Bài tập ôn tập Toán 10 Kết nối tri thức Chương 3 có đáp án

Vì $\Delta ABC$ vuông tại $A$, $\widehat B = 30^\circ$$\Rightarrow \widehat C = 60^\circ$.

Có $\cos B = \cos 30^\circ = \frac{{\sqrt 3 }}{2}$; $\sin B = \sin 30^\circ = \frac{1}{2}$; $\sin C = \sin 60^\circ = \frac{{\sqrt 3 }}{2}$; $\cos C = \cos 60^\circ = \frac{1}{2}$. Chọn A.

Ta có ${\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1 \Rightarrow {\cos ^2}\alpha = 1 - {\left( {\frac{3}{5}} \right)^2} = \frac{{16}}{{25}}$.

Vì $90^\circ < \alpha < 180^\circ$ nên $\cos \alpha < 0$ nên $\cos \alpha = - \frac{4}{5}$. Chọn B.

Có ${\cos ^2}\alpha = 1 - {\sin ^2}\alpha = 1 - {\left( {\frac{2}{3}} \right)^2} = \frac{5}{9}$.

Vì $0^\circ < \alpha < 90^\circ$ nên $\cos \alpha > 0$. Do đó $\cos \alpha = \frac{{\sqrt 5 }}{3}$.

Suy ra $\tan \alpha = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} = \frac{2}{3}:\frac{{\sqrt 5 }}{3} = \frac{2}{{\sqrt 5 }}$.

Khi đó $P = \tan \alpha - 3\cos \alpha = \frac{2}{{\sqrt 5 }} - 3 \cdot \frac{{\sqrt 5 }}{3} = - \frac{{3\sqrt 5 }}{5}$. Chọn A.

Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm của $AB$ và $BC$.

Khi đó $MN$ là đường trung bình của $\Delta ABC$. Suy ra $MN//AC$$\Rightarrow \widehat {ACB} = \widehat {MNB} = 60^\circ$.

Vì $AB = 9 \Rightarrow BM = 4{,}5$.

Xét $\Delta BMN$ có $B{M^2} = M{N^2} + B{N^2} - 2MN \cdot BN \cdot \cos \widehat {MNB}$$\Leftrightarrow 4,{5^2} = {3^2} + B{N^2} - 2 \cdot 3 \cdot BN \cdot \cos 60^\circ$

$\Leftrightarrow B{N^2} - 3 \cdot BN - \frac{{45}}{4} = 0$$\Leftrightarrow BN = \frac{{3 + 3\sqrt 6 }}{2}$.

Vì $N$ là trung điểm của $BC$ nên $BC = 2BN = 3 + 3\sqrt 6$. Chọn A.

Nửa chu vi tam giác $ABC$ là $p = 12:2 = 6$.

Diện tích của tam giác $ABC$ là $S = pr = 6 \cdot 1 = 6$. Chọn C.

Có $A{C^2} = A{B^2} + B{C^2} - 2AB \cdot BC \cdot \cos \widehat {ABC}$$= {2^2} + {3^2} - 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \cos 60^\circ = 7$$\Rightarrow AC = \sqrt 7$.

Chu vi tam giác $ABC$ là $2 + 3 + \sqrt 7 = 5 + \sqrt 7$. Chọn A.

Nửa chu vi tam giác $ABC$ là $p = \frac{{4 + 6 + 8}}{2} = 9$.

Diện tích tam giác $ABC$ là $S = \sqrt {9 \cdot \left( {9 - 4} \right) \cdot \left( {9 - 6} \right) \cdot \left( {9 - 8} \right)} = 3\sqrt {15}$. Chọn B.

Nửa chu vi tam giác là $p = \frac{{52 + 56 + 60}}{2} = 84$.

Diện tích tam giác là $S = \sqrt {84\left( {84 - 52} \right)\left( {84 - 56} \right)\left( {84 - 60} \right)} = 1344$.

Có $R = \frac{{abc}}{{4S}} = \frac{{52 \cdot 56 \cdot 60}}{{4 \cdot 1344}} = 32{,}5$. Chọn C.

Nửa chu vi tam giác là $p = 12:2 = 6$.

Bán kính đường tròn nội tiếp tam giác $ABC$ bằng $r = \frac{S}{P} = \frac{6}{6} = 1$. Chọn D.

Có $\widehat A = 180^\circ - \left( {\widehat B + \widehat C} \right) = 60^\circ$.

Ta có $\frac{{BC}}{{\sin A}} = 2R \Rightarrow R = \frac{{BC}}{{2\sin A}} = \frac{{10\sqrt 3 }}{{2\sin 60^\circ }} = 10$.

Do đó chu vi đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ là $2\pi R = 20\pi$. Chọn C.

Có $\widehat B + \widehat C = 180^\circ - \widehat A = 120^\circ$$\Rightarrow \frac{{\widehat B + \widehat C}}{2} = 60^\circ$.

Suy ra $\cos \left( {\frac{{\widehat B + \widehat C}}{2}} \right) = \cos 60^\circ = \frac{1}{2}$. Chọn A.

Vì ${\sin ^2}\frac{\alpha }{2} + {\cos ^2}\frac{\alpha }{2} = 1 \Rightarrow {\cos ^2}\frac{\alpha }{2} = 1 - {\left( {\frac{3}{5}} \right)^2} = \frac{{16}}{{25}}$.

Khi đó $P = 3{\sin ^2}\frac{\alpha }{2} + 5{\cos ^2}\frac{\alpha }{2}$$= 3 \cdot {\left( {\frac{3}{5}} \right)^2} + 5 \cdot \frac{{16}}{{25}} = \frac{{107}}{{25}}$. Chọn B.

Có ${S_{\Delta ABC}} = \frac{{AB \cdot AC \cdot BC}}{{4R}}$$\Rightarrow \frac{{BC}}{R} = \frac{{4{S_{\Delta ABC}}}}{{AB \cdot AC}} = \frac{{4 \cdot 64}}{{8 \cdot 18}} = \frac{{16}}{9}$.

Mà $\frac{{BC}}{{\sin A}} = 2R \Rightarrow \sin A = \frac{{BC}}{{2R}} = \frac{1}{2} \cdot \frac{{16}}{9} = \frac{8}{9}$. Chọn D.

Ta có $1 + {\tan ^2}\alpha = \frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }}$$\Leftrightarrow 1 + {6^2} = \frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }}$$\Leftrightarrow {\cos ^2}\alpha = \frac{1}{{37}}$.

$\tan \alpha = 6 \Rightarrow \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} = 6 \Rightarrow \sin \alpha = 6\cos \alpha$.

Khi đó $E = 2{\cos ^2}\alpha + 5\sin \alpha \cos \alpha + 1$$= 2{\cos ^2}\alpha + 30{\cos ^2}\alpha + 1 = 32{\cos ^2}\alpha + 1 = \frac{{32}}{{37}} + 1 = \frac{{69}}{{37}}$. Chọn C.

a) $B{C^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc\cos A = {7^2} + {5^2} - 2 \cdot 7 \cdot 5 \cdot \frac{3}{5} = 32$$\Rightarrow BC = \sqrt {32} = 4\sqrt 2$.

b) Có ${\sin ^2}A + {\cos ^2}A = 1 \Rightarrow {\sin ^2}A = 1 - {\left( {\frac{3}{5}} \right)^2} = \frac{{16}}{{25}} \Rightarrow \sin A = \frac{4}{5}$ (vì $\sin A > 0$).

c) ${S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2}bc\sin A = \frac{1}{2} \cdot 7 \cdot 5.\frac{4}{5} = 14$.

d) Có $R = \frac{a}{{2\sin A}} = \frac{{4\sqrt 2 }}{{2 \cdot \frac{4}{5}}} = \frac{{5\sqrt 2 }}{2}$.

Đáp án: a) Đúng; b) Đúng; c) Sai; d) Sai.

a) Nửa chu vi tam giác $p = \frac{{21 + 17 + 10}}{2} = 24$.

b) Diện tích tam giác $S = \sqrt {p\left( {p - a} \right)\left( {p - b} \right)\left( {p - c} \right)}$$= \sqrt {24\left( {24 - 21} \right)\left( {24 - 17} \right)\left( {24 - 10} \right)} = 84$.

c) Có $S = \frac{1}{2}a \cdot {h_a} \Rightarrow {h_a} = \frac{{2S}}{a} = \frac{{2 \cdot 84}}{{21}} = 8$.

d) Có $r = \frac{S}{p} = \frac{{84}}{{24}} = 3{,}5$.

Đáp án: a) Đúng; b) Đúng; c) Sai; d) Đúng.

a) Có ${\sin ^2}A + {\cos ^2}A = 1$$\Rightarrow {\sin ^2}A = 1 - {\cos ^2}A = 1 - {\left( {\frac{3}{5}} \right)^2} = \frac{{16}}{{25}}$ $\Rightarrow \sin A = \frac{4}{5}$ (vì $\sin A > 0$).

b) Có $S = \frac{1}{2}bc\sin A = \frac{1}{2} \cdot 7 \cdot 5 \cdot \frac{4}{5} = 14$.

c) Có ${a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc\cos A = {7^2} + {5^2} - 2 \cdot 7 \cdot 5 \cdot \frac{3}{5} = 49 + 25 - 42 = 32$$\Rightarrow a = 4\sqrt 2$.

d) Có $S = \frac{{abc}}{{4R}} \Rightarrow R = \frac{{abc}}{{4S}} = \frac{{7 \cdot 5 \cdot 4\sqrt 2 }}{{4 \cdot 14}} = \frac{{5\sqrt 2 }}{2}$.

Đáp án: a) Đúng; b) Đúng; c) Sai; d) Sai.

a) $p = \frac{{7 + 9 + 12}}{2} = 14$.

b) $S = \sqrt {p\left( {p - a} \right)\left( {p - b} \right)\left( {p - c} \right)} = \sqrt {14\left( {14 - 7} \right)\left( {14 - 9} \right)\left( {14 - 12} \right)} = 14\sqrt 5$.

c) $S = \frac{{abc}}{{4R}} \Rightarrow R = \frac{{abc}}{{4S}} = \frac{{7 \cdot 9 \cdot 12}}{{4 \cdot 14\sqrt 5 }} = \frac{{27\sqrt 5 }}{{10}}$.

d) $r = \frac{S}{p} = \frac{{14\sqrt 5 }}{{14}} = \sqrt 5$.

Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Sai; d) Sai.

a) Có $\widehat C = 180^\circ - \left( {\widehat A + \widehat B} \right) = 180^\circ - \left( {45^\circ + 75^\circ } \right) = 60^\circ$.

Có $\frac{a}{{\sin A}} = \frac{c}{{\sin C}} \Rightarrow c = \frac{{a\sin C}}{{\sin A}} = \frac{{10 \cdot \sin 60^\circ }}{{\sin 75^\circ }} \approx 8{,}97$.

b) Có $\frac{a}{{\sin A}} = 2R \Rightarrow R = \frac{a}{{2\sin A}} = \frac{{10}}{{2\sin 75^\circ }} \approx 5{,}18$.

c) $\widehat C = 180^\circ - \left( {\widehat A + \widehat B} \right) = 180^\circ - \left( {45^\circ + 75^\circ } \right) = 60^\circ$.

d) Có $\frac{a}{{\sin A}} = \frac{b}{{\sin B}} \Rightarrow b = \frac{{a\sin B}}{{\sin A}} = \frac{{10\sin 45^\circ }}{{\sin 75^\circ }} \approx 7{,}32$.

Đáp án: a) Sai; b) Sai; c) Đúng; d) Đúng.

a) Có ${\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1 \Rightarrow {\cos ^2}\alpha = 1 - {\sin ^2}\alpha = 1 - {\left( {\frac{2}{3}} \right)^2} = \frac{5}{9}$.

b) $\cos \alpha = \frac{{\sqrt 5 }}{3}$ (vì $0^\circ < \alpha < 90^\circ$ nên $\cos \alpha > 0$).

c) $\tan \alpha = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} = \frac{2}{3}:\frac{{\sqrt 5 }}{3} = \frac{{2\sqrt 5 }}{5}$.

d) $\frac{{\sin \alpha + \sqrt 5 \cos \alpha }}{{2\sin \alpha + \cos \alpha }} = \frac{{\tan \alpha + \sqrt 5 }}{{2\tan \alpha + 1}} = \frac{{\frac{{2\sqrt 5 }}{5} + \sqrt 5 }}{{\frac{{4\sqrt 5 }}{5} + 1}} = \frac{7}{{4 + \sqrt 5 }} = \frac{{28 - 7\sqrt 5 }}{{11}}$.

Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Đúng; d) Đúng.

a) ${S_{ABC}} = \frac{1}{2}AB \cdot AC \cdot \sin \widehat {BAC} = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 5 \cdot \sin 120^\circ = 10\sqrt 3$.

b) $B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} - 2AB \cdot AC \cdot \cos A = {8^2} + {5^2} - 2 \cdot 8 \cdot 5 \cdot \cos 120^\circ = 129$$\Rightarrow BC = \sqrt {129}$.

c) Có $\frac{{BC}}{{\sin \widehat {BAC}}} = 2R \Rightarrow R = \frac{{BC}}{{2\sin \widehat {BAC}}} = \frac{{\sqrt {129} }}{{2\sin 120^\circ }} = \sqrt {43}$.

d)

Vì $M$ là trung điểm của $AB$ nên $AM = 4$.

Xét $\Delta AMC$, có $M{C^2} = A{M^2} + A{C^2} - 2AM \cdot AC \cdot \cos A = {4^2} + {5^2} - 2 \cdot 4 \cdot 5 \cdot \cos 120^\circ = 61$ $\Rightarrow MC = \sqrt {61}$.

Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Đúng; d) Đúng.

a) Với $0^\circ < \alpha < 90^\circ$ thì $\sin \alpha > 0$.

Khi đó $\sin \alpha \cdot \cos \alpha > 0$.

b) Có ${\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1 \Rightarrow {\sin ^2}\alpha = 1 - {\cos ^2}\alpha = 1 - {\left( {\frac{1}{3}} \right)^2} = \frac{8}{9}$. Suy ra $\sin \alpha = \frac{{2\sqrt 2 }}{3}$.

c) $\tan \alpha = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} = \frac{{2\sqrt 2 }}{3}:\frac{1}{3} = 2\sqrt 2$.

d) $\frac{{6\sqrt 2 \sin \alpha + 3\cos \alpha }}{{\sqrt 2 \tan \alpha + 2\sqrt 2 \cot \alpha }} = \frac{{6\sqrt 2 \cdot \frac{{2\sqrt 2 }}{3} + 3 \cdot \frac{1}{3}}}{{\sqrt 2 \cdot 2\sqrt 2 + 2\sqrt 2 \cdot \frac{1}{{2\sqrt 2 }}}} = \frac{9}{5}$.

Đáp án: a) Sai; b) Đúng; c) Sai; d) Đúng.

a) Với $90^\circ < \alpha < 180^\circ$ thì $\cos \alpha < 0$.

b) Có ${\cos ^2}\alpha = 1 - {\sin ^2}\alpha = 1 - {m^2}$$\Rightarrow \cos \alpha = - \sqrt {1 - {m^2}}$.

c) $\sin \left( {180^\circ - \alpha } \right) = \sin \alpha = m$.

d) ${\tan ^2}\alpha \cdot {\sin ^2}\alpha - {\tan ^2}\alpha + {\sin ^2}\alpha - \sin \alpha =$${\tan ^2}\alpha \cdot \left( {{{\sin }^2}\alpha - 1} \right) + {\sin ^2}\alpha - \sin \alpha$

$= {\tan ^2}\alpha \cdot \left( { - {{\cos }^2}\alpha } \right) + {\sin ^2}\alpha - \sin \alpha$$= - {\sin ^2}\alpha + {\sin ^2}\alpha - \sin \alpha$$= - \sin \alpha = - m$.

Đáp án: a) Sai; b) Sai; c) Đúng; d) Sai.

a) Ta có $A{B^2} = A{C^2} + B{C^2} - 2 \cdot AC \cdot BC \cdot \cos \widehat C$$= {8^2} + {6^2} - 2 \cdot 8 \cdot 6 \cdot \cos 60^\circ = 52$$\Rightarrow AB = \sqrt {52} \approx 7{,}21$.

b) Có $\cos A = \frac{{A{B^2} + A{C^2} - B{C^2}}}{{2 \cdot AB \cdot AC}} = \frac{{52 + 36 - 64}}{{2 \cdot \sqrt {52} \cdot 6}} = \frac{{\sqrt {13} }}{{13}} > 0$.

Suy ra $A$ là góc nhọn.

c) Có $p = \frac{{8 + 6 + \sqrt {52} }}{2}$.

Diện tích tam giác $ABC$ là $S = \sqrt {p\left( {p - a} \right)\left( {p - b} \right)\left( {p - c} \right)} = \sqrt {432} = 12\sqrt 3$.

Khi đó $r = \frac{S}{p} = \frac{{12\sqrt 3 }}{{\frac{{8 + 6 + \sqrt {52} }}{2}}} \approx 1{,}96$.

d)

Ta có $\frac{{{S_{ABG}}}}{{{S_{ABC}}}} = \frac{{MG}}{{MC}} = \frac{1}{3}$$\Rightarrow {S_{ABG}} = \frac{1}{3}{S_{ABC}} = \frac{1}{3} \cdot 12\sqrt 3 = 4\sqrt 3$.

Đáp án: a) Sai; b) Sai; c) Đúng; d) Đúng.

Đặt $AC = b,AB = c$.

Ta có $B{C^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc\cos A = {b^2} + {c^2} - 2bc\cos 30^\circ = {b^2} + {c^2} - bc\sqrt 3 \Rightarrow bc\sqrt 3 = {b^2} + {c^2} - 36$ (1).

Áp dụng định lí côsin cho tam giác $ABM$, có $B{M^2} = {c^2} + \frac{{{b^2}}}{4} - bc\cos A = {c^2} + \frac{{{b^2}}}{4} - \frac{{\sqrt 3 }}{2}bc$$\Leftrightarrow B{M^2} = {c^2} + \frac{{{b^2}}}{4} - \frac{{{b^2} + {c^2} - 36}}{2} = \frac{{{c^2}}}{2} - \frac{{{b^2}}}{4} + 18$.

Áp dụng định lí côsin cho tam giác $ACN$, $C{N^2} = {b^2} + \frac{{{c^2}}}{4} - \frac{{bc\sqrt 3 }}{2}$$= {b^2} + \frac{{{c^2}}}{4} - \frac{{{b^2} + {c^2} - 36}}{2} = \frac{{{b^2}}}{2} - \frac{{{c^2}}}{4} + 18$.

Lại có $B{G^2} + C{G^2} = 36$$\Leftrightarrow \frac{4}{9}\left( {B{M^2} + C{N^2}} \right) = 36$$\Leftrightarrow B{M^2} + C{N^2} = 81$$\Leftrightarrow \frac{{{c^2}}}{2} - \frac{{{b^2}}}{4} + 18 + \frac{{{b^2}}}{2} - \frac{{{c^2}}}{4} + 18 = 81$

$\Leftrightarrow \frac{{{c^2}}}{4} + \frac{{{b^2}}}{4} = 45$$\Leftrightarrow {c^2} + {b^2} = 180$ (2).

Từ (1) và (2), suy ra $bc = 48\sqrt 3$.

Khi đó ${S_{ABC}} = \frac{1}{2}bc\sin A = \frac{1}{2} \cdot 48\sqrt 3 \cdot \sin 30^\circ = 12\sqrt 3 \approx 20{,}8$.

$P = {\cos ^2}1^\circ + {\cos ^2}2^\circ + {\cos ^2}3^\circ + ... + {\cos ^2}178^\circ + {\cos ^2}179^\circ + {\cos ^2}180^\circ$

$P = \left( {{{\cos }^2}1^\circ + {{\cos }^2}179^\circ } \right) + \left( {{{\cos }^2}2^\circ + {{\cos }^2}178^\circ } \right) + ... + \left( {{{\cos }^2}89^\circ + {{\cos }^2}91^\circ } \right) + {\cos ^2}90^\circ + {\cos ^2}180^\circ$

$P = \left( {{{\cos }^2}1^\circ + {{\cos }^2}1^\circ } \right) + \left( {{{\cos }^2}2^\circ + {{\cos }^2}2^\circ } \right) + ... + \left( {{{\cos }^2}89^\circ + {{\cos }^2}89^\circ } \right) + {\cos ^2}90^\circ + {\cos ^2}180^\circ$

$$P = 2{\cos ^2}1^\circ + 2{\cos ^2}2^\circ + ... + 2{\cos ^2}89^\circ + {\cos ^2}90^\circ + {\cos ^2}180^\circ$$

$$P = 2\left( {{{\cos }^2}1^\circ + {{\cos }^2}89^\circ } \right) + 2\left( {{{\cos }^2}2^\circ + {{\cos }^2}88^\circ } \right) + ... + 2\left( {{{\cos }^2}44^\circ + {{\cos }^2}46^\circ } \right) + 2{\cos ^2}45^\circ + {\cos ^2}90^\circ + {\cos ^2}180^\circ$$

$$P = 2\left( {{{\cos }^2}1^\circ + {{\sin }^2}1^\circ } \right) + 2\left( {{{\cos }^2}2^\circ + {{\sin }^2}2^\circ } \right) + ... + 2\left( {{{\cos }^2}44^\circ + {{\sin }^2}44^\circ } \right) + 2{\cos ^2}45^\circ + {\cos ^2}90^\circ + {\cos ^2}180^\circ$$

$P = 2 \cdot 44 + 1 + 1 = 90$.

Có $\widehat A = 180^\circ - \left( {\widehat B + \widehat C} \right) = 180^\circ - \left( {45^\circ + 15^\circ } \right) = 120^\circ$.

Áp dụng định lí sin cho tam giác $ABC$ ta được

$\frac{{BC}}{{\sin A}} = \frac{{AC}}{{\sin B}} \Rightarrow AC = \frac{{BC \cdot \sin B}}{{\sin A}} = \frac{{10\sqrt 6 \cdot \sin 45^\circ }}{{\sin 120^\circ }} = 20$.

Có $\left\{ \begin{array}{l}3\cos \alpha - \sin \alpha = 1\\{\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\sin \alpha = 3\cos \alpha - 1\\{\left( {3\cos \alpha - 1} \right)^2} + {\cos ^2}\alpha = 1\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\sin \alpha = 3\cos \alpha - 1\\10{\cos ^2}\alpha - 6\cos \alpha = 0\end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\sin \alpha = 3\cos \alpha - 1\\\left[ \begin{array}{l}\cos \alpha = 0\\\cos \alpha = \frac{3}{5}\end{array} \right.\end{array} \right.$.

Vì $0^\circ < \alpha < 90^\circ$ nên $\cos \alpha = \frac{3}{5} \Rightarrow \sin \alpha = \frac{4}{5}$.

Vậy $9\tan \alpha = 9 \cdot \frac{4}{5}:\frac{3}{5} = 12$.

Xét $\Delta ABC$ có $\widehat C = 180^\circ - \left( {\widehat A + \widehat B} \right) = 180^\circ - \left( {60^\circ + 80^\circ } \right) = 40^\circ$.

Áp dụng định lí sin cho tam giác $ABC$, ta có $\frac{{AC}}{{\sin B}} = \frac{{AB}}{{\sin C}} \Rightarrow AC = \frac{{AB\sin B}}{{\sin C}} = \frac{{40 \cdot \sin 80^\circ }}{{\sin 40^\circ }} \approx 61{,}3$(m).

Diện tích khu vườn là $S = \frac{1}{2}AB \cdot AC \cdot \sin \widehat {BAC} = \frac{1}{2} \cdot 13 \cdot 15 \cdot \sin 60^\circ \approx 84{,}4$(m$^{2}$).

Xét $\Delta ACH$ có $AH = \frac{{CH}}{{\tan 45^\circ }}$.

Xét $\Delta BCH$ có $BH = \frac{{CH}}{{\tan 35^\circ }}$.

Có $AH + BH = 105$ nên $\frac{{CH}}{{\tan 45^\circ }} + \frac{{CH}}{{\tan 35^\circ }} = 105$$\Leftrightarrow CH = 105:\left( {\frac{1}{{\tan 45^\circ }} + \frac{1}{{\tan 35^\circ }}} \right) \approx 43{,}2$(m).

Áp dụng định lí cô sin cho tam giác $BCD$, có

$B{C^2} = C{D^2} + B{D^2} - 2CD \cdot DB \cdot \cos D = {500^2} + {400^2} - 2 \cdot 500 \cdot 400 \cdot \cos 122^\circ \Rightarrow BC \approx 789$(m).

Áp dụng định lí sin cho tam giác $BCD$, có:

$\frac{{BC}}{{\sin D}} = \frac{{BD}}{{\sin C}} \Rightarrow \sin C = \frac{{BD \cdot \sin D}}{{BC}} = \frac{{400 \cdot \sin 122^\circ }}{{789}} \Rightarrow \widehat C \approx 25{,}5^\circ$.

Suy ra $\widehat {ACB} = 138^\circ - 25{,}5^\circ = 112{,}5^\circ$.

Áp dụng định lí cô sin cho tam giác $ABC$, có

$A{B^2} = A{C^2} + B{C^2} - 2AC \cdot BC \cdot \cos C = {400^2} + {789^2} - 2 \cdot 400 \cdot 789 \cdot \cos 112{,}5^\circ \Rightarrow AB \approx 1012$ (m).

Xét $\Delta ABC$ có $\widehat {BAC} = 90^\circ + 30^\circ = 120^\circ$; $\widehat {ABC} = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ$; $\widehat {ACB} = 180^\circ - 120^\circ - 30^\circ = 30^\circ$.

Áp dụng định lí sin cho tam giác $ABC$, có

$\frac{{AB}}{{\sin C}} = \frac{{BC}}{{\sin A}} \Rightarrow BC = \frac{{AB\sin A}}{{\sin C}} = \frac{{70\sin 120^\circ }}{{\sin 30^\circ }} = 70\sqrt 3$.

Xét $\Delta AHC$ có $CH = BC\sin 60^\circ = 70\sqrt 3 \cdot \sin 60^\circ = 105$.

Vậy ngọn núi cao 105 m.

Sau 2 giờ, tàu B đi được $20 \cdot 2 = 40$ hải lí.

Sau 2 giờ, tàu C đi được $15 \cdot 2 = 30$ hải lí.

Áp dụng định lí cô sin cho tam giác $ABC$, có:

$B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} - 2AB \cdot AC \cdot \cos \widehat {BAC}$$= {40^2} + {30^2} - 2 \cdot 40 \cdot 30 \cdot \cos 60^\circ = 1300$.

Suy ra $BC = 10\sqrt {13}$.

Vậy sau 2 giờ, 2 tàu cách nhau $10\sqrt {13}$ hải lí.

a) Áp dụng định lí cô sin cho tam giác $ABC$, có:

$B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} - 2AB \cdot AC \cdot \cos A$$= {8^2} + {5^2} - 2 \cdot 8 \cdot 5 \cdot \cos 60^\circ = 49$$\Rightarrow BC = 7$.

b) Nửa chu vi tam giác ABC là $p = \frac{{5 + 8 + 7}}{2} = 10$.

Diện tích tam giác $ABC$là $S = \sqrt {10\left( {10 - 8} \right)\left( {10 - 5} \right)\left( {10 - 7} \right)} = 10\sqrt 3$.

Lại có $S = \frac{1}{2}AH \cdot BC \Rightarrow AH = \frac{{2S}}{{BC}} = \frac{{20\sqrt 3 }}{7}$.

Có $\cot A = \frac{{\cos A}}{{\sin A}} = \frac{{\frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}}}}{{\frac{{2S}}{{bc}}}} = \frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{4S}}$.

Mà $S = \frac{{abc}}{{4R}}$. Suy ra $\cot A = \frac{{R\left( {{b^2} + {c^2} - {a^2}} \right)}}{{abc}}$.

Ta có $\widehat {BAC} = 180^\circ - 60^\circ - 45^\circ = 75^\circ$; $BC = 37{,}5 + 51{,}9 = 89{,}4$.

Áp dụng định lí sin cho tam giác $ABC$, ta có:

$\frac{{AB}}{{\sin C}} = \frac{{BC}}{{\sin A}} \Rightarrow AB = \frac{{BC\sin C}}{{\sin A}} = \frac{{89{,}4 \cdot \sin 45^\circ }}{{\sin 75^\circ }} \approx 65{,}45$ (m).

Áp dụng định lí cô sin cho tam giác $ABD$, ta có

$A{D^2} = A{B^2} + B{D^2} - 2AB \cdot BD \cdot \cos \widehat {ABC} = 65,{45^2} + 37,{5^2} - 2 \cdot 65{,}45 \cdot 37{,}5 \cdot \cos 60^\circ$.

Suy ra $AD \approx 56{,}88$ m.

Vậy chiều cao thân tháp là 56,88 m.

b) Xét $\Delta AHB$, có $AH = AB \cdot \sin B = 65{,}45 \cdot \sin 60^\circ \approx 56{,}68$ (m).

Khi đó $\sin \alpha = \frac{{AH}}{{AD}} = 0{,}9965 \Rightarrow \alpha \approx 85^\circ 11'$.

$A = \frac{{3{{\sin }^2}\alpha + 5}}{{{{\sin }^4}\alpha - {{\cos }^4}\alpha }}$$= \frac{{3\frac{{{{\sin }^2}\alpha }}{{{{\cos }^2}\alpha }} \cdot \frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }} + 5 \cdot \frac{1}{{{{\cos }^4}\alpha }}}}{{\frac{{{{\sin }^4}\alpha }}{{{{\cos }^4}\alpha }} - 1}}$$= \frac{{3{{\tan }^2}\alpha \cdot \left( {1 + {{\tan }^2}\alpha } \right) + 5 \cdot {{\left( {1 + {{\tan }^2}\alpha } \right)}^2}}}{{{{\tan }^4}\alpha - 1}}$

$= \frac{{3 \cdot {3^2} \cdot \left( {1 + {3^2}} \right) + 5 \cdot {{\left( {1 + {3^2}} \right)}^2}}}{{{3^4} - 1}} = \frac{{77}}{8}$.