Bài tập Nhị thức Newton có đáp án

Hướng dẫn giải

a) Vì có tổng cộng 3 quả cầu dán nhãn b nên có ${C}_{3}^{3}$ = 1 cách lấy ra 3 quả cầu dán nhãn b.

b) Vì có tổng cộng 3 quả cầu dán nhãn b nên có ${C}_{3}^{2}$ = 3 cách lấy ra 2 quả cầu dán nhãn b.

c) Vì có tổng cộng 3 quả cầu dán nhãn b nên có ${C}_{3}^{1}$ = 3 cách lấy ra 1 quả cầu dán nhãn b.

d) Vì có tổng cộng 3 quả cầu dán nhãn b nên có ${C}_{3}^{0}$ = 1 cách lấy ra 1 quả cầu dán nhãn b.

Hướng dẫn giải

a) ${(x-y)}^{6}$

$={C}_{6}^{0}{x}^{6}+{C}_{6}^{1}{x}^{5}(-y)+{C}_{6}^{2}{x}^{4}{(-y)}^{2}+{C}_{6}^{3}{x}^{3}{(-y)}^{3}$

$+{C}_{6}^{4}{x}^{2}{(-y)}^{4}+{C}_{6}^{5}x{(-y)}^{5}+{C}_{6}^{6}{(-y)}^{6}$

$={x}^{6}-{C}_{6}^{1}{x}^{5}y+{C}_{6}^{2}{x}^{4}{y}^{2}-{C}_{6}^{3}{x}^{3}{y}^{3}+{C}_{6}^{4}{x}^{2}{y}^{4}-{C}_{6}^{5}x{y}^{5}+{y}^{6}$

$={x}^{6}-6{x}^{5}y+15{x}^{4}{y}^{2}-20{x}^{3}{y}^{3}+15{x}^{2}{y}^{4}-6x{y}^{5}+{y}^{6}.$

b)${(1+x)}^{7}$

$={C}_{7}^{0}{1}^{7}+{C}_{7}^{1}{1}^{6}x+{C}_{7}^{2}{1}^{5}{x}^{2}+{C}_{7}^{3}{1}^{4}{x}^{3}$

$+{C}_{7}^{4}{1}^{3}{x}^{4}+{C}_{7}^{5}{1}^{2}{x}^{5}+{C}_{7}^{6}1{x}^{6}+{C}_{7}^{7}{x}^{7}$

= 1 + 7x + 21x2 + 35x3 + 35x4 + 21x5 + 7x6 + x7.

Hướng dẫn giải

+) Có ${C}_{n}^{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!},\ {C}_{n}^{n-k}=\frac{n!}{(n-k)![n-(n-k)]!}=\frac{n!}{(n-k)!k!}=\frac{n!}{k!(n-k)!}.$

Vậy ${C}_{n}^{k}={C}_{n}^{n-k}.$

+) ${C}_{n}^{k-1}+{C}_{n}^{k}=\frac{n!}{(k-1)!(n-k+1)!}+\frac{n!}{k!(n-k)!}$

$=\frac{\frac{(n+1)!}{n+1}}{\frac{k!}{k}(n-k+1)!}+\frac{\frac{(n+1)!}{n+1}}{k!\frac{(n-k+1)!}{(n-k+1)}}=\frac{k}{n+1}.\frac{(n+1)!}{k!(n-k+1)!}+\frac{n-k+1}{n+1}.\frac{(n+1)!}{k!(n-k+1)!}$

$=\frac{k}{n+1}.\frac{(n+1)!}{k![(n+1)-k]!}+\frac{n-k+1}{n+1}.\frac{(n+1)!}{k![(n+1)-k]!}$

$=\frac{k}{n+1}.{C}_{n+1}^{k}+\frac{n-k+1}{n+1}.{C}_{n+1}^{k}=(\frac{k}{n+1}+\frac{n-k+1}{n+1}){C}_{n+1}^{k}$

$=\frac{k+(n-k+1)}{n+1}{C}_{n+1}^{k}=\frac{n+1}{n+1}{C}_{n+1}^{k}={C}_{n+1}^{k}.$

Hướng dẫn giải

a)${(2x+1)}^{6}$

$={(2x)}^{6}+6{(2x)}^{5}1+15{(2x)}^{4}{1}^{2}+20{(2x)}^{3}{1}^{3}+15{(2x)}^{2}{1}^{4}+6(2x){1}^{5}+{1}^{6}$

$=64{x}^{6}+192{x}^{5}+240{x}^{4}+160{x}^{3}+60{x}^{2}+12x+1.$

b) ${(x-y)}^{7}$

$={x}^{7}+7{x}^{6}(-y)+21{x}^{5}{(-y)}^{2}+35{x}^{4}{(-y)}^{3}+35{x}^{3}{(-y)}^{4}+21{x}^{2}{(-y)}^{5}+7x{(-y)}^{6}+{(-y)}^{7}$

Hướng dẫn giải

Áp dụng công thức nhị thức Newton, ta có:

${(3x+2)}^{9}$ =

${C}_{9}^{0}{(3x)}^{9}+{C}_{9}^{1}{(3x)}^{8}2+...+{C}_{9}^{k}{(3x)}^{9-k}{2}^{k}+...+{C}_{9}^{9}{2}^{9}.$

Số hạng chứa ${x}^{2}$ ứng với giá trị k = 7. Hệ số của số hạng này là ${C}_{9}^{7}{3}^{2}{2}^{7}=41472.$

Hướng dẫn giải

Áp dụng công thức nhị thức Newton, ta có:

${(x+a)}^{6}$ = ${C}_{6}^{0}{x}^{6}+{C}_{6}^{1}{x}^{5}a+...+{C}_{6}^{k}{x}^{6-k}{a}^{k}+...+{C}_{6}^{6}{a}^{6}.$

Số hạng chứa x4 ứng với giá trị k = 2. Hệ số của số hạng này là ${C}_{6}^{2}{a}^{2}=15{a}^{2}.$

Theo giả thiết, ta có 15${a}^{2}$ = 60, suy ra a = 2 hoặc a = –2.

Vậy a = 2 hoặc a = –2.

Hướng dẫn giải

Xét khai triển:

${(1+x)}^{n}$ $={C}_{n}^{0}{1}^{n}+{C}_{n}^{1}{1}^{n-1}x+{C}_{n}^{2}{1}^{n-2}{x}^{2}+{C}_{n}^{3}{1}^{n-3}{x}^{3}+\ldots +{C}_{n}^{n}{x}^{n}$

$={C}_{n}^{0}+{C}_{n}^{1}x+{C}_{n}^{2}{x}^{2}+{C}_{n}^{3}{x}^{3}+\ldots +{C}_{n}^{n}{x}^{n}.$

Thay x = –1 ta được:

${(1-1)}^{n}$ $={C}_{n}^{0}+{C}_{n}^{1}(-1)+{C}_{n}^{2}{(-1)}^{2}+{C}_{n}^{3}{(-1)}^{3}+\ldots +{C}_{n}^{n}{(-1)}^{n}$

$={C}_{n}^{0}-{C}_{n}^{1}+{C}_{n}^{2}-{C}_{n}^{3}+\ldots +{(-1)}^{n}{C}_{n}^{n}$

$\Rightarrow {C}_{n}^{0}-{C}_{n}^{1}+{C}_{n}^{2}-{C}_{n}^{3}+\ldots +{(-1)}^{n}{C}_{n}^{n}=0.$

Hướng dẫn giải

Số cách lấy k quả cầu từ hộp A rồi cho vào hộp B là ${C}_{10}^{k}$ với 0 ≤ k ≤ 10.

Như vậy có tất cả ${C}_{10}^{0}+{C}_{10}^{1}+{C}_{10}^{2}+...+{C}_{10}^{9}+{C}_{10}^{10}$ cách.

Lại có ${C}_{10}^{0}+{C}_{10}^{1}+{C}_{10}^{2}+...+{C}_{10}^{9}+{C}_{10}^{10}={2}^{10}=1024$

nên có tổng cộng 1024 cách lấy.

Hướng dẫn giải

Sử dụng tam giác Pascal, ta có:

a) ${(x-2y)}^{6}$

$={x}^{6}+6{x}^{5}(-2y)+15{x}^{4}{(-2y)}^{2}+20{x}^{3}{(-2y)}^{3}+15{x}^{2}{(-2y)}^{4}+6x{(-2y)}^{5}+{(-2y)}^{6}$

$={x}^{6}-12{x}^{5}y+60{x}^{4}{y}^{2}-160{x}^{3}{y}^{3}+240{x}^{2}{y}^{4}-12x{y}^{5}+64{y}^{6}.$

b) ${(3x-1)}^{5}$

$={(3x)}^{5}+5{(3x)}^{4}(-1)+10{(3x)}^{3}{(-1)}^{2}+10{(3x)}^{2}{(-1)}^{3}+5(3x){(-1)}^{4}+{(-1)}^{5}$

$=243{x}^{5}-405{x}^{4}+270{x}^{3}-90{x}^{2}+15x-1.$

Hướng dẫn giải

Áp dụng công thức nhị thức Newton, ta có:

(2 – x)$^{12}$ =

${C}_{12}^{0}{2}^{12}+{C}_{12}^{1}{2}^{11}(-x)+...+{C}_{12}^{k}{2}^{12-k}{(-x)}^{k}+...+{C}_{12}^{12}{(-x)}^{12}$

$={C}_{12}^{0}{2}^{12}+{C}_{12}^{1}{2}^{11}(-1)x+...+{C}_{12}^{k}{2}^{12-k}{(-1)}^{k}{x}^{k}+...+{C}_{12}^{12}{(-1)}^{12}{x}^{12}.$

Số hạng chứa x$^{10}$ ứng với giá trị k = 10. Hệ số của số hạng này là ${C}_{12}^{10}{2}^{12-10}{(-1)}^{10}=264.$

Hướng dẫn giải

Áp dụng công thức nhị thức Newton, ta có:

(ax + 1)$^{6}$ = ${C}_{6}^{0}{(ax)}^{6}+{C}_{6}^{1}{(ax)}^{5}1+...+{C}_{6}^{k}{(ax)}^{6-k}{1}^{k}+...+{C}_{6}^{6}{1}^{6}$

$={C}_{6}^{0}{a}^{6}{x}^{6}+{C}_{6}^{1}{a}^{5}{x}^{5}+...+{C}_{6}^{k}{a}^{6-k}{x}^{6-k}+...+1.$

Số hạng chứa x$^{4}$ ứng với giá trị k = 2. Hệ số của số hạng này là ${C}_{6}^{2}{a}^{6-2}=15{a}^{4};$

Số hạng chứa x$^{2}$ ứng với giá trị k = 4. Hệ số của số hạng này là ${C}_{6}^{4}{a}^{6-4}=15{a}^{2}.$

Theo giả thiết, ta có 15a$^{4}$ = 4 . 15a$^{2}$, suy ra a = 2 hoặc a = –2.

Vậy a = 2 hoặc a = –2.

Hướng dẫn giải

Áp dụng công thức nhị thức Newton, ta có:

(1 + 3x)$^{n}$ = ${C}_{n}^{0}{1}^{n}+{C}_{n}^{1}{1}^{n-1}(3x)+...+{C}_{n}^{k}{1}^{n-k}{(3x)}^{k}+...+{C}_{n}^{n}{(3x)}^{n}$

$=1+{C}_{n}^{1}3x+...+{C}_{n}^{k}{3}^{k}{x}^{k}+...+{C}_{n}^{n}{3}^{n}{x}^{n}.$

Số hạng chứa x2 ứng với giá trị k = 2. Hệ số của số hạng này là ${C}_{n}^{2}{3}^{2}=\frac{9n(n-1)}{2}.$

Theo giả thiết, ta có $\frac{9n(n-1)}{2}=90\Rightarrow n(n-1)=20\Rightarrow [\begin{matrix}n=5\ (TM) \\ n=-4\text{​​}(L)\end{matrix}.$

Vậy n = 5.

Hướng dẫn giải

+) Với n = 1, ta có: (a + b)1 = a + b = ${C}_{1}^{0}{a}^{1}+{C}_{1}^{1}{b}^{1}.$

Vậy công thức đúng với n = 1.

+) Với k ≥ 1 là một số nguyên dương tuỳ ý mà công thức đúng đúng, ta phải chứng minh công thức cũng đúng với k + 1, tức là:

${(a+b)}^{k+1}={C}_{k+1}^{0}{a}^{k+1}+{C}_{k+1}^{1}{a}^{(k+1)-1}b+...+{C}_{k+1}^{(k+1)-1}a{b}^{(k+1)-1}+{C}_{k+1}^{k+1}{b}^{k+1}.$

Thật vậy, theo giả thiết quy nạp ta có:

${(a+b)}^{k}={C}_{k}^{0}{a}^{k}+{C}_{k}^{1}{a}^{k-1}b+...+{C}_{k}^{k-1}a{b}^{k-1}+{C}_{k}^{k}{b}^{k}.$

Khi đó:

${(a+b)}^{k+1}=(a+b){(a+b)}^{k}$

$=a{(a+b)}^{k}+b{(a+b)}^{k}$

$=a({C}_{k}^{0}{a}^{k}+{C}_{k}^{1}{a}^{k-1}b+...+{C}_{k}^{k-1}a{b}^{k-1}+{C}_{k}^{k}{b}^{k})$

$+b({C}_{k}^{0}{a}^{k}+{C}_{k}^{1}{a}^{k-1}b+...+{C}_{k}^{k-1}a{b}^{k-1}+{C}_{k}^{k}{b}^{k})$

$=({C}_{k}^{0}{a}^{k+1}+{C}_{k}^{1}{a}^{k}b+{C}_{k}^{2}{a}^{k-1}{b}^{2}+...+{C}_{k}^{k-1}{a}^{2}{b}^{k-1}+{C}_{k}^{k}a{b}^{k})$

$+({C}_{k}^{0}{a}^{k}b+{C}_{k}^{1}{a}^{k-1}{b}^{2}+...+{C}_{k}^{k-2}{a}^{2}{b}^{k-1}+{C}_{k}^{k-1}a{b}^{k}+{C}_{k}^{k}{b}^{k+1})$

$={C}_{k}^{0}{a}^{k+1}+({C}_{k}^{0}+{C}_{k}^{1}){a}^{k}b+({C}_{k}^{1}+{C}_{k}^{2}){a}^{k-1}{b}^{2}+...$

$+({C}_{k}^{k-2}+{C}_{k}^{k-1}){a}^{2}{b}^{k-1}+({C}_{k}^{k-1}+{C}_{k}^{k})a{b}^{k}+{C}_{k}^{k}{b}^{k+1}$

$=1.{a}^{k+1}+{C}_{k+1}^{1}{a}^{k}b+{C}_{k+1}^{2}{a}^{k-1}{b}^{2}+...+{C}_{k+1}^{k-1}{a}^{2}{b}^{k-1}+{C}_{k+1}^{k}a{b}^{k}+1.{b}^{k+1}$

(vì ${C}_{k}^{i}+{C}_{k}^{i+1}={C}_{k+1}^{i+1}\ \forall 0\le i\le k$, i $\in$ ℕ, k$\in$ ℕ*)

$={C}_{k+1}^{0}{a}^{k+1}+{C}_{k+1}^{1}{a}^{(k+1)-1}b+...+{C}_{k+1}^{(k+1)-1}a{b}^{(k+1)-1}+{C}_{k+1}^{k+1}{b}^{k+1}.$

Vậy công thức cũng đúng với n = k + 1. Do đó theo nguyên lí quy nạp toán học, công thức đã cho đúng với mọi n $\in$ ℕ*.

Hướng dẫn giải

Có (3x – 1)$^{7}$

$={C}_{7}^{0}{(3x)}^{7}+{C}_{7}^{1}{(3x)}^{6}(-1)+{C}_{7}^{2}{(3x)}^{5}{(-1)}^{2}+{C}_{7}^{3}{(3x)}^{4}{(-1)}^{3}$

$+{C}_{7}^{4}{(3x)}^{3}{(-1)}^{4}+{C}_{7}^{5}{(3x)}^{2}{(-1)}^{5}+{C}_{7}^{6}{(3x)}^{1}{(-1)}^{6}+{C}_{7}^{7}{(-1)}^{7}$

= 2187x7 – 5103x6 + 5103x5 – 2835x4 + 945x3 – 189x2 + 21x – 1.

a) a$_{0}$ + a$_{1}$ + a$_{2}$ + a$_{3}$ + a$_{4}$ + a$_{5}$ + a$_{6}$ + a$_{7}$

= (–1) + 21 + (–189) + 945 + (–2835) + 5103 + (–5103) + 2187 = 128.

b) a$_{0}$ + a$_{2}$ + a$_{4}$ + a$_{6}$

= (–1) + (–189) + (–2835) + (–5103) = –8128.

Hướng dẫn giải

Vì tập hợp đã cho có 12 phần tử nên số tập hợp con có k phần tử của nó là: ${C}_{12}^{k}.$

Như vậy tổng số tập con của tập hợp này là: ${C}_{12}^{0}+{C}_{12}^{1}+{C}_{12}^{2}+...+{C}_{12}^{11}+{C}_{12}^{12}.$

Lại có ${C}_{12}^{0}+{C}_{12}^{1}+{C}_{12}^{2}+...+{C}_{12}^{11}+{C}_{12}^{12}={2}^{12}=4096.$

Vậy một tập hợp có 12 phần tử thì có tất cả 4096 tập hợp con.

Hướng dẫn giải

a) Có ${C}_{15}^{0}$ cách chọn ra 0 bút chì màu;

Có ${C}_{15}^{1}$ cách chọn ra 1 bút chì màu;

Có ${C}_{15}^{2}$ cách chọn ra 2 bút chì màu;

...

Có ${C}_{15}^{15}$ cách chọn ra 15 bút chì màu.

Vậy có tổng cộng ${C}_{15}^{0}+{C}_{15}^{1}+{C}_{15}^{2}+...+{C}_{15}^{14}+{C}_{15}^{15}={2}^{15}=32768$ cách chọn ra một số bút chì màu.

b) Số cách chọn ra ít nhất 8 bút chì màu là: ${C}_{15}^{0}+{C}_{15}^{1}+{C}_{15}^{2}+...+{C}_{15}^{7}+{C}_{15}^{8}.$

Vì ${C}_{15}^{0}={C}_{15}^{15},\ {C}_{15}^{1}={C}_{15}^{14},\ {C}_{15}^{2}={C}_{15}^{13},...,\ {C}_{15}^{7}={C}_{15}^{8}$

nên ${C}_{15}^{0}+{C}_{15}^{1}+{C}_{15}^{2}+...+{C}_{15}^{7}=\frac{1}{2}({C}_{15}^{0}+{C}_{15}^{1}+{C}_{15}^{2}+...+{C}_{15}^{14}+{C}_{15}^{15})=\frac{1}{2}.32768=16384$

$\Rightarrow {C}_{15}^{0}+{C}_{15}^{1}+{C}_{15}^{2}+...+{C}_{15}^{7}+{C}_{15}^{8}=16384+6345=22819.$

Vậy có 22819 cách chọn ra ít nhất 8 bút chì màu.