Bài tập Nguyên hàm của hàm số lũy thừa lớp 12 (có lời giải)

Đáp án đúng là: B

$\int {{x^2}dx} = \frac{{{x^3}}}{3} + C$.

Đáp án đúng là: D

$\int {\left( {3{x^2} + 1} \right)dx} = {x^3} + x + C$.

Đáp án đúng là: B

$\int {\left( {{x^3} + {x^2}} \right)dx} = \frac{1}{4}{x^4} + \frac{1}{2}{x^2} + C$.

Đáp án đúng là: A

Ta có $F\left( x \right) = \int {\left( {5{x^4} - 8{x^3} - 6x} \right)dx} = {x^5} - 2{x^4} - 3{x^2} + C$.

Đáp án đúng là: A

$\int {\left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right)dx} = \int {\left( {{x^2} + 3x + 2} \right)dx} = \frac{1}{3}{x^3} + \frac{3}{2}{x^2} + 2x + C$.

Đáp án đúng là: A

$F'\left( x \right) = {\left( {\sqrt[3]{x} + 2\sqrt x + x\sqrt x } \right)^\prime } = \frac{1}{{3\sqrt[3]{{{x^2}}}}} + \frac{1}{{\sqrt x }} + \frac{3}{2}\sqrt x$.

Đáp án đúng là: B

$\int {\frac{1}{{x + 2}}dx} = \ln \left| {x + 2} \right| + C$.

Đáp án đúng là: B

$\int {\frac{1}{{3x + 1}}dx} = \frac{1}{3}\ln \left| {3x + 1} \right| + C$.

Đáp án đúng là: A

$\int {\left( {{x^2} - 3x + \frac{1}{x}} \right)} dx = \frac{{{x^3}}}{3} - \frac{3}{2}{x^2} + \ln \left| x \right| + C$.

Đáp án đúng là: A

$\int {\frac{{2{x^4} + 3}}{{{x^2}}}} dx = \int {\left( {2{x^2} + \frac{3}{{{x^2}}}} \right)dx} = \frac{2}{3}{x^3} - \frac{3}{x} + C$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Áp dụng công thức nguyên hàm của hàm số lũy thừa $\int {{x^\alpha }} dx = \frac{{{x^{\alpha + 1}}}}{{\alpha + 1}} + C$ với α ≠ −1.

Với α = 4, ta có $\int {{x^4}} dx = \frac{{{x^{4 + 1}}}}{{4 + 1}} + C = \frac{{{x^5}}}{5} + C$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Viết lại hàm số dưới dạng lũy thừa: f(x) = x⁻³.

Áp dụng công thức nguyên hàm: $\int {{x^{ - 3}}} dx = \frac{{{x^{ - 3 + 1}}}}{{ - 3 + 1}} + C = \frac{{{x^{ - 2}}}}{{ - 2}} + C = - \frac{1}{{2{x^2}}} + C$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

Ta có f(x) = $\sqrt x$ = ${x^{\frac{1}{2}}}$.

Áp dụng công thức nguyên hàm: $\int {{x^{\frac{1}{2}}}} dx = \frac{{{x^{\frac{1}{2} + 1}}}}{{\frac{1}{2} + 1}} + C = \frac{{{x^{\frac{3}{2}}}}}{{\frac{3}{2}}} + C = \frac{2}{3}{x^{\frac{3}{2}}} + C = \frac{2}{3}x\sqrt x + C$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Ta có $\int 3 {x^2}dx = 3 \cdot \frac{{{x^3}}}{3} + C = {x^3} + C$.

Vì F(1) = 5 nên 1³ + C = 5, suy ra C = 4.

Vậy F(x) = x³ + 4.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

Khai triển biểu thức: f(x) = x² − 2x + 1.

Nguyên hàm của hàm số là: $\int {({x^2} - 2x + 1)} dx = \frac{{{x^3}}}{3} - 2 \cdot \frac{{{x^2}}}{2} + x + C = \frac{{{x^3}}}{3} - {x^2} + x + C$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Sai. d) Đúng.

a) Đúng. $\int {{x^2}} dx = \frac{{{x^{2 + 1}}}}{{2 + 1}} + C = \frac{{{x^3}}}{3} + C$.

b) Sai. Với n = 0 thì f(x) = x⁰ = 1. Khi đó $\int 1 dx = x + C$.

c) Sai. Công thức $\int {{x^n}} dx = \frac{{{x^{n + 1}}}}{{n + 1}} + C$ chỉ áp dụng cho n ≠ −1.

d) Đúng. $\int {{x^{ - 2}}} dx = \frac{{{x^{ - 2 + 1}}}}{{ - 2 + 1}} + C = \frac{{{x^{ - 1}}}}{{ - 1}} + C = - \frac{1}{x} + C$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Đúng.

a) Đúng. f'(x) = (4x³ + 2x)' = 12x² + 2.

b) Đúng. Vì F'(x) = (x⁴ + x² + 2026)' = 4x³ + 2x = f(x).

c) Sai. $\int {(4{x^3} + 2x)} dx = 4 \cdot \frac{{{x^4}}}{4} + 2 \cdot \frac{{{x^2}}}{2} + C = {x^4} + {x^2} + C$.

d) Đúng. F(x) = x⁴ + x² + C. F(0) = 1 suy ra 0⁴ + 0² + C = 1 nên C = 1.

Khi đó F(1) = 1⁴ + 1² + 1 = 3.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Sai.

a) Đúng. $\frac{1}{{\sqrt x }} = \frac{1}{{{x^{\frac{1}{2}}}}} = {x^{ - \frac{1}{2}}}$.

b) Sai. $\int {{x^{ - \frac{1}{2}}}} dx = \frac{{{x^{ - \frac{1}{2} + 1}}}}{{ - \frac{1}{2} + 1}} + C = \frac{{{x^{\frac{1}{2}}}}}{{\frac{1}{2}}} + C = 2\sqrt x + C$.

c) Đúng. Vì ${\left( {2\sqrt x } \right)^\prime } = 2 \cdot \frac{1}{{2\sqrt x }} = \frac{1}{{\sqrt x }} = f(x)$.

d) Sai. Đây là kết quả của nguyên hàm hàm số $\sqrt x$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Đúng.

a) Đúng. f(x) = x²×x + x²×1 = x³ + x².

b) Sai. Nguyên hàm của một tích không bằng tích các nguyên hàm.

c) Đúng. $\int {({x^3} + {x^2})} dx = \frac{{{x^4}}}{4} + \frac{{{x^3}}}{3} + C$. Chọn C = 0 ta được F(x).

d) Đúng. f(1) = 12×(1 + 1) = 2.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Đúng. d) Đúng.

a) Đúng. Chia tử cho mẫu: $\frac{x}{{{x^3}}} + \frac{1}{{{x^3}}} = \frac{1}{{{x^2}}} + \frac{1}{{{x^3}}}$.

b) Đúng. $\int {{x^{ - 2}}} dx = - {x^{ - 1}} + C = - \frac{1}{x} + C$.

c) Đúng. $\int {{x^{ - 3}}} dx = \frac{{{x^{ - 2}}}}{{ - 2}} + C = - \frac{1}{{2{x^2}}} + C$.

d) Đúng. Kết hợp kết quả câu b và c.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 5

Ta có F(x) = $\int {\frac{1}{{\sqrt x }}} dx = \int {{x^{ - \frac{1}{2}}}} dx = 2\sqrt x + C$.

Vì F(1) = 3 nên $2\sqrt 1 + C = 3$, suy ra C = 1.

Khi đó $F\left( x \right) = 2\sqrt x + 1$. Vậy $F\left( 4 \right) = 2\sqrt 4 + 1 = 5$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 6

Áp dụng công thức nguyên hàm: $\int {{x^n}} dx = \frac{{{x^{n + 1}}}}{{n + 1}} + C$.

Đồng nhất hệ số với đề bài, ta có n + 1 = 7, suy ra n = 6.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 2

Ta có F(x) = $\int {(4{x^3} + 1)} dx = {x^4} + x + C$.

Khi đó F(1) = 1⁴ + 1 + C = 2 + C và F(0) = 0⁴ + 0 + C = C.

Vậy F(1) − F(0) = (2 + C) − C = 2.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 2

Theo định nghĩa nguyên hàm, ta có F'(x) = f(x).

Suy ra (ax³)' = 6x² hay 3ax² = 6x².

Đồng nhất hai vế ta được 3a = 6, suy ra a = 2.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 1

Ta có F(x) = $\int {(x - 1)} dx = \frac{{{x^2}}}{2} - x + C$.

Vì F(0) = 1,5 nên $\frac{{{0^2}}}{2}$− 0 + C = 1,5, suy ra C = 1,5.

Khi đó F(x) = $\frac{{{x^2}}}{2} - x + 1{,}5$.

Vậy F(1) = $\frac{{{1^2}}}{2}$− 1 + 1,5 = 0,5 − 1 + 1,5 = 1.