Bài tập ôn tập Toán 10 Kết nối tri thức Chương 4 có đáp án

Vì $ABCD$ là hình vuông nên $\overrightarrow {AD} = \overrightarrow {BC}$. Chọn D.

Ta có $\overrightarrow {AB}$ và $\overrightarrow {CB}$ ngược hướng.

Lại có $\frac{{AB}}{{CB}} = \frac{3}{7}$. Suy ra $\overrightarrow {AB} = - \frac{3}{7}\overrightarrow {CB}$. Vậy $k = - \frac{3}{7}$. Chọn B.

$\overrightarrow {IA}$ và $\overrightarrow {IG}$ là hai vectơ bằng nhau là khẳng định sai. Chọn D.

Hai vectơ $\overrightarrow {IK}$ và $\overrightarrow {AC}$ cùng hướng và $IK = \frac{1}{2}AC$ nên $\overrightarrow {IK} = \frac{1}{2}\overrightarrow {AC}$. Chọn D.

Có $\overrightarrow {AM}$ và $\overrightarrow {MB}$ cùng hướng.

Vì $AM = \frac{1}{4}AB$ nên $AM = \frac{1}{3}MB$. Suy ra $\overrightarrow {AM} = \frac{1}{3}\overrightarrow {MB}$. Chọn C.

Vì $G$ là trọng tâm $\Delta ABC$ nên $\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} = \overrightarrow 0$.

$\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} + \overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AC} = \overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AC} = \overrightarrow {CB}$. Chọn B.

Vì $MN//AC$ (do $MN$ là đường trung bình của tam giác $ABC$) nên $\overrightarrow {NM}$ và $\overrightarrow {AC}$ là hai vectơ cùng phương. Chọn A.

Ta có $\overrightarrow {AM} = \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AC}$$= \frac{3}{2}\overrightarrow {AN} + \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{2}\overrightarrow {AP} = \frac{3}{2}\overrightarrow {AN} + \frac{3}{4}\overrightarrow {AP}$. Chọn D.

Ta có $\left( {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {CB} } \right) = \left( {\overrightarrow {CE} ,\overrightarrow {CB} } \right) = 180^\circ - \widehat {ACB} = 180^\circ - 45^\circ = 135^\circ$

$\cos \left( {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {CB} } \right) = \cos 135^\circ = - \frac{{\sqrt 2 }}{2}$. Chọn B.

Ta có ${\left( {\overrightarrow {BA} + 2\overrightarrow {BM} } \right)^2} = {\overrightarrow {BA} ^2} + 4\overrightarrow {BA} \cdot \overrightarrow {BM} + 4{\overrightarrow {BM} ^2}$$= {\overrightarrow {BA} ^2} + 4\left| {\overrightarrow {BA} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {BM} } \right| \cdot \cos \left( {\overrightarrow {BA} ,\overrightarrow {BM} } \right) + 4{\overrightarrow {BM} ^2}$

$= 4{a^2} + 4 \cdot 2a \cdot a \cdot \cos 60^\circ + 4{a^2}$$= 12{a^2}$$\Rightarrow \left| {\overrightarrow {BA} + 2\overrightarrow {BM} } \right| = 2a\sqrt 3$. Chọn A.

Gọi $D\left( {x;y} \right)$. Khi đó $\overrightarrow {AB} = \left( { - 3;7} \right),\overrightarrow {DC} = \left( {3 - x; - 6 - y} \right)$.

Do $ABCD$ là hình bình hành nên $\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {DC}$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3 - x = - 3\\ - 6 - y = 7\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 6\\y = - 13\end{array} \right. \Rightarrow D\left( {6; - 13} \right)$. Chọn C.

Ta có $\overrightarrow {AB} = \left( { - 3;3} \right),\overrightarrow {AC} = \left( {6;0} \right)$

Ta có $\cos \widehat {BAC} = \frac{{\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} }}{{\left| {\overrightarrow {AB} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {AC} } \right|}} = \frac{{\left( { - 3} \right) \cdot 6 + 3 \cdot 0}}{{\sqrt {{{\left( { - 3} \right)}^2} + {3^2}} \cdot \sqrt {{6^2} + {0^2}} }} = \frac{{ - 18}}{{18\sqrt 2 }}$$\Rightarrow \widehat {BAC} = 135^\circ$. Chọn B.

Ta có ${\left( {\overrightarrow {DA} + \overrightarrow {DB} } \right)^2} = {\overrightarrow {DA} ^2} + 2\overrightarrow {DA} \cdot \overrightarrow {DB} + {\overrightarrow {DB} ^2}$$= {\overrightarrow {DA} ^2} + 2\left| {\overrightarrow {DA} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {DB} } \right| \cdot \cos \left( {\overrightarrow {DA} ,\overrightarrow {DB} } \right) + {\overrightarrow {DB} ^2}$

$= 4{a^2} + 2 \cdot 2a \cdot 2\sqrt 2 a \cdot \cos 45^\circ + 8{a^2}$$= 20{a^2}$$\Leftrightarrow \left| {\overrightarrow {DA} + \overrightarrow {DB} } \right| = 2\sqrt 5 a$. Chọn C.

Ta có $\overrightarrow {AB} = \left( {1; - 6} \right),\overrightarrow {AC} = \left( {3; - 1} \right)$. Khi đó $\overrightarrow {AB} - 2\overrightarrow {AC} = \left( { - 5; - 4} \right)$.

Gọi $M\left( {x;y} \right) \Rightarrow \overrightarrow {OM} = \left( {x;y} \right)$.

Vì $\overrightarrow {OM} = \overrightarrow {AB} - 2\overrightarrow {AC}$ nên $\left\{ \begin{array}{l}x = - 5\\y = - 4\end{array} \right. \Rightarrow M\left( { - 5; - 4} \right)$. Chọn C.

Ta có $\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} = 2\overrightarrow {AM}$.

$\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} = 2\overrightarrow {AM} = 2 \cdot \frac{3}{2}\overrightarrow {AG} = 3\overrightarrow {AG}$.

$\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} = \overrightarrow 0$.

$\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} = 3\overrightarrow {MG}$. Chọn B.

Gọi $I$ là trung điểm của $BC$.

Khi đó $\overrightarrow {GB} - \overrightarrow {CG}$$= \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} = 2\overrightarrow {GI} = \frac{2}{3}\overrightarrow {AI}$.

Suy ra $\left| {\overrightarrow {GB} - \overrightarrow {CG} } \right| = \frac{2}{3}\left| {\overrightarrow {AI} } \right| = \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2}BC = 4$. Chọn B.

$ABCD$ là hình thoi, $\widehat B = 60^\circ$ nên $\Delta ABC$ đều. Suy ra $\widehat {BAC} = 60^\circ$.

Khi đó $\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right) = \widehat {BAC} = 60^\circ$.

Vì $M$thuộc đoạn thẳng $AB$ nên $\overrightarrow {MA}$ và $\overrightarrow {MB}$ ngược hướng.

Lại có $2MA = 5MB$ nên $MA = \frac{5}{7}AB$. Do đó $\overrightarrow {MA} = - \frac{5}{7}\overrightarrow {AB}$. Chọn B.

a) Do $ABCD$ là hình vuông nên $\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right) = \widehat {BAC} = 45^\circ$.

b) Do $ABCD$ là hình vuông nên $AC \bot BD$$\Rightarrow \overrightarrow {AC} \cdot \overrightarrow {BD} = 0$.

c) $\overrightarrow {AE} \cdot \overrightarrow {CD} = \left( {\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {DE} } \right) \cdot \overrightarrow {CD} = \overrightarrow {AD} \cdot \overrightarrow {CD} + \overrightarrow {DE} \cdot \overrightarrow {CD}$.

d) $\overrightarrow {AD} \cdot \overrightarrow {AC} = \left| {\overrightarrow {AD} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {AC} } \right| \cdot \cos \left( {\overrightarrow {AD} ,\overrightarrow {AC} } \right) = 12 \cdot 12\sqrt 2 \cdot \cos 45^\circ = 144$.

Đáp án: a) Sai; b) Đúng; c) Đúng; d) Đúng.

a) $\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {CB} = \overrightarrow {AB}$.

b) $\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {CA} + \overrightarrow {AB}$$\Leftrightarrow \overrightarrow {BA} + \overrightarrow {AB} = \overrightarrow 0$. Suy ra $\left| {\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {CA} + \overrightarrow {AB} } \right| = 0$.

c) $\overrightarrow {BA} - \overrightarrow {BC} = \overrightarrow {CA}$. Suy ra $\left| {\overrightarrow {BA} - \overrightarrow {BC} } \right| = \left| {\overrightarrow {CA} } \right| = 2$.

d) ${\left( {\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {BC} } \right)^2} = {\overrightarrow {BA} ^2} + 2\overrightarrow {BA} \cdot \overrightarrow {BC} + {\overrightarrow {BC} ^2}$$= {\overrightarrow {BA} ^2} + 2\left| {\overrightarrow {BA} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {BC} } \right| \cdot \cos \left( {\overrightarrow {BA} ,\overrightarrow {BC} } \right) + {\overrightarrow {BC} ^2}$

$= {2^2} + 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot \cos 60^\circ + {2^2} = 12$.

Suy ra $\left| {\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {BC} } \right| = 2\sqrt 3$.

Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Đúng; d) Sai.

a) $\overrightarrow {BC} = \left( {0; - 4} \right)$.

b) Tọa độ trung điểm của $AB$ là $\left\{ \begin{array}{l}x = \frac{{0 + 3}}{2} = \frac{3}{2}\\y = \frac{{1 + 1}}{2} = 1\end{array} \right.$.

c) Có $\overrightarrow {AB} = \left( {3;0} \right),\overrightarrow {AC} = \left( {3; - 4} \right)$.

Suy ra $\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} = 3 \cdot 3 + 0 \cdot \left( { - 4} \right) = 9$.

d)

Theo tính chất tia phân giác, $\frac{{DB}}{{DC}} = \frac{{AB}}{{AC}} = \frac{3}{5}$.

Mà $\overrightarrow {DB}$ và $\overrightarrow {DC}$ là hai vectơ ngược hướng nên $\overrightarrow {DB} = - \frac{3}{5}\overrightarrow {DC}$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3 - a = - \frac{3}{5}\left( {3 - a} \right)\\1 - b = - \frac{3}{5}\left( { - 3 - b} \right)\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 3\\b = - \frac{1}{2}\end{array} \right.$.

Suy ra $a + b = 2{,}5$.

Đáp án: a) Đúng; b) Đúng; c) Sai; d) Đúng.

a) $\overrightarrow {CA} - \overrightarrow {CB} = \overrightarrow {BA}$.

b) $\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AM} = 2\overrightarrow {AM} + \overrightarrow {AM} = 3\overrightarrow {AM}$.

c) Xét $\Delta ABC$ vuông tại $A,$ có $BC = \sqrt {A{B^2} + A{C^2}} = \sqrt {{3^2} + {4^2}} = 5$; $\cos B = \frac{{AB}}{{BC}} = \frac{3}{5}$

Khi đó $\overrightarrow {BA} \cdot \overrightarrow {BC} = \left| {\overrightarrow {BA} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {BC} } \right| \cdot \cos \left( {\overrightarrow {BA} ,\overrightarrow {BC} } \right) = 3 \cdot 5 \cdot \frac{3}{5} = 9$.

d) Ta có ${\left( {2\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right)^2} = 4{\overrightarrow {AB} ^2} + 4\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} + {\overrightarrow {AC} ^2}$$= 4{\overrightarrow {AB} ^2} + {\overrightarrow {AC} ^2}$$= 4 \cdot {3^2} + {4^2} = 52$.

Suy ra $\left| {\overrightarrow u } \right| = \sqrt {52} = 2\sqrt {13}$.

Đáp án: a) Sai; b) Đúng; c) Đúng; d) Đúng.

a) $\overrightarrow {AB} = \left( {0; - 3} \right)$.

b) Gọi $H\left( {x;y} \right)$. Ta có $\overrightarrow {AH} = \left( {x + 3;y - 4} \right),\overrightarrow {BC} = \left( {4;1} \right),\overrightarrow {BH} = \left( {x + 3;y - 1} \right)$.

Vì $H$ là hình chiếu vuông góc kẻ từ $A$ xuống $BC$ nên $AH \bot BC$ và $B,H,C$ thẳng hàng.

Khi đó ta có hệ $\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AH} \cdot \overrightarrow {BC} = 0\\\overrightarrow {BH} = k\overrightarrow {BC} \end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4\left( {x + 3} \right) + \left( {y - 4} \right) = 0\\x + 3 = 4k\\y - 1 = k\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - \frac{{39}}{{17}}\\y = \frac{{20}}{{17}}\end{array} \right.$$\Rightarrow H\left( { - \frac{{39}}{{17}};\frac{{20}}{{17}}} \right)$.

c) Ta có $\overrightarrow {AC} = \left( {4; - 2} \right)$

$\cos \widehat {BAC} = \frac{{\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} }}{{\left| {\overrightarrow {AB} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {AC} } \right|}}$$= \frac{{0 \cdot 4 + \left( { - 3} \right) \cdot \left( { - 2} \right)}}{{\sqrt {{0^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2}} \cdot \sqrt {{4^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} }} = \frac{6}{{6\sqrt 5 }} = \frac{{\sqrt 5 }}{5}$.

d) Gọi $M\left( {x;y} \right)$. Khi đó $\overrightarrow {MA} = \left( { - 3 - x;4 - y} \right)$.

Khi đó $\overrightarrow {MA} + 2\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AC} = \left( { - 7 - x; - y} \right)$.

Vì $\overrightarrow {MA} + 2\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AC} = \overrightarrow 0$ nên $\left\{ \begin{array}{l} - 7 - x = 0\\ - y = 0\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - 7\\y = 0\end{array} \right.$$\Rightarrow M\left( { - 7;0} \right)$.

Đáp án: a) Sai; b) Sai; c) Sai; d) Đúng.

a) $2\overrightarrow {MA} + 3\overrightarrow {MB} = \overrightarrow 0$ nên $\overrightarrow {MA} ,\overrightarrow {MB}$ là hai vectơ ngược hướng.

Suy ra điểm $M$ nằm giữa hai điểm $A$ và $B$.

b) $2\overrightarrow {MA} + 3\overrightarrow {MB} = \overrightarrow 0$$\Leftrightarrow \overrightarrow {MA} = - \frac{3}{2}\overrightarrow {MB}$$\Leftrightarrow \overrightarrow {AM} = \frac{3}{2}\overrightarrow {MB}$$\Leftrightarrow \overrightarrow {AM} = \frac{3}{5}\overrightarrow {AB}$.

c) $\overrightarrow {CM} = \overrightarrow {CA} + \overrightarrow {AM} = - \overrightarrow {AC} + \frac{3}{5}\overrightarrow {AB}$.

d) $\overrightarrow {CA} \cdot \overrightarrow {CM} = \overrightarrow {CA} \left( { - \overrightarrow {AC} + \frac{3}{5}\overrightarrow {AB} } \right)$$= {\overrightarrow {AC} ^2} - \frac{3}{5}\overrightarrow {AC} \cdot \overrightarrow {AB}$$= {\overrightarrow {AC} ^2} - \frac{3}{5}\left| {\overrightarrow {AC} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {AB} } \right| \cdot \cos \left( {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {AB} } \right)$

$= 4{a^2} - \frac{3}{5} \cdot 2a \cdot a \cdot \cos 60^\circ$$= 4{a^2} - \frac{3}{5}{a^2} = \frac{{17}}{5}{a^2}$.

Đáp án: a) Đúng; b) Đúng; c) Sai; d) Đúng.

a) $M$ và $N$ lần lượt là trung điểm của $AB$ và $AC$ nên $MN$ là đường trung bình của $\Delta ABC$.

Suy ra $MN//BC$ và $MN = \frac{1}{2}BC$.

b) $P$ đối xứng với điểm$M$ qua $N$ nên $MP = 2MN = BC$.

Suy ra $\left| {\overrightarrow {MP} } \right| = \left| {\overrightarrow {BC} } \right|$.

c) $\overrightarrow {MN}$ và $\overrightarrow {BC}$ cùng hướng.

d) Vì $\overrightarrow {MN}$ và $\overrightarrow {BC}$ cùng hướng và $\left| {\overrightarrow {MP} } \right| = \left| {\overrightarrow {BC} } \right|$ nên $\overrightarrow {MP} = \overrightarrow {BC}$.

Đáp án: a) Sai; b) Đúng; c) Sai; d) Đúng.

a) Ta có $\overrightarrow {AB} = \left( { - 4;5} \right),\overrightarrow {AC} = \left( {5;4} \right)$.

Khi đó $\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} = \left( { - 4} \right) \cdot 5 + 5 \cdot 4 = 0$. Do đó $AB \bot AC$. Do đó $\Delta ABC$ vuông tại $A$.

b) Có $\overrightarrow {BA} = \left( {4; - 5} \right)$, $\overrightarrow {BC} = \left( {9; - 1} \right)$.

Khi đó $\overrightarrow {BA} \cdot \overrightarrow {BC} = 4 \cdot 9 + \left( { - 5} \right) \cdot \left( { - 1} \right) = 41$.

c) Có $AB = AC = \sqrt {41}$ và $\Delta ABC$ vuông tại $A$ nên $\Delta ABC$ vuông cân tại $A$.

Suy ra chân đường cao $H$ của đường cao kẻ từ đỉnh $A$ của tam giác $ABC$ là trung điểm cạnh $BC$.

d) Gọi $H\left( {x;y} \right)$.

Vì $H$ là trung điểm của $BC$ nên $\left\{ \begin{array}{l}x = \frac{{ - 1 + 8}}{2} = \frac{7}{2}\\y = \frac{{3 + 2}}{2} = \frac{5}{2}\end{array} \right.$.

Điểm $H$ có hoành độ dương.

Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Đúng; d) Sai.

a) $\overrightarrow {OA} = \overrightarrow i - \overrightarrow j$$\Rightarrow A\left( {1; - 1} \right)$; $\overrightarrow {OB} = 3\overrightarrow i + 4\overrightarrow j \Rightarrow B\left( {3;4} \right)$; $\overrightarrow {OC} = - 5\overrightarrow i \Rightarrow C\left( { - 5;0} \right)$.

b) Gọi $D\left( {x;y} \right)$. Có $\overrightarrow {AD} = \left( {x - 1;y + 1} \right),\overrightarrow {BC} = \left( { - 8; - 4} \right)$.

Vì $ABCD$ là hình bình hành nên $\left\{ \begin{array}{l}x - 1 = - 8\\y + 1 = - 4\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - 7\\y = - 3\end{array} \right.$$\Rightarrow D\left( { - 7; - 3} \right)$.

c) $\overrightarrow {AB} = \left( {2;5} \right)$.

d) $M\left( {a;b} \right)$ là điểm đối xứng của $A$ qua $B$ nên $B$ là trung điểm của $MA$.

Khi đó $\left\{ \begin{array}{l}{x_M} = 2{x_B} - {x_A}\\{y_M} = 2{y_B} - {y_A}\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 2 \cdot 3 - 1\\b = 2 \cdot 4 - \left( { - 1} \right)\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 5\\b = 9\end{array} \right.$.

Khi đó $2a - b = 1$.

Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Đúng; d) Đúng.

Có ${\left( {\overrightarrow {{F_1}} + \overrightarrow {{F_2}} } \right)^2} = {\overrightarrow {{F_1}} ^2} + 2\overrightarrow {{F_1}} \cdot \overrightarrow {{F_2}} + {\overrightarrow {{F_2}} ^2}$$= {\overrightarrow {{F_1}} ^2} + 2\left| {\overrightarrow {{F_1}} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {{F_2}} } \right| \cdot \cos \left( {\overrightarrow {{F_1}} ,\overrightarrow {{F_2}} } \right) + {\overrightarrow {{F_2}} ^2}$

$= {150^2} + 2 \cdot 150 \cdot 100 \cdot \cos 120^\circ + {100^2}$$= 17500$.

Khi đó $\left| {\overrightarrow F } \right| = \sqrt {17500} \approx 132$ (N).

Theo đề ta có hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}{a^2} + {b^2} = {\left( {8 - a} \right)^2} + {\left( {4 - b} \right)^2}\\{a^2} + {b^2} = {\left( {7 - a} \right)^2} + {\left( {7 - b} \right)^2}\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}16a + 8b = 80\\14a + 14b = 98\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 3\\b = 4\end{array} \right.$.

Khi đó $a + b = 7$.

Có $\overrightarrow {MB}$ và $\overrightarrow {MC}$ ngược hướng và $MB = 4MC$ nên $\overrightarrow {MB} = - 4\overrightarrow {MC}$. Suy ra $\overrightarrow {BM} = \frac{4}{5}\overrightarrow {BC}$.

Khi đó $\overrightarrow {AM} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BM} = \overrightarrow {AB} + \frac{4}{5}\overrightarrow {BC} = \overrightarrow {AB} + \frac{4}{5}\left( {\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} } \right)$$= \frac{1}{5}\overrightarrow {AB} + \frac{4}{5}\overrightarrow {AC}$.

Suy ra $m = \frac{1}{5};n = \frac{4}{5}$. Vậy $6m + n = 2$.

Vì $G$ là trọng tâm $\Delta ABC$ nên $\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} = \overrightarrow 0$.

Ta có $\overrightarrow {CA} - \overrightarrow {BG}$$= \overrightarrow {GA} - \overrightarrow {GC} + \overrightarrow {GB}$$= \overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GC} + \overrightarrow {GB} - 2\overrightarrow {GC}$$= - 2\overrightarrow {GC}$.

Gọi $I$ là trung điểm của $AB$. Khi đó $CG = \frac{2}{3}CI = \frac{2}{3} \cdot \frac{{5\sqrt 3 \cdot \sqrt 3 }}{2} = 5$.

Vậy $\left| {\overrightarrow {CA} - \overrightarrow {BG} } \right| = \left| { - 2\overrightarrow {GC} } \right| = 2 \cdot 5 = 10$.

Ta có $\overrightarrow {AM} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BM} = \overrightarrow {AB} + k\overrightarrow {BC} = \overrightarrow {AB} + k\overrightarrow {AC} - k\overrightarrow {AB}$$= k\overrightarrow {AC} + \left( {1 - k} \right)\overrightarrow {AB}$.

$\overrightarrow {PN} = \overrightarrow {AN} - \overrightarrow {AP} = \frac{1}{3}\overrightarrow {AC} - \frac{4}{{15}}\overrightarrow {AB}$.

Để $AM \bot PN$ thì $\overrightarrow {AM} \cdot \overrightarrow {PN} = 0$$\Leftrightarrow \left( {k\overrightarrow {AC} + \left( {1 - k} \right)\overrightarrow {AB} } \right)\left( {\frac{1}{3}\overrightarrow {AC} - \frac{4}{{15}}\overrightarrow {AB} } \right) = 0$

$\Leftrightarrow \frac{k}{3}{\overrightarrow {AC} ^2} - \frac{{4k}}{{15}}\overrightarrow {AC} \cdot \overrightarrow {AB} + \frac{{1 - k}}{3} \cdot \overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} - \frac{{4\left( {1 - k} \right)}}{{15}}{\overrightarrow {AB} ^2} = 0$

$\Leftrightarrow \left[ {\frac{k}{3} - \frac{{4\left( {1 - k} \right)}}{{15}}} \right]{\overrightarrow {AC} ^2} + \left( {\frac{{1 - k}}{3} - \frac{{4k}}{{15}}} \right)\left| {\overrightarrow {AC} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {AB} } \right| \cdot \cos 60^\circ = 0$$\Leftrightarrow \left[ {\frac{k}{3} - \frac{{4\left( {1 - k} \right)}}{{15}}} \right]{\overrightarrow {AC} ^2} + \left( {\frac{{1 - k}}{6} - \frac{{4k}}{{30}}} \right){\left| {\overrightarrow {AC} } \right|^2} = 0$

$\Leftrightarrow \left( {\frac{k}{3} - \frac{{4\left( {1 - k} \right)}}{{15}} + \frac{{1 - k}}{6} - \frac{{4k}}{{30}}} \right){\left| {\overrightarrow {AC} } \right|^2} = 0$

$\Leftrightarrow \frac{k}{3} - \frac{{4\left( {1 - k} \right)}}{{15}} + \frac{{1 - k}}{6} - \frac{{4k}}{{30}} = 0$$\Leftrightarrow \frac{{3k}}{{10}} = \frac{1}{{10}}$$\Leftrightarrow k = \frac{1}{3}$.

Suy ra $a = 1;b = 3$. Do đó $2a + b = 5$.

Tọa độ trung điểm $M$ là $\left\{ \begin{array}{l}x = \frac{{5 + \left( { - 3} \right)}}{2} = 1\\y = \frac{{3 + \left( { - 1} \right)}}{2} = 1\end{array} \right.$$\Rightarrow M\left( {1;1} \right)$.

Khi đó $\overrightarrow {BM} = \left( {0; - 4} \right)$. Vậy $BM = \sqrt {{0^2} + {{\left( { - 4} \right)}^2}} = 4$.

Gọi $I\left( {x;y} \right)$ là điểm sao cho $\overrightarrow {IA} + 2\overrightarrow {IB} + 3\overrightarrow {IC} = \overrightarrow 0$.

Ta có $\overrightarrow {IA} = \left( {1 - x; - 4 - y} \right),\overrightarrow {IB} = \left( { - 2 - x;2 - y} \right),\overrightarrow {IC} = \left( { - 5 - x;4 - y} \right)$.

Theo bài ta có $\overrightarrow {IA} + 2\overrightarrow {IB} + 3\overrightarrow {IC} = \overrightarrow 0$ nên $\left\{ \begin{array}{l}1 - x + 2\left( { - 2 - x} \right) + 3\left( { - 5 - x} \right) = 0\\ - 4 - y + 2\left( {2 - y} \right) + 3\left( {4 - y} \right) = 0\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 - x - 4 - 2x - 15 - 3x = 0\\ - 4 - y + 4 - 2y + 12 - 3y = 0\end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 6x - 18 = 0\\ - 6y + 12 = 0\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - 3\\y = 2\end{array} \right.$$\Rightarrow I\left( { - 3;2} \right)$.

Ta có $\overrightarrow {MA} + 2\overrightarrow {MB} + 3\overrightarrow {MC} = \overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IA} + 2\overrightarrow {MI} + 2\overrightarrow {IB} + 3\overrightarrow {MI} + 3\overrightarrow {IC}$$= 6\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IA} + 2\overrightarrow {IB} + 3\overrightarrow {IC} = 6\overrightarrow {MI}$.

Do $\left| {\overrightarrow {MA} + 2\overrightarrow {MB} + 3\overrightarrow {MC} } \right| = 6\left| {\overrightarrow {MI} } \right|$ nhỏ nhất khi $MI$ nhỏ nhất.