Bài tập Nhận biết, chứng minh một tứ giác là hình chữ nhật lớp 8 (có lời giải)

Đáp án đúng là: B

Hình thang cân luôn có hai đường chéo bằng nhau nhưng không phải là hình chữ nhật.

Đáp án đúng là: C

Hình bình hành ABCD có hai đường chéo AC và BD bằng nhau thì ABCD là hình chữ nhật.

Đáp án đúng là: D

Tứ giác ABCD có AB = DC, AD = BC (các cặp cạnh đối bằng nhau) nên ABCD là hình bình hành.

Tứ giác ABCD có AB = DC = AD = BC (các cạnh bằng nhau) chưa chắc là hình chữ nhật).

Tứ giác ABCD có AB = DC, $\widehat {\rm{A}}{\rm{ = 90}}^\circ$ không là hình chữ nhật.

Tứ giác ABCD AB // DC, AB = DC (cặp cạnh đối song song và bằng nhau) nên ABCD là hình bình hành.

Mà $\widehat {\rm{A}}{\rm{ = 90}}^\circ$ nên ABCD là hình chữ nhật.

Đáp án đúng là: D

• Hình thang ABCD (AB // DC) có AB = DC (cặp cạnh đối song song và bằng nhau) nên ABCD là hình bình hành.

• Hình thang ABCD (AB // DC) có AC = BD (hai đường chéo bằng nhau) nên ABCD là hình thang cân.

• Hình thang ABCD (AB // DC) có $\widehat {\rm{A}}{\rm{ = 90}}^\circ$ nên ABCD là hình thang vuông.

• Hình thang ABCD (AB // DC) có AD // BC (các cặp cạnh đối song song) nên ABCD là hình bình hành. Mà $\widehat {\rm{A}}{\rm{ = 90}}^\circ$ nên ABCD là hình chữ nhật.

Đáp án đúng là: A

Hình thang có một góc vuông là hình thang vuông.

Đáp án đúng là: D

Dùng eke kiểm tra các góc vuông và các cặp cạnh song song ta thấy:

• Hình 1: Tứ giác ABCD có $\widehat A = \widehat C = \widehat D = 90^\circ$ nên Hình 1 là hình chữ nhật.

• Hình 2: Tứ giác MNPQ có $MN \bot MQ\,;\,\,PQ \bot MQ$ nên MN // PQ và $\widehat M = \widehat Q = 90^\circ$.

Do đó, tứ giác MNPQ là hình thang vuông.

• Hình 3: Tứ giác EFGH có EF = GH, EH = GF nên Hình 3 là hình bình hành.

Vậy đáp án D là đúng.

Đáp án đúng là: D

Tứ giác AHMK có $\widehat {\rm{A}}{\rm{ = }}\widehat {\rm{H}}{\rm{ = }}\widehat {\rm{K}}{\rm{ = 90}}^\circ$ nên AHMK là hình chữ nhật.

Đáp án đúng là: D

Tứ giác ANCH có hai đường chéo AC và HN cắt nhau tại trung điểm M của mỗi đường nên ANCH là hình bình hành.

Mà $\widehat {\rm{H}}{\rm{ = 90}}^\circ$ nên ANCH là hình chữ nhật.

Đáp án đúng là: C

Hình thang cân có một góc vuông là hình chữ nhật nên hình thang cân MNPQ là hình chữ nhật khi $\widehat {MNP} = 90^\circ$.

Đáp án đúng là: B

Tam giác DEF vuông cân tại E có EI là đường trung tuyến nên EI = $\frac{1}{2}$DF = DI = IF.

Suy ra: DF = 2DI = ${\rm{2}}\sqrt {10}$ cm.

Theo đề bài, ta có: DE$^{2}$ + EF$^{2}$ = DF$^{2}$

Mà tam giác DEF vuông cân tại E nên DE = EF.

Suy ra: 2DE$^{2}$ = DF$^{2}$

$${\rm{D}}{{\rm{E}}^2} = \frac{1}{2}{\rm{D}}{{\rm{F}}^2}{\rm{ = }}\frac{1}{2}.{\left( {2\sqrt {10} } \right)^2}{\rm{ = 20}}$$

DE = ${\rm{2}}\sqrt 5$ cm

Do đó, EF = ${\rm{2}}\sqrt 5$ cm.

Tam giác DEI có DI = EI nên tam giác DEI cân tại I. Mặt khác, IH là đường cao đồng thời là đường trung tuyến nên H là trung điểm của DE.

Suy ra: HE = $\frac{1}{2}$DE = $\frac{1}{2}$.${\rm{2}}\sqrt 5$ = $\sqrt 5$ (cm).

Tam giác EIF có EI = IF nên tam giác EIF cân tại I.

Mặt khác, IK là đường cao đồng thời là đường trung tuyến nên K là trung điểm của EF.

Suy ra: EK = $\frac{1}{2}$EF = $\frac{1}{2}$.${\rm{2}}\sqrt 5$ = $\sqrt 5$ (cm).

Tứ giác HEKI có $\widehat E = \widehat {IHE} = \widehat {IKE} = 90^\circ$ (vì $IH \bot DE$, $IK \bot EF$) nên tứ giác HEKI là hình chữ nhật.

Suy ra: HE = IK = $\sqrt 5$ cm, EK = HI = $\sqrt 5$ cm.

Chu vi hình chữ nhật HEKI là: (HE + EK).2 = $\left( {\sqrt 5 + \sqrt 5 } \right) \cdot 2 = 4\sqrt 5$ (cm).

Đáp án đúng là: B

Nếu một tứ giác có ba góc vuông thì tổng ba góc là 3 ∙ 90° = 270°.

Mà một tứ giác có tổng bốn góc bằng 360° nên góc còn lại bằng 360° – 270° = 90°.

Tứ giác có bốn góc vuông là hình chữ nhật.

Đáp án đúng là: C

Theo định lí về dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật, hình bình hành có hai đường chéo bằng nhau là hình chữ nhật.

Đáp án đúng là: C

Hình thang cân luôn có tính chất hai đường chéo bằng nhau.

Việc hình thang cân có hai đường chéo bằng nhau không đủ dữ kiện để khẳng định nó là hình chữ nhật (nó chỉ là hình chữ nhật khi có thêm một góc vuông).

Đáp án đúng là: D

Theo định lí, hình bình hành có một góc vuông là hình chữ nhật nên MNPQ là hình chữ nhật (khẳng định A đúng).

Từ tính chất hình chữ nhật suy ra hai đường chéo bằng nhau (khẳng định B đúng) và bốn góc đều vuông (khẳng định C đúng).

Hình chữ nhật có các cạnh đối bằng nhau, không bắt buộc bốn cạnh đều bằng nhau, do đó khẳng định D sai.

Đáp án đúng là: C

Tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường là hình bình hành. Hình bình hành có hai đường chéo bằng nhau là hình chữ nhật.

Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Sai.

a) Đúng. Tứ giác MNPQ có một cặp cạnh đối vừa song song vừa bằng nhau MN // PQ và MN = PQ nên nó là hình bình hành.

b) Sai. Hình bình hành MNPQ có $\widehat M = 90^\circ$ nên là hình chữ nhật.

Hình chữ nhật có hai đường chéo bằng nhau nhưng không có tính chất hai đường chéo vuông góc.

c) Đúng. Tứ giác MNPQ là hình chữ nhật nên 4 góc đều là góc vuông.

d) Sai. Trong tam giác vuông MNQ, đường cao MH từ đỉnh M không đi qua trung điểm cạnh huyền, đường cao đồng thời là đường trung tuyến khi chỉ khi ∆MNQ vuông cân tại M, điều này chưa có đủ cơ sở để khẳng định.

Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Sai. d) Đúng.

a) Đúng. Tam giác OAB có hai góc ở đáy bằng nhau $\left( {\widehat {OAB} = \widehat {OBA}} \right)$ nên là tam giác cân tại O.

b) Sai. Tam giác OAB cân tại O nên OA = OB.

Mà AC = 2OA và BD = 2OB nên AC = BD.

Điều này không chứng minh được AC và BD vuông góc với nhau.

c) Sai. Hình bình hành ABCD có hai đường chéo bằng nhau nên nó là hình chữ nhật, không phải hình thoi.

d) Đúng. Theo chứng minh ở ý c), ABCD là hình chữ nhật suy ra $\widehat A = 90^\circ$.

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Đúng.

a) Đúng. Hình bình hành MNPQ có $\widehat M = 90^\circ$ nên MNPQ là hình chữ nhật.

b) Đúng. Ta có: $\widehat {MON} + \widehat {NOP} = 180^\circ$ nên $\widehat {NOP} = 180^\circ - \widehat {MON} = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$.

c) Sai. Vì MNPQ là hình chữ nhật nên O là trung điểm MP và NQ, suy ra ON = OP.

Do đó ∆ONP là tam giác cân tại O, lại có $\widehat {NOP} = 60^\circ$ nên ∆ONP là tam giác đều.

d) Đúng. Theo d) có ∆ONP đều nên NP = ON.

Vì N là trung điểm OH nên $ON = \frac{1}{2}OH$

Xét ∆OHP có NP là đường trung tuyến, mà $PN = ON = \frac{1}{2}OH$.

Vậy ∆OHP là tam giác vuông tại P.

Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Sai.

a) Đúng. Tổng bốn góc của một tứ giác bằng 360°.

Suy ra $\widehat D = 360^\circ - \left( {90^\circ + 90^\circ + 90^\circ } \right) = 90^\circ$.

b) Sai. Tứ giác có bốn góc vuông theo định nghĩa chính là hình chữ nhật.

c) Đúng. ABCD là hình chữ nhật nên có đầy đủ tính chất của hình chữ nhật: hai đường chéo bằng nhau và giao nhau tại trung điểm mỗi đường.

d) Sai. ∆ABD vuông tại A, AH là đường cao, gọi O là trung điểm BD thì AO là trung tuyến. H và O chỉ trùng nhau khi ∆ABD vuông cân tại A.

Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Đúng.

a) Đúng. Do ABCD là hình bình hành có 2 đường chéo AC và BD bằng nhau nên ABCD là hình chữ nhật.

b) Sai. Ta có MN // AC; PQ // AC suy ra MN // PQ.

NP // BD; BD // MQ suy ra NP // MQ.

Do đó MNPQ là hình hình hành.

Gọi K là giao điểm của DB và MN, L là giao điểm NP và AC.

Ta có NP // BD nên $\widehat {PNK} = \widehat {BKN}$ (so le trong);

MN // AC nên $\widehat {BKN} = \widehat {KOL}$ (đồng vị)

Suy ra $\widehat {PNK} = \widehat {KOL}$.

ABCD là hình chữ nhật nên AC không vuông góc với BD, suy ra $\widehat {KOL} \ne 90^\circ$.

Vậy $\widehat {PNK} \ne 90^\circ$.

Để hình bình hành MNPQ là hình chữ nhật cần có góc vuông, mà $\widehat {PNK} \ne 90^\circ$ nên MPNQ không phải hình chữ nhật.

c) Đúng. Vì MNPQ là hình bình hành nên MQ = NP.

d) Đúng. Vì ABCD là hình chữ nhật nên AC và BD cắt nhau tại trung điểm O của mỗi đường.

Ta có $\widehat {AMQ} = \widehat {ABD} = \widehat {BDC} = \widehat {NPC}$.

Xét ∆AMQ vuông tại A và ∆CNP vuông tại C có:

MQ = NP và $\widehat {AMQ} = \widehat {NPC}$

Do đó ∆AMQ = ∆CNP (cạnh huyền – góc nhọn).

Suy ra AQ = CN.

Xét tứ giác AQCN có AQ // CN và AQ = CN nên AQCN là hình bình hành.

Khi đó hai đường chéo AC và NQ cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường, mà O là trung điểm của AC nên O là trung điểm của NQ.

Theo c) có MNPQ là hình bình hành nên MP và NQ cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường, mà O là trung điểm của NQ nên O là trung điểm của MP.

Như vậy bốn đường AC, BD, MP và NQ cắt nhau tại trung điểm O của mỗi đường hay bốn đường này đồng quy.

Đáp án: 10.

Do hình hình hành ABCD có $\widehat B = 90^\circ$ nên ABCD là hình chữ nhật.

Nửa chu vi của hình chữ nhật ABCD là: AB + BC = 28 : 2 = 14 (cm).

Theo giả thiết, chu vi ∆ABC bằng 24 cm nên: AB + BC + AC = 24 (cm).

Suy ra độ dài đường chéo AC là: AC = 24 – (AB + BC) = 24 – 14 = 10 (cm).

Đáp án: 10.

Tứ giác MNKP có hai đường chéo NP và MK cắt nhau tại trung điểm I của mỗi đường (do I là trung điểm NP và I là trung điểm MK theo giả thiết) nên tứ giác MNKP là hình bình hành.

Hình bình hành MNKP có $\widehat {NMP} = 90^\circ$ (do tam giác MNP vuông tại M) nên MNKP là hình chữ nhật.

Theo tính chất hình chữ nhật, các cạnh đối bằng nhau: MN = PK, MP = NK.

Chu vi tứ giác MNKP là MN + NK + PK + MP = 2(MN + MP) = 28 (cm).

Suy ra MN + MP = 14 (cm).

Chu vi tam giác MNP là MN + MP + NP = 24 (cm).

Thay MN + MP = 14 cm vào biểu thức trên, ta được:

14 + NP = 24, suy ra NP = 10 (cm).

Đáp án: 30.

Hình bình hành EFGH có hai đường chéo EG và FH bằng nhau nên EFGH là hình chữ nhật.

Vì EFGH là hình chữ nhật nên các đường chéo bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường, suy ra OE = OF = OG = OH.

$\widehat {EOF}$ kề bù với $\widehat {EOH}$ nên $\widehat {EOF} = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$.

Xét ∆OEF có OE = OF nên là tam giác cân tại đỉnh O.

Tổng ba góc trong ∆OEF bằng 180°.

Suy ra $\widehat {OEF} = \frac{{180^\circ - \widehat {EOF}}}{2} = \frac{{180^\circ - 120^\circ }}{2} = 30^\circ$.

Đáp án: 10.

Xét tứ giác ABCD có M là trung điểm của hai đường chéo BC và AD nên ABCD là hình bình hành.

Lại có $\widehat A = 90^\circ$ nên ABCD là hình chữ nhật.

Hai đường chéo của hình chữ nhật có độ dài bằng nhau, suy ra BC = AD = 10 cm.

Đáp án: 18

Hình bình hành ABCD có một góc vuông nên ABCD là hình chữ nhật.

Vì ABCD là hình chữ nhật nên hai đường chéo AC và BD bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

Suy ra $OA = OD = \frac{{BD}}{2} = \frac{{13}}{2} = 6{,}5$ (cm).

Chu vi của ∆OAD là:

OA + OD + AD = 6,5 + 6,5 + 5 = 18 (cm).