Bài tập Nhị thức Newton có đáp án

Hướng dẫn giải

a) Vì có tổng cộng 3 quả cầu dán nhãn b nên có ${C}_{3}^{3}$ = 1 cách lấy ra 3 quả cầu dán nhãn b.

b) Vì có tổng cộng 3 quả cầu dán nhãn b nên có ${C}_{3}^{2}$ = 3 cách lấy ra 2 quả cầu dán nhãn b.

c) Vì có tổng cộng 3 quả cầu dán nhãn b nên có ${C}_{3}^{1}$ = 3 cách lấy ra 1 quả cầu dán nhãn b.

d) Vì có tổng cộng 3 quả cầu dán nhãn b nên có ${C}_{3}^{0}$ = 1 cách lấy ra 1 quả cầu dán nhãn b.

Hướng dẫn giải

a) ${(x-y)}^{6}$

$={C}_{6}^{0}{x}^{6}+{C}_{6}^{1}{x}^{5}(-y)+{C}_{6}^{2}{x}^{4}{(-y)}^{2}+{C}_{6}^{3}{x}^{3}{(-y)}^{3}$

$+{C}_{6}^{4}{x}^{2}{(-y)}^{4}+{C}_{6}^{5}x{(-y)}^{5}+{C}_{6}^{6}{(-y)}^{6}$

$={x}^{6}-{C}_{6}^{1}{x}^{5}y+{C}_{6}^{2}{x}^{4}{y}^{2}-{C}_{6}^{3}{x}^{3}{y}^{3}+{C}_{6}^{4}{x}^{2}{y}^{4}-{C}_{6}^{5}x{y}^{5}+{y}^{6}$

$={x}^{6}-6{x}^{5}y+15{x}^{4}{y}^{2}-20{x}^{3}{y}^{3}+15{x}^{2}{y}^{4}-6x{y}^{5}+{y}^{6}.$

b)${(1+x)}^{7}$

$={C}_{7}^{0}{1}^{7}+{C}_{7}^{1}{1}^{6}x+{C}_{7}^{2}{1}^{5}{x}^{2}+{C}_{7}^{3}{1}^{4}{x}^{3}$

$+{C}_{7}^{4}{1}^{3}{x}^{4}+{C}_{7}^{5}{1}^{2}{x}^{5}+{C}_{7}^{6}1{x}^{6}+{C}_{7}^{7}{x}^{7}$

= 1 + 7x + 21x2 + 35x3 + 35x4 + 21x5 + 7x6 + x7.

Hướng dẫn giải

+) Có ${C}_{n}^{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!},\ {C}_{n}^{n-k}=\frac{n!}{(n-k)![n-(n-k)]!}=\frac{n!}{(n-k)!k!}=\frac{n!}{k!(n-k)!}.$

Vậy ${C}_{n}^{k}={C}_{n}^{n-k}.$

+) ${C}_{n}^{k-1}+{C}_{n}^{k}=\frac{n!}{(k-1)!(n-k+1)!}+\frac{n!}{k!(n-k)!}$

$=\frac{\frac{(n+1)!}{n+1}}{\frac{k!}{k}(n-k+1)!}+\frac{\frac{(n+1)!}{n+1}}{k!\frac{(n-k+1)!}{(n-k+1)}}=\frac{k}{n+1}.\frac{(n+1)!}{k!(n-k+1)!}+\frac{n-k+1}{n+1}.\frac{(n+1)!}{k!(n-k+1)!}$

$=\frac{k}{n+1}.\frac{(n+1)!}{k![(n+1)-k]!}+\frac{n-k+1}{n+1}.\frac{(n+1)!}{k![(n+1)-k]!}$

$=\frac{k}{n+1}.{C}_{n+1}^{k}+\frac{n-k+1}{n+1}.{C}_{n+1}^{k}=(\frac{k}{n+1}+\frac{n-k+1}{n+1}){C}_{n+1}^{k}$

$=\frac{k+(n-k+1)}{n+1}{C}_{n+1}^{k}=\frac{n+1}{n+1}{C}_{n+1}^{k}={C}_{n+1}^{k}.$

Hướng dẫn giải

a)${(2x+1)}^{6}$

$={(2x)}^{6}+6{(2x)}^{5}1+15{(2x)}^{4}{1}^{2}+20{(2x)}^{3}{1}^{3}+15{(2x)}^{2}{1}^{4}+6(2x){1}^{5}+{1}^{6}$

$=64{x}^{6}+192{x}^{5}+240{x}^{4}+160{x}^{3}+60{x}^{2}+12x+1.$

b) ${(x-y)}^{7}$

$={x}^{7}+7{x}^{6}(-y)+21{x}^{5}{(-y)}^{2}+35{x}^{4}{(-y)}^{3}+35{x}^{3}{(-y)}^{4}+21{x}^{2}{(-y)}^{5}+7x{(-y)}^{6}+{(-y)}^{7}$

Hướng dẫn giải

Áp dụng công thức nhị thức Newton, ta có:

${(3x+2)}^{9}$ =

${C}_{9}^{0}{(3x)}^{9}+{C}_{9}^{1}{(3x)}^{8}2+...+{C}_{9}^{k}{(3x)}^{9-k}{2}^{k}+...+{C}_{9}^{9}{2}^{9}.$

Số hạng chứa ${x}^{2}$ ứng với giá trị k = 7. Hệ số của số hạng này là ${C}_{9}^{7}{3}^{2}{2}^{7}=41472.$