Bài tập ôn tập Toán 10 Chân trời sáng tạo Chương 9 có đáp án

Thay tọa độ điểm $M$ vào phương trình đường thẳng $d$ ta thấy không thỏa mãn.

Vậy đường thẳng $d$ không đi qua điểm $M\left( {2023;2024} \right)$. Chọn D.

Đường thẳng $d$ song song với $d'$ có dạng $x + y + c = 0,c \ne - 1$.

Vì $d$ đi qua $M\left( {1;1} \right)$ nên $1 + 1 + c = 0 \Leftrightarrow c = - 2$ (thỏa mãn).

Vậy $d:x + y - 2 = 0$. Chọn C.

Elip có tiêu cự bằng 6 nên $2c = 6 \Rightarrow c = 3$; $2a = 10 \Rightarrow a = 5$

Khi đó ${b^2} = {a^2} - {c^2} = 25 - 9 = 16$.

Vậy phương trình chính tắc của $\left( E \right)$ là $\frac{{{x^2}}}{{25}} + \frac{{{y^2}}}{{16}} = 1$. Chọn A.

Ta có $\overrightarrow {AB} = \left( {1;3} \right)$.

Đường thẳng $\Delta$ đi qua $A\left( {2; - 1} \right)$ nhận $\overrightarrow {AB} = \left( {1;3} \right)$ làm vectơ chỉ phương có phương trình là $\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + t\\y = - 1 + 3t\end{array} \right.$. Chọn B.

Đường thẳng $\Delta$ có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow n = \left( {3; - 2} \right)$.

Ta có $\overrightarrow u = \left( {2;3} \right)$ vuông góc với $\overrightarrow n = \left( {3; - 2} \right)$ nên $\overrightarrow u = \left( {2;3} \right)$ là vectơ chỉ phương của $\Delta$.

Đường thẳng $d$ đi qua $A\left( {1; - 2} \right)$ và nhận $\overrightarrow u = \left( {2;3} \right)$ làm vectơ pháp tuyến có phương trình là

$2\left( {x - 1} \right) + 3\left( {y + 2} \right) = 0 \Leftrightarrow 2x + 3y + 4 = 0$. Chọn A.

Đường thẳng $d$ có một vectơ chỉ phương là $\overrightarrow u = \left( {1; - 4} \right)$.

Có $\overrightarrow {{u_2}} = \left( { - 2;8} \right) = - 2\overrightarrow u$ nên $\overrightarrow {{u_2}} = \left( { - 2;8} \right)$ cũng là vectơ chỉ phương của $d$. Chọn D.

Đường thẳng $\Delta$ có dạng tổng quát là $x - 3y - 2 = 0$.

Khoảng cách nhỏ nhất từ điểm $M$ đến một điểm bất kì thuộc đường thẳng $\Delta$ chính là khoảng cách từ điểm $M$ đến hình chiếu của $M$ trên đường thẳng $\Delta$ và bằng $d\left( {M,\Delta } \right) = \frac{{\left| {15 - 3 - 2} \right|}}{{\sqrt {1 + {{\left( { - 3} \right)}^2}} }} = \sqrt {10}$. Chọn A.

Ta có $P,Q$ nằm khác phía với đường thẳng $\Delta$.

Khi đó $MP + MQ \ge PQ$.

Vậy để $MP + MQ$ nhỏ nhất thì $P,M,Q$ thẳng hàng hay $M$ là giao điểm của đường thẳng $PQ$ và đường thẳng $\Delta$.

Ta có $\overrightarrow {PQ} = \left( { - 9; - 3} \right) = - 3\left( {3;1} \right)$.

Suy ra đường thẳng $PQ$ có một vectơ chỉ phương là $\overrightarrow u = \left( {3;1} \right)$ nên $\overrightarrow n = \left( {1; - 3} \right)$ là một vectơ pháp tuyến của đường thẳng $PQ$.

Đường thẳng $PQ$ đi qua $P\left( {6;1} \right)$ nhận $\overrightarrow n = \left( {1; - 3} \right)$ làm vectơ pháp tuyến có phương trình là

$\left( {x - 6} \right) - 3\left( {y - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow x - 3y - 3 = 0$.

Tọa độ điểm $M$ là nghiệm của hệ $\left\{ \begin{array}{l}2x - y - 1 = 0\\x - 3y - 3 = 0\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 0\\y = - 1\end{array} \right.$$\Rightarrow M\left( {0; - 1} \right)$. Chọn A.

Đường thẳng ${\Delta _1}$ có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow {{n_1}} = \left( {1; - 2} \right)$.

Đường thẳng ${\Delta _2}$ có một vectơ chỉ phương $\overrightarrow {{u_1}} = \left( { - 1;2} \right)$.

Có $\overrightarrow {{n_2}} = \left( {2;1} \right)$ vuông góc với $\overrightarrow {{u_1}} = \left( { - 1;2} \right)$ nên $\overrightarrow {{n_2}} = \left( {2;1} \right)$ là một vectơ pháp tuyến của đường thẳng ${\Delta _2}$.

Gọi $\varphi$ là góc giữa hai đường thẳng ${\Delta _1}$ và ${\Delta _2}$.

Khi đó $\cos \varphi = \frac{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} \cdot \overrightarrow {{n_2}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {{n_2}} } \right|}}$$= \frac{{\left| {1 \cdot 2 + \left( { - 2} \right) \cdot 1} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} \cdot \sqrt {{2^2} + {1^2}} }} = 0$$\Rightarrow \varphi = 90^\circ$. Chọn A.

Đường tròn $\left( C \right)$ có tâm $I\left( {0;2} \right)$.

Ta có $\overrightarrow {IM} = \left( {2;2} \right) = 2\left( {1;1} \right) = 2\overrightarrow n$.

Phương trình tiếp tuyến của đường tròn tại $M$ nhận $\overrightarrow n = \left( {1;1} \right)$ làm vectơ pháp tuyến có phương trình là

$x - 2 + y - 4 = 0 \Leftrightarrow x + y - 6 = 0$. Chọn B.

Gọi $D\left( {x;y} \right)$. Khi đó $\overrightarrow {AB} = \left( { - 3;7} \right),\overrightarrow {DC} = \left( {3 - x; - 6 - y} \right)$.

Do $ABCD$ là hình bình hành nên $\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {DC}$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3 - x = - 3\\ - 6 - y = 7\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 6\\y = - 13\end{array} \right. \Rightarrow D\left( {6; - 13} \right)$. Chọn C.

Ta có $\overrightarrow {AB} = \left( { - 3;3} \right),\overrightarrow {AC} = \left( {6;0} \right)$

Ta có $\cos \widehat {BAC} = \frac{{\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} }}{{\left| {\overrightarrow {AB} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {AC} } \right|}} = \frac{{\left( { - 3} \right) \cdot 6 + 3 \cdot 0}}{{\sqrt {{{\left( { - 3} \right)}^2} + {3^2}} \cdot \sqrt {{6^2} + {0^2}} }} = \frac{{ - 18}}{{18\sqrt 2 }}$$\Rightarrow \widehat {BAC} = 135^\circ$. Chọn B.

Ta có $\overrightarrow {AB} = \left( {1; - 6} \right),\overrightarrow {AC} = \left( {3; - 1} \right)$. Khi đó $\overrightarrow {AB} - 2\overrightarrow {AC} = \left( { - 5; - 4} \right)$.

Gọi $M\left( {x;y} \right) \Rightarrow \overrightarrow {OM} = \left( {x;y} \right)$.

Vì $\overrightarrow {OM} = \overrightarrow {AB} - 2\overrightarrow {AC}$ nên $\left\{ \begin{array}{l}x = - 5\\y = - 4\end{array} \right. \Rightarrow M\left( { - 5; - 4} \right)$. Chọn C.

Đường thẳng ${d_1};{d_2}$ có vectơ pháp tuyến lần lượt là $\overrightarrow {{n_1}} = \left( {1;1} \right),\overrightarrow {{n_2}} = \left( { - 3; - 3} \right) = - 3\left( {1;1} \right)$.

Vì $\overrightarrow {{n_1}} ,\overrightarrow {{n_2}}$ cùng phương nên ${d_1},{d_2}$ song song hoặc trùng nhau.

Lại có điểm $A\left( {2;2} \right)$ thuộc vào ${d_1}$ nhưng không thuộc ${d_2}$ nên ${d_1}//{d_2}$. Chọn D.

Đường thẳng $\Delta$ có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow n = \left( {1; - 2} \right)$.

Ta có $\overrightarrow {{n_2}} = \left( {2;1} \right)$ không cùng phương với $\overrightarrow n = \left( {1; - 2} \right)$ nên $\overrightarrow {{n_2}} = \left( {2;1} \right)$ không phải là vectơ pháp tuyến của đường thẳng $\Delta$. Chọn B.

a) Thay tọa độ điểm $A\left( {13; - 12} \right)$vào phương trình $\left( E \right)$ ta thấy không thỏa mãn.

Vậy elip $\left( E \right)$ không đi qua điểm $A\left( {13; - 12} \right)$.

b) Tọa độ một tiêu điểm của elip $\left( E \right)$ là $\left( {5;0} \right)$.

c) $\left( E \right)$ có $a = 13;b = 12$.

$M{F_1} + M{F_2} = 2a = 2 \cdot 13 = 26$.

d) $c = \sqrt {{a^2} - {b^2}} = \sqrt {169 - 144} = 5$.

Tiêu cự của $\left( E \right)$ là ${F_1}{F_2} = 2c = 10$.

Đáp án: a) Sai; b) Đúng; c) Đúng; d) Đúng.

a) Giả sử $\left( E \right):\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\left( {a > b > 0} \right)$.

Vì Elip đi qua hai điểm $A$ và $B$ nên $\left\{ \begin{array}{l}\frac{9}{{{a^2}}} = 1\\\frac{4}{{{a^2}}} + \frac{1}{{{b^2}}} = 1\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^2} = 9\\{b^2} = 1{,}8\end{array} \right.$.

Vậy $\left( E \right):\frac{{{x^2}}}{9} + \frac{{{y^2}}}{{1{,}8}} = 1$.

b) Phương trình đường tròn tâm $B$ và có bán kính $R = 6$ là ${\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} = 36$.

c) $R = d\left( {B,\Delta } \right) = \frac{{\left| {2 \cdot 2 - \left( { - 1} \right) + 8} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} = \frac{{13}}{{\sqrt 5 }}$.

Phương trình đường tròn tâm $B$ và tiếp xúc với $\Delta$ là ${\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} = \frac{{169}}{5}$.

d) Gọi $I\left( {a;b} \right)$ là tâm của đường tròn $\left( C \right)$.

Theo đề ta có $\left\{ \begin{array}{l}IA = IB\\I \in \Delta \end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}I{A^2} = I{B^2}\\I \in \Delta \end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {3 - a} \right)^2} + {b^2} = {\left( {2 - a} \right)^2} + {\left( { - 1 - b} \right)^2}\\2a - b + 8 = 0\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2a + 2b = 4\\2a - b = - 8\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - 2\\b = 4\end{array} \right.$

Vậy $I\left( { - 2;4} \right)$. Suy ra $R = IA = \sqrt {{{\left( {3 + 2} \right)}^2} + {4^2}} = \sqrt {41}$.

Đáp án: a) Sai; b) Đúng; c) Sai; d) Sai.

a) ) Đường tròn $\left( C \right):{\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} = 9$ có tâm $I\left( {2; - 1} \right)$ và bán kính $R = 3$.

b) Phương trình đường tròn tâm $I\left( { - 3; - 5} \right)$ và bán kính $R = 1$ là $\left( C \right):{\left( {x + 3} \right)^2} + {\left( {y + 5} \right)^2} = 1$.

c) Giả sử $\left( C \right):{x^2} + {y^2} - 2ax - 2by + c = 0$.

Đường tròn $\left( C \right)$ đi qua ba điểm $A\left( {5;3} \right),B\left( {1; - 5} \right),C\left( {2;2} \right)$ nên ta có hệ

$\left\{ \begin{array}{l} - 10a - 6b + c = - 34\\ - 2a + 10b + c = - 26\\ - 4a - 4b + c = - 8\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 5\\b = - 2\\c = 4\end{array} \right.$.

Do đó $\left( C \right):{x^2} + {y^2} - 10x + 4y + 4 = 0$$\Leftrightarrow {\left( {x - 5} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} = 25$.

d) Đường tròn $\left( C \right):{x^2} + {y^2} - 4x + 8y + 4 = 0$ có tâm $I\left( {2; - 4} \right)$ và bán kính $R = \sqrt {{2^2} + {{\left( { - 4} \right)}^2} - 4} = 4$.

Đáp án: a) Sai; b) Sai; c) Đúng; d) Sai.

a) Đường tròn $\left( C \right)$ có tâm $I\left( {3; - 2} \right)$ và $R = \sqrt {10}$.

b) Có $\overrightarrow {IA} = \left( {1;3} \right)$.

Tiếp tuyến của đường tròn tại $A\left( {4;1} \right)$ và có $\overrightarrow {IA} = \left( {1;3} \right)$ là vectơ pháp tuyến có phương trình là

$\left( {x - 4} \right) + 3\left( {y - 1} \right) = 0$$\Leftrightarrow x + 3y - 7 = 0$.

c) Ta có $d\left( {I,\Delta } \right) = \frac{{\left| {3 \cdot 3 - 4 \cdot \left( { - 2} \right) - 1} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {{\left( { - 4} \right)}^2}} }} = \frac{{16}}{5} > R$.

Do đó đường thẳng $\Delta$ không cắt đường tròn $\left( C \right)$.

d) $d\left( {M,\Delta } \right) = \frac{{\left| {3 \cdot 3 - 4 \cdot 4 - 1} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {{\left( { - 4} \right)}^2}} }} = \frac{8}{5}$.

Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Sai; d) Đúng.

a) $\left( H \right)$ có một tiêu điểm ${F_1}\left( { - 5;0} \right)$.

b) Thay tọa độ điểm ${A_1}\left( { - 4;0} \right)$ vào phương trình $\left( H \right)$ ta thấy thỏa mãn.

Do đó $\left( H \right)$ đi qua điểm ${A_1}\left( { - 4;0} \right)$.

c) Thay tọa độ điểm $M\left( {\frac{{20}}{3};4} \right)$ vào phương trình $\left( H \right)$ ta thấy thỏa mãn.

Do đó $\left( H \right)$ đi qua điểm $M\left( {\frac{{20}}{3};4} \right)$.

d) Tiêu cự của hypebol $\left( H \right)$ bằng $2c = 2\sqrt {16 + 9} = 10$.

Đáp án: a) Đúng; b) Đúng; c) Đúng; d) Sai.

a) $\overrightarrow {BC} = \left( {0; - 4} \right)$.

b) Tọa độ trung điểm của $AB$ là $\left\{ \begin{array}{l}x = \frac{{0 + 3}}{2} = \frac{3}{2}\\y = \frac{{1 + 1}}{2} = 1\end{array} \right.$.

c) Có $\overrightarrow {AB} = \left( {3;0} \right),\overrightarrow {AC} = \left( {3; - 4} \right)$.

Suy ra $\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} = 3 \cdot 3 + 0 \cdot \left( { - 4} \right) = 9$.

d)

Theo tính chất tia phân giác, $\frac{{DB}}{{DC}} = \frac{{AB}}{{AC}} = \frac{3}{5}$.

Mà $\overrightarrow {DB}$ và $\overrightarrow {DC}$ là hai vectơ ngược hướng nên $\overrightarrow {DB} = - \frac{3}{5}\overrightarrow {DC}$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3 - a = - \frac{3}{5}\left( {3 - a} \right)\\1 - b = - \frac{3}{5}\left( { - 3 - b} \right)\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 3\\b = - \frac{1}{2}\end{array} \right.$.

Suy ra $a + b = 2{,}5$.

Đáp án: a) Đúng; b) Đúng; c) Sai; d) Đúng.

a) Ta có $\overrightarrow {AB} = \left( { - 4;5} \right),\overrightarrow {AC} = \left( {5;4} \right)$.

Khi đó $\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} = \left( { - 4} \right) \cdot 5 + 5 \cdot 4 = 0$. Do đó $AB \bot AC$. Do đó $\Delta ABC$ vuông tại $A$.

b) Có $\overrightarrow {BA} = \left( {4; - 5} \right)$, $\overrightarrow {BC} = \left( {9; - 1} \right)$.

Khi đó $\overrightarrow {BA} \cdot \overrightarrow {BC} = 4 \cdot 9 + \left( { - 5} \right) \cdot \left( { - 1} \right) = 41$.

c) Có $AB = AC = \sqrt {41}$ và $\Delta ABC$ vuông tại $A$ nên $\Delta ABC$ vuông cân tại $A$.

Suy ra chân đường cao $H$ của đường cao kẻ từ đỉnh $A$ của tam giác $ABC$ là trung điểm cạnh $BC$.

d) Gọi $H\left( {x;y} \right)$.

Vì $H$ là trung điểm của $BC$ nên $\left\{ \begin{array}{l}x = \frac{{ - 1 + 8}}{2} = \frac{7}{2}\\y = \frac{{3 + 2}}{2} = \frac{5}{2}\end{array} \right.$.

Điểm $H$ có hoành độ dương.

Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Đúng; d) Sai.

a) $\overrightarrow {OA} = \overrightarrow i - \overrightarrow j$$\Rightarrow A\left( {1; - 1} \right)$; $\overrightarrow {OB} = 3\overrightarrow i + 4\overrightarrow j \Rightarrow B\left( {3;4} \right)$; $\overrightarrow {OC} = - 5\overrightarrow i \Rightarrow C\left( { - 5;0} \right)$.

b) Gọi $D\left( {x;y} \right)$. Có $\overrightarrow {AD} = \left( {x - 1;y + 1} \right),\overrightarrow {BC} = \left( { - 8; - 4} \right)$.

Vì $ABCD$ là hình bình hành nên $\left\{ \begin{array}{l}x - 1 = - 8\\y + 1 = - 4\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - 7\\y = - 3\end{array} \right.$$\Rightarrow D\left( { - 7; - 3} \right)$.

c) $\overrightarrow {AB} = \left( {2;5} \right)$.

d) $M\left( {a;b} \right)$ là điểm đối xứng của $A$ qua $B$ nên $B$ là trung điểm của $MA$.

Khi đó $\left\{ \begin{array}{l}{x_M} = 2{x_B} - {x_A}\\{y_M} = 2{y_B} - {y_A}\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 2 \cdot 3 - 1\\b = 2 \cdot 4 - \left( { - 1} \right)\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 5\\b = 9\end{array} \right.$.

Khi đó $2a - b = 1$.

Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Đúng; d) Đúng.

a) $\overrightarrow {AB} = \left( {0; - 3} \right)$.

b) Gọi $H\left( {x;y} \right)$. Ta có $\overrightarrow {AH} = \left( {x + 3;y - 4} \right),\overrightarrow {BC} = \left( {4;1} \right),\overrightarrow {BH} = \left( {x + 3;y - 1} \right)$.

Vì $H$ là hình chiếu vuông góc kẻ từ $A$ xuống $BC$ nên $AH \bot BC$ và $B,H,C$ thẳng hàng.

Khi đó ta có hệ $\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AH} \cdot \overrightarrow {BC} = 0\\\overrightarrow {BH} = k\overrightarrow {BC} \end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4\left( {x + 3} \right) + \left( {y - 4} \right) = 0\\x + 3 = 4k\\y - 1 = k\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - \frac{{39}}{{17}}\\y = \frac{{20}}{{17}}\end{array} \right.$$\Rightarrow H\left( { - \frac{{39}}{{17}};\frac{{20}}{{17}}} \right)$.

c) Ta có $\overrightarrow {AC} = \left( {4; - 2} \right)$

$\cos \widehat {BAC} = \frac{{\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} }}{{\left| {\overrightarrow {AB} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {AC} } \right|}}$$= \frac{{0 \cdot 4 + \left( { - 3} \right) \cdot \left( { - 2} \right)}}{{\sqrt {{0^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2}} \cdot \sqrt {{4^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} }} = \frac{6}{{6\sqrt 5 }} = \frac{{\sqrt 5 }}{5}$.

d) Gọi $M\left( {x;y} \right)$. Khi đó $\overrightarrow {MA} = \left( { - 3 - x;4 - y} \right)$.

Khi đó $\overrightarrow {MA} + 2\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AC} = \left( { - 7 - x; - y} \right)$.

Vì $\overrightarrow {MA} + 2\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AC} = \overrightarrow 0$ nên $\left\{ \begin{array}{l} - 7 - x = 0\\ - y = 0\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - 7\\y = 0\end{array} \right.$$\Rightarrow M\left( { - 7;0} \right)$.

Đáp án: a) Sai; b) Sai; c) Sai; d) Đúng.

a) $d\left( {O,\Delta } \right) = \frac{{\left| {10} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {{\left( { - 4} \right)}^2}} }} = 2$.

b) Thay tọa độ điểm $M\left( {1;2} \right)$ vào phương trình đường thẳng $\Delta :3x - 4y + 10 = 0$ ta thấy không thỏa mãn.

Vậy đường thẳng $\Delta$ không đi qua điểm $M\left( {1;2} \right)$.

c) Đường thẳng $\Delta$ có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow {{n_1}} = \left( {3; - 4} \right)$.

Đường thẳng $d$ có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow {{n_2}} = \left( {1;1} \right)$.

Khi đó $\cos \alpha = \frac{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} \cdot \overrightarrow {{n_2}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {{n_2}} } \right|}}$$= \frac{{\left| {3 \cdot 1 + \left( { - 4} \right) \cdot 1} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {{\left( { - 4} \right)}^2}} \cdot \sqrt {{1^2} + {1^2}} }} = \frac{1}{{5\sqrt 2 }}$.

Có ${\tan ^2}\alpha = \frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }} - 1 = 49 \Rightarrow \tan \alpha = 7$.

d) Một vectơ pháp tuyến của đường thẳng $\Delta$ là $\overrightarrow n = \left( {3; - 4} \right)$.

Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Sai; d) Đúng.

Đường tròn $\left( C \right)$ có tâm $I\left( {1;2} \right)$ và $R = 2\sqrt 2$.

Tiếp tuyến của đường tròn tại $M$ nhận $\overrightarrow {IM} = \left( {2;2} \right)$ làm vectơ pháp tuyến có phương trình là

$2\left( {x - 3} \right) + 2\left( {y - 4} \right) = 0$$\Leftrightarrow 2x + 2y - 14 = 0$$\Leftrightarrow x + y - 7 = 0$.

Suy ra $m = 1;n = - 7$. Do đó $P = 2025m + n = 2018$.

Ta có $\overrightarrow {AB} = \left( {0;48} \right)$ là một vectơ chỉ phương của đường thẳng $AB$ nên $\overrightarrow {{n_1}} = \left( {1;0} \right)$ là một vectơ pháp tuyến của đường thẳng $AB$.

Ta có $\overrightarrow {AC} = \left( {37;48} \right)$là một vectơ chỉ phương của đường thẳng $AC$ nên $\overrightarrow {{n_2}} = \left( { - 48;37} \right)$ là một vectơ pháp tuyến của đường thẳng $AC$.

Góc lệch của Phà với lúc dự tính ban đầu chính là góc giữa hai đường thẳng $AB$ và $AC$.

Ta có $\cos \left( {AB,AC} \right) = \frac{{\left| {1 \cdot \left( { - 48} \right) + 0 \cdot 37} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {0^2}} \cdot \sqrt {{{\left( { - 48} \right)}^2} + {{37}^2}} }} = \frac{{48}}{{\sqrt {3673} }}$$\Rightarrow \widehat A \approx 38^\circ$.

Do tính đối xứng của hypebol nên ta có hai bán kính của nóc và đáy tháp đều bằng $r$.

Do điểm $M\left( {r;50} \right)$ nằm trên hypebol nên thay tọa độ của điểm $M$ vào phương trình của hypebol ta có $\frac{{{r^2}}}{{{{18}^2}}} - \frac{{{{50}^2}}}{{{{36}^2}}} = 1 \Rightarrow r = 18\sqrt {1 + \frac{{{{50}^2}}}{{{{36}^2}}}} \approx 31$ m.

Vậy bán kính của nóc và đáy của tháp bằng 31 m.

Có $\overrightarrow {AB} = \left( { - 1;3} \right)$ là vectơ chỉ phương của $AB$ nên nhận $\overrightarrow n = \left( {3;1} \right)$ làm vectơ pháp tuyến.

Đường thẳng $AB$ đi qua $A$ và nhận $\overrightarrow n = \left( {3;1} \right)$ làm vectơ pháp tuyến có phương trình là $3x + y - 8 = 0$.

Vì $C \in d \Rightarrow C\left( {t;2t - 8} \right)$.

Ta có $AB = \sqrt {10}$ mà ${S_{\Delta ABC}} = 2 \Rightarrow d\left( {C,AB} \right) = \frac{4}{{\sqrt {10} }}$.

Khi đó $\frac{{\left| {3t + \left( {2t - 8} \right) - 8} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {1^2}} }} = \frac{4}{{\sqrt {10} }}$$\Leftrightarrow \left| {5t - 16} \right| = 4$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 4\\t = \frac{{12}}{5}\end{array} \right.$.

Với $t = 4 \Rightarrow C\left( {4;0} \right)$ (loại).

Với $t = \frac{{12}}{5} \Rightarrow C\left( {\frac{{12}}{5}; - \frac{{16}}{5}} \right)$. Do đó $a + 2b = - 4$.

Ta có $M{F_1} + M{F_2} = 2a = 2 \cdot 4 = 8$.

Suy ra $3M{F_1} + 3M{F_2} = 24$ hay $\left( {2M{F_1} + M{F_2}} \right) + \left( {M{F_1} + 2M{F_2}} \right) = 24$.

Vì $M{F_1} + 2M{F_2} = 11$ nên $2M{F_1} + MF = 24 - 11 = 13$.

Tọa độ trung điểm $M$ là $\left\{ \begin{array}{l}x = \frac{{5 + \left( { - 3} \right)}}{2} = 1\\y = \frac{{3 + \left( { - 1} \right)}}{2} = 1\end{array} \right.$$\Rightarrow M\left( {1;1} \right)$.

Khi đó $\overrightarrow {BM} = \left( {0; - 4} \right)$. Vậy $BM = \sqrt {{0^2} + {{\left( { - 4} \right)}^2}} = 4$.

Gọi $I\left( {x;y} \right)$ là điểm sao cho $\overrightarrow {IA} + 2\overrightarrow {IB} + 3\overrightarrow {IC} = \overrightarrow 0$.

Ta có $\overrightarrow {IA} = \left( {1 - x; - 4 - y} \right),\overrightarrow {IB} = \left( { - 2 - x;2 - y} \right),\overrightarrow {IC} = \left( { - 5 - x;4 - y} \right)$.

Theo bài ta có $\overrightarrow {IA} + 2\overrightarrow {IB} + 3\overrightarrow {IC} = \overrightarrow 0$ nên $\left\{ \begin{array}{l}1 - x + 2\left( { - 2 - x} \right) + 3\left( { - 5 - x} \right) = 0\\ - 4 - y + 2\left( {2 - y} \right) + 3\left( {4 - y} \right) = 0\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 - x - 4 - 2x - 15 - 3x = 0\\ - 4 - y + 4 - 2y + 12 - 3y = 0\end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 6x - 18 = 0\\ - 6y + 12 = 0\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - 3\\y = 2\end{array} \right.$$\Rightarrow I\left( { - 3;2} \right)$.