Bài tập ôn tập Toán 10 Chân trời sáng tạo Chương 7 có đáp án

$\sqrt {2{x^2} - 3x + 1} = x - 1$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 1 \ge 0\\2{x^2} - 3x + 1 = {\left( {x - 1} \right)^2}\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 1\\2{x^2} - 3x + 1 = {x^2} - 2x + 1\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 1\\{x^2} - x = 0\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 1\\\left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 1\end{array} \right.\end{array} \right.$$\Rightarrow x = 1$.

Vậy phương trình có 1 nghiệm. Chọn A.

Dựa vào bảng xét dấu, ta có tam thức bậc hai có hai nghiệm $x = - 1$; $x = 5$ và $f\left( x \right) > 0$ với $x \in \left( { - 1;5} \right)$.

Do đó đây là bảng xét dấu của tam thức $f\left( x \right) = - {x^2} + 4x + 5$. Chọn A.

Bình phương hai vế của phương trình ta được:

$2{x^2} + 3x - 1 = x + 3$$\Leftrightarrow 2{x^2} + 2x - 4 = 0$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 2\\x = 1\end{array} \right.$.

Thay lần lượt $x = 1;x = - 2$ vào bất phương trình $x + 3 \ge 0$ ta thấy $x = 1;x = - 2$ đều thỏa mãn.

Vậy $x = 1;x = - 2$ là nghiệm của phương trình.

Tổng bình phương các nghiệm của phương trình là 5. Chọn C.

${x^2} - 4x + 4 > 0$$\Leftrightarrow {\left( {x - 2} \right)^2} > 0,\forall x \ne 2$.

Do đó tập nghiệm của bất phương trình là $S = \mathbb{R}\backslash \left\{ 2 \right\}$. Chọn A.

${x^2} - 8x + 7 \ge 0$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x \le 1\\x \ge 7\end{array} \right.$.

Suy ra tập $\left[ {6; + \infty } \right)$ có chứa phần tử không phải là nghiệm của bất phương trình. Chọn B.

$2 + \sqrt {3{x^2} - 9x + 7} = x$$\Leftrightarrow \sqrt {3{x^2} - 9x + 7} = x - 2$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 2 \ge 0\\3{x^2} - 9x + 7 = {\left( {x - 2} \right)^2}\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 2 \ge 0\\3{x^2} - 9x + 7 = {x^2} - 4x + 4\end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 2 \ge 0\\2{x^2} - 5x + 3 = 0\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 2 \ge 0\\\left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = \frac{3}{2}\end{array} \right.\end{array} \right.$$\Rightarrow x \in \emptyset$.

Vậy phương trình vô nghiệm. Chọn C.

${x^2} - x - 12 \le 0$$\Leftrightarrow - 3 \le x \le 4$.

Vì $x$ là số thực dương lớn nhất nên $x = 4$. Chọn D.

Ta có $a = - 2 < 0$ và $\Delta ' = {4^2} - \left( { - 2} \right)\left( { - 8} \right) = 0$.

Do đó $f\left( x \right) \le 0$ với mọi $x \in \mathbb{R}$. Chọn C.

$f\left( x \right) = 2{x^2} - 3x + 4$ có $\left\{ \begin{array}{l}a = 2 > 0\\\Delta = {\left( { - 3} \right)^2} - 4 \cdot 2 \cdot 4 = - 23 < 0\end{array} \right.$. Vậy $f\left( x \right) > 0,\forall x \in \mathbb{R}$.

$g\left( x \right) = - {x^2} + 3x - 4$ có $\left\{ \begin{array}{l}a = - 1\\\Delta = {3^2} - 4 \cdot \left( { - 1} \right) \cdot \left( { - 4} \right) = - 7 < 0\end{array} \right.$. Vậy $g\left( x \right) < 0,\forall x \in \mathbb{R}$.

$h\left( x \right) = 4 - 3{x^2}$ có $\left\{ \begin{array}{l}a = - 3\\\Delta = {0^2} - 4 \cdot \left( { - 3} \right) \cdot 4 > 0\end{array} \right.$. Vậy tam thức $h\left( x \right)$ đổi dấu trên $\mathbb{R}$.

Vậy có 1 tam thức đổi dấu trên $\mathbb{R}$. Chọn B.

Tam thức bậc hai có hai nghiệm phân biệt ${x_1} = 1$ và ${x_2} = 3$ và có $a = 1 > 0$.

Bảng xét dấu tam thức bậc hai

Dựa vào bảng xét dấu ta có $f\left( x \right) \le 0,\forall x \in \left[ {1;3} \right]$. Chọn B.

Để $f\left( x \right) = 2{x^2} - 7x - 9$nhận giá trị âm thì $2{x^2} - 7x - 9 < 0$$\Leftrightarrow - 1 < x < \frac{9}{2}$.

Vì $x \in \mathbb{Z}$ nên $x \in \left\{ {0;1;2;3;4} \right\}$.

Có 5 giá trị nguyên của $x$. Chọn C.

Dựa vào bảng xét dấu ta có $f\left( x \right) \ge 0$$\Leftrightarrow x \in \left[ { - 2;3} \right]$.

Vậy tập nghiệm là $S = \left[ { - 2;3} \right]$. Chọn A.

$- {x^2} + 4x - 4 \ge 0$$\Leftrightarrow - {\left( {x - 2} \right)^2} \ge 0 \Leftrightarrow x - 2 = 0 \Leftrightarrow x = 2$.

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $S = \left\{ 2 \right\}$. Chọn C.

Ta có $- {x^2} - 9x + 10 \ge 0$$\Leftrightarrow - 10 \le x \le 1$.

Vì $x \in \mathbb{Z}$ nên $x \in \left\{ { - 10; - 9; - 8; - 7; - 6; - 5; - 4; - 3; - 2; - 1;0;1} \right\}$.

Vậy có 12 nghiệm nguyên. Chọn D.

Bình phương hai vế của phương trình ta được

$4 - 3{x^2} = {\left( {2x - 1} \right)^2}$$\Rightarrow 7{x^2} - 4x - 3 = 0$$\Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = - \frac{3}{7}\end{array} \right.$.

Thay lần lượt $x = 1$; $x = - \frac{3}{7}$ vào phương trình ta thấy $x = 1$ thỏa mãn.

Vậy phương trình có 1 nghiệm. Chọn B.

Ta có ${x^2} + 4 > 4x$$\Leftrightarrow {x^2} - 4x + 4 > 0 \Leftrightarrow {\left( {x - 2} \right)^2} > 0,\forall x \ne 2$.

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $\mathbb{R}\backslash \left\{ 2 \right\}$. Chọn A.

Ta có $x\left( {x + 5} \right) \le 2\left( {{x^2} + 2} \right)$$\Leftrightarrow {x^2} - 5x + 4 \ge 0$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x \le 1\\x \ge 4\end{array} \right.$.

Vậy $x \in \left( { - \infty ;1} \right] \cup \left[ {4; + \infty } \right)$. Chọn A.

Bình phương hai vế của phương trình ta được

$3{x^2} + x + 6 = 2{x^2} - 4x$$\Rightarrow {x^2} + 5x + 6 = 0$$\Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 2\\x = - 3\end{array} \right.$.

Thay lần lượt các giá trị của $x$ vào phương trình đã cho ta thấy $x = - 2;x = - 3$ đều thỏa mãn.

Vậy $\left\{ \begin{array}{l}{x_1} = - 3\\{x_2} = - 2\end{array} \right. \Rightarrow A = \left( { - 2} \right) - \left( { - 3} \right) = 1$. Chọn D.

a) Trục đối xứng của parabol là $x = - 1$.

b) Parabol có bề lõm quay lên.

c) $f\left( 0 \right) < 0$.

d) $f\left( x \right) < 0$$\Leftrightarrow - 3 < x < 1$.

Tập nghiệm của bất phương trình $f\left( x \right) < 0$ là $S = \left( { - 3;1} \right)$.

Đáp án: a) Sai; b) Đúng; c) Đúng; d) Đúng.

a) Tập xác định của hàm số $f\left( x \right)$ là $D = \mathbb{R}$.

b) Tọa độ đỉnh của parabol là $\left\{ \begin{array}{l}x = - \frac{{ - 2}}{{2 \cdot 1}} = 1\\y = {1^2} - 2 \cdot 1 - 8 = - 9\end{array} \right.$$\Rightarrow I\left( {1; - 9} \right)$.

c) Có $f\left( x \right) \le 0$$\Leftrightarrow {x^2} - 2x - 8 \le 0 \Leftrightarrow - 2 \le x \le 4$.

Vì $x \in \mathbb{Z}$ nên $x \in \left\{ { - 2; - 1;0;1;2;3;4} \right\}$.

Vậy có 7 giá trị nguyên của $x$.

d) $f\left( x \right) = {x^2} - 2x - 8 > 0$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x < - 2\\x > 4\end{array} \right.$.

Vậy $f\left( x \right) > 0$ khi $x \in \left( { - \infty ; - 2} \right) \cup \left( {4; + \infty } \right)$ và $f\left( x \right) < 0$ khi $x \in \left( { - 2;4} \right)$.

Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Đúng; d) Đúng.

Dựa vào đồ thị hàm số

a) Tam thức bậc hai $f\left( x \right)$ có $\Delta > 0$.

b) Tam thức bậc hai $f\left( x \right)$ có hai nghiệm $x = 1;x = 3$.

c) Tam thức bậc hai $f\left( x \right)$ có hệ số $a < 0$.

d) $f\left( x \right) > 0$$\Leftrightarrow 1 < x < 3$ mà $x \in \mathbb{Z} \Rightarrow x = 2$.

Vậy bất phương trình $f\left( x \right) > 0$có 1 nghiệm nguyên.

Đáp án: a) Đúng; b) Đúng; c) Sai; d) Sai.

a) Điều kiện ${x^2} - 3x - 4 \ge 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x \le - 1\\x \ge 4\end{array} \right.$.

Vậy tập xác định của hàm số là $D = \left( { - \infty ; - 1} \right] \cup \left[ {4; + \infty } \right)$.

b) $\sqrt {{x^2} - 3x - 4} = 45$$\Leftrightarrow {x^2} - 3x - 4 = 2025$$\Leftrightarrow {x^2} - 3x - 2029 = 0$$\Leftrightarrow x = \frac{{3 \pm 25\sqrt {13} }}{2}$.

Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt.

c) Vì $f\left( x \right) \ge 0$ nên để $f\left( x \right) \le 0$ thì $f\left( x \right) = 0$$\Leftrightarrow \sqrt {{x^2} - 3x - 4} = 0$$\Leftrightarrow {x^2} - 3x - 4 = 0$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 4\\x = - 1\end{array} \right.$.

d) Theo câu c, có 2 nghiệm để $f\left( x \right) \le 0$.

Đáp án: a) Sai; b) Đúng; c) Sai; d) Sai.

a) Biểu thức $f\left( x \right) = {x^2} - 3x + 2$ là một tam thức bậc hai.

b) Thay $x = 3$ vào bất phương trình ta được ${3^2} - 3 \cdot 3 + 2 \ge 0$ (đúng).

Vậy $x = 3$ là một nghiệm của bất phương trình ${x^2} - 3x + 2 \ge 0$.

c) $f\left( x \right) = {x^2} - 3x + 2 < 0$$\Leftrightarrow 1 < x < 2$.

Mà $x \in \mathbb{Z}$ nên không có giá trị nguyên nào của $x$ để $f\left( x \right) = {x^2} - 3x + 2 < 0$.

d) Điều kiện ${x^2} - 3x + 2 \ge 0$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x \le 1\\x \ge 2\end{array} \right.$.

Tập xác định của hàm số $y = \sqrt {{x^2} - 3x + 2}$ là $D = \left( { - \infty ;1} \right] \cup \left[ {2; + \infty } \right)$.

Đáp án: a) Đúng; b) Đúng; c) Sai; d) Đúng.

a) Điều kiện ${x^2} + 2x - 3 \ne 0$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne 1\\x \ne - 3\end{array} \right.$.

b) $f\left( 2 \right) = - \frac{2}{{{2^2} + 2 \cdot 2 - 3}} = \frac{{ - 2}}{5}$.

c) $f\left( x \right) < 0 \Leftrightarrow {x^2} + 2x - 3 > 0$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x < - 3\\x > 1\end{array} \right.$.

d) $f\left( x \right) > 0 \Leftrightarrow {x^2} + 2x - 3 < 0 \Leftrightarrow - 3 < x < 1$.

Đáp án: a) Sai; b) Đúng; c) Sai; d) Sai.

a) Có $\Delta = {11^2} - 4 \cdot \left( { - 1} \right) \cdot \left( { - 24} \right) = 25$.

b) $f\left( x \right) > 0 \Leftrightarrow - {x^2} + 11x - 24 > 0 \Leftrightarrow 3 < x < 8$.

Vậy $f\left( x \right) > 0,\forall x \in \left( {3;8} \right)$.

c) $f\left( x \right) < 0 \Leftrightarrow - {x^2} + 11x - 24 < 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x < 3\\x > 8\end{array} \right.$.

Vậy $f\left( x \right)$ nhận giá trị âm khi $x \in \left( { - \infty ;3} \right) \cup \left( {8; + \infty } \right)$.

d) Có $f\left( x \right) \ge 0 \Leftrightarrow - {x^2} + 11x - 24 \ge 0 \Leftrightarrow 3 \le x \le 8$.

Mà $x \in \mathbb{Z}$ nên $x \in \left\{ {3;4;5;6;7;8} \right\}$.

Vậy có 6 giá trị nguyên của $x$ để $f\left( x \right)$ nhận giá trị không âm.

Đáp án: a) Sai; b) Sai; c) Đúng; d) Đúng.

a) Thay $x = 3$ vào bất phương trình ta thấy thỏa mãn.

Vậy $x = 3$ là nghiệm của bất phương trình.

b) $f\left( x \right) = {x^2} - 2x - 8$ nhận giá trị âm khi ${x^2} - 2x - 8 < 0$$\Leftrightarrow - 2 < x < 4$.

Mà $x \in \mathbb{Z}$ nên $x \in \left\{ { - 1;0;1;2;3} \right\}$.

Vậy có 5 giá trị nguyên của $x$ để tam thức bậc hai $f\left( x \right) = {x^2} - 2x - 8$ nhận giá trị âm.

c) ${x^2} - 2x - 8 \le 0$$\Leftrightarrow - 2 \le x \le 4$.

Vậy $S = \left[ { - 2;4} \right]$. Do đó $a + b = 2$.

d) $\left[ { - 3;2} \right]\not \subset \left[ { - 2;4} \right]$ nên đoạn $\left[ { - 3;2} \right]$ không là tập con của tập nghiệm $S$.

Đáp án: a) Sai; b) Đúng; c) Đúng; d) Sai.

a) Dựa vào đồ thị hàm số ta có bảng xét dấu

b)

Dựa vào đồ thị hàm số ta có $f\left( x \right) < - 3$$\Leftrightarrow - 1 < x < 1$.

Vậy bất phương trình $f\left( x \right) < - 3$ có tập nghiệm là $S = \left( { - 1;1} \right)$.

c) Gọi $f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c\left( {a > 0} \right)$.

Đồ thị hàm số đi qua các điểm $\left( { - 2;0} \right);\left( {2;0} \right);\left( {0; - 4} \right)$ nên ta có hệ phương trình

$\left\{ \begin{array}{l}4a - 2b + c = 0\\4a + 2b + c = 0\\c = - 4\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b = 0\\c = - 4\end{array} \right.$. Vậy $f\left( x \right) = {x^2} - 4$.

Khi đó $\sqrt {f\left( x \right)} = \sqrt {{x^2} - 2x + 4}$$\Leftrightarrow \sqrt {{x^2} - 4} = \sqrt {{x^2} - 2x + 4}$.

Bình phương hai vế của phương trình ta được ${x^2} - 4 = {x^2} - 2x + 4$$\Rightarrow 2x = 8 \Rightarrow x = 4$.

Thay $x = 4$ vào phương trình ta thấy thỏa mãn.

Vậy phương trình có 1 nghiệm $x = 4$.

d) $\sqrt {f\left( x \right)} = x + 1$$\Leftrightarrow \sqrt {{x^2} - 4} = x + 1$.

Bình phương hai vế của phương trình ta được ${x^2} - 4 = {\left( {x + 1} \right)^2}$$\Rightarrow 2x = - 5 \Rightarrow x = - \frac{5}{2}$.

Thay $x = - \frac{5}{2}$ vào phương trình ta thấy không thỏa mãn.

Vậy phương trình vô nghiệm.

Đáp án: a) Đúng; b) Đúng; c) Sai; d) Đúng.

a) Khi $m = 1$ thì $f\left( x \right) = - {x^2} - 2 < 0,\forall x \in \mathbb{R}$.

b) $f\left( x \right)$ có hai nghiệm trái dấu khi $- \left( {m - 3} \right) < 0 \Leftrightarrow m > 3$.

c) Có $\Delta ' = {\left( {m - 1} \right)^2} + \left( {m - 3} \right) = {m^2} - m - 2$.

Để tam thức có hai nghiệm thì $\Delta ' > 0 \Leftrightarrow {m^2} - m - 2 > 0$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m < - 1\\m > 2\end{array} \right.$.

Vậy $m \in \left( { - \infty ; - 1} \right) \cup \left( {2; + \infty } \right)$ thì tam thức có hai nghiệm phân biệt.

d) $f\left( x \right) \le 0,\forall x \in \mathbb{R}$$\Leftrightarrow \Delta ' \le 0$$\Leftrightarrow {m^2} - m - 2 \le 0$$\Leftrightarrow - 1 \le m \le 2$.

Vậy $m \in \left[ { - 1;2} \right]$ thì $f\left( x \right) \le 0,\forall x \in \mathbb{R}$.

Đáp án: a) Đúng; b) Đúng; c) Sai; d) Đúng.

$\sqrt {2x - 1} = 2 - x$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2 - x \ge 0\\2x - 1 = {\left( {2 - x} \right)^2}\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \le 2\\2x - 1 = 4 - 4x + {x^2}\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \le 2\\{x^2} - 6x + 5 = 0\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \le 2\\\left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = 5\end{array} \right.\end{array} \right. \Rightarrow x = 1$.

Vậy phương trình có 1 nghiệm. Do đó $m + 2025 = 2026$.

$- {x^2} + 5x - 4 > 0 \Leftrightarrow 1 < x < 4$.

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $S = \left( {1;4} \right)$.

Suy ra $a = 1;b = 4$. Do đó $M = 3a + 2b = 11$.

Để $f\left( x \right) \ge 0,\forall x \in \mathbb{R}$ thì $\left\{ \begin{array}{l}a = 1 > 0\\\Delta ' = {\left[ { - \left( {m - 1} \right)} \right]^2} - \left( {m + 5} \right) \le 0\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1 > 0\\\Delta ' = {m^2} - 3m - 4 \le 0\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1 > 0\\ - 1 \le m \le 4\end{array} \right.$.

Mà $m \in \mathbb{Z}$ nên $m \in \left\{ { - 1;0;1;2;3;4} \right\}$.

Tổng các giá trị nguyên của $m$ là 9.

Gọi $x$ (km, $0 < x < 5$) là chiều dài từ A đến B.

Suy ra chiều dài từ B đến chân Ngọn Hải Đăng là $5 - x$ (km).

Khi đó chiều dài từ B đến C là $\sqrt {{1^2} + {{\left( {5 - x} \right)}^2}} = \sqrt {26 - 10x + {x^2}}$ (km).

Theo đề ta có $2x + 3\sqrt {26 - 10x + {x^2}} = 13$$\Leftrightarrow 3\sqrt {26 - 10x + {x^2}} = 13 - 2x$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}13 - 2x \ge 0\\9\left( {26 - 10x + {x^2}} \right) = {\left( {13 - 2x} \right)^2}\end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \le \frac{{13}}{2}\\5{x^2} - 38x + 65 = 0\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \le \frac{{13}}{2}\\\left[ \begin{array}{l}x = 5\\x = \frac{{13}}{5}\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 5\\x = \frac{{13}}{5}\end{array} \right.$.

Kết hợp điều kiện $0 < x < 5$, ta có $x = \frac{{13}}{5}$.

Tổng chiều dài dây điện kéo từ A đến C là $\frac{{13}}{5} + \sqrt {26 - 10 \cdot \frac{{13}}{5} + {{\left( {\frac{{13}}{5}} \right)}^2}} = \frac{{26}}{5} = 5{,}2$ km.

Để bất phương trình vô nghiệm thì ${x^2} - \left( {m + 2} \right)x + 8m + 1 > 0,\forall x \in \mathbb{R}$.

Khi đó $\left\{ \begin{array}{l}1 > 0\\\Delta = {\left( {m + 2} \right)^2} - 4\left( {8m + 1} \right) < 0\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 > 0\\\Delta = {m^2} - 28m < 0\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 > 0\\0 < m < 28\end{array} \right.$.

Mà $m \in \left[ {0;30} \right]$ và $m \in \mathbb{Z}$ nên $m \in \left\{ {1;2;3;...;27} \right\}$.

Vậy có 27 giá trị nguyên của $m$ để bất phương trình ${x^2} - \left( {m + 2} \right)x + 8m + 1 \le 0$ vô nghiệm.

Để cửa hàng bán có lợi nhuận thì $- 86{x^2} + 86000x - 18146000 > 0$$\Leftrightarrow 302{,}5 < x < 697{,}5$.

Vậy cửa hàng bán tối thiểu 303 lít xăng sẽ có lợi nhuận.

Bình phương hai vế của phương trình ta được

$2{x^2} - 5x - 9 = {\left( {x - 1} \right)^2}$$\Rightarrow {x^2} - 3x - 10 = 0$$\Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 2\\x = 5\end{array} \right.$.

Thay lần lượt $x = - 2;x = 5$ vào phương trình ta thấy $x = 5$ là nghiệm của phương trình.

Hoành độ giao điểm là nghiệm của phương trình $\sqrt {2x - 3} = 3 - x$.

Bình phương hai vế của phương trình ta được

$2x - 3 = {\left( {3 - x} \right)^2}$$\Rightarrow {x^2} - 8x + 12 = 0$$\Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\\x = 6\end{array} \right.$.

Thay lần lượt $x = 2;x = 6$ vào phương trình ta thấy $x = 2$ là nghiệm của phương trình.

Với $x = 2$ thì $y = 1$. Vậy giao điểm của hai đồ thị là $\left( {2;1} \right)$.

Do đó có 1 giao điểm.

Chi phí sản xuất cho $x$ sản phẩm là $C\left( x \right) = x \cdot G\left( x \right) = x\left( {\frac{{20}}{x} + 100} \right) = 20 + 100x$.

Khi đó lợi nhật là $L\left( x \right) = - 20{x^2} + 2200x - 19980 - 20 - 100x = - 20{x^2} + 2100x - 20000$.

Để lợi nhuận đạt trên 20 triệu đồng thì $L\left( x \right) > 20000$$\Leftrightarrow - 20{x^2} + 2100x - 20000 > 20000$

$\Leftrightarrow - 20{x^2} + 2100x - 40000 > 0$$\Leftrightarrow 25 < x < 80$.

Vậy doanh nghiệp cần sản xuất ít nhất 26 sản phẩm.

Chiều dài khung ảnh hình chữ nhật là $11 + 2x$ (cm).

Chiều rộng khung ảnh hình chữ nhật là $6 + 2x$ (cm).

Diện tích khung ảnh là $\left( {11 + 2x} \right)\left( {6 + 2x} \right)$ (cm$^{2}$).

Diện tích phần trong của khung ảnh là $6 \cdot 11 = 66$ (cm$^{2}$).

Diện tích viền của khung ảnh là $\left( {11 + 2x} \right)\left( {6 + 2x} \right) - 66$.

Để diện tích viền không vượt quá 38 cm$^{2}$ thì

$\left( {11 + 2x} \right)\left( {6 + 2x} \right) - 66 \le 38$$\Leftrightarrow 4{x^2} + 34x - 38 \le 0$$\Leftrightarrow - \frac{{19}}{2} \le x \le 1$.

Vì $x > 0$ nên $\Leftrightarrow 0 < x \le 1$.

Vậy độ rộng của viền khung ảnh lớn nhất là 1 cm.

Để doanh nghiệp có lãi thì $- 200{x^2} + 92000x - 8400000 > 0$$\Leftrightarrow 125{,}5 < x < 334{,}4$.

Vậy để có lãi thì doanh nghiệp nên sản xuất từ 125 đến 334 sản phẩm.

Nửa chu vi tấm sắt là $48:2 = 24$ (cm).

Gọi chiều dài của tấm sắt là $x\left( {{\rm{cm}}} \right)$.

Chiều rộng của tấm sắt là $24 - x$ (cm).

Vì chiều dài lớn hơn chiều rộng nên ta có $\left\{ \begin{array}{l}x > 24 - x\\x < 24\end{array} \right. \Leftrightarrow 12 < x < 24$ (1).

Diện tích phần còn lại của tấm sắt là $x\left( {24 - x} \right) - 4 \cdot 4$ (cm$^{2}$).

Để diện tích phần còn lại của tấm sắt ít nhất bằng 92 cm$^{2}$ thì $x\left( {24 - x} \right) - 4 \cdot 4 \ge 92$$\Leftrightarrow - {x^2} + 24x - 108 \ge 0$$\Leftrightarrow 6 \le x \le 18$ (2).

Từ (1) và (2), suy ra $12 < x \le 18$.

Vậy tấm sắt có chiều dài thuộc nửa khoảng $\left( {12;18} \right]$.

Gọi chiều rộng của khu vườn là $x\left( {\rm{m}} \right),\left( {0 < x < 10} \right)$.

Diện tích phần trồng rau là ${x^2}\left( {{{\rm{m}}^{\rm{2}}}} \right)$.

Chi phí thi công phần trồng rau là $60{x^2}$ (nghìn đồng).

Diện tích phần làm hồ nuôi cá là $x\left( {10 - x} \right)\left( {{{\rm{m}}^{\rm{2}}}} \right)$.

Chi phí thi công phần hồ nuôi cá là $135x\left( {10 - x} \right)$ (nghìn đồng).

Vì tổng chi phí không vượt quá 5400000 đồng/m$^{2}$ nên ta có:

$60{x^2} + 135x\left( {10 - x} \right) \le 5400$$\Leftrightarrow - 75{x^2} + 1350x - 5400 \le 0$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x \le 6\\x \ge 12\end{array} \right.$.

Vì $0 < x < 10$ nên $0 < x \le 6$.

Vậy chiều rộng khu vườn lớn nhất là 6 m.

a) Bình phương hai vế của phương trình ta được

$- 4x + 4 = - {x^2} + 1$$\Rightarrow {x^2} - 4x + 3 = 0$$\Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = 3\end{array} \right.$.

Thay lần lượt $x = 1;x = 3$ vào phương trình ta thấy $x = 1$ là nghiệm của phương trình.

b) $\sqrt { - 2{x^2} + x + 7} + 3 = x$$\Leftrightarrow \sqrt { - 2{x^2} + x + 7} = x - 3$.

Bình phương hai vế của phương trình ta được

$- 2{x^2} + x + 7 = {\left( {x - 3} \right)^2}$$\Rightarrow - 3{x^2} + 7x - 2 = 0$$\Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{1}{3}\\x = 2\end{array} \right.$.

Thay lần lượt $x = 2$; $x = \frac{1}{3}$ vào phương trình ta thấy không thỏa mãn.

Vậy phương trình vô nghiệm.

Gọi $AD = x \Rightarrow AB = 3x;AC = x + 1$, điều kiện $x > 0$.

Ta có $CD = \sqrt {A{C^2} - A{D^2}} = \sqrt {{{\left( {x + 1} \right)}^2} - {x^2}} = \sqrt {2x + 1}$.

Theo giả thiết, ta có $AB = 4CD \Rightarrow 3x = 4\sqrt {2x + 1}$$\Rightarrow 9{x^2} = 16\left( {2x + 1} \right)$$\Rightarrow 9{x^2} - 32x - 16 = 0$$\Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 4\\x = - \frac{4}{9}\end{array} \right.$.

Thay lần lượt hai giá trị này của $x$ vào phương trình và kết hợp điều kiện, ta thấy $x = 4$ thỏa mãn.

Vậy độ dài cạnh $AD$ là 4.