Bài tập Nhị thức Newton có đáp án

Hướng dẫn giải

Sau bài học này, ta sẽ biết khai triển các biểu thức (a + b)$^{4}$, (a + b)$^{5}$ một cách nhanh chóng bằng cách áp dụng công thức nhị thức Newton (a + b)$^{n}$ với n = 4; n = 5.

Hướng dẫn giải

Ta có: $C_3^0 = 1,\,\,C_3^1 = 3,\,\,C_3^2 = 3,\,\,C_3^3 = 1$.

Vì (a + b)$^{3}$ = a$^{3}$ + 3a$^{2}$b + 3ab$^{2}$ + b$^{3}$ = 1 . a$^{3}$ + 3 . a$^{2}$. b$^{1}$ + 3 . a$^{1}$ . b$^{2}$ + 1 . b$^{3}$

và theo ý trên ta có: $C_3^0 = 1,\,\,C_3^1 = 3,\,\,C_3^2 = 3,\,\,C_3^3 = 1$.

Vậy ta điền được như sau:

(a + b)$^{3}$

Hướng dẫn giải

Ta có: (2 + x)$^{4}$ = 2$^{4}$ + 4 . 2$^{3}$ . x + 6 . 2$^{2}$ . x$^{2}$ + 4 . 2 . x$^{3}$ + x$^{4}$

= 16 + 32x + 24x$^{2}$ + 8x$^{3}$ + x$^{4}$.

Hướng dẫn giải

Ta có: (2 – 3y)$^{4}$ = [2 + (– 3y)]$^{4}$

= 2$^{4}$ + 4 . 2$^{3}$ . (– 3y) + 6 . 2$^{2}$ . (– 3y)$^{2}$ + 4 . 2 . (– 3y)$^{3}$ + (– 3y)$^{4}$

= 16 – 96y + 216y$^{2}$ – 216y$^{3}$ + 81y$^{4}$.

Hướng dẫn giải

$C_4^0 + C_4^1 + C_4^2 + C_4^3 + C_4^4$

$= C_4^0\,.\,{1^4}\, + C_4^1\,.\,{1^3}\,.\,1 + C_4^2{.1^2}{.1^2} + C_4^3{.1.1^3} + C_4^4{.1^4}$

= (1 + 1)$^{4}$

= 2$^{4}$ = 16.

Lời giải:

$C_5^0 - C_5^1 + C_5^2 - C_5^3 + C_5^4 - C_5^5$

= $C_5^0{.1^5} + C_5^1{.1^4}.\left( { - 1} \right) + C_5^2{.1^3}.{\left( { - 1} \right)^2} + C_5^3{.1^2}.{\left( { - 1} \right)^3} + C_5^4.1.{\left( { - 1} \right)^4} + C_5^5.{\left( { - 1} \right)^5}$

= [1 + (– 1)]$^{5}$

= 0$^{5}$ = 0.

Hướng dẫn giải

a) (2x + 1)$^{4}$ = (2x)$^{4}$ + 4 . (2x)$^{3}$ . 1 + 6 . (2x)$^{2}$ . 1$^{2}$ + 4 . (2x) . 1$^{3}$ + 1$^{4}$

= 16x$^{4}$ + 32x$^{3}$ + 24x2$^{2}$ + 8x + 1.

Lời giải:

(3y – 4)$^{4}$ = [3y + (– 4)]$^{4}$

= (3y)$^{4}$ + 4 . (3y)$^{3}$ . (– 4) + 6 . (3y)$^{2}$ . (– 4)$^{2}$ + 4 . (3y) . (– 4)$^{3}$ + (– 4)$^{4}$

= 81y$^{4}$ – 432y$^{3}$ + 864y$^{2}$ – 768y + 256.

Lời giải:

${\left( {x + \frac{1}{2}} \right)^4}$$= {x^4} + 4.{x^3}.\frac{1}{2} + 6.{x^2}.{\left( {\frac{1}{2}} \right)^2} + 4.x.{\left( {\frac{1}{2}} \right)^3} + {\left( {\frac{1}{2}} \right)^4}$

$= {x^4} + 2{x^3} + \frac{3}{2}{x^2} + \frac{1}{2}x + \frac{1}{{16}}$.

Lời giải:

${\left( {x - \frac{1}{3}} \right)^4}$$= {\left[ {x + \left( { - \frac{1}{3}} \right)} \right]^4}$

$= {x^4} + 4.{x^3}.\left( { - \frac{1}{3}} \right) + 6.{x^2}.{\left( { - \frac{1}{3}} \right)^2} + 4.x.{\left( { - \frac{1}{3}} \right)^3} + {\left( { - \frac{1}{3}} \right)^4}$

$= {x^4} - \frac{4}{3}{x^3} + \frac{2}{3}{x^2} - \frac{4}{{27}}x + \frac{1}{{81}}$.

Hướng dẫn giải

(x + 1)$^{5}$ = x$^{5}$ + 5 . x$^{4}$ . 1 + 10 . x$^{3}$ . 1$^{2}$ + 10 . x$^{2}$ . 1$^{3}$ + 5 . x . 1$^{4}$ + 1$^{5}$

= x$^{5}$+ 5x$^{4}$ + 10x$^{3}$ + 10x$^{2}$ + 5x + 1.

Lời giải:

(x – 3y)$^{5}$ = [x + (– 3y)]$^{5}$

= x$^{5}$ + 5 . x$^{4}$ . (– 3y) + 10 . x$^{3}$ . (– 3y)$^{2}$ + 10 . x$^{2}$ . (– 3y)$^{3}$ + 5 . x . (– 3y)$^{4}$ + (– 3y)$^{5}$

= x$^{5}$ – 15x$^{4}$y + 90x$^{3}$y$^{2}$ – 270x$^{2}$y$^{3}$ + 405xy$^{4}$ – 243y$^{5}$.

Hướng dẫn giải

Số hạng chứa x$^{4}$ trong khai triển biểu thức (3x + 2)$^{5}$ là $C_5^1.{\left( {3x} \right)^4}.2$.

Ta có: $C_5^1.{\left( {3x} \right)^4}.2 = 5.81.2.{x^4} = 810{x^4}$.

Vậy hệ số của x$^{4}$ trong khai triển biểu thức (3x + 2)$^{5}$ là 810.

Hướng dẫn giải

Áp dụng nhị thức Newton ta có:

${\left( {1 - \frac{1}{2}x} \right)^5} = {\left[ {1 + \left( { - \frac{1}{2}x} \right)} \right]^5}$$= {1^5} + {5.1^4}.\left( { - \frac{1}{2}x} \right) + {10.1^3}.{\left( { - \frac{1}{2}x} \right)^2} + {10.1^2}.{\left( { - \frac{1}{2}x} \right)^3} + 5.1.{\left( { - \frac{1}{2}x} \right)^4} + {\left( { - \frac{1}{2}x} \right)^5}$

$= 1 - \frac{5}{2}x + \frac{5}{2}{x^2} - \frac{5}{4}{x^3} + \frac{5}{{16}}{x^4} - \frac{1}{{32}}{x^5}$

$= 1 + \left( { - \frac{5}{2}} \right)x + \frac{5}{2}{x^2} + \left( { - \frac{5}{4}} \right){x^3} + \frac{5}{{16}}{x^4} + \left( { - \frac{1}{{32}}} \right){x^5}$.

a$_{3}$ chính là hệ số của x$^{3}$ trong khai triển biểu thức ${\left( {1 - \frac{1}{2}x} \right)^5}$.

Do đó, ${a_3} = - \frac{5}{4}$.

Lời giải:

Tương tự câu a, ta có: ${a_0} = 1,\,\,{a_1} = - \frac{5}{2},\,{a_2} = \frac{5}{2},\,\,{a_4} = \frac{5}{{16}},\,\,{a_5} = - \frac{1}{{32}}$.

Do đó, a$_{0}$ + a$_{1}$ + a$_{2}$ + a$_{3}$ + a$_{4}$ + a$_{5}$ = $1 + \left( { - \frac{5}{2}} \right) + \frac{5}{2} + \left( { - \frac{5}{4}} \right) + \frac{5}{{16}} + \left( { - \frac{1}{{32}}} \right)$$= \frac{1}{{32}}$.

Vậy a$_{0}$ + a$_{1}$ + a$_{2}$ + a$_{3}$ + a$_{4}$ + a$_{5}$ $= \frac{1}{{32}}$.

Hướng dẫn giải

Mỗi cách trích ra một tập con gồm a phần tử trong 5 phần tử của A chính là một tổ hợp chập a của 5, hay số tập con gồm a phần tử của A là $C_5^a$.

Số tập hợp con có 0 phần tử của A là $C_5^0$.

Số tập hợp con có 1 phần tử của A là $C_5^1$.

Số tập hợp con có 2 phần tử của A là $C_5^2$.

Số tập hợp con có 3 phần tử của A là $C_5^3$.

Số tập hợp con có 4 phần tử của A là $C_5^4$.

Số tập hợp con có 5 phần tử của A là $C_5^5$.

Do đó, số tập hợp con của A là: $C_5^0 + C_5^1 + C_5^2 + C_5^3 + C_5^4 + C_5^5 = 32$.

Vậy tập hợp A có 32 tập hợp con.