Bài tập Nhận biết như thế nào là một định lí và xác định giả thiết, kết luận của định lí lớp 7 (có lời giải)

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

- Câu A: “Nếu hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thứ ba thì chúng song song với nhau” là khẳng định được suy ra từ khẳng định đúng đã biết là: “Nếu hai đường thẳng phân biệt cùng cắt một đường thẳng thứ ba và trong các góc tạo thành có một cặp góc đồng vị bằng nhau thì chúng song song với nhau”.

Thật vậy:

Giả sử hai đường thẳng a, b phân biệt cùng vuông góc với đường thẳng c như hình vẽ:

Ta có a $\bot$ c; b $\bot$ c

Suy ra a // b.

Vậy câu A là một định lí.

- Câu B, C không đầy đủ hai phần giả thiết (là những điều cho biết trước) và kết luận (những điều cần suy ra).

- Câu D là một khẳng định sai.

Do đó các câu B, C, D không là các định lí.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

Xét định lí: “Nếu một đường thẳng cắt hai đường thẳng song song thì hai góc đồng vị bằng nhau” ta có:

- Phần giữa từ “Nếu” và từ “thì” là: một đường thẳng cắt hai đường thẳng song song.

- Phần sau từ “thì” là: hai góc đồng vị bằng nhau.

Vậy giả thiết là: một đường thẳng cắt hai đường thẳng song song;

Kết luận là: hai góc đồng vị bằng nhau.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Câu A là khẳng định sai vì hai góc bằng nhau chưa chắc đã đối đỉnh.

Ví dụ:

Do đó câu A không phải là một định lí.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

+ Theo dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song, ta có: nếu hai đường thẳng phân biệt cùng cắt đường thẳng thứ ba và trong các góc tạo thành có một cặp góc so le trong bằng nhau thì hai đường thẳng đó song song với nhau. Khi đó theo tính chất của hai đường thẳng song song ta có các cặp góc đồng vị bằng nhau.

Suy ra khẳng định (I) đúng.

Suy ra khẳng định (I) là một định lí.

+ Theo dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song, ta có: Nếu hai đường thẳng phân biệt cùng cắt đường thẳng thứ ba và trong các góc tạo thành có một cặp góc đồng vị bằng nhau thì hai đường thẳng đó song song với nhau. Khi đó theo tính chất của hai đường thẳng song song ta có các cặp góc so le trong bằng nhau.

Suy ra khẳng định (II) đúng, khẳng định (III) sai.

Suy ra khẳng định (II) là một định lí, khẳng định (III) không là một định lí.

Do đó có 2 định lí trong các khẳng định trên.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

Định lí: Nếu hai đường thẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thứ ba thì chúng song song với nhau.

Vậy ta chọn phương án C.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Giả thiết là phần đứng trước từ “thì” nên ta có giả thiết của định lí này là: Hai đường thẳng song song.

Vậy ta chọn phương án B.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

Bảng trên được phát biểu như sau: Nếu đường thẳng c cắt hai đường thẳng song song a và b lần lượt tại hai điểm A và B thì hai góc so le trong ${\widehat A_1}$ và ${\widehat B_1}$ bằng nhau.

Một cách tổng quát ta có định lí: Nếu một đường thẳng cắt hai đường thẳng song song thì hai góc so le trong bằng nhau.

Vậy ta chọn phương án C.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Giả thiết: Oy là tia phân giác của $\widehat {xOz}$; Oy’ là tia phân giác của $\widehat {zOx'}$; $\widehat {xOz}$ và $\widehat {zOx'}$ là hai góc kề bù.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

Ta có hai định lí:

+ Nếu hai đường thẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thứ ba thì chúng song song với nhau.

+ Nếu hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thứ ba thì chúng song song với nhau.

Vậy ta chọn phương án C.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

+ Khẳng định “Nếu một đường thẳng cắt một trong hai đường thẳng song song thì nó cũng cắt đường thẳng còn lại” là một định lí.

Do đó An đúng.

+ Khẳng định: “Nếu qua điểm M nằm ngoài đường thẳng a có hai đường thẳng song song với a thì chúng trùng nhau” là một định lý vì nó được suy ra từ tiên đề Euclid.

Do đó Khánh đúng.

+ Khẳng định: “Hai đường thẳng cùng vuông góc với một đường thẳng thứ ba thì chúng song song với nhau” là khẳng định sai vì trong trường hợp hai đường thẳng trùng nhau cùng vuông góc với đường thẳng thứ ba thì chúng không song song với nhau.

Suy ra khẳng định của Bình không là một định lí.

Do đó Bình sai.

Vậy chỉ có An và Khánh đúng.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Chứng minh một định lí là dùng lập luận để từ giả thiết và những khẳng định đúng đã biết suy ra kết luận của định lí.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

A sai vì: Hai góc bằng nhau chưa chắc đã đối đỉnh (ví dụ: hai góc đồng vị bằng nhau).

B đúng vì: Vì hai góc kề bù có tổng số đo bằng 180°, nếu chúng bằng nhau thì mỗi góc có số đo bằng 180° : 2 = 90° (góc vuông). Đây là một định lí đúng.

C sai vì: Hai góc trong cùng phía chỉ bù nhau khi hai đường thẳng song song, không nhất thiết phải bằng nhau.

D sai vì: Hai đường thẳng cắt nhau có thể tạo thành góc nhọn hoặc góc tù, chưa chắc đã vuông góc.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

Khẳng định C sai vì tổng của hai góc nhọn có thể là góc nhọn, góc vuông, hoặc góc tù chứ không bắt buộc phải luôn là góc tù.

Ví dụ 30° + 40° = 70° (góc nhọn);

45° + 45° = 90° (góc vuông);

60° + 70° =130° (góc tù).

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Theo tính chất hai đường thẳng song song: Nếu hai đường thẳng song song bị cắt bởi một đường thẳng thứ ba thì hai góc đồng vị bằng nhau và hai góc so le trong bằng nhau.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Vì Om là tia phân giác của $\widehat {xOy}$ nên $\widehat {yOm} = \frac{1}{2}\widehat {xOy}$.

Vì On là tia phân giác của $\widehat {yOz}$ nên $\widehat {yOn} = \frac{1}{2}\widehat {yOz}$.

Lại có, $\widehat {xOy}$ và $\widehat {yOz}$ là hai góc kề bù nên tia Oy nằm giữa hai tia Om và On.

Do đó, $\widehat {mOn} = \widehat {yOm} + \widehat {yOn}$ hay $\widehat {mOn} = \frac{1}{2}\widehat {xOy} + \frac{1}{2}\widehat {yOz} = \frac{1}{2}\left( {\widehat {xOy} + \widehat {yOz}} \right)$.

Mặt khác, do $\widehat {xOy}$ và $\widehat {yOz}$ là hai góc kề bù nên $\widehat {xOy} + \widehat {yOz} = 180^\circ$. Thay vào ta được:

$\widehat {mOn} = \frac{1}{2} \cdot 180^\circ = 90^\circ$.

Do đó, thứ tự lập luận chính xác là: (2) → (1) → (4) → (3).

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Sai.

a) Đúng. Giả thiết của định lí là “hai đường thẳng phân biệt a và b cùng song song với đường thẳng c”, còn kết luận là “a song song với b”.

b) Sai. Giả thiết của định lí kí hiệu là: a ≠ b, a // c, b // c.

c) Đúng. Theo Tiên đề Euclid: Qua một điểm M nằm ngoài đường thẳng c, có duy nhất một đường thẳng song song với c. Do đó việc xuất hiện cả a và b qua M cùng song song với c là mâu thuẫn.

d) Sai. Nếu một đường thẳng d cắt một trong hai đường thẳng song song (a // b) thì d phải cắt đường thẳng còn lại. Do đó khẳng định d không cắt b là sai.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Sai. b) Sai. c) Đúng. d) Sai.

a) Sai. Nếu một đường thẳng cắt hai đường thẳng song song thì hai góc ở vị trí so le trong bằng nhau.

b) Sai. Định lí đúng được phát biểu là: “Nếu một đường thẳng cắt hai đường thẳng song song thì hai góc ở vị trí trong cùng phía bù nhau.”

c) Đúng. Giả thiết: hai đường thẳng song song (a // b), đường thẳng c cắt a, b và hai góc trong cùng phía $\widehat {{A_1}},\,\,\widehat {{B_1}}$.

Kết luận: hai góc trong cùng phía có $\widehat {{A_1}},\,\,\widehat {{B_1}}$ tổng số đo bằng 180° (bù nhau).

Bảng giả thiết – kết luận của định lí đúng về hai góc trong cùng phía là:

d) Sai. Cách chứng minh đúng là:

Do $\widehat {{B_2}}$ và $\widehat {{B_1}}$ là hai góc kề bù nên $\widehat {{B_1}} + \widehat {{B_2}} = 180^\circ$ (1).

Do a // b nên $\widehat {{A_1}} = \widehat {{B_2}}$ (hai góc so le trong) (2).

Từ (1) và (2) suy ra $\widehat {{A_1}} + \widehat {{B_1}} = 180^\circ$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Sai. b) Đúng. c) Đúng. d) Đúng.

a) Sai. Từ giả thiết $\widehat {A\,\,} + \widehat {C\,} = 180^\circ$ suy ra $\widehat {A\,\,} = 180^\circ - \widehat {C\,}$.

Tương tự từ $\widehat {B\,} + \widehat {C\,} = 180^\circ$ suy ra $\widehat {B\,} = 180^\circ - \widehat {C\,}$.

b) Đúng. Vì $\widehat {A\,\,} = 180^\circ - \widehat {C\,}$ và $\widehat {B\,} = 180^\circ - \widehat {C\,}$ nên $\widehat {A\,\,} = \widehat {B\,}.$

c) Đúng. Định lí được phát biểu là: “Nếu hai góc cùng bù với một góc thứ ba thì bằng nhau”.

d) Đúng. Nếu $\widehat {C\,} = 120^\circ$ thì suy ra $\widehat {A\,\,} = \widehat {B\,} = 180^\circ - \widehat {C\,} = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Đúng.

a) Đúng. Phần giả thiết của phát biểu trên là: “Hai đường thẳng xx', yy' cắt nhau tại O và $\widehat {xOy} = 90^\circ$” (phần giữa từ “Nếu” và “thì”).

b) Đúng. Vì $\widehat {xOy}$ và $\widehat {yOx'}$ là hai góc kề bù nên ta có:

$\widehat {xOy} + \widehat {yOx'} = 180^\circ$ hay $\widehat {yOx'} = 180^\circ - \widehat {xOy} = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$.

Vì $\widehat {x'Oy'}$ và $\widehat {xOy}$ là hai góc đối đỉnh nên $\widehat {x'Oy'} = \widehat {xOy} = 90^\circ$.

Vì $\widehat {xOy'}$ và $\widehat {yOx'}$ là hai góc đối đỉnh nên $\widehat {xOy'} = \widehat {yOx'} = 90^\circ$.

Vậy $\widehat {yOx'} = \widehat {x'Oy'} = \widehat {xOy'} = 90^\circ$.

c) Sai. Kết luận của phát biểu là “các góc còn lại đều là góc vuông”.

d) Đúng. Phát biểu trên là một định lí. Do đó, bảng giả thiết và kết luận của định lí bằng kí hiệu như sau:

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Sai. b) Đúng. c) Đúng. d) Đúng.

a) Sai. Giả thiết của định lí là “hai đường thẳng AB và CD cắt nhau tại O”; kết luận là “$\widehat {AOC} = \widehat {BOD}$ và $\widehat {AOD} = \widehat {BOC}$”.

b) Đúng. Vì $\widehat {AOC},\,\,\widehat {BOC}$ là hai góc kề bù nên $\widehat {AOC} + \widehat {BOC} = 180^\circ$

Vì $\widehat {BOD},\,\,\widehat {BOC}$ là hai góc kề bù nên $\widehat {BOD} + \widehat {BOC} = 180^\circ$.

Suy ra $\widehat {AOC} = \widehat {BOD}$.

Chứng minh tương tự ta có $\widehat {AOD} = \widehat {BOC}$.

Mà $\widehat {AOC}$ và $\widehat {BOD}$; $\widehat {AOD}$ và $\widehat {BOC}$ là các cặp góc đối đỉnh nên định lí được chứng minh.

c) Đúng.

Vì OM là tia phân giác của $\widehat {AOC}$ nên $\widehat {AOM} = \widehat {COM} = \frac{1}{2}\widehat {AOC}$ (1).

Vì ON là tia đối của OM, AB và CD cắt nhau tại O nên ta có các góc đối đỉnh: $\widehat {BON} = \widehat {AOM}$ và $\widehat {DON} = \widehat {COM}$ (2).

Từ (1) và (2) suy ra $\widehat {BON} = \widehat {DON} = \frac{1}{2}\widehat {AOC} = \frac{1}{2}\widehat {BOD}$.

Do đó ON chính là tia phân giác của $\widehat {BOD}$.

d) Đúng. Từ ý c), ta có định lí: “Tia đối của tia phân giác của một góc là tia phân giác của góc đối đỉnh với góc đó”.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 0.

Định lí là một khẳng định đúng được suy ra từ những khẳng định được coi là đúng.

Khẳng định trên sai vì không phải góc nhọn nào cộng góc tù nào cũng bằng 180°.

Ví dụ: Cho góc nhọn bằng 30° và góc tù bằng 100°.

Tổng số đo của chúng là 30° + 100° = 130° ≠ 180°.

Tổng số đo của một góc nhọn và một góc tù chỉ bằng 180° khi chúng là hai góc bù nhau (hoặc hai góc kề bù).

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 50.

Vì $\widehat {BOD}$ và $\widehat {AOC}$ là hai góc đối đỉnh nên $\widehat {BOD} = \widehat {AOC} = 50^\circ$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 3.

(1) đúng vì: Hai đường thẳng cắt nhau và tạo thành một góc vuông thì hai đường thẳng đó vuông góc với nhau.

(2) đúng (theo nhận xét SGK).

(3) sai vì: Hai góc bằng nhau chưa chắc đã đối đỉnh.

(4) đúng.

Gọi $\widehat {{A_2}}$ là góc kề bù với $\widehat {{A_1}}$ và ở vị trí so le trong với $\widehat {{B_1}}$.

Vì $\widehat {{A_1}}$ và $\widehat {{A_2}}$ là hai góc kề bù nên $\widehat {{A_1}} + \widehat {{A_2}} = 180^\circ$ (1).

Vì a // b nên $\widehat {{A_2}} = \widehat {{B_1}}$ (hai góc so le trong).

Từ (1) và (2) suy ra $\widehat {{A_1}} + \widehat {{B_1}} = 180^\circ$.

Vậy tổng số đo của hai góc trong cùng phía bằng 180°.

Vậy có 3 phát biểu/ định lí đúng.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 2.

(1) sai vì: Theo Tiên đề Euclid về đường thẳng song song, qua một điểm nằm ngoài một đường thẳng, ta chỉ vẽ được duy nhất một đường thẳng song song với đường thẳng đó.

(2) sai vì: Khẳng định này thiếu điều kiện “hai đường thẳng song song”. Một đường thẳng cắt hai đường thẳng bất kỳ thì hai góc so le trong chưa chắc bằng nhau.

(3) đúng.

(4) đúng.

Vậy có 2 phát biểu sai.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 3.

Bài làm trên sai từ bước 3.

Ở bước 3, bài làm khẳng định $\widehat {aOb} = \widehat {bOc}$ là sai. Vì tia Ob nằm giữa hai tia Oa và Oc chưa chắc đã là tia phân giác của $\widehat {aOc}$, do đó $\widehat {aOb}$ và $\widehat {bOc}$ không nhất thiết phải bằng nhau.

Bài chứng minh hoàn chỉnh như sau:

Vì tia Ob nằm giữa hai tia Oa và Oc nên ta có $\widehat {aOb} + \widehat {bOc} = \widehat {aOc}$ (1).

Do số đo của $\widehat {aOb}$ và $\widehat {bOc}$ luôn lớn hơn 0 nên $\widehat {aOc} > \widehat {aOb}$ và $\widehat {aOc} > \widehat {bOc}$ (2).

Từ (1) và (2) suy ra $\widehat {aOc}$ là góc lớn nhất trong ba góc aOb, bOc, aOc.