Bài tập Một số bài toán ứng dụng vectơ trong thực tiễn lớp 12 (có lời giải)

Một em nhỏ cân nặng m = 25 kg trượt trên cầu trượt dài 3,5 m (như trong hình dưới đây). Biết rằng, cầu trượt có góc nghiêng so với phương nằm ngang là 30°. Trong các khẳng định sau, có bao nhiêu khẳng định đúng?

1) Với gia tốc rơi tự do $\overrightarrow g$ có độ lớn là g = 9,8 (m/s$^{2}$) thì độ lớn của trọng lực $\overrightarrow P = m\overrightarrow g$ tác dụng lên em nhỏ có độ lớn là 245 N;

2) Góc giữa độ dịch chuyển $\overrightarrow d$ so với trọng lực $\overrightarrow P$ là 30°.

3) Công A(J) sinh bởi một lực $\overrightarrow F$ có độ dịch chuyển $\overrightarrow d$ được tính bởi công thức $A = \left| {\overrightarrow F } \right|.\left| {\overrightarrow d } \right|.\cos \left( {\overrightarrow F ,\overrightarrow d } \right)$ thì công sinh bởi trọng lực $\overrightarrow P$ khi em nhỏ trượt hết chiều dài cầu trượt là 428,75 J.

Một chiếc đèn tròn được treo song song với mặt phẳng nằm ngang bởi ba sợi dây không dãn xuất phát từ điểm O trên trần nhà và lần lượt buộc vào ba điểm A, B, C trên đèn tròn sao cho các lực căng $\overrightarrow {{F_1}} ,\overrightarrow {{F_2}} ,\overrightarrow {{F_3}}$ lần lượt trên mối dây OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau và $\left| {\overrightarrow {{F_1}} } \right| = \left| {\overrightarrow {{F_2}} } \right| = \left| {\overrightarrow {{F_3}} } \right| = 15\left( N \right)$. Tính trọng lượng của chiếc đèn tròn đó.

Một chiếc đèn chùm treo có khối lượng m = 5 kg được thiết kế với đĩa đèn được giữ bởi bốn đoạn xích SA, SB, SC, SD sao cho S.ABCD là hình chóp tứ giác đều có $\widehat {ASC} = 60^\circ$. Tìm độ lớn của lực căng cho mỗi sợi xích, lấy g = 10 m/s$^{2}$.

Người ta treo một bóng đèn có khối lượng $m = \sqrt 3$ kg bằng cách luồn sợi dây qua một cái móc của đèn và hai đầu dây được gắn chặt trên trần nhà. Hai nửa sợi dây có chiều dài bằng nhau và hợp với nhau một góc bằng 60°. Lực căng của mỗi nửa sợi dây là bao nhiêu? (Lấy g = 10 m/s$^{2}$).

Để kéo một khúc gỗ trượt trên mặt phẳng sân từ vị trí này đến vị trí khác theo đường thẳng, hai bạn Sơn và Minh gắn hai sợi dây thừng vào vị trí A của khúc gỗ và kéo với hai lực lần lượt là $\overrightarrow {{F_1}} ,\overrightarrow {{F_2}}$ cùng nằm trong mặt phẳng chứa điểm A và song song với mặt phẳng sân (quan sát hình mô tả). Tính độ lớn lực tổng hợp từ hai lực của Sơn và Minh tác động vào vị trí A để di chuyển khúc gỗ, biết góc tạo bởi sợi dây thừng của hai bạn so với phương chuyển động của khúc gỗ lần lượt là 30° và 20°, độ lớn lực kéo của Sơn và Minh lần lượt là 50 N và 40 N (kết quả được làm tròn đến phần chục).

Một vật chịu tác dụng của hai lực $\overrightarrow {{F_1}}$ theo hướng Bắc và lực $\overrightarrow {{F_2}}$ theo hướng Đông và có độ lớn lần lượt là 6 N và 8 N.

Độ lớn của hợp lực là

Có ba lực cùng tác động vào một cái bàn tại điểm O. Biết lực $\overrightarrow {{F_1}} ,\overrightarrow {{F_2}} ,\overrightarrow {{F_3}}$có độ lớn lần lượt là 9 N, 5 N, 8 N. $\overrightarrow {{F_1}}$ và $\overrightarrow {{F_2}}$ nằm trong mặt phẳng của bàn và hợp với nhau 1 góc 120°, $\overrightarrow {{F_3}}$ vuông góc với mặt phẳng bàn. Độ lớn hợp lực của ba lực trên là (kết quả làm tròn đến hàng phần mười).

Một tàu kéo một xà lan trên biển, di chuyển được 6 km với lực kéo có cường độ 3500 N. Phương của lực kéo hợp với phương chuyển động một góc 30°. Công thực hiện bởi lực kéo nói trên bằng (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị)

Một vật có khối lượng m = 8 kg trượt trên một mặt phẳng nghiêng so với mặt đất một góc 45° từ độ cao HK = 2 m. Giả sử mặt phẳng nghiêng không có ma sát và vật chỉ chịu tác dụng của trọng lực $\overrightarrow P = m\overrightarrow g$ với g = 10 m/s$^{2}$.

Một chiếc đèn chùm treo có khối lượng 10 kg được thiết kế với đĩa đèn được giữ bởi bốn đoạn xích SA, SB, SC, SD sao cho S.ABCD là hình chóp tứ giác đều có $\widehat {ASC} = 60^\circ$(tham khảo hình vẽ). Trọng lực $\overrightarrow P$ tác động lên đèn chùm xác định bởi công thức $\overrightarrow P = m\overrightarrow g$ trong đó $\overrightarrow g$ là vectơ gia tốc rơi tự do có độ lớn 10 m/s$^{2}$.

Một vật có trọng lượng 200 N được treo cố định dưới trần nhà bằng ba sợi dây không giãn, bằng nhau và gắn tại 3 điểm A, B, C tạo thành tam giác đều. Mỗi dây tạo với mặt phẳng trần một góc 30° và vật ở trạng thái cân bằng.

Một chiếc ô tô được đặt trên mặt đáy dưới một khung sắt có dạng hình hộp chữ nhật, với đáy trên là hình chữ nhật ABCD. Khung sắt được buộc vào móc E của cần cẩu sao cho các đoạn dây cáp EA, EB, EC, ED có độ dài bằng nhau và cùng tạo với mặt phẳng (ABCD) một góc α. Cần cẩu kéo khung sắt lên theo phương thẳng đúng. Biết rằng lực căng của mỗi dây là 4800 N và trọng lượng của cả khung sắt chứa xe ô tô là $7200\sqrt 6 N$.

Một chiếc đèn sân khấu được đặt trên giá đỡ ba chân. Trọng lực tác dụng lên đèn có độ lớn 45 N và được phân bổ thành ba lực $\overrightarrow {{F_1}} ,\overrightarrow {{F_2}} ,\overrightarrow {{F_3}}$ lên ba chân của giá đỡ. Ba lực $\overrightarrow {{F_1}} ,\overrightarrow {{F_2}} ,\overrightarrow {{F_3}}$ có độ lớn bằng nhau và góc tạo bởi mỗi chân của giá đỡ và mặt đất là 45°. Độ lớn của lực $\overrightarrow {{F_1}}$ là bao nhiêu N (kết quả làm tròn đến hàng phần chục)?

Một vật có khối lượng m = 10 kg được kéo lên một phẳng nghiêng dài 5m, góc nghiêng 30° (tham khảo hình vẽ). Độ lớn của lực kéo $\overrightarrow F$ bằng 100 N. Lấy g = 10m/s$^{2}$. Tính công của lực kéo (J).

Một chất điểm ở vị trí đỉnh A của hình lập phương ABCD.A'B'C'D'. Chất điểm chịu tác động bởi ba lực $\overrightarrow a ,\overrightarrow b ,\overrightarrow c$ lần lượt cùng hướng với $\overrightarrow {AD} ,\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC'}$ như hình vẽ. Độ lớn của các lực $\overrightarrow a ,\overrightarrow b ,\overrightarrow c$ tương ứng là 10N, 10N và 15N. Độ lớn hợp lực của các lực $\overrightarrow a ,\overrightarrow b ,\overrightarrow c$ bằng bao nhiêu Newton (làm tròn kết quả đến hàng phần mười)?

Một chiếc máy bay đang bay ngang theo hướng đông trong điều kiện không khí lặng với vận tốc $\overrightarrow {{v_1}}$ có độ lớn 300 km/h thì gặp một luồng gió thổi ngang từ hướng tây bắc sang hướng đông nam với vận tốc $\overrightarrow {{v_2}}$ có độ lớn là 40 km/h (tức là $\left( {\overrightarrow {{v_1}} ,\overrightarrow {{v_2}} } \right) = 45^\circ$) và một luồng gió thổi từ trên xuống dưới theo phương thẳng với vận tốc là $\overrightarrow {{v_3}}$ có độ lớn là 30 km/h. Hỏi vận tốc mới của máy bay có độ lớn là bao nhiêu km/h (làm tròn đến hàng đơn vị)?