Bài tập Nguyên hàm của hàm số lượng giác lớp 12 (có lời giải)

Đáp án đúng là: A

$\int {f\left( x \right)dx} = \int {\left( {1 + \sin x} \right)dx} = x - \cos x + C$.

Đáp án đúng là: C

$\int {f\left( x \right)dx} = \int {\left( {1 - \frac{1}{{{{\cos }^2}x}}} \right)dx} = x - \tan x + C$.

Đáp án đúng là: A

Có $\int {f\left( x \right)dx} = \int {\left( {\cos x + 6x} \right)dx} = \sin x + 3{x^2} + C$.

Đáp án đúng là: A

$\int {\left( {2\sin x + 3x} \right)dx} = - 2\cos x + \frac{3}{2}{x^2} + C$.

Đáp án đúng là: D

Ta có $\int {f\left( x \right)} dx = \int {\left( {\frac{1}{x} + \sin x} \right)} dx = \ln \left| x \right| - \cos x + C$.

Đáp án đúng là: D

$\int {\cos \frac{x}{2}\sin \frac{x}{2}dx} = \frac{1}{2}\int {\sin xdx} = - \frac{1}{2}\cos x + C$.

Đáp án đúng là: A

$\int {f\left( x \right)dx} = \int {\left( {3\cos x - \frac{2}{x} + \frac{4}{{{{\sin }^2}x}}} \right)} dx = 3\sin x - 2\ln \left| x \right| - 4\cot x + C$.

Đáp án đúng là: B

Ta có $\int {f\left( x \right)dx} = \int {\left( {\sin x + \cos x} \right)dx} = - \cos x + \sin x + C$.

Đáp án đúng là: B

$\int {f\left( x \right)dx} = \int {4{{\sin }^2}xdx = } \int {\left( {2 - 2\cos 2x} \right)} = 2x - \sin 2x + C$.

Đáp án đúng là: B

Ta có

$\int {f\left( x \right)dx} = \int {\left[ {2\cos \left[ {2\left( {x + \pi } \right)} \right] - 3{x^2}} \right]dx}$

$= \int {\left[ {2\cos \left( {2x + 2\pi } \right) - 3{x^2}} \right]dx} = \int {\left( {2\cos 2x - 3{x^2}} \right)dx} = \sin 2x - {x^3} + C$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Họ nguyên hàm của hàm số f(x) = cos x là $\int {\cos } xdx$ = sin x + C.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Họ nguyên hàm của hàm số f(x) = sin x là $\int {\sin } xdx$ = −cos x + C.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Họ nguyên hàm của hàm số f(x) = $\frac{1}{{{{\cos }^2}x}}$ là $\int {\frac{1}{{{{\cos }^2}x}}} dx$ = tan x + C.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

Họ nguyên hàm của hàm số f(x) = $\frac{1}{{{{\sin }^2}x}}$ là $\int {\frac{1}{{{{\sin }^2}x}}} dx$ = −cot x + C.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Sử dụng tính chất nguyên hàm của một hiệu: $\int {\left[ {f(x) - g(x)} \right]} dx$ = $\int f (x)dx - \int g (x)dx$.

Ta có: $\int {(\cos x - \sin x)} dx$ = $\int {\cos } xdx - \int {\sin } xdx$ = sin x − (−cos x) + C = sin x + cos x + C.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Đúng.

a) Đúng. Ta có biến đổi: $\frac{1}{{{{\sin }^2}x{{\cos }^2}x}} = \frac{{{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x}}{{{{\sin }^2}x{{\cos }^2}x}} = \frac{1}{{{{\cos }^2}x}} + \frac{1}{{{{\sin }^2}x}}$.

b) Sai. Theo công thức nguyên hàm cơ bản, $\int {\frac{1}{{{{\sin }^2}x}}} dx$ = −cot x + C. Do đó một nguyên hàm của g(x) phải là −cot x.

c) Đúng. Áp dụng tính chất nguyên hàm của một tổng:

$\int f (x)dx = \int {\left( {\frac{1}{{{{\cos }^2}x}} + \frac{1}{{{{\sin }^2}x}}} \right)} dx$ = tan x − cot x + C.

d) Đúng. Khi F(x) = tan x − cot x + C,

thay x = $\frac{\pi }{4}$ ta được $F\left( {\frac{\pi }{4}} \right)$ = tan $\frac{\pi }{4}$ − cot $\frac{\pi }{4}$ + C = 1 − 1 + C = C.

Do đó C = 2, suy ra F(x) = tan x − cot x + 2.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Đúng.

a) Đúng. Vì F'(x) = (2sin x + x)' = 2cos x + 1 = f(x).

b) Đúng. Theo định nghĩa nguyên hàm.

c) Sai. Vì $\int {(2\cos x + 1)} dx$ = 2sin x + x + C.

d) Đúng. Thay x = 0 vào f(x) ta được: f(0) = 2cos(0) + 1 = 2·1 + 1 = 3.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Sai. d) Đúng.

a) Đúng. Vì F'(x) = (−cos x − sin x)' = sin x − cos x = f(x).

b) Sai. Vì $\int {(\sin x - \cos x)} dx$ = −cos x − sin x + C.

c) Sai. G'(x) = (cos x + sin x)' = −sin x + cos x. Biểu thức này không bằng f(x).

d) Đúng. Theo định nghĩa nguyên hàm.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Đúng.

a) Đúng. $\int 3 \sin xdx$ = 3$\int {\sin } xdx$ = 3(−cos x) + C = −3cos x + C.

b) Sai. Vì (3cos x)' = −3sin x ≠ f(x).

c) Đúng. Theo tính chất của họ nguyên hàm.

d) Đúng. Vì F'(x) = (−3cos x + 5)' = 3sin x = f(x).

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Đúng.

a) Đúng. $\int {(\frac{1}{{{{\cos }^2}x}} + \sin x)} dx$ = $\int {\frac{1}{{{{\cos }^2}x}}} dx + \int {\sin } xdx$ = tan x − cos x + C.

b) Sai. Vì đạo hàm của (tan x + cos x) là $\frac{1}{{{{\cos }^2}x}} - \sin x$.

c) Đúng. Vì F'(x) = (tan x − cos x + 10)' = $\frac{1}{{{{\cos }^2}x}} + \sin x = f(x)$.

d) Đúng. f(0) = $\frac{1}{{{{\cos }^2}0}} + \sin 0$ = 1 + 0 = 1.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 2

Ta có F(x) = $\int {\cos } xdx$ = sin x + C.

Vì F(0) = 1 nên sin 0 + C = 1, suy ra C = 1.

Khi đó, F(x) = sin x + 1.

Vậy $F\left( {\frac{\pi }{2}} \right)$ = sin $\frac{\pi }{2}$ + 1 = 1 + 1 = 2.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 4

Ta có F(x) = $\int {\sin } xdx$ = −cos x + C.

Vì F(0) = 2 nên −cos 0 + C = 2, suy ra −1 + C = 2 nên C = 3.

Khi đó, F(x) = −cos x + 3.

Vậy F(π) = −cos π + 3 = −(−1) + 3 = 1 + 3 = 4.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 3

Ta biến đổi hàm số: f(x) = 2${\tan ^2}x$ + 2 = 2(1 + ${\tan ^2}x$) = $\frac{2}{{{{\cos }^2}x}}$.

Khi đó họ nguyên hàm của f(x) là F(x) = $\int {\frac{2}{{{{\cos }^2}x}}} dx$ = 2tan x + C.

Theo giả thiết $F\left( {\frac{\pi }{4}} \right)$ = 5 nên 2tan $\frac{\pi }{4}$ + C = 5.

Vì tan $\frac{\pi }{4}$ = 1 nên 2·1 + C = 5, suy ra C = 3.

Vậy nguyên hàm cần tìm là F(x) = 2tan x + 3.

Giá trị của F(0) = 2tan 0 + 3 = 2·0 + 3 = 3.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 0

Áp dụng công thức nhân đôi của cosin, ta có biến đổi:

f(x) = $- \left( {{{\cos }^2}\frac{x}{2} - {{\sin }^2}\frac{x}{2}} \right)$ = −cos x.

Khi đó họ nguyên hàm của f(x) là F(x) = $\int {( - \cos x)} dx$ = −sin x + C.

Theo giả thiết F(π) = 1 nên −sin π + C = 1.

Vì sin π = 0 nên 0 + C = 1, suy ra C = 1.

Vậy F(x) = −sin x + 1.

Giá trị của $F\left( {\frac{\pi }{2}} \right)$ = −sin $\frac{\pi }{2}$ + 1 = −1 + 1 = 0.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 3

Sử dụng công thức nhân đôi cos 2x = ${\cos ^2}x - {\sin ^2}x$, ta có biến đổi:

f(x) = $\frac{{{{\cos }^2}x - {{\sin }^2}x}}{{{{\sin }^2}x{{\cos }^2}x}} = \frac{1}{{{{\sin }^2}x}} - \frac{1}{{{{\cos }^2}x}}$.

Khi đó họ nguyên hàm của f(x) là F(x) = $\int {\left( {\frac{1}{{{{\sin }^2}x}} - \frac{1}{{{{\cos }^2}x}}} \right)} dx$ = −cot x − tan x + C.

Theo giả thiết $F\left( {\frac{\pi }{4}} \right)$ = 1 nên −cot $\frac{\pi }{4}$ − tan $\frac{\pi }{4}$ + C = 1.

Vì cot $\frac{\pi }{4}$ = 1 và tan $\frac{\pi }{4}$ = 1 nên −1 − 1 + C = 1, suy ra −2 + C = 1 nên C = 3.