Bài tập Một số bài toán về đường tiệm cận của đồ thị hàm số có chứa tham số lớp 12 (có lời giải)

Đáp án đúng là: B

Với m = −4 thì $y = \frac{{ - 4x - 8}}{{x + 2}} = - 4$ không thỏa mãn.

Do đó m ≠ −4 thì hàm số luôn có hai đường tiệm cận x = −2; y = m.

Đáp án đúng là: D

Ta có: $\mathop {\lim }\limits_{x \to {m^ + }} y = - \infty$ nên x$_{0}$ = m là tiệm cận đứng.

$\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = 8$ nên y$_{0}$ = 8 là tiệm cận ngang.

Suy ra 8m = 16 $\Leftrightarrow$ m = 2.

Đáp án đúng là: C

+ Ta có $\mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ + }} f\left( x \right) = + \infty {\mkern 1mu}$ nên x = −2 là một tiệm cận đứng.$\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = - \infty {\mkern 1mu}$ nên x = 1 là một tiệm cận đứng.

$\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f\left( x \right) = 4{\mkern 1mu}$ nên y = 4 là một tiệm cận ngang.

$\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = {m^2}$ nên y = m$^{2}$ là một tiệm cận ngang.

+ Để hàm số có 4 tiệm cận thì m$^{2}$ ≠ 4 $\Leftrightarrow$ m ≠ ±2 mà m ∈ [−4; 4] nên m ∈ {±4; ±3; ±1; 0}. Vậy có 7 giá trị m cần tìm.

Đáp án đúng là: A

Từ bảng biến thiên ta có $\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f\left( x \right) = 0$ và $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = \left( {m - 1} \right)\left( {2 - m} \right)$.

Suy ra tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y = f\left( x \right)$ là y = 0 và y = (m – 1)(2 – m).

Lại có $\mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ - }} f\left( x \right) = - \infty$; $\mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ + }} f\left( x \right) = + \infty$ suy ra tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y = f(x) là x = −2.

Và $\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f\left( x \right) = + \infty$; $\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f\left( x \right) = - \infty$ suy ra tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y = f(x) là x = 2.

Để đồ thị hàm số có tổng số đường tiệm cận đứng và đường tiệm cận ngang là 4 khi và chỉ khi $\left( {m - 1} \right)\left( {2 - m} \right) \ne 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne 1\\m \ne 2\end{array} \right.$.

Vì m ∈ (−10; 10) và m là số nguyên dương nên m ∈ {3; 4; 5; 6; 7; 8; 9}.

Vậy 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 42.

Đáp án đúng là: D

Từ bảng biến thiên suy ra tiệm cận đứng là x = −m, tiệm cận ngang là y = m nên giao điểm tiệm cận đứng và tiệm cận ngang là I(−m; m).

Theo đề ta suy ra m = 1.

Đáp án đúng là: C

+) b = 0 $\Rightarrow$ đồ thị hàm số $y = \frac{{ax + 1}}{{ - 2}}$ không có tiệm cận.

+) b ≠ 0, tập xác định của hàm số $y = \frac{{ax + 1}}{{bx - 2}}$ là $D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{2}{b}} \right\}$.

$\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \frac{{ax + 1}}{{bx - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \frac{{a + \frac{1}{x}}}{{b - \frac{2}{x}}} = \frac{a}{b}$.

$\Rightarrow$đồ thị hàm số $y = \frac{{ax + 1}}{{bx - 2}}$ có tiệm cận ngang là đường thẳng $y = \frac{a}{b} \Rightarrow \frac{a}{b} = \frac{1}{2} \Leftrightarrow b = 2a$.

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\frac{2}{b}}^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\frac{2}{b}}^ + }} \frac{{ax + 1}}{{bx - 2}} = \left[ \begin{array}{l} + \infty \\ - \infty \end{array} \right.$.

$\Rightarrow$đồ thị hàm số $y = \frac{{ax + 1}}{{bx - 2}}$ có tiệm cận đứng là đường thẳng$x = \frac{2}{b} \Rightarrow \frac{2}{b} = 1 \Leftrightarrow b = 2 \Rightarrow a = 1$.

Vậy a = 1; b = 2.

Đáp án đúng là: D

$y = \frac{{{x^2} + m}}{{{x^2} - 3x + 2}} = \frac{{{x^2} + m}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)}}$.

$\mathop {\lim y}\limits_{x \to \pm \infty } = 1 \Rightarrow$ y = 1 là đường tiệm cận ngang.

Đồ thị hàm số $y = \frac{{{x^2} + m}}{{{x^2} - 3x + 2}}$ có đúng hai đường tiệm cận khi và chỉ khi đồ thị hàm số có đúng một tiệm cận đứng. Suy ra phương trình x$^{2}$ + m = 0 nhận nghiệm x = 1 hoặc x = 2.

Khi đó: m = −1 hoặc m = −4.

Với m = −1 có một tiệm cận đứng x = 2.

Với m = −4 có một tiệm cận đứng x = 1.

Vậy m ∈ {−1; −4}.

Đáp án đúng là: C

Xét $\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \left( {y - \left( {2mx + 3} \right)} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \frac{{ - 4}}{{x + 1}} = 0$.

Vậy đường tiệm cận xiên có phương trình y = 2mx + 3.

Đường thẳng này qua điểm M(1; 7) nên 2m.1 + 3 = 7 $\Leftrightarrow$ m = 2.

Đáp án đúng là: A

Đồ thị hàm số nhận x = −m – 3 làm tiệm cận đứng $\Rightarrow$ −m – 3 = 0 $\Rightarrow$ m = −3.

Đồ thị hàm số nhận y = n – 3 làm tiệm cận ngang $\Rightarrow$ n – 3 = 0 $\Leftrightarrow$ n = 3.

Vậy m + n = 0.

Đáp án đúng là: A

Ta có $\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{x - 1}}{{{x^2} - 8x + m}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{x - 1}}{{{x^2} - 8x + m}} = 0$ nên đồ thị hàm số có một tiện cận ngang y = 0.

Đồ thị hàm số có 3 đường tiệm cận khi và chỉ khi đồ thị hàm số có hai đường tiệm cận đứng phương trình x$^{2}$ – 8x + m = 0 có hai nghiệm phân biệt khác 1.$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta ' = 16 - m > 0\\m - 7 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m < 16\\m \ne 7\end{array} \right.$.

Kết hợp với điều kiện m nguyên dương ta có m ∈ {1; 2; 3; …; 6; 8; …; 15}.

Vậy có 14 giá trị của m thỏa mãn đề bài.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Ta có x$^{2}$ – m = 0 $\Leftrightarrow$ $x = \pm \sqrt m$.

Nếu m > 0 thì đồ thị có 2 tiệm cận đứng là $x = \pm \sqrt m$.

Nếu m = 0 thì hàm số có dạng y = 1 không có tiệm cận.

Nếu m < 0 thì đồ thị hàm số không có tiệm cận.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

Ta có $\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \frac{{mx + 1}}{{{x^2} + 1}} = 0$. Do đó y = 0 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Ta có $\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \frac{{\left( {m + 1} \right)x - 5m}}{{2x - m}} = \frac{{m + 1}}{2}$.

Do đó $y = \frac{{m + 1}}{2}$ là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Theo đề ta có $\frac{{m + 1}}{2} = 1 \Leftrightarrow m = 1$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

Để đồ thị hàm số $y = \frac{{m{x^2} + 6x - 2}}{{x + 2}}$ có tiệm cận đứng thì x = −2 không là nghiệm của phương trình mx$^{2}$ + 6x – 2 = 0.

Khi đó m.(−2)$^{2}$ + 6.(−2) – 2 ≠ 0 $\Leftrightarrow$ $m \ne \frac{7}{2}$.

Vậy với $m \ne \frac{7}{2}$ thì đồ thị hàm số $y = \frac{{m{x^2} + 6x - 2}}{{x + 2}}$ có tiệm cận đứng.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

Đặt f(x) = x$^{2}$ + 2(m – 1)x + m$^{2}$ – 2.

Để hàm số có đúng 2 tiệm cận đứng thì phương trình f(x) = 0 có 2 nghiệm phân biệt khác 1.

Khi đó ta có $\left\{ \begin{array}{l}\Delta ' = {\left( {m - 1} \right)^2} - \left( {{m^2} - 2} \right) > 0\\f\left( 1 \right) \ne 0\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m < \frac{3}{2}\\{m^2} + 2m - 3 \ne 0\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m < \frac{3}{2}\\m \ne - 3;m \ne 1\end{array} \right.$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Sai. d) Sai.

a) Đúng. Khi m = 0 hàm số có dạng $y = \frac{{ - {x^2} + 4x + 3}}{{x - 2}}$.

Vì $\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( 2 \right)}^ + }} \frac{{ - {x^2} + 4x + 3}}{{x - 2}} = + \infty$ và $\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( 2 \right)}^ - }} \frac{{ - {x^2} + 4x + 3}}{{x - 2}} = - \infty$ nên tiệm cận đứng của hàm số là x = 2.

b) Sai. Khi m = 0 hàm số có dạng $y = \frac{{ - {x^2} + 4x + 3}}{{x - 2}}$

Tọa độ giao điểm của tiệm cận đứng và đường thẳng x – y – 1 = 0 là nghiệm hệ $\left\{ \begin{array}{l}x = 2\\x - y - 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = 1\end{array} \right.$ không thỏa mãn phương trình parabol y = x$^{2}$.

c) Sai. Lấy $M\left( {0; - \frac{3}{2}} \right) \in \left( C \right)$. Ta có ${d_1} \cdot {d_2} = \frac{{\left| { - 2} \right|}}{1} \cdot \frac{{\left| { - \frac{3}{2} - 2} \right|}}{{\sqrt 2 }} = \frac{{7\sqrt 2 }}{2}$.

d) Sai. Hàm số không có tiệm cận đứng khi $x = 2$ là nghiệm của phương trình $- {x^2} + 4x + 3 + m = 0$ hay $- 4 + 8 + 3 + m = 0 \Leftrightarrow m = - 7$. Vậy $S = \emptyset$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Đúng. d) Sai.

Ta có $y = mx + 3 + \frac{{{m^2} + 1}}{{x - 1}}$, do đó (C) có tiệm cận xiên là (d): y = mx + 3 (m ≠ 0).

a) Đúng. Với m = 2 thì (d) có phương trình là y = 2x + 3.

b) Đúng. Ta có A(1; 4) $\in$ d nên 4 = m + 3 $\Leftrightarrow$ m = 1.

c) Đúng. Giao điểm của (d) với hai trục tọa độ là $M\left( {0;\,3} \right);\,N\left( { - \frac{3}{m};0} \right)$.

Diện tích tam giác vuông OMN là $S = \frac{1}{2}OM \cdot ON = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot \left| {\frac{3}{m}} \right| = \frac{9}{{2\left| m \right|}}$

Ta có $S = 9 \Leftrightarrow \frac{9}{{2\left| m \right|}} = 9 \Leftrightarrow \left| m \right| = \frac{1}{2} \Leftrightarrow m = \pm \frac{1}{2}$ (nhận).

Vậy có 2 đường thẳng (d) tạo với hai trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng 9.

d) Sai. Ta có $d\left( {O,\left( d \right)} \right) = \sqrt 3 \Leftrightarrow \frac{3}{{\sqrt {{m^2} + 1} }} = \sqrt 3$

$\Leftrightarrow \sqrt {{m^2} + 1} = \sqrt 3 \Leftrightarrow {m^2} + 1 = 3 \Leftrightarrow m = \pm \sqrt 2$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Sai.

a) Đúng. Ta có $\mathop {\lim }\limits_{x \to {m^ - }} \frac{{{x^2} + 1}}{{x - m}} = + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to {m^ + }} \frac{{{x^2} + 1}}{{x - m}} = - \infty$ nên x = m là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

b) Đúng. Có $y = \frac{{{x^2} + 1}}{{x - m}} = x + m + \frac{{1 + {m^2}}}{{x - m}}$.

Có $\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \left[ {y - \left( {x + m} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \frac{{1 + {m^2}}}{{x - m}} = 0$.

Do đó y = x + m là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.

c) Sai. Có $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{{x^2} + 1}}{{x - m}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{1 + \frac{1}{{{x^2}}}}}{{\frac{1}{x} - \frac{m}{{{x^2}}}}} = + \infty$; $\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{{x^2} + 1}}{{x - m}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{1 + \frac{1}{{{x^2}}}}}{{\frac{1}{x} - \frac{m}{{{x^2}}}}} = - \infty$ nên đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang.

d) Sai. Tiệm cận xiên y = x + m giao với Ox tại A(−m; 0) và giao với Oy tại B(0; m).

Do đó để S$_{D}$$_{AOB}$ = 3 thì $\frac{1}{2}\left| { - m} \right| \cdot \left| m \right| = 3$$\Leftrightarrow {m^2} = 6 \Leftrightarrow m = \pm \sqrt 6$.

Đáp án: a) Sai. b) Đúng. c) Đúng. d) Đúng.

a) Sai. Đặt f(x) = x$^{2}$ + mx + 1.

Để đồ thị hàm số có hai tiệm cận đứng là x = 1; x = −1 thì x = 1; x = −1 không là nghiệm của phương trình f(x) = 0.

Khi đó $\left\{ \begin{array}{l}f\left( 1 \right) \ne 0\\f\left( { - 1} \right) \ne 0\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 + m + 1 \ne 0\\1 - m + 1 \ne 0\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne 2\\m \ne - 2\end{array} \right.$.

Vậy m ≠ 2; m ≠ −2 thì đồ thị hàm số có 2 tiệm cận đứng x = 1; x = −1.

b) Đúng. Để đồ thị hàm số có 1 tiệm cận đứng thì x = 1 hoặc x = −1 là nghiệm của phương trình f(x) = 0.

Khi đó $\left[ \begin{array}{l}f\left( 1 \right) = 0\\f\left( { - 1} \right) = 0\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 2\\m = - 2\end{array} \right.$. Vậy có 2 giá trị của m.

c) Đúng. Theo câu b, ta có m = 2; m = −2 thì đồ thị hàm số có đúng 1 tiệm cận đứng.

Do đó tổng các giá trị của m bằng 0.

d) Đúng. $\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \frac{{{x^2} + mx + 1}}{{{x^2} - 1}}$$= \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \frac{{1 + \frac{m}{x} + \frac{1}{{{x^2}}}}}{{1 - \frac{1}{{{x^2}}}}} = 1$.

Do đó y = 1 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Sai.

a) Đúng. $\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \frac{{x - 3}}{{{x^3} - 3m{x^2} + \left( {2{m^2} + 1} \right)x - m}} = 0$ nên y = 0 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

b) Đúng. Với m = 1 thì hàm số có dạng $y = \frac{{x - 3}}{{{x^3} - 3{x^2} + 3x - 1}} = \frac{{x - 3}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^3}}}$.

Có $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{x - 3}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^3}}} = - \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{{x - 3}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^3}}} = + \infty$. Do đó x = 1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

c) Sai. Có $\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \frac{{x - 3}}{{{x^3} - 3m{x^2} + \left( {2{m^2} + 1} \right)x - m}} = 0$.

Suy ra y = 0 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Đặt f(x) = x$^{3}$ – 3mx$^{2}$ + (2m$^{2}$ + 1)x – m = (x – m)(x$^{2}$ − 2mx + 1).

Để đồ thị hàm số có 4 đường tiệm cận thì phương trình f(x) = 0 có 3 nghiệm phân biệt khác 3.

Có f(x) = 0 $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - m = 0\\{x^2} - 2mx + 1 = 0\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = m\\g\left( x \right) = {x^2} - 2mx + 1 = 0\end{array} \right.$.

Để phương trình f(x) = 0 có 3 nghiệm phân biệt khác 3 thì m ≠ 3 và phương trình g(x) = 0 có hai nghiệm phân biệt khác 3

Khi đó có $\left\{ \begin{array}{l}m \ne 3\\\Delta ' = {m^2} - 1 > 0\\10 - 6m \ne 0\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}m < - 1\\m > 1\end{array} \right.\\m \ne 3\\m \ne \frac{5}{3}\end{array} \right.$.

d) Sai. Vì m ∈ ℤ và m ∈ [−2020; 2020] nên m ∈ {−2020; −2019; …; −2; 2; 4; …; 2020}.

Vậy có tất cả 4037 số nguyên m thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 2

Để đồ thị hàm số y = f(x) có duy nhất một tiệm cận ngang thì

m = m$^{4}$ $\Leftrightarrow$ m(m$^{3}$ – 1) = 0 $\Leftrightarrow$ m = 0 hoặc m = 1.

Vậy có 2 giá trị của m thỏa mãn yêu cầu của bài.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 0,25

Nếu m = 0 thì $y = \frac{{x - 2}}{{ - 2x + 4}} = - \frac{1}{2}$. (không thỏa mãn).

Nếu m ≠ 0.

Có $\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \frac{{x - 2}}{{m{x^2} - 2x + 4}} = 0$ nên y = 0 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Để đồ thị hàm số có đúng hai đường tiệm cận thì đồ thị hàm số có đúng 1 tiệm cận đứng. Khi đó f(x) = mx$^{2}$ – 2x + 4 = 0 có nghiệm duy nhất khác 2 hoặc có 2 nghiệm phân biệt trong đó có 1 nghiệm bằng 2.

TH1: f(x) = 0 có nghiệm duy nhất khác 2.

Khi đó $\left\{ \begin{array}{l}\Delta = {\left( { - 2} \right)^2} - 16m = 0\\f\left( 2 \right) \ne 0\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = \frac{1}{4}\\4m \ne 0\end{array} \right.$$\Leftrightarrow m = \frac{1}{4}$ (thỏa mãn).

TH2: f(x) = 0 có hai nghiệm phân biệt trong đó có 1 nghiệm bằng 2.

Khi đó $\left\{ \begin{array}{l}\Delta = {\left( { - 2} \right)^2} - 16m > 0\\f\left( 2 \right) = 0\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m < \frac{1}{4}\\m = 0\end{array} \right.$$\Leftrightarrow m = 0$ (loại vì m ≠ 0).

Vậy tổng các giá trị của m là 0,25.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: −6

Có $y = \frac{{{x^2} + \left( {1 - m} \right)x - 2}}{{x + 1}} = x - m + \frac{{m - 2}}{{x + 1}}$.

Có $\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \left[ {y - \left( {x - m} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \frac{{m - 2}}{{x + 1}} = 0$.

Do đó tiệm cận xiên của đồ thị hàm số là y = x – m.

Giả sử đường tiệm cận xiên cắt trục Ox, Oy lần lượt tại A và B.

Suy ra B(0; −m) và A(m; 0) $\Rightarrow$ OB = |−m|; OA = |m|.

Do đó ${S_{AOB}} = \frac{1}{2}OA \cdot OB = \frac{1}{2}\left| { - m} \right| \cdot \left| m \right| = 18 \Leftrightarrow m = \pm 6$.

Mà m < 0 nên m = −6.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 2022

Đồ thị hàm số $y = \frac{{x - 1}}{{{x^2} + 2\left( {m - 1} \right)x + {m^2} - 3}}$ có đúng hai đường tiệm cận đứng khi và chỉ khi phương trình f(x) = x$^{2}$ + 2(m – 1)x + m$^{2}$ – 3 = 0 có hai nghiệm phân biệt khác 1.

Suy ra $\left\{ \begin{array}{l}\Delta' = {\left( {m - 1} \right)^2} - \left( {{m^2} - 3} \right) > 0\\f\left( 1 \right) \ne 0\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 2m + 4 > 0\\1 + 2\left( {m - 1} \right) + {m^2} - 3 \ne 0\end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m < 2\\{m^2} + 2m - 4 \ne 0\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m < 2\\m \ne - 1 + \sqrt 5 \\m \ne - 1 - \sqrt 5 \end{array} \right.$.

Mà m ∈ ℤ và m $\in$ [−2020; 2020] nên m $\in$ {−2020; −2019; …; 0; 1}.

Vậy có 2022 số nguyên m thỏa mãn.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 2

Ta có $y' = \frac{{{m^2} + 2}}{{{{\left( {2x + m} \right)}^2}}} > 0$.

Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là $x = - \frac{m}{2}$.

Vì tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đi qua $M\left( { - 1;\sqrt 2 } \right)$ nên $- 1 = - \frac{m}{2} \Leftrightarrow m = 2$.