Bài tập Ôn tập chương 2 - Số thực có đáp án

Số vô tỉ là số được viết dưới dạng số thập phân vô hạn không tuần hoàn.

Ta có:

–6,123(456) là số thập phân vô hạn tuần hoàn có chu kì là 456 nên nó không là số vô tỉ.

$-\sqrt{4}=-2$ là số nguyên âm nên nó không phải số vô tỉ.

$\sqrt{\frac{4}{9}}=\frac{2}{3}$ là được viết dưới dạng phân số nên nó không phải số vô tỉ.

$\sqrt{11}=3{,}3166...$ là số thập phân vô hạn không tuần hoàn nên nó là số vô tỉ.

a) Ta có:

4,9(18) = 4,918…

Ta đi so sánh 4,918… và 4,928…

Kể từ trái sang phải, cặp chữ số cùng hàng đầu tiên khác nhau là cặp chữ số hàng phần trăm.

Mà 1 < 2 nên 4,918… < 4,928… Do đó 4,9(18) < 4,928…

Vậy 4,9(18) < 4,928…

b) –4,315… và –4,318...

Ta đi so sánh 4,315… và 4,318…

Kể từ trái sang phải, cặp chữ số cùng hàng đầu tiên khác nhau là cặp chữ số hàng phần nghìn.

Mà 5 < 8 nên 4,315… < 4,318…Do đó –4,315… > –4,318…

Vậy –4,315… > –4,318…

c) $\sqrt{3}và\sqrt{\frac{7}{2}}$

Ta đi so sánh 3 và $\frac{6}{2}$.

Ta có: 3 = $\frac{6}{2}$.

Do 6 < 7 nên $\frac{6}{2}<\frac{7}{2}$ hay 3 < $\frac{7}{2}$.

Do 0 < 3 < nên $\sqrt{3}<\sqrt{\frac{7}{2}}$.

Vậy $\sqrt{3}<\sqrt{\frac{7}{2}}$.

a) Ta chia các số 6; $\sqrt{35};\sqrt{47}$; –1,7; $-\sqrt{3}$ ; 0 thành ba nhóm:

Nhóm 1 gồm các số: $-\sqrt{3};-1{,}7$

Nhóm 2: số 0.

Nhóm 3 gồm các số: 6; $\sqrt{35};\sqrt{47}$.

So sánh nhóm 1:

Ta có$-1{,}7=-\sqrt{2{,}89}$

Vì 2,89 < 3 nên $\sqrt{2{,}89}<\sqrt{3}$. Do đó: $-\sqrt{2{,}89}>-\sqrt{3}$ hay –1,7 > $-\sqrt{3}$ .

So sánh nhóm 3:

Ta có: 6 = $\sqrt{36}$

Vì 0 < 35 < 36 < 47 nên $\sqrt{35}<\sqrt{36}<\sqrt{47}$ hay $\sqrt{35}<6<\sqrt{47}$

Nhận thấy nhóm 1 gồm các số thực âm, nhóm 2 là số 0, nhóm 3 gồm các số thực dương. Vì số 0 luôn lớn hơn số âm và nhỏ hơn số dương nên ta có:

$-\sqrt{3}$ < –1,7 < 0 < < 6 < $\sqrt{47}$

Vậy sắp xếp theo thứ tự tăng dần như sau: $-\sqrt{3}$; –1,7; 0; $\sqrt{35}$; 6; $\sqrt{47}$

b) Ta chia các số $-\sqrt{2{,}3};\sqrt{5\frac{1}{6}};0;\sqrt{5{,}3};-\sqrt{2\frac{1}{3}};-1{,}5$ thành ba nhóm:

Nhóm 1: $-\sqrt{2{,}3};-\sqrt{2\frac{1}{3}}$; –1,5.

Nhóm 2 là số 0.

Nhóm 3: $\sqrt{5\frac{1}{6}};\sqrt{5{,}3}$

So sánh nhóm 1:

Ta có: –1,5 = –$\sqrt{2{,}25}$ và $-\sqrt{2\frac{1}{3}}=-\sqrt{2{,}333...}$

Vì 2,25 < 2,3 < 2,333… nên $\sqrt{2{,}25}<\sqrt{2{,}3}<\sqrt{2{,}333...}$

Do đó: $-\sqrt{2{,}25}>-\sqrt{2{,}3}>-\sqrt{2{,}333...}$ nên $-1{,}5>-\sqrt{2{,}3}>-\sqrt{2\frac{1}{3}}$

So sánh nhóm 3:

Ta có $\sqrt{5\frac{1}{6}}=5{,}166...$

Vì 5,3 > 5,166… nên $\sqrt{5{,}3}>\sqrt{5{,}166...}$ hay $\sqrt{5{,}3}>\sqrt{5\frac{1}{6}}$

Nhận thấy nhóm 1 gồm các số thực âm, nhóm 2 là số 0, nhóm 3 gồm các số thực dương. Vì số 0 luôn lớn hơn số âm và nhỏ hơn số dương nên ta có:

$\sqrt{5{,}3}>\sqrt{5\frac{1}{6}}>0>-1{,}5>-\sqrt{2{,}3}>-\sqrt{2\frac{1}{3}}$

Vậy sắp xếp theo thứ tự giảm dần là: $\sqrt{5{,}3};\sqrt{5\frac{1}{6}};0;-1{,}5;-\sqrt{2{,}3};-\sqrt{2\frac{1}{3}}$

$a)\sqrt{x}-16=0(\mathrm{điều}\mathrm{kện}x\ge 0)\ \sqrt{x}=16\ \sqrt{x}=\sqrt{{16}^{2}}\ \sqrt{x}=\sqrt{256}\ x=256(\mathrm{thỏa}\mathrm{mãn})\ \mathrm{Vậy}x=256$

$b)2\sqrt{x}=1{,}5(\mathrm{điều}\mathrm{kiện}x\ge 0)\ \sqrt{x}=\frac{1{,}5}{2}\ \sqrt{x}=0{,}75\ \sqrt{x}=\sqrt{0,{75}^{2}}\ \sqrt{x}=\sqrt{0{,}5625}\ x=0{,}5625(\mathrm{thỏa}\mathrm{mãn})\ \mathrm{Vậy}x=0{,}5625$

$c)\sqrt{x+4}-0{,}6=2{,}4(\mathrm{điều}\mathrm{kiện}x\ge -4)\ \sqrt{x+4}=2{,}4+0{,}6\ \sqrt{x+4}=3\ \sqrt{x+4}=\sqrt{{3}^{2}}\ \sqrt{x+4}=\sqrt{9}\ x+4=9\ x=9-4\ x=5(\mathrm{thỏa}\mathrm{mãn})\ \mathrm{Vậy}x=5$

a) $\frac{x}{-3}=\frac{7}{0{,}75}$

0,75.x = (–3).7 (Áp dụng tính chất tỉ lệ thức)

0,75.x = –21

x = (–21) : 0,75

x = –28

Vậy x = –28.

b)

$-0{,}52:x=\sqrt{1{,}69}:(-1{,}5)\ \frac{-0{,}52}{x}=\frac{\sqrt{1{,}69}}{-1{,}5}\ (-0{,}52).(-1{,}5)=x.\sqrt{1{,}69}(\mathrm{Áp}\mathrm{dụng}\mathrm{tính}\mathrm{chất}\mathrm{tỉ}\mathrm{lệ}\mathrm{thức})\ 0{,}78=x\sqrt{1,{3}^{2}}\ 0{,}78=x.1{,}3\ 1{,}3.x=0{,}78\ x=0{,}78:1{,}3\ x=0{,}6\ \mathrm{Vậy}x=0{,}6.$

$c)x:\sqrt{5}=\sqrt{5}:x\ \frac{x}{\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}}{x}\ x.x=\sqrt{5}.\sqrt{5}(\mathrm{Áp}\mathrm{dụng}\mathrm{tính}\mathrm{chất}\mathrm{tỉ}\mathrm{lệ}\mathrm{thức})\ {x}^{2}={(\sqrt{5})}^{2}={(\sqrt{5})}^{2}={(-\sqrt{5})}^{2}\ x=\sqrt{5}\mathrm{hoặc}x=-\sqrt{5}\ \mathrm{Vậy}x=\sqrt{5}\mathrm{hoặc}x=-\sqrt{5}$

Ta có $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:

$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{a-c}{b-d}(1)$

Ta lại có: $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{2c}{2d}$

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:

$\frac{a}{b}=\frac{2c}{2d}=\frac{a+2c}{b+2d}(2)$

Từ (1) và (2) ta có:

$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{a-c}{b-d}=\frac{a+2c}{b+2d}$

Hay $\frac{a-c}{b-d}=\frac{a+2c}{b+2d}$(điều phải chứng minh)

Theo đề bài: $\frac{x}{5}=\frac{y}{7}=\frac{z}{9}$ áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:

$\frac{x}{5}=\frac{y}{7}=\frac{z}{9}=\frac{x-y+z}{5-7+9}=\frac{\frac{7}{3}}{7}=\frac{7}{3}:7=\frac{7}{3}.\frac{1}{7}=\frac{1}{3}$

Khi đó:

$+)\frac{x}{5}=\frac{1}{3}suyra3x=1.5dođóx=\frac{1.5}{3}=\frac{5}{3}\ +)\frac{y}{7}=\frac{1}{3}suyra3y=1.7dođóy=\frac{1.7}{3}=\frac{7}{3}\ +)\frac{z}{9}=\frac{1}{3}suyra3z=1.9dođóz=\frac{1.9}{3}=\frac{9}{3}\ Vậyx=\frac{5}{3};y=\frac{7}{3};z=\frac{9}{3}$

Gọi số học sinh có kết quả học tập ở mức Tốt, Khá, Đạt của lớp 7A lần lượt là x; y; z (x; y; z $\in {ℕ}^{*}$).

Theo đề bài lớp 7A có 45 học sinh nên ta có x + y + z = 45

Do số học sinh có kết quả học tập ở mức Tốt, Khá, Đạt tỉ lệ với ba số 3; 4; 2 nên ta có dãy tỉ số bằng nhau:

$\frac{x}{3}=\frac{y}{4}=\frac{z}{2}$

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:

$\frac{x}{3}=\frac{y}{4}=\frac{z}{2}=\frac{x+y+z}{3+4+2}=\frac{45}{9}=5$

Khi đó:

$+)\frac{x}{3}=5suyrax=5.3=15(thoảmãn);\ +)\frac{y}{4}=5suyray=5.4=20(thoảmãn);\ +)\frac{z}{2}=5suyraz=5.2=10(thoảmãn).$

Vậy số học sinh lớp 7A có kết quả học tập ở mức Tốt là 15 học sinh; số học sinh có kết quả học tập ở mức Khá là 20 học sinh; số học sinh có kết quả học tập ở mức Đạt là 10 học sinh.

Vì giá táo giảm 25% nên giá tạo thức tế chị Phương mua với giá bằng 75% giá táo dự định.

Ta có 75% = $\frac{3}{4}$ .

Do đó giá táo thực tế chị Phương mua bằng $\frac{3}{4}$ giá táo dự định.

Gọi số táo chị Phương thực tế mua được là x (x $\in {ℕ}^{*}$ ).

Do giá táo và số lượng táo mua được tỉ lệ nghịch với nhau nên tỉ số của số kg táo thực tế mua được với số kg táo dự định là $\frac{3}{4}$.

Áp dụng tính chất tỉ lệ nghịch ta có: $\frac{x}{3}=\frac{4}{3}$

Suy ra $x=\frac{4.3}{3}=4$ (kg)

Vậy chị Phương có thể mua 4 (kg) táo với số tiền dự định.

Đổi 15 phút = $\frac{1}{4}$ (giờ)

Gọi x (km) là quãng đường chị Lan đã chạy được, y (h) là thời gian chị Lan chạy trên quãng đường tương ứng (x; y > 0).

Vì quãng đường chạy được và thời gian chạy được là hai đại lượng tỉ lệ thuận với nhau nên theo tính chất tỉ lệ thuận ta có: $\frac{{x}_{1}}{{y}_{1}}=\frac{{x}_{2}}{{y}_{2}}$

Thay x$_{1}$ = 2,5; ${y}_{1}=\frac{1}{4}$; y$_{2}$ = 1 ta có: $\frac{2{,}5}{\frac{1}{4}}=\frac{{x}_{2}}{1}$

Suy ra ${x}_{2}=\frac{2{,}5.1}{\frac{1}{4}}=2{,}5.1.4=10$ (thoả mãn)

Vậy trong 1 giờ chị Lan chạy được 10 km.

Gọi x (sản phẩm) và y (h) lần lượt là số sản phẩm và thời gian làm ra số sản phẩm tương ứng của một người công nhân (x $\in {ℕ}^{*}$; y > 0).

Vì số sản phẩm và thời gian làm số sản phẩm đó tỉ lệ thuận với nhau nên theo tính chất tỉ lệ thuận ta có: $\frac{{x}_{1}}{{y}_{1}}=\frac{{x}_{2}}{{y}_{2}}$.

Thay x$_{1}$ = 20; y$_{1}$ = 30; y$_{2}$ = 75 ta có: $\frac{20}{30}=\frac{{x}_{2}}{75}$

Suy ra ${x}_{2}=\frac{20.75}{30}=50$

Vậy trong 75 phút người đó sẽ làm được 50 sản phẩm.

Gọi x (đô la) và y (đồng) lần lượt là số tiền đô la Mỹ và số tiền Việt Nam đổi ra tương ứng.

Số tiền đô la Mỹ và số tiền Việt Nam tỉ lệ thuận với nhau nên theo tính chất tỉ lệ thuận ta có: $\frac{{x}_{1}}{{y}_{1}}=\frac{{x}_{2}}{{y}_{2}}$ .

Thay x$_{1}$ = 50; y$_{1}$ = 1 158 000; x$_{2}$ = 750 ta được: $\frac{50}{1\text{158 000}}=\frac{750}{{y}_{2}}$

Suy ra ${y}_{2}=\frac{1\text{158 000.750}}{50}=17\text{370 000}$

Vậy để có 750 đô la Mỹ, ta cần đổi 17 370 000 (đồng) Việt Nam.

Vì cải tiến kỹ thuật nên năng suất tháng này bằng 1,2 lần năng suất tháng trước hay nói cách khác tỉ số của năng suất tháng này so với năng suất tháng trước là $\frac{6}{5}$ (vì 1,2 = $\frac{6}{5}$).

Mà năng suất và thời gian sản suất là hai đại lượng tỉ lệ nghịch với nhau.

Do đó tỉ số thời gian để làm 1000 sản phẩm tháng trước và thời gian để làm 1000 sản phẩm tháng này là $\frac{6}{5}$.

Gọi thời gian để làm 1000 sản phẩm tháng này là x (x > 0)

Ta có: $\frac{6}{x}=\frac{6}{5}$ suy ra $x=\frac{6.5}{6}=5$ (thoả mãn).

Vậy trong tháng này, thời gian để sản suất 1000 sản phẩm là 5 giờ.

Gọi x là khối lượng của đồng có trong 25 kg hợp kim, y là khối lượng của niken có trong 25 kg hợp kim (x; y > 0) (kg).

Theo đề bài tổng khối lượng hợp kim là 25 kg nên x + y = 25.

Lại có tỉ lệ khối lượng của đồng và niken trong hợp kim là 9 và 11 nên ta có:

Hay $\frac{x}{9}=\frac{\text{y}}{\text{11}}$ (áp dụng tính chất tỉ lệ thức)

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có: $\frac{x}{9}=\frac{\text{y}}{\text{11}}=\frac{x+y}{9+11}=\frac{25}{20}=\frac{5}{4}$ .

Khi đó:

+) $\frac{x}{9}=\frac{5}{4}$ suy ra $x=\frac{5.9}{4}=11{,}25$ (thoả mãn);

+) $\frac{y}{11}=\frac{5}{4}$ suy ra $x=\frac{5.11}{4}=13{,}75$ (thoả mãn).

Vậy khối lượng của đồng có trong 25 kg hợp kim là 11,25 kg; khối lượng của niken có trong 25 kg hợp kim là 13,75 kg.

Gọi chiều dài của ba hình chữ nhật có cùng diện tích là x; y; z (x; y; z > 0) (cm).

Theo đề bài tổng chiều dài của ba hình chữ nhật đó là 110 cm nên x + y + z = 110.

Vì diện tích hình chữ nhật là tích của chiều dài và chiều rộng mà ba hình chữ nhật này có cùng diện tích thì khi các chiều rộng tỉ lệ thuận với 1; 2; 3 thì chiều dài của chúng phải tỉ lệ nghịch với 1; 2; 3.

Theo tính chất tỉ lệ nghịch ta có: x = 2y = 3z

Suy ra $\frac{x}{1}=\frac{y}{\frac{1}{2}}=\frac{z}{\frac{1}{3}}$ hay $\frac{x}{6}=\frac{y}{3}=\frac{z}{2}$.

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:

$\frac{x}{6}=\frac{y}{3}=\frac{z}{2}=\frac{x+y+z}{6+3+2}=\frac{110}{11}=10$

Khi đó:

+) $\frac{x}{6}=10$ suy ra x = 10.6 = 60 (thoả mãn);

+) $\frac{y}{3}=10$ suy ra y = 10.3 = 30 (thoả mãn);

+) $\frac{z}{2}=10$ suy ra z = 10.2 = 20 (thoả mãn).

Vậy chiều dài ba hình chữ nhật có cùng diện tích đó lần lượt là 60cm; 30cm; 20cm.

Gọi chiều dài và chiều rộng đáy lớn của hình là x; y (x; y > 0)

Khi đó thể tích sữa của hình a được tính bởi công thức V$_{1}$ = 6xy.

Chiều cao của phần không có sữa trên hình b là 12 – 7 = 5 cm. Khi đó thể tích phần không có sữa tính bởi công thức V$_{2}$ = 5xy.

Vì thể tích sữa ở hai hình như nhau nên thể tích phần không có sữa ở hình b cũng là thể tích phần không có sữa ở hình a.

Do đó, thể tích cả hộp sữa là: V = 6xy + 5xy = 11xy.

Tỉ số của thể tích sữa có trong hộp và thể tích cả hộp là:

$\frac{{V}_{1}}{V}=\frac{6xy}{11xy}=\frac{6}{11}$

Vậy tỉ số thể tích sữa có trong hộp và thể tích cả hộp là $\frac{6}{11}$ .