Bài tập Nguyên hàm của hàm số mũ lớp 12 (có lời giải)

Đáp án đúng là: B

Ta có $\int {{e^{3x}}dx} = \frac{1}{3}{e^{3x}} + C$.

Đáp án đúng là: B

$\int {f\left( x \right)dx} = \int {\left( {{e^x} + 2} \right)dx} = {e^x} + 2x + C$.

Đáp án đúng là: C

$\int {{2^x}dx} = \frac{{{2^x}}}{{\ln 2}} + C$.

Đáp án đúng là: A

$\int {\left( {{3^x} + 2x} \right)dx} = \frac{{{3^x}}}{{\ln 3}} + {x^2} + C$.

Đáp án đúng là: A

$\int {f\left( x \right)dx} = \int {\left( {2{e^{3x}} - 3{e^x}} \right)dx} = \frac{{2{e^{3x}}}}{3} - 3{e^x} + C$.

Đáp án đúng là: D

$\int {f\left( x \right)dx = \int {\left( {{4^x} + \cos 2x} \right)dx} } = \frac{{{4^x}}}{{\ln 4}} + \frac{{\sin 2x}}{2} + C$.

Đáp án đúng là: A

Ta có $F\left( x \right) = \int {{e^{ - x}}\left( {2 + \frac{{{e^x}}}{{{{\cos }^2}x}}} \right)dx} = \int {\left( {2{e^{ - x}} + \frac{1}{{{{\cos }^2}x}}} \right)dx}$

$= - 2{e^{ - x}} + \tan x + C = - \frac{2}{{{e^x}}} + \tan x + C$.

Đáp án đúng là: C

$\int {\left( {{x^2} - {3^x} + \frac{1}{x}} \right)} dx = \frac{{{x^3}}}{3} - \frac{{{3^x}}}{{\ln 3}} + \ln \left| x \right| + C$.

Đáp án đúng là: C

$\int {\left( {{e^x} + {e^{ - 2x}}} \right)dx} = {e^x} - \frac{1}{2}{e^{ - 2x}} + C$.

Đáp án đúng là: C

$\int {\left( {x + {e^{2020x}}} \right)dx} = \frac{{{x^2}}}{2} + \frac{{{e^{2020x}}}}{{2020}} + C$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Áp dụng công thức nguyên hàm của hàm hợp bậc nhất đối với hàm số mũ

$\int {{e^{ax + b}}} dx = \frac{1}{a}{e^{ax + b}} + C$.

Với a = −3 và b = 0, ta có $\int {{e^{ - 3x}}} dx = \frac{{ - 1}}{3}{e^{ - 3x}} + C$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

Áp dụng tính chất nguyên hàm của một tổng và hằng số nhân:

$\int {\left( {{3^x} + 2{e^x}} \right)} dx = \int {{3^x}} dx + 2\int {{e^x}} dx$.

Sử dụng các công thức cơ bản, ta có $\int {{3^x}} dx = \frac{{{3^x}}}{{\ln 3}} + {C_1}$ và $2\int {{e^x}} dx = 2{e^x} + {C_2}$.

Cộng hai kết quả lại ta thu được $\int {\left( {{3^x} + 2{e^x}} \right)} dx = \frac{{{3^x}}}{{\ln 3}} + 2{e^x} + C$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Thực hiện phép chia tử cho mẫu để biến đổi biểu thức: f(x) = $\frac{{2{e^x}}}{{{e^x}}} - \frac{1}{{{e^x}}} = 2 - {e^{ - x}}$.

Lấy nguyên hàm hai vế: $\int {\left( {2 - {e^{ - x}}} \right)} dx = \int 2 dx - \int {{e^{ - x}}} dx$.

Ta có nguyên hàm của 2 là 2x, và nguyên hàm của e−x là −e−x.

Do đó, $\int f (x)dx = 2x - \left( { - {e^{ - x}}} \right) + C = 2x + {e^{ - x}} + C$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Trước tiên, khai triển hằng đẳng thức và nhân phân phối để đưa hàm số về dạng tổng các hàm số mũ cơ bản: f(x) = e$^{x}$ ( e$^{2x}$ − 2e$^{x}$ + 1 ) = e$^{3x}$ − 2e$^{2x}$ + e$^{x}$.

Áp dụng công thức nguyên hàm hàm số mũ:

$\int {\left( {{e^{3x}} - 2{e^{2x}} + {e^x}} \right)} dx = \frac{1}{3}{e^{3x}} - 2 \cdot \frac{1}{2}{e^{2x}} + {e^x} + C = \frac{1}{3}{e^{3x}} - {e^{2x}} + {e^x} + C$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

Nhận thấy tử số là hằng đẳng thức hiệu hai bình phương, ta biến đổi hàm số:

f(x) = $\frac{{\left( {{e^x} - 1} \right)\left( {{e^x} + 1} \right)}}{{{e^x} + 1}} = {e^x} - 1$.

Họ nguyên hàm của f(x) là F(x) = $\int {\left( {{e^x} - 1} \right)} dx = {e^x} - x + C$.

Dựa vào giả thiết F(0) = 2, thay x = 0 vào F(x): e$^{0}$ − 0 + C = 2 suy ra 1 + C = 2 hay C = 1.

Vậy nguyên hàm cần tìm là F(x) = e$^{x}$ − x + 1.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Đúng. d) Sai.

a) Đúng. Đây là công thức nguyên hàm cơ bản.

b) Đúng. $\int {\left( {{e^x} + 2x} \right)} dx = \int {{e^x}} dx + \int 2 xdx = {e^x} + {x^2} + C$.

c) Đúng. Đạo hàm F'(x) = (e$^{x}$ + x$^{2}$ + 5)' = e$^{x}$ + 2x = f(x), do đó đây là một nguyên hàm thỏa mãn.

d) Sai. Từ câu b ta có F(x) = e$^{x}$ + x$^{2}$ + C.

Vì F(0) = 2 nên e$^{0}$ + 0$^{2}$ + C = 2 suy ra 1 + C = 2 hay C = 1.

Khi đó hàm số phải là F(x) = e$^{x}$ + x$^{2}$ + 1.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Đúng.

a) Đúng. Theo tính chất lũy thừa số mũ âm: $\frac{1}{{{2^x}}} = {2^{ - x}}$.

b) Sai. Công thức đúng của họ nguyên hàm hàm số 2$^{x}$ là $\frac{{{2^x}}}{{\ln 2}} + C$.

Biểu thức 2$^{x}$ ln 2 là đạo hàm chứ không phải nguyên hàm.

c) Đúng. Tính nguyên hàm của f(x) = 2$^{−x}$ + 2$^{x}$, ta có

$\int {\left( {{2^{ - x}} + {2^x}} \right)} dx = \frac{{{2^{ - x}}}}{{ - \ln 2}} + \frac{{{2^x}}}{{\ln 2}} + C = \frac{{{2^x} - {2^{ - x}}}}{{\ln 2}} + C$.

Chọn C = 0 ta được nguyên hàm F(x).

d) Đúng. Biểu thức F(x) chính là $\frac{{{2^x}}}{{\ln 2}} - \frac{{{2^{ - x}}}}{{\ln 2}}$, hoàn toàn trùng khớp với họ nguyên hàm tính được ở câu c (ứng với C = 0), do đó đạo hàm của nó chính là f(x).

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Đúng.

a) Đúng. Sử dụng hằng đẳng thức tổng hai lập phương, ta có

f(x) = $\frac{{\left( {{e^x} + 1} \right)\left( {{e^{2x}} - {e^x} + 1} \right)}}{{{e^x} + 1}} = {e^{2x}} - {e^x} + 1$.

b) Đúng. $\int {\left( {{e^{2x}} - {e^x} + 1} \right)} dx = \frac{1}{2}{e^{2x}} - {e^x} + x + C$.

c) Sai. Theo định nghĩa, đạo hàm của nguyên hàm F(x) phải bằng chính hàm số f(x) ban đầu, tức là F'(x) = e$^{2x}$ − e$^{x}$ + 1.

d) Đúng. Với F(x) = $\frac{1}{2}{e^{2x}} - {e^x} + x + C$.

Do F(0) = 1,5 nên $\frac{1}{2}{e^0} - {e^0} + 0 + C = 1{,}5$ suy ra 0,5 − 1 + C = 1,5 hay −0,5 + C = 1,5 nên C = 2.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Sai. d) Đúng.

a) Đúng. Bình phương biểu thức: f(x) = e$^{2x}$ + 2e$^{x}$ e$^{−x}$ + e$^{−2x}$ = e$^{2x}$ + 2 + e$^{−2x}$.

b) Sai. Lấy nguyên hàm từng số hạng: $\int {{e^{2x}}} dx = \frac{1}{2}{e^{2x}}$; $\int 2 dx = 2x$; $\int {{e^{ - 2x}}} dx = \frac{{ - 1}}{2}{e^{ - 2x}}$.

Tổng hợp lại ta phải được $\frac{1}{2}{e^{2x}} + 2x - \frac{1}{2}{e^{ - 2x}} + C$.

c) Sai. Một hàm số có vô số nguyên hàm sai khác nhau một hằng số C, không thể có nguyên hàm duy nhất.

d) Đúng. Gọi F(x) = $\frac{1}{2}{e^{2x}} + 2x - \frac{1}{2}{e^{ - 2x}} + C$.

Ta có F(0) = $\frac{1}{2} + 0 - \frac{1}{2} + C = 0$ suy ra C = 0.

Khi đó F(x) = $\frac{1}{2}{e^{2x}} + 2x - \frac{1}{2}{e^{ - 2x}}$.

Thay x = ln 2 vào ta được:

F(ln 2) = $\frac{1}{2}{e^{2\ln 2}} + 2\ln 2 - \frac{1}{2}{e^{ - 2\ln 2}} = \frac{1}{2} \cdot 4 + 2\ln 2 - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{4} = 2 + 2\ln 2 - \frac{1}{8} = \frac{{15}}{8} + 2\ln 2$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Đúng.

a) Đúng. Do e$^{x}$ > 0 với mọi x thực nên mẫu số e$^{x}$ + 2 > 0 với mọi x, do đó hàm số xác định trên $\mathbb{R}$.

b) Đúng. Tính đạo hàm bằng quy tắc hàm hợp: ${\left( {\ln ({e^x} + 2)} \right)^\prime } = \frac{{{{\left( {{e^x} + 2} \right)}^\prime }}}{{{e^x} + 2}} = \frac{{{e^x}}}{{{e^x} + 2}} = f(x)$.

c) Sai. Từ câu b suy ra họ nguyên hàm của f(x) phải là ln(e$^{x}$ + 2) + C.

d) Đúng. Ta có F(x) = ln(e$^{x}$ + 2) + C.

Từ giả thiết F(0) = ln(e$^{0}$ + 2) + C = ln 3 + C = ln 3 suy ra C = 0.

Suy ra F(x) = ln(e$^{x}$ + 2).

Giá trị cần tính là F(ln 2) = ln(e$^{ln 2}$ + 2) = ln(2 + 2) = ln 4.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 9

Họ nguyên hàm của hàm số là F(x) = $\int {{e^{2x}}} dx = \frac{1}{2}{e^{2x}} + C$.

Theo giả thiết F(0) = 0,5 nên $\frac{1}{2}{e^0} + C = 0{,}5$ suy ra $\frac{1}{2} + C = 0{,}5$ hay C = 0.

Vậy nguyên hàm cần tìm là F(x) = $\frac{1}{2}{e^{2x}}$.

Ta thay x = ln 3 vào hàm số: F(ln 3) = $\frac{1}{2}{e^{2\ln 3}} = \frac{1}{2}{e^{\ln 9}} = \frac{1}{2} \cdot 9 = 4{,}5$.

Khi đó, giá trị biểu thức là 2F(ln 3) = 2 4,5 = 9.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 3,5

Họ nguyên hàm của hàm số là F(x) = $\int {\left( {{e^x} - {e^{ - x}}} \right)} dx = {e^x} + {e^{ - x}} + C$.

Theo giả thiết F(0) = 3 nên e$^{0}$ + e$^{−0}$ + C = 3 suy ra 1 + 1 + C = 3 hay C = 1.

Vậy nguyên hàm cần tìm là F(x) = e$^{x}$ + e$^{−x}$ + 1.

Ta thay x = ln 2 vào hàm số: F(ln 2) = ${e^{\ln 2}} + {e^{ - \ln 2}} + 1 = 2 + \frac{1}{2} + 1 = 3{,}5$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: −1

Tính nguyên hàm của hàm số đã cho ở vế trái:

$\int {\left( {2{e^x} + 3{e^{ - x}}} \right)} dx = 2\int {{e^x}} dx + 3\int {{e^{ - x}}} dx = 2{e^x} - 3{e^{ - x}} + C$.

Đồng nhất hệ số của vế trái với kết quả vế phải là ae$^{x}$ + be$^{−x}$ + C, ta thu được: a = 2 và b = −3.

Thay a và b vào biểu thức cần tính: S = a + b = 2 + (−3) = −1.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 4

Biến đổi hàm số f(x) dựa vào hằng đẳng thức hiệu hai bình phương:

f(x) = $\frac{{\left( {{e^x} - 3} \right)\left( {{e^x} + 3} \right)}}{{{e^x} - 3}} = {e^x} + 3$.

Họ nguyên hàm là F(x) = $\int {\left( {{e^x} + 3} \right)} dx = {e^x} + 3x + C$.

Với F(0) = 2, ta có e$^{0}$ + 3×0 + C = 2 suy ra 1 + C = 2 hay C = 1.

Do đó F(x) = e$^{x}$ + 3x + 1.

Tại x = ln 3, giá trị nguyên hàm là F(ln 3) = e$^{ln 3}$ + 3ln 3 + 1 = 3 + 3ln 3 + 1 = 4 + 3ln 3.

Biểu thức cần tính là P = (4 + 3ln 3) − 3ln 3 = 4.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 18,5

Ta tiến hành khai triển biểu thức của hàm số:

f(x) = ${e^{ - x}}\left( {{e^{4x}} + 2{e^{2x}} + 1} \right) = {e^{3x}} + 2{e^x} + {e^{ - x}}$.

Khi đó họ nguyên hàm của f(x) là:

F(x) = $\int {\left( {{e^{3x}} + 2{e^x} + {e^{ - x}}} \right)} dx = \frac{1}{3}{e^{3x}} + 2{e^x} - {e^{ - x}} + C$.

Thay điều kiện F(0) = $\frac{4}{3}$ ta được: $\frac{1}{3}{e^0} + 2{e^0} - {e^0} + C = \frac{4}{3}$ suy ra $\frac{1}{3} + 2 - 1 + C = \frac{4}{3}$

Tương đương $\frac{4}{3} + C = \frac{4}{3}$ hay C = 0.

Nguyên hàm hoàn chỉnh là F(x) = $\frac{1}{3}{e^{3x}} + 2{e^x} - {e^{ - x}}$.

Tính giá trị tại x = ln 2:

F(ln 2) = $\frac{1}{3}{e^{3\ln 2}} + 2{e^{\ln 2}} - {e^{ - \ln 2}} = \frac{1}{3}{e^{\ln 8}} + 2 \cdot 2 - \frac{1}{2} = \frac{8}{3} + 4 - 0{,}5 = \frac{8}{3} + \frac{7}{2} = \frac{{37}}{6}$.

Biểu thức cần tính có giá trị là $3 \cdot \frac{{37}}{6} = \frac{{37}}{2} = 18{,}5.$