Bài tập Năng lượng của con lắc lò xo, con lắc đơn lớp 11 (có lời giải)

Đáp án đúng là B

Ta có ${\rm{W}} = \frac{1}{2}k{A^2} \Rightarrow A = \sqrt {\frac{{2{\rm{W}}}}{k}} = 0{,}05\,m.$

Chiều dài quỹ đạo của vật là $L = 2A = 10\,cm.$

Đáp án đúng là C

Áp dụng định luật bảo toàn cơ năng ta có ${\rm{W}} = {{\rm{W}}_{d1}} + {{\rm{W}}_{t1}} = {{\rm{W}}_{d2}} + {{\rm{W}}_{t2}}$

$$\Leftrightarrow \frac{1}{2}100.0,{01^2} + {10.10^{ - 3}} = \frac{1}{2}100.x_2^2 + {5.10^{ - 3}}{\rm{ }} \Rightarrow x_2^{} = \pm \sqrt 2 {\rm{ cm}}$$

Đáp án đúng là C

Năng lượng dao động ${\rm{W}} = \frac{1}{2}k{A^2} \Rightarrow A = \sqrt {\frac{{2W}}{k}} = \sqrt {\frac{{2.0{,}12}}{{150}}} = 0{,}04{\rm{ m = 4 cm}}$

Đáp án đúng là A

Ta có: ${\text{W}}_{đ}=\text{W}-{\text{W}}_{t}=\frac{1}{2}k({A}^{2}-{x}^{2})=1{,}28$J.

Đáp án đúng là A

$${\rm{W}} = \frac{1}{2}k{x^2} + \frac{1}{2}m{v^2} \Rightarrow 0{,}025 = \frac{1}{2}.k.{\left( { - 0{,}01} \right)^2} + \frac{1}{2}.0{,}4.{( - 0{,}25)^2} \Rightarrow k = \,250\,N/m.$$

Đáp án đúng là D

Biên độ dao động $A = \frac{{{\ell _{{\rm{max}}}}\, - \,\,{\ell _{\min }}}}{2} = \frac{{32 - 20}}{2} = \,\,6\,\,cm$

Cơ năng của con lắc$W = \frac{1}{2}k.{A^2} = \frac{1}{2}.100.0,{06^2} = \,0{,}18\,\,J.$

Đáp án đúng là B

Biên độ dao động $A = \frac{L}{2} = 10\,\,cm$

Tần số $f = \frac{{540}}{{3.60}} = 3\,\,Hz\, \Rightarrow \,\,\omega \, = \,2\pi f = 6\pi \,\,rad/s$

Cơ năng của vật khi dao động${\rm{W}} = \frac{1}{2}m.{\omega ^2}.{A^2} = \frac{1}{2}.0{,}5.{\left( {6\pi } \right)^2}.0,{1^2} = \,0{,}9\,\,J.$

Đáp án đúng là D

Theo giả thiết cứ sau những khoảng thời gian 0,05 s thì động năng và thế năng của vật lại bằng nhau nên ta có $\frac{T}{4} = 0{,}05 \Rightarrow T = 0{,}2\,s.$

Mặt khác $T = 2\pi \sqrt {\frac{m}{k}} ,$ thay số ta được $k = 50\,{\rm{ N/m}}{\rm{.}}$

Đáp án đúng là A

Cơ năng của con lắc đơn$W = mg\ell \left( {1 - \cos \,{\alpha _0}} \right) = \,0{,}1.10.1.\left( {1 - \cos \,30^\circ } \right) = \frac{{2 - \sqrt 3 }}{2}{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} J.$

Đáp án đúng là C

Ta có: ${\mathop{\rm W}\nolimits} = {W_{{\rm{t max}}}} = mg\ell \left( {1 - cos{{\rm{\alpha }}_{\rm{0}}}} \right) = 0{,}2.10.1.\left( {1 - cos60^\circ } \right) = 1J.$

a. Sai. $\omega = \sqrt {\frac{k}{m}} = \sqrt {\frac{{100}}{{0{,}1}}} = \sqrt {1000} = 10\sqrt {10} = 10\pi {\rm{ rad/s}}$ (Phát biểu này Đúng với ${\pi ^2} = 10$).

b. Đúng. $W = \frac{1}{2}k{A^2} = \frac{1}{2} \cdot 100 \cdot {(0{,}1)^2} = 0{,}5{\rm{ J}}$.

c. Sai. Thế năng ${W_t} = \frac{1}{2}k{x^2} = \frac{1}{2} \cdot 100 \cdot {(0{,}06)^2} = 0{,}18{\rm{ J}}$.

Động năng ${W_d} = W - {W_t} = 0{,}5 - 0{,}18 = 0{,}32{\rm{ J}}$.

d. Sai. ${W_d} = {W_t} \Rightarrow v = \frac{{{v_{\max }}}}{{\sqrt 2 }} = \frac{{\omega A}}{{\sqrt 2 }} = \frac{{10\pi \cdot 10}}{{\sqrt 2 }} = 50\sqrt 2 \pi {\rm{ cm/s}}$ (thiếu $\pi$).

a. Đúng. $\omega = \sqrt {\frac{g}{l}} = \sqrt {\frac{{9{,}8}}{1}} = \sqrt {9{,}8} {\rm{ rad/s}}$.

b. Đúng. Với góc lệch nhỏ: $W = \frac{1}{2}mgl\alpha _0^2 = \frac{1}{2} \cdot 0{,}2 \cdot 9{,}8 \cdot 1 \cdot {(0{,}1)^2} = 0{,}0098{\rm{ J}} = 9{,}8{\rm{ mJ}}$.

c. Đúng.

Thế năng tại $\alpha = 0{,}06{\rm{ rad}}$: ${W_t} = \frac{1}{2}mgl{\alpha ^2} = \frac{1}{2} \cdot 0{,}2 \cdot 9{,}8 \cdot 1 \cdot {(0{,}06)^2} = 0{,}003528{\rm{ J}} = 3{,}528{\rm{ mJ}}$.

d. Đúng. ${W_{d\max }} = W = 9{,}8{\rm{ mJ}}$ khi qua vị trí cân bằng.

a. Đúng. ${\omega ^2} = \frac{k}{m} \Rightarrow k = m{\omega ^2} = 0{,}2 \cdot {10^2} = 20{\rm{ N/m}}$.

b. Đúng. $W = \frac{1}{2}k{A^2} = \frac{1}{2} \cdot 20 \cdot {(0{,}08)^2} = 0{,}064{\rm{ J}}$.

c. Sai. Tại $t = \frac{\pi }{{30}}{\rm{ s}}$, pha dao động là $10 \cdot \frac{\pi }{{30}} = \frac{\pi }{3} \Rightarrow x = 8\cos \left( {\frac{\pi }{3}} \right) = 4{\rm{ cm}} = \frac{A}{2}$.

Thế năng ${W_t} = \frac{W}{4} = \frac{{0{,}064}}{4} = 0{,}016{\rm{ J}} \Rightarrow {W_d} = W - {W_t} = 0{,}048{\rm{ J}}$

d. Đúng. ${v_{\max }} = \omega A = 10 \cdot 8 = 80{\rm{ cm/s}}$.

a. Đúng. ${\alpha _0} = 6 \cdot \frac{\pi }{{180}} = \frac{\pi }{{30}}{\rm{ rad}}$.

b. Đúng. $\frac{{{W_t}}}{W} = \frac{{\frac{1}{2}mgl{\alpha ^2}}}{{\frac{1}{2}mgl\alpha _0^2}} = {\left( {\frac{\alpha }{{{\alpha _0}}}} \right)^2} = {\left( {\frac{3}{6}} \right)^2} = 0{,}25$.

c. Đúng. ${W_d} = 3{W_t} \Rightarrow W = 4{W_t} \Rightarrow \alpha = \pm \frac{{{\alpha _0}}}{2} = \pm {3^\circ }$.

d. Đúng. Theo công thức bảo toàn cơ năng của con lắc đơn: ${v_{\max }} = \sqrt {2gl(1 - \cos {\alpha _0})}$.

a. Đúng. $\Delta {l_0} = \frac{{mg}}{k} = \frac{{0{,}2 \cdot 10}}{{50}} = 0{,}04{\rm{ m}} = 4{\rm{ cm}}$.

b. Đúng. Kéo khỏi VCB $4{\rm{ cm}}$ thả nhẹ $\Rightarrow A = 4{\rm{ cm}}$.

c. Đúng. Cơ năng $W = \frac{1}{2}k{A^2} = \frac{1}{2} \cdot 50 \cdot {(0{,}04)^2} = 0{,}04{\rm{ J}}$.

d. Sai. ${F_{dh\max }} = k(\Delta {l_0} + A) = 50 \cdot (0{,}04 + 0{,}04) = 4{\rm{ N}}$

a. Đúng. ${W_d} = {W_t} \Rightarrow v = \frac{{{v_{\max }}}}{{\sqrt 2 }} \Rightarrow {v_{\max }} = v\sqrt 2 = 20\sqrt 2 \cdot \sqrt 2 = 40{\rm{ cm/s}} = 0{,}4{\rm{ m/s}}$.

b. Đúng. $W = \frac{1}{2}m{v_{{{\max }^2}}} = \frac{1}{2} \cdot 0{,}1 \cdot {(0{,}4)^2} = 0{,}008{\rm{ J}}$.

c. Sai. $W = \frac{1}{2}mgl\alpha _0^2 \Rightarrow 0{,}008 = \frac{1}{2} \cdot 0{,}1 \cdot 9{,}8 \cdot 0{,}8 \cdot \alpha _0^2 \Rightarrow \alpha _0^2 \approx 0{,}0204 \Rightarrow {\alpha _0} \approx 0{,}143{\rm{ rad}}$

d. Sai. Thế năng cực đại ${W_{t\max }} = W = 0{,}008{\rm{ J}}$.

a. Đúng. $T = 2T' = 2 \cdot 0{,}2 = 0{,}4{\rm{ s}}$.

b. Đúng. $\omega = \frac{{2\pi }}{T} = \frac{{2\pi }}{{0{,}4}} = 5\pi {\rm{ rad/s}}$.

c. Đúng. $W = {W_{t\max }} = 0{,}08{\rm{ J}} = \frac{1}{2}m{\omega ^2}{A^2} \Rightarrow 0{,}08 = \frac{1}{2} \cdot 0{,}4 \cdot {(5\pi )^2}{A^2}$.

Với ${\pi ^2} = 10 \Rightarrow 0{,}08 = \frac{1}{2} \cdot 0{,}4 \cdot 250 \cdot {A^2} = 50{A^2} \Rightarrow {A^2} = 0{,}0016 \Rightarrow A = 0{,}04{\rm{ m}} = 4{\rm{ cm}}$.

d. Đúng. ${W_{d\max }} = W = 0{,}08{\rm{ J}}$.

a. Sai. Ta có $W = {W_d} + \frac{1}{2}k{x^2}$:

${W_{d1}} + \frac{1}{2}kx_1^2 = {W_{d2}} + \frac{1}{2}kx_2^2 \Rightarrow {W_{d1}} - {W_{d2}} = \frac{1}{2}k(x_2^2 - x_1^2)$.

$0{,}091 - 0{,}07 = \frac{1}{2}k(0,{04^2} - 0,{03^2}) \Rightarrow 0{,}021 = \frac{1}{2}k(0{,}0007) \Rightarrow k = 60{\rm{ N/m}}$.

b. Đúng. $W = {W_{d1}} + \frac{1}{2}kx_1^2 = 0{,}091 + \frac{1}{2} \cdot 60 \cdot {(0{,}03)^2} = 0{,}091 + 0{,}027 = 0{,}118{\rm{ J}}$.

c. Sai. $W = \frac{1}{2}k{A^2} \Rightarrow 0{,}118 = \frac{1}{2} \cdot 60 \cdot {A^2} \Rightarrow {A^2} \approx 0{,}00393 \Rightarrow A \approx 6{,}27{\rm{ cm}}$.

d. Đúng. ${W_{d\max }} = W = 0{,}118{\rm{ J}}$.

a. Đúng. $W = \frac{1}{2}m{v_{{{\max }^2}}} = \frac{1}{2} \cdot 0{,}1 \cdot {(0{,}5)^2} = 0{,}0125{\rm{ J}}$.

b. Sai. ${v_{\max }} = \sqrt {gl} {\alpha _0} \Rightarrow 0{,}5 = \sqrt {10 \cdot 1} \cdot {\alpha _0} \Rightarrow {\alpha _0} = \frac{{0{,}5}}{{\sqrt {10} }} \approx 0{,}158{\rm{ rad}}$.

c. Sai. Tại $\alpha = 0{,}025{\rm{ rad}}$: ${W_t} = \frac{1}{2}mgl{\alpha ^2} = \frac{1}{2} \cdot 0{,}1 \cdot 10 \cdot 1 \cdot {(0{,}025)^2} = 0{,}0003125{\rm{ J}}$

d. Đúng. $v = {v_{\max }}\sqrt {1 - {{\left( {\frac{\alpha }{{{\alpha _0}}}} \right)}^2}}$.

a. Đúng. ${W_d} = 3{W_t} \Rightarrow v = \frac{{\sqrt 3 }}{2}{v_{\max }} = 30\sqrt 3 {\rm{ cm/s}} \Rightarrow {v_{\max }} = 60{\rm{ cm/s}} = 0{,}6{\rm{ m/s}}$.

b. Sai. $W = \frac{1}{2}k{A^2}$, đối với con lắc lò xo cơ năng chỉ phụ thuộc $k$ và $A$, không phụ thuộc $m$.

c. Đúng. Với $m = 0{,}1{\rm{ kg}} \Rightarrow \omega = \sqrt {\frac{{40}}{{0{,}1}}} = 20{\rm{ rad/s}} \Rightarrow A = \frac{{{v_{\max }}}}{\omega } = \frac{{60}}{{20}} = 3{\rm{ cm}}$.

d. Đúng. ${W_d} = 3{W_t} \Rightarrow {W_t} = \frac{1}{3}{W_d}$.

Đáp án: 0,1

$W = \frac{1}{2}k{A^2} = \frac{1}{2} \cdot 80 \cdot {(0{,}05)^2} = 0{,}1{\rm{ J}}$.

Đáp án: 36

${W_{d\max }} = W = \frac{1}{2}m{\omega ^2}{A^2} = \frac{1}{2} \cdot 0{,}2 \cdot {10^2} \cdot {(0{,}06)^2} = 0{,}036{\rm{ J}} = 36{\rm{ mJ}}$.

Đáp án: 1,25

${W_t} = \frac{1}{2}mgl{\alpha ^2} = \frac{1}{2} \cdot 0{,}1 \cdot 10 \cdot 1 \cdot {(0{,}05)^2} = 0{,}00125{\rm{ J}} = 1{,}25{\rm{ mJ}}$.

Đáp án: 10

Thế năng ${W_t} = \frac{1}{2}k{x^2} = \frac{1}{2} \cdot 100 \cdot {(0{,}04)^2} = 0{,}08{\rm{ J}}$.

Cơ năng $W = {W_d} + {W_t} = 0{,}42 + 0{,}08 = 0{,}5{\rm{ J}}$.

$W = \frac{1}{2}k{A^2} \Rightarrow 0{,}5 = \frac{1}{2} \cdot 100 \cdot {A^2} \Rightarrow {A^2} = 0{,}01 \Rightarrow A = 0{,}1{\rm{ m}} = 10{\rm{ cm}}$.

Đáp án: 0,05

${W_d} = 3{W_t} \Rightarrow W = 4{W_t} \Rightarrow \frac{1}{2}mgl\alpha _0^2 = 4 \cdot \frac{1}{2}mgl{\alpha ^2} \Rightarrow |\alpha | = \frac{{{\alpha _0}}}{2} = \frac{{0{,}1}}{2} = 0{,}05{\rm{ rad}}$.

Đáp án: 6

$\omega = \frac{{2\pi }}{T} = \frac{{2\pi }}{{0{,}2}} = 10\pi {\rm{ rad/s}}$.

$W = \frac{1}{2}m{\omega ^2}{A^2} \Rightarrow 0{,}18 = \frac{1}{2} \cdot 0{,}1 \cdot {(10\pi )^2} \cdot {A^2} = 0{,}05 \cdot 1000 \cdot {A^2} = 50{A^2}$.

${A^2} = \frac{{0{,}18}}{{50}} = 0{,}0036 \Rightarrow A = 0{,}06{\rm{ m}} = 6{\rm{ cm}}$.

Đáp án: 40

${W_t} = 3{W_d} \Rightarrow W = \frac{4}{3}{W_t} \Rightarrow \frac{1}{2}k{A^2} = \frac{4}{3} \cdot \frac{1}{2}k{x^2} \Rightarrow |x| = \frac{{A\sqrt 3 }}{2}$.

Do $x = 2\sqrt 3 {\rm{ cm}} \Rightarrow A = 4{\rm{ cm}} = 0{,}04{\rm{ m}}$.

Ta có ${v_{\max }} = \omega A \Rightarrow \omega = \frac{{{v_{\max }}}}{A} = \frac{{0{,}4}}{{0{,}04}} = 10{\rm{ rad/s}}$.

Độ cứng $k = m{\omega ^2} = 0{,}4 \cdot {10^2} = 40{\rm{ N/m}}$.

Đáp án: 28,28

${W_d} = {W_t} \Rightarrow {W_d} = \frac{W}{2} = \frac{{16}}{2} = 8{\rm{ mJ}} = 0{,}008{\rm{ J}}$.

${W_d} = \frac{1}{2}m{v^2} \Rightarrow 0{,}008 = \frac{1}{2} \cdot 0{,}2 \cdot {v^2} \Rightarrow {v^2} = 0{,}08 \Rightarrow v = \sqrt {0{,}08} \approx 0{,}2828{\rm{ m/s}} = 28{,}28{\rm{ cm/s}}$.

Đáp án: 0,05

Tại VCB ${W_t} = 0$. Tại điểm $M$, thế năng ${W_t} = 0{,}15{\rm{ J}}$.

Động năng tại $M$: ${W_d} = W - {W_t} = 0{,}2 - 0{,}15 = 0{,}05{\rm{ J}}$.

Đáp án: 4

Cơ năng con lắc đơn $W = \frac{1}{2}mgl\alpha _0^2$.

Tỉ số $\frac{{{W_2}}}{{{W_1}}} = \frac{{\frac{1}{2}{m_2}g{l_2}\alpha _0^2}}{{\frac{1}{2}{m_1}g{l_1}\alpha _0^2}} = \frac{{{m_2}}}{{{m_1}}} \cdot \frac{{{l_2}}}{{{l_1}}} = \frac{{200}}{{100}} \cdot 2 = 2 \cdot 2 = 4$.