Bài tập ôn tập Toán 10 Chân trời sáng tạo Chương 5 có đáp án

Vì $ABCD$ là hình vuông nên $\overrightarrow {AD} = \overrightarrow {BC}$. Chọn D.

Ta có $\overrightarrow {AB}$ và $\overrightarrow {CB}$ ngược hướng.

Lại có $\frac{{AB}}{{CB}} = \frac{3}{7}$. Suy ra $\overrightarrow {AB} = - \frac{3}{7}\overrightarrow {CB}$. Vậy $k = - \frac{3}{7}$. Chọn B.

$\overrightarrow {IA}$ và $\overrightarrow {IG}$ là hai vectơ bằng nhau là khẳng định sai. Chọn D.

Hai vectơ $\overrightarrow {IK}$ và $\overrightarrow {AC}$ cùng hướng và $IK = \frac{1}{2}AC$ nên $\overrightarrow {IK} = \frac{1}{2}\overrightarrow {AC}$. Chọn D.

Có $\overrightarrow {AM}$ và $\overrightarrow {MB}$ cùng hướng.

Vì $AM = \frac{1}{4}AB$ nên $AM = \frac{1}{3}MB$. Suy ra $\overrightarrow {AM} = \frac{1}{3}\overrightarrow {MB}$. Chọn C.

Vì $G$ là trọng tâm $\Delta ABC$ nên $\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} = \overrightarrow 0$.

$\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} + \overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AC} = \overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AC} = \overrightarrow {CB}$. Chọn B.

Vì $MN//AC$ (do $MN$ là đường trung bình của tam giác $ABC$) nên $\overrightarrow {NM}$ và $\overrightarrow {AC}$ là hai vectơ cùng phương. Chọn A.

Ta có $\overrightarrow {AM} = \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AC}$$= \frac{3}{2}\overrightarrow {AN} + \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{2}\overrightarrow {AP} = \frac{3}{2}\overrightarrow {AN} + \frac{3}{4}\overrightarrow {AP}$. Chọn D.

Ta có $\left( {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {CB} } \right) = \left( {\overrightarrow {CE} ,\overrightarrow {CB} } \right) = 180^\circ - \widehat {ACB} = 180^\circ - 45^\circ = 135^\circ$

$\cos \left( {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {CB} } \right) = \cos 135^\circ = - \frac{{\sqrt 2 }}{2}$. Chọn B.

Ta có ${\left( {\overrightarrow {BA} + 2\overrightarrow {BM} } \right)^2} = {\overrightarrow {BA} ^2} + 4\overrightarrow {BA} \cdot \overrightarrow {BM} + 4{\overrightarrow {BM} ^2}$$= {\overrightarrow {BA} ^2} + 4\left| {\overrightarrow {BA} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {BM} } \right| \cdot \cos \left( {\overrightarrow {BA} ,\overrightarrow {BM} } \right) + 4{\overrightarrow {BM} ^2}$

$= 4{a^2} + 4 \cdot 2a \cdot a \cdot \cos 60^\circ + 4{a^2}$$= 12{a^2}$$\Rightarrow \left| {\overrightarrow {BA} + 2\overrightarrow {BM} } \right| = 2a\sqrt 3$. Chọn A.

Ta có ${\left( {\overrightarrow {DA} + \overrightarrow {DB} } \right)^2} = {\overrightarrow {DA} ^2} + 2\overrightarrow {DA} \cdot \overrightarrow {DB} + {\overrightarrow {DB} ^2}$$= {\overrightarrow {DA} ^2} + 2\left| {\overrightarrow {DA} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {DB} } \right| \cdot \cos \left( {\overrightarrow {DA} ,\overrightarrow {DB} } \right) + {\overrightarrow {DB} ^2}$

$= 4{a^2} + 2 \cdot 2a \cdot 2\sqrt 2 a \cdot \cos 45^\circ + 8{a^2}$$= 20{a^2}$$\Leftrightarrow \left| {\overrightarrow {DA} + \overrightarrow {DB} } \right| = 2\sqrt 5 a$. Chọn C.

Ta có $\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} = 2\overrightarrow {AM}$.

$\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} = 2\overrightarrow {AM} = 2 \cdot \frac{3}{2}\overrightarrow {AG} = 3\overrightarrow {AG}$.

$\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} = \overrightarrow 0$.

$\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} = 3\overrightarrow {MG}$. Chọn B.

Gọi $I$ là trung điểm của $BC$.

Khi đó $\overrightarrow {GB} - \overrightarrow {CG}$$= \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} = 2\overrightarrow {GI} = \frac{2}{3}\overrightarrow {AI}$.

Suy ra $\left| {\overrightarrow {GB} - \overrightarrow {CG} } \right| = \frac{2}{3}\left| {\overrightarrow {AI} } \right| = \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2}BC = 4$. Chọn B.

Vì $M$thuộc đoạn thẳng $AB$ nên $\overrightarrow {MA}$ và $\overrightarrow {MB}$ ngược hướng.

Lại có $2MA = 5MB$ nên $MA = \frac{5}{7}AB$. Do đó $\overrightarrow {MA} = - \frac{5}{7}\overrightarrow {AB}$. Chọn B.

Ta có $\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} = \overrightarrow {AB} \cdot \left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} } \right) = {\overrightarrow {AB} ^2} + \overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AD}$$= {\overrightarrow {AB} ^2} + \left| {\overrightarrow {AB} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {AD} } \right| \cdot \cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AD} } \right)$

$= {1^2} + 1 \cdot 2 \cdot \cos 60^\circ = 2$. Chọn B.

Gọi $M$ là trung điểm của $BC$.

Ta có $\overrightarrow {AG} = \frac{2}{3}\overrightarrow {AM} = \frac{2}{3}\left( {\frac{1}{2}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AC} } \right) = \frac{1}{3}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{3}\overrightarrow {AC}$. Chọn B.

Vì $M$ là trung điểm của $AB$ nên $MA = \frac{1}{2}AB$.

Có $\overrightarrow {MA}$ và $\overrightarrow {AB}$ ngược hướng nên $\overrightarrow {MA} = - \frac{1}{2}\overrightarrow {AB}$. Chọn B.

$P = \overrightarrow {AB} \left( {\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AD} } \right)$$= \overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AD}$$= \left| {\overrightarrow {AB} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {AC} } \right| \cdot \cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right)$$= a \cdot a\sqrt 2 \cdot \cos 45^\circ = {a^2}$. Chọn C.

a) Do $ABCD$ là hình vuông nên $\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right) = \widehat {BAC} = 45^\circ$.

b) Do $ABCD$ là hình vuông nên $AC \bot BD$$\Rightarrow \overrightarrow {AC} \cdot \overrightarrow {BD} = 0$.

c) $\overrightarrow {AE} \cdot \overrightarrow {CD} = \left( {\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {DE} } \right) \cdot \overrightarrow {CD} = \overrightarrow {AD} \cdot \overrightarrow {CD} + \overrightarrow {DE} \cdot \overrightarrow {CD}$.

d) $\overrightarrow {AD} \cdot \overrightarrow {AC} = \left| {\overrightarrow {AD} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {AC} } \right| \cdot \cos \left( {\overrightarrow {AD} ,\overrightarrow {AC} } \right) = 12 \cdot 12\sqrt 2 \cdot \cos 45^\circ = 144$.

Đáp án: a) Sai; b) Đúng; c) Đúng; d) Đúng.

a) $ABCD$ là hình thoi, $\widehat B = 60^\circ$ nên $\Delta ABC$ đều. Suy ra $\widehat {BAC} = 60^\circ$.

Khi đó $\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right) = \widehat {BAC} = 60^\circ$.

b) $\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {DA} } \right) = \left( {\overrightarrow {DC} ,\overrightarrow {DA} } \right) = \widehat {ADC} = 60^\circ$.

c) $\overrightarrow {DA} \cdot \overrightarrow {DC} = \left| {\overrightarrow {DA} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {DC} } \right| \cdot \cos \left( {\overrightarrow {DA} ,\overrightarrow {DC} } \right) = 2 \cdot 2 \cdot \cos 60^\circ = 2$.

d) Do $ABCD$ là hình thoi nên $AC \bot BD$.

Do $\Delta ABC$ đều cạnh 2 nên $BO = \frac{{2\sqrt 3 }}{2} = \sqrt 3$.

$\overrightarrow {OB} \cdot \overrightarrow {BA} = - \overrightarrow {BO} \cdot \overrightarrow {BA} = - \left| {\overrightarrow {BO} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {BA} } \right| \cdot \cos \left( {\overrightarrow {BO} ,\overrightarrow {BA} } \right) = - \sqrt 3 \cdot 2 \cdot \cos 30^\circ = - 3$.

Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Sai; d) Đúng.

a) $M$ và $N$ lần lượt là trung điểm của $AB$ và $AC$ nên $MN$ là đường trung bình của $\Delta ABC$.

Suy ra $MN//BC$ và $MN = \frac{1}{2}BC$.

b) $P$ đối xứng với điểm$M$ qua $N$ nên $MP = 2MN = BC$.

Suy ra $\left| {\overrightarrow {MP} } \right| = \left| {\overrightarrow {BC} } \right|$.

c) $\overrightarrow {MN}$ và $\overrightarrow {BC}$ cùng hướng.

d) Vì $\overrightarrow {MN}$ và $\overrightarrow {BC}$ cùng hướng và $\left| {\overrightarrow {MP} } \right| = \left| {\overrightarrow {BC} } \right|$ nên $\overrightarrow {MP} = \overrightarrow {BC}$.

Đáp án: a) Sai; b) Đúng; c) Sai; d) Đúng.

a) $2\overrightarrow {MA} + 3\overrightarrow {MB} = \overrightarrow 0$ nên $\overrightarrow {MA} ,\overrightarrow {MB}$ là hai vectơ ngược hướng.

Suy ra điểm $M$ nằm giữa hai điểm $A$ và $B$.

b) $2\overrightarrow {MA} + 3\overrightarrow {MB} = \overrightarrow 0$$\Leftrightarrow \overrightarrow {MA} = - \frac{3}{2}\overrightarrow {MB}$$\Leftrightarrow \overrightarrow {AM} = \frac{3}{2}\overrightarrow {MB}$$\Leftrightarrow \overrightarrow {AM} = \frac{3}{5}\overrightarrow {AB}$.

c) $\overrightarrow {CM} = \overrightarrow {CA} + \overrightarrow {AM} = - \overrightarrow {AC} + \frac{3}{5}\overrightarrow {AB}$.

d) $\overrightarrow {CA} \cdot \overrightarrow {CM} = \overrightarrow {CA} \left( { - \overrightarrow {AC} + \frac{3}{5}\overrightarrow {AB} } \right)$$= {\overrightarrow {AC} ^2} - \frac{3}{5}\overrightarrow {AC} \cdot \overrightarrow {AB}$$= {\overrightarrow {AC} ^2} - \frac{3}{5}\left| {\overrightarrow {AC} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {AB} } \right| \cdot \cos \left( {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {AB} } \right)$

$= 4{a^2} - \frac{3}{5} \cdot 2a \cdot a \cdot \cos 60^\circ$$= 4{a^2} - \frac{3}{5}{a^2} = \frac{{17}}{5}{a^2}$.

Đáp án: a) Đúng; b) Đúng; c) Sai; d) Đúng.

a) $\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {CB} = \overrightarrow {AB}$.

b) $\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {CA} + \overrightarrow {AB}$$\Leftrightarrow \overrightarrow {BA} + \overrightarrow {AB} = \overrightarrow 0$. Suy ra $\left| {\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {CA} + \overrightarrow {AB} } \right| = 0$.

c) $\overrightarrow {BA} - \overrightarrow {BC} = \overrightarrow {CA}$. Suy ra $\left| {\overrightarrow {BA} - \overrightarrow {BC} } \right| = \left| {\overrightarrow {CA} } \right| = 2$.

d) ${\left( {\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {BC} } \right)^2} = {\overrightarrow {BA} ^2} + 2\overrightarrow {BA} \cdot \overrightarrow {BC} + {\overrightarrow {BC} ^2}$$= {\overrightarrow {BA} ^2} + 2\left| {\overrightarrow {BA} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {BC} } \right| \cdot \cos \left( {\overrightarrow {BA} ,\overrightarrow {BC} } \right) + {\overrightarrow {BC} ^2}$

$= {2^2} + 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot \cos 60^\circ + {2^2} = 12$.

Suy ra $\left| {\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {BC} } \right| = 2\sqrt 3$.

Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Đúng; d) Sai.

a) $\overrightarrow {CA} - \overrightarrow {CB} = \overrightarrow {BA}$.

b) $\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AM} = 2\overrightarrow {AM} + \overrightarrow {AM} = 3\overrightarrow {AM}$.

c) Xét $\Delta ABC$ vuông tại $A,$ có $BC = \sqrt {A{B^2} + A{C^2}} = \sqrt {{3^2} + {4^2}} = 5$; $\cos B = \frac{{AB}}{{BC}} = \frac{3}{5}$

Khi đó $\overrightarrow {BA} \cdot \overrightarrow {BC} = \left| {\overrightarrow {BA} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {BC} } \right| \cdot \cos \left( {\overrightarrow {BA} ,\overrightarrow {BC} } \right) = 3 \cdot 5 \cdot \frac{3}{5} = 9$.

d) Ta có ${\left( {2\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right)^2} = 4{\overrightarrow {AB} ^2} + 4\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} + {\overrightarrow {AC} ^2}$$= 4{\overrightarrow {AB} ^2} + {\overrightarrow {AC} ^2}$$= 4 \cdot {3^2} + {4^2} = 52$.

Suy ra $\left| {\overrightarrow u } \right| = \sqrt {52} = 2\sqrt {13}$.

Đáp án: a) Sai; b) Đúng; c) Đúng; d) Đúng.

a) $\left| {\overrightarrow {AB} } \right| = a$.

b) $\overrightarrow {AB}$ và $\overrightarrow {AC}$ không bằng nhau vì chúng không cùng hướng.

c) Có 6 vectơ khác $\overrightarrow 0$ có điểm đầu và điểm cuối là các đỉnh của $\Delta ABC$ là $\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {BA} ,\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {CA} ,\overrightarrow {BC} ,\overrightarrow {CB}$.

d) Vì $M$ là trung điểm của $BC$ nên $\overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} = 2\overrightarrow {OM}$.

Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Sai; d) Sai.

a) Hai vectơ $\overrightarrow {FI}$ và $\overrightarrow {ID}$ cùng hướng.

b) Theo quy tắc hình bình hành $\overrightarrow {DC} + \overrightarrow {DE} = \overrightarrow {DF}$.

c) Vì $FCDE$ là hình chữ nhật nên $\overrightarrow {DE} = \overrightarrow {CF}$.

Khi đó $\overrightarrow {FG} + \overrightarrow {DE} = \overrightarrow {FG} + \overrightarrow {CF} = \overrightarrow {FG} - \overrightarrow {FC} = \overrightarrow {CG} = \overrightarrow {HE}$.

d) Có $FCDE$ là hình chữ nhật, $G,H$ là trung điểm của $CD,EF$, $I$ là tâm của hình chữ nhật nên $I$ là trung điểm của $HG$.

Có $\overrightarrow {FG} + \overrightarrow {HE} = \overrightarrow {FG} + \overrightarrow {FH} = 2\overrightarrow {FI}$.

Suy ra $\left| {\overrightarrow {FG} + \overrightarrow {HE} } \right| = 2\left| {\overrightarrow {FI} } \right| = FD = \sqrt {F{C^2} + C{D^2}} = \sqrt {{4^2} + {1^2}} = \sqrt {17}$.

Đáp án: a) Sai; b) Sai; c) Đúng; d) Đúng.

a) Do $OBCD$ là hình vuông nên $\overrightarrow {OB} = - \overrightarrow {CD} ;\overrightarrow {BC} = - \overrightarrow {DO}$.

Do đó $\overrightarrow {OB} + \overrightarrow {CD} + \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {DO} = \overrightarrow 0$.

b) $\left( {\overrightarrow {GB} ,\overrightarrow {GD} } \right) = \widehat {BGD} = 180^\circ - 2\widehat {BDG}$ (do $\Delta BGD$ cân tại $G$).

Lại có $\widehat {BDG} = 45^\circ - \widehat {NDC}$.

Xét $\Delta DCN$ vuông tại $C$, có $\tan \widehat {NDC} = \frac{{NC}}{{CD}} = \frac{{3a}}{{6a}} = \frac{1}{2} \Rightarrow \widehat {NDC} \approx 26{,}5^\circ$.

Do đó $\widehat {BDG} = 45^\circ - 26{,}5^\circ = 18{,}5^\circ$.

Vậy $\left( {\overrightarrow {GB} ,\overrightarrow {GD} } \right) = \widehat {BGD} = 180^\circ - 2 \cdot 18{,}5^\circ = 143^\circ$.

c) $\overrightarrow {OB} \cdot \overrightarrow {CO} = - \overrightarrow {OB} \cdot \overrightarrow {OC} = - \left| {\overrightarrow {OB} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {OC} } \right| \cdot \cos \left( {\overrightarrow {OB} ,\overrightarrow {OC} } \right)$$= - 6a \cdot 6a\sqrt 2 \cdot \cos 45^\circ = - 36{a^2}$.

d) $\overrightarrow {OB} \cdot \overrightarrow {CD} = \left| {\overrightarrow {OB} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {CD} } \right| \cdot \cos \left( {\overrightarrow {OB} ,\overrightarrow {CD} } \right)$$= 6a \cdot 6a \cdot \cos 180^\circ = - 36{a^2}$.

Đáp án: a) Sai; b) Sai; c) Đúng; d) Sai.

a) $\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {CA} = - \overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} = - \left| {\overrightarrow {AB} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {AC} } \right| \cdot \cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right)$$= - a \cdot a\sqrt 2 \cdot \cos 45^\circ = - {a^2}$.

b) $\overrightarrow {AM} \cdot \overrightarrow {AC} = \left| {\overrightarrow {AM} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {AC} } \right| \cdot \cos \left( {\overrightarrow {AM} ,\overrightarrow {AC} } \right)$$= \frac{a}{2} \cdot a\sqrt 2 \cdot \cos 45^\circ = \frac{{{a^2}}}{2}$.

c) Do $ABCD$ là hình vuông nên $\overrightarrow {AD} = \overrightarrow {BC}$.

Vì $O,M$ lần lượt là trung điểm của $BD,AB$ nên $OM = \frac{1}{2}AD$ và $\overrightarrow {OM} ,\overrightarrow {AD}$ ngược hướng nên $\overrightarrow {OM} = - \frac{1}{2}\overrightarrow {AD}$.

Khi đó $\overrightarrow {AD} \cdot \overrightarrow {BD} + \overrightarrow {OM} \cdot \overrightarrow {AC} = \overrightarrow {BC} \cdot \overrightarrow {BD} - \frac{1}{2}\overrightarrow {AD} \cdot \overrightarrow {AC}$

$$= \left| {\overrightarrow {BC} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {BD} } \right| \cdot \cos \left( {\overrightarrow {BC} ,\overrightarrow {BD} } \right) - \frac{1}{2}\left| {\overrightarrow {AD} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {AC} } \right| \cdot \cos \left( {\overrightarrow {AD} ,\overrightarrow {AC} } \right)$$

$= a \cdot a\sqrt 2 \cdot \cos 45^\circ - \frac{1}{2}a \cdot a\sqrt 2 \cdot \cos 45^\circ$$= \frac{1}{2}a \cdot a\sqrt 2 \cdot \cos 45^\circ = \frac{{{a^2}}}{2}$.

d) Theo quy tắc hình bình hành có $\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {AC}$.

Khi đó $\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} } \right)\left( {\overrightarrow {BD} + \overrightarrow {BC} } \right) = \overrightarrow {AC} \left( {\overrightarrow {BD} + \overrightarrow {BC} } \right)$$= \overrightarrow {AC} \cdot \overrightarrow {BD} + \overrightarrow {AC} \cdot \overrightarrow {BC}$$= \overrightarrow {AC} \cdot \overrightarrow {BC}$

$= \overrightarrow {AC} \cdot \overrightarrow {AD}$$= \left| {\overrightarrow {AC} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {AD} } \right| \cdot \cos \left( {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {AD} } \right)$$= a\sqrt 2 \cdot a \cdot \cos 45^\circ = {a^2}$.

Đáp án: a) Sai; b) Sai; c) Đúng; d) Đúng.

Có ${\left( {\overrightarrow {{F_1}} + \overrightarrow {{F_2}} } \right)^2} = {\overrightarrow {{F_1}} ^2} + 2\overrightarrow {{F_1}} \cdot \overrightarrow {{F_2}} + {\overrightarrow {{F_2}} ^2}$$= {\overrightarrow {{F_1}} ^2} + 2\left| {\overrightarrow {{F_1}} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {{F_2}} } \right| \cdot \cos \left( {\overrightarrow {{F_1}} ,\overrightarrow {{F_2}} } \right) + {\overrightarrow {{F_2}} ^2}$

$= {150^2} + 2 \cdot 150 \cdot 100 \cdot \cos 120^\circ + {100^2}$$= 17500$.

Khi đó $\left| {\overrightarrow F } \right| = \sqrt {17500} \approx 132$ (N).

Có $\overrightarrow {MB}$ và $\overrightarrow {MC}$ ngược hướng và $MB = 4MC$ nên $\overrightarrow {MB} = - 4\overrightarrow {MC}$. Suy ra $\overrightarrow {BM} = \frac{4}{5}\overrightarrow {BC}$.

Khi đó $\overrightarrow {AM} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BM} = \overrightarrow {AB} + \frac{4}{5}\overrightarrow {BC} = \overrightarrow {AB} + \frac{4}{5}\left( {\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} } \right)$$= \frac{1}{5}\overrightarrow {AB} + \frac{4}{5}\overrightarrow {AC}$.

Suy ra $m = \frac{1}{5};n = \frac{4}{5}$. Vậy $6m + n = 2$.

Vì $G$ là trọng tâm $\Delta ABC$ nên $\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} = \overrightarrow 0$.

Ta có $\overrightarrow {CA} - \overrightarrow {BG}$$= \overrightarrow {GA} - \overrightarrow {GC} + \overrightarrow {GB}$$= \overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GC} + \overrightarrow {GB} - 2\overrightarrow {GC}$$= - 2\overrightarrow {GC}$.

Gọi $I$ là trung điểm của $AB$. Khi đó $CG = \frac{2}{3}CI = \frac{2}{3} \cdot \frac{{5\sqrt 3 \cdot \sqrt 3 }}{2} = 5$.

Vậy $\left| {\overrightarrow {CA} - \overrightarrow {BG} } \right| = \left| { - 2\overrightarrow {GC} } \right| = 2 \cdot 5 = 10$.

Ta có $\overrightarrow {AM} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BM} = \overrightarrow {AB} + k\overrightarrow {BC} = \overrightarrow {AB} + k\overrightarrow {AC} - k\overrightarrow {AB}$$= k\overrightarrow {AC} + \left( {1 - k} \right)\overrightarrow {AB}$.

$\overrightarrow {PN} = \overrightarrow {AN} - \overrightarrow {AP} = \frac{1}{3}\overrightarrow {AC} - \frac{4}{{15}}\overrightarrow {AB}$.

Để $AM \bot PN$ thì $\overrightarrow {AM} \cdot \overrightarrow {PN} = 0$$\Leftrightarrow \left( {k\overrightarrow {AC} + \left( {1 - k} \right)\overrightarrow {AB} } \right)\left( {\frac{1}{3}\overrightarrow {AC} - \frac{4}{{15}}\overrightarrow {AB} } \right) = 0$

$\Leftrightarrow \frac{k}{3}{\overrightarrow {AC} ^2} - \frac{{4k}}{{15}}\overrightarrow {AC} \cdot \overrightarrow {AB} + \frac{{1 - k}}{3} \cdot \overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} - \frac{{4\left( {1 - k} \right)}}{{15}}{\overrightarrow {AB} ^2} = 0$

$\Leftrightarrow \left[ {\frac{k}{3} - \frac{{4\left( {1 - k} \right)}}{{15}}} \right]{\overrightarrow {AC} ^2} + \left( {\frac{{1 - k}}{3} - \frac{{4k}}{{15}}} \right)\left| {\overrightarrow {AC} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {AB} } \right| \cdot \cos 60^\circ = 0$$\Leftrightarrow \left[ {\frac{k}{3} - \frac{{4\left( {1 - k} \right)}}{{15}}} \right]{\overrightarrow {AC} ^2} + \left( {\frac{{1 - k}}{6} - \frac{{4k}}{{30}}} \right){\left| {\overrightarrow {AC} } \right|^2} = 0$

$\Leftrightarrow \left( {\frac{k}{3} - \frac{{4\left( {1 - k} \right)}}{{15}} + \frac{{1 - k}}{6} - \frac{{4k}}{{30}}} \right){\left| {\overrightarrow {AC} } \right|^2} = 0$

$\Leftrightarrow \frac{k}{3} - \frac{{4\left( {1 - k} \right)}}{{15}} + \frac{{1 - k}}{6} - \frac{{4k}}{{30}} = 0$$\Leftrightarrow \frac{{3k}}{{10}} = \frac{1}{{10}}$$\Leftrightarrow k = \frac{1}{3}$.

Suy ra $a = 1;b = 3$. Do đó $2a + b = 5$.

Công sinh bởi lực $\overrightarrow F$ được tính bằng công thức

$A = \overrightarrow F \cdot \overrightarrow d = \left| {\overrightarrow F } \right| \cdot \left| {\overrightarrow d } \right| \cdot \cos \left( {\overrightarrow F ,\overrightarrow d } \right) = 90 \cdot 100 \cdot \cos 60^\circ = 4500$ (J).

Vậy công sinh bởi lực $\overrightarrow F$ có độ lớn bằng 4500 J.

Vì vật đứng yên nên $\overrightarrow {{F_1}} + \overrightarrow {{F_2}} + \overrightarrow {{F_3}} = \overrightarrow 0$$\Leftrightarrow \overrightarrow {{F_3}} = - \left( {\overrightarrow {{F_1}} + \overrightarrow {{F_2}} } \right)$.

Ta có ${\left( {\overrightarrow {{F_1}} + \overrightarrow {{F_2}} } \right)^2} = {\overrightarrow {{F_1}} ^2} + 2\overrightarrow {{F_1}} \cdot \overrightarrow {{F_2}} + {\overrightarrow {{F_2}} ^2}$$= {\overrightarrow {{F_1}} ^2} + 2\left| {\overrightarrow {{F_1}} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {{F_2}} } \right| \cdot \cos \left( {\overrightarrow {{F_1}} ,\overrightarrow {{F_2}} } \right) + {\overrightarrow {{F_2}} ^2}$

$= {70^2} + 2 \cdot 70 \cdot 70 \cdot \cos 60^\circ + {70^2} = 14700$.

Suy ra $\left| {\overrightarrow {{F_3}} } \right| = \left| {\overrightarrow {{F_1}} + \overrightarrow {{F_2}} } \right| = \sqrt {14700} = 70\sqrt 3$.

Do đó $a = 70;b = 3$. Vậy $a + b = 73$.

Do $ABCD$ là hình thoi nên $AB = AD$ mà $\widehat A = 60^\circ$ nên $\Delta ABD$ đều cạnh 1.

Suy ra $AO = \frac{{\sqrt 3 }}{2} \approx 0{,}9$.

Vì $I$ là trung điểm của $AM$ nên $\overrightarrow {BI} = \frac{1}{2}\overrightarrow {BA} + \frac{1}{2}\overrightarrow {BM}$$= \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {BK} + \overrightarrow {KA} } \right) + \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {BK} + \overrightarrow {KM} } \right)$

$= \overrightarrow {BK} + \frac{1}{2}\overrightarrow {KA} + \frac{1}{2}\overrightarrow {KM}$$= \overrightarrow {BK} + \frac{1}{2}\overrightarrow {KA} + \frac{1}{2}\left( {\frac{1}{2}\overrightarrow {KB} + \frac{1}{2}\overrightarrow {KC} } \right)$$= \overrightarrow {BK} - \frac{1}{4}\overrightarrow {BK} + \frac{1}{2}\overrightarrow {KA} + \frac{1}{4}\overrightarrow {KC}$

$= \frac{3}{4}\overrightarrow {BK} - \frac{1}{6}\overrightarrow {AC} + \frac{1}{6}\overrightarrow {AC} = 0{,}75\overrightarrow {BK}$.

Có $E,F$ là trung điểm của $AB,AC$ nên $EF$ là đường trung bình của $\Delta ABC$.