu đồng.

Trả lời: 983.

Ta có ${u_2} = {u_1} + 2;{u_3} = {u_1} + 4;{u_4} = {u_1} + 6$.

Ta có $u_2^2 + u_3^2 + u_4^2 = {\left( {{u_1} + 2} \right)^2} + {\left( {{u_1} + 4} \right)^2} + {\left( {{u_1} + 6} \right)^2}$$= 3u_1^2 + 24{u_1} + 56$$= 3\left( {u_1^2 + 8{u_1}} \right) + 56$$= 3{\left( {{u_1} + 4} \right)^2} + 8 \ge 8$.

Biểu thức $u_2^2 + u_3^2 + u_4^2$ đạt giá trị nhỏ nhất khi ${u_1} = - 4$.

Khi đó ${u_n} = {u_1} + \left( {n - 1} \right)d = - 4 + \left( {n - 1} \right) \cdot 2 = 2n - 6$.

Theo đề ta có ${u_n} = 2026$$\Leftrightarrow 2n - 6 = 2026 \Leftrightarrow n = 1016$.

Số 2026 là số hạng thứ 1016 của cấp số cộng.

Trả lời: 1016.

$\left\{ \begin{array}{l}{u_5} + {u_2} = 36\\{u_6} - {u_4} = 48\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1}{q^4} + {u_1}q = 36\\{u_1}{q^5} - {u_1}{q^3} = 48\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1}q\left( {{q^3} + 1} \right) = 36\\{u_1}{q^3}\left( {{q^2} - 1} \right) = 48\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1}q\left( {q + 1} \right)\left( {{q^2} - q + 1} \right) = 36\\{u_1}{q^3}\left( {q - 1} \right)\left( {q + 1} \right) = 48\end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \{\begin{matrix}{u}_{1}q(q+1)({q}^{2}-q+1)=36 \\ \frac{36{q}^{2}(q-1)}{{q}^{2}-q+1}=48\end{matrix}$ $\Leftrightarrow \{\begin{matrix}{u}_{1}q(q+1)({q}^{2}-q+1)=36 \\ 3{q}^{2}(q-1)=4({q}^{2}-q+1)\end{matrix}$ $\Leftrightarrow \{\begin{matrix}{u}_{1}q(q+1)({q}^{2}-q+1)=36 \\ 3{q}^{3}-7{q}^{2}+4q-4=0\end{matrix}$ $\Leftrightarrow \{\begin{matrix}{u}_{1}\cdot 2(2+1)({2}^{2}-2+1)=36 \\ q=2\end{matrix}$ $\Leftrightarrow \{\begin{matrix}{u}_{1}=2 \\ q=2\end{matrix}$

Vậy ${u_1} + 2024q = 2 + 2024 \cdot 2 = 4050$.

Trả lời: 4050.

Gọi ${u_n}$ là số cây trồng ở hàng thứ $n,\left( {n \in {\mathbb{N}^*}} \right)$.

Số cây ở mỗi hàng lập thành một cấp số cộng với ${u_1} = 1;d = 1$.

Ta có ${S_n} = \frac{n}{2}\left[ {2{u_1} + \left( {n - 1} \right)d} \right]$$= \frac{n}{2}\left( {n + 1} \right)$.

Theo đề có ${S_n} = 4950$$\Leftrightarrow \frac{{n\left( {n + 1} \right)}}{2} = 4950$$\Leftrightarrow {n^2} + n - 9900 = 0$$\Leftrightarrow n = 99$ (vì $n \in {\mathbb{N}^*}$).

Vậy có 99 hàng cây được trồng theo cách trên.

Trả lời: 99.

Gọi ${u_{n + 1}}$ là số lượng con vi khuẩn sau n phút.

Số lượng vi khuẩn ở mỗi phút lập thành một cấp số nhân với $q = 2$. Khi đó ${u_{n + 1}} = {u_1} \cdot {2^n}$.

Ta có ${u_6} = {u_1} \cdot {2^5}$$\Rightarrow {u_1} = \frac{{{u_6}}}{{{2^5}}} = \frac{{64000}}{{{2^5}}} = 2000$.

Theo đề có $2048000 = 2000 \cdot {2^n}$$\Leftrightarrow {2^n} = 1024$$\Leftrightarrow n = 10$.

Vậy sau 10 phút thì có được 2048000 con.

Trả lời: 10.

Số viên gạch ở mỗi bậc cầu thang lập thành một cấp số cộng với ${u_1} = 120;d = - 2$.

Số viên gạch cần để xây cầu thang là ${S_{35}} = \frac{{35}}{2}\left( {2{u_1} + 34d} \right)$$= \frac{{35}}{2}\left[ {2 \cdot 120 + 34 \cdot \left( { - 2} \right)} \right] = 3010$.

Trả lời: 3010.

Số tiền Lan bỏ ống tiết kiệm mỗi ngày lập thành một cấp số nhân với ${u_1} = 1;q = 2$.

Ta có ${S_{10}} = \frac{{{u_1}\left( {1 - {q^{10}}} \right)}}{{1 - q}} = \frac{{1 - {2^{10}}}}{{1 - 2}} = 1023$ nghìn đồng.

Trả lời: 1023.

Chiều dài các thanh ngang là dãy cấp số cộng có số hạng đầu là 45, công sai là $d = - 2$.

Ta có ${u_n} = 45 - 2\left( {n - 1} \right) = 47 - 2n$.

Khi ${u_n} = 31$$\Leftrightarrow 47 - 2n = 31 \Leftrightarrow n = 8$. Vậy cái thang có 8 bậc.

Trả lời: 8.

Theo đề ta có $\left\{ \begin{array}{l}{u_1} + {u_2} + {u_3} + {u_4} = 20\\u_1^2 + u_2^2 + u_3^2 + u_4^2 = 120\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4{u_1} + 6d = 20\\u_1^2 + {\left( {{u_1} + d} \right)^2} + {\left( {{u_1} + 2d} \right)^2} + {\left( {{u_1} + 3d} \right)^2} = 120\end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4{u_1} + 6d = 20\\4u_1^2 + 12{u_1}d + 14{d^2} = 120\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} = \frac{{10 - 3d}}{2}\\4{\left( {\frac{{10 - 3d}}{2}} \right)^2} + 12\left( {\frac{{10 - 3d}}{2}} \right)d + 14{d^2} = 120\end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} = \frac{{10 - 3d}}{2}\\100 - 60d + 9{d^2} + 60d - 18{d^2} + 14{d^2} = 120\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} = \frac{{10 - 3d}}{2}\\5{d^2} = 20\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} = \frac{{10 - 3d}}{2}\\d = \pm 2\end{array} \right.$.

Với $d = 2$ thì ${u_1} = 2;{u_2} = 4;{u_3} = 6;{u_4} = 8$.

Với $d = - 2$thì ${u_1} = 8;{u_2} = 6;{u_3} = 4;{u_2} = 2$.

a) $\left\{ \begin{array}{l}{u_3} = 15\\{u_5} = 135\\{u_6} < 0\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_3} = 15\\{u_3}{q^2} = 135\\{u_6} < 0\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_3} = 15\\{q^2} = 9\\{u_6} < 0\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1}{q^2} = 15\\{q^2} = 9\\{u_6} < 0\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} = \frac{5}{3}\\q = - 3\end{array} \right.$.

Suy ra ${u_n} = \frac{5}{3} \cdot {\left( { - 3} \right)^{n - 1}}$.

b) $\left\{ \begin{array}{l}{u_1} + {u_5} = 164\\{u_2} + {u_3} + {u_4} = 78\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} + {u_1}{q^4} = 164\\{u_1}q + {u_1}{q^2} + {u_1}{q^3} = 78\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1}\left( {1 + {q^4}} \right) = 164\\{u_1}q\left( {1 + q + {q^2}} \right) = 78\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} = \frac{{164}}{{1 + {q^4}}}\\\frac{{164}}{{1 + {q^4}}}q\left( {1 + q + {q^2}} \right) = 78\end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} = \frac{{164}}{{1 + {q^4}}}\\82q\left( {1 + q + {q^2}} \right) = 39\left( {1 + {q^4}} \right)\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} = \frac{{164}}{{1 + {q^4}}}\\82q + 82{q^2} + 82{q^3} = 39 + 39{q^4}\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} = \frac{{164}}{{1 + {q^4}}}\\\left( {q - 3} \right)\left( {q - \frac{1}{3}} \right)\left( {39{q^2} + 48q + 39} \right) = 0\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} = \frac{{164}}{{1 + {q^4}}}\\\left[ \begin{array}{l}q = 3\\q = \frac{1}{3}\end{array} \right.\end{array} \right.$.

Với $q = 3$$\Rightarrow {u_1} = 2$. Khi đó ${u_n} = 2 \cdot {3^{n - 1}}$.

Với $q = \frac{1}{3} \Rightarrow {u_1} = 162$. Khi đó ${u_n} = 162 \cdot {\left( {\frac{1}{3}} \right)^{n - 1}}$.

Số ghế ở mỗi hàng lập thành một cấp số cộng với ${u_1} = 20;d = 5$.

Góc khán đài A có số ghế là ${S_{60}} = \frac{{60}}{2}\left( {2{u_1} + 59d} \right) = 30\left( {2 \cdot 20 + 59 \cdot 5} \right) = 10050$ ghế.

a) $\{\begin{matrix}{u}_{2}-{u}_{3}+{u}_{5}=10 \\ {u}_{4}+{u}_{6}=26\end{matrix}$$\Leftrightarrow \{\begin{matrix}{u}_{1}+3d=10 \\ 2{u}_{1}+8d=26\end{matrix}$ $\Leftrightarrow \{\begin{matrix}{u}_{1}=1 \\ d=3\end{matrix}$

Ta có ${u_n} = {u_1} + \left( {n - 1} \right)d = 1 + \left( {n - 1} \right) \cdot 3 = 3n - 2$.

b) Ta có $3n - 2 = 37 \Leftrightarrow n = 13$.

Số 37 thuộc cấp số cộng và số 37 là số hạng thứ 13.

c) Ta có ${u_4} = {u_1} + 3d = 10;{u_7} = {u_1} + 6d = 19;{u_{10}} = {u_1} + 9d = 28$; …; ${u_{2011}} = {u_1} + 2010d = 6031$.

Khi đó $S = {u_1} + {u_4} + {u_7} + ... + {u_{2011}} = 1 + 10 + 19 + 28 + ... + 6031 = \frac{{\left( {1 + 6031} \right).671}}{2} = 2023736$.

Lời giải

a) Sau 1 kì số tiền nhận được là: ${T_1} = A + A \cdot r$.

Sau 2 kì số tiền nhận được là ${T_2} = A + A \cdot r + \left( {A + A \cdot r} \right) \cdot r$$= \left( {A + A \cdot r} \right) \cdot \left( {1 + r} \right) = A \cdot {\left( {1 + r} \right)^2}$.

Sau 3 kì số tiền nhận được là ${T_3} = A \cdot {\left( {1 + r} \right)^2} + A \cdot {\left( {1 + r} \right)^2} \cdot r = A{\left( {1 + r} \right)^3}$.

Sau 4 kì số tiền nhận được là ${T_4} = A{\left( {1 + r} \right)^3} + A{\left( {1 + r} \right)^3} \cdot r = A{\left( {1 + r} \right)^4}$.

Sau n kì số tiền nhận được là ${T_n} = A{\left( {1 + r} \right)^n}$.

b) Số tiền bố mẹ bạn X nhận được sau 1 kì là ${T_1} = A + A \cdot r = A\left( {1 + r} \right) = \frac{A}{r}\left[ {{{\left( {1 + r} \right)}^1} - 1} \right]\left( {1 + r} \right)$.

Số tiền bố mẹ bạn X gửi ở kì 2 là ${S_2} = A\left( {1 + r} \right) + A = A\left[ {\left( {1 + r} \right) + 1} \right] = A\frac{{\left[ {{{\left( {1 + r} \right)}^2} - 1} \right]}}{{\left( {1 + r} \right) - 1}} = \frac{A}{r}\left[ {{{\left( {1 + r} \right)}^2} - 1} \right]$.

Số tiền bố mẹ bạn X nhận được sau kì 2 là ${T_2} = \frac{A}{r}\left[ {{{\left( {1 + r} \right)}^2} - 1} \right]\left( {1 + r} \right)$.

Suy ra số tiền bố mẹ bạn X nhận được sau kì 12 là ${T_{12}} = \frac{A}{r}\left[ {{{\left( {1 + r} \right)}^{12}} - 1} \right]\left( {1 + r} \right)$.