Bài tập Một số bài toán thực tế về dạng chuyển động lớp 12 (có lời giải)

Xét phương trình $- 5t + 10 = 0 \Leftrightarrow t = 2.$ Do vậy, kể từ lúc người lái đạp phanh thì sau 2s ô tô dừng hẳn.

Quãng đường ô tô đi được kể từ lúc người lái đạp phanh đến khi ô tô dừng hẳn là

${\int }_{0}^{2}(-5t+10)dt=(\frac{-5}{2}{t}^{2}+10t)|\frac{2}{0}|=10m$

Ta có: $v\left( t \right) = \int {a\left( t \right)} \,{\rm{d}}t = \int {\frac{2}{{t + 1}}} \,{\rm{d}}t = 2\ln \left| {t + 1} \right| + C$.

Theo giả thiết ta có: $v\left( 0 \right) = 4 \Rightarrow C = 4$. Suy ra $v\left( t \right) = 2\ln \left| {t + 1} \right| + 4$.

Từ đó ta có vận tốc của vật sau $20$ giây là $v\left( {20} \right) = 2.\ln 21 + 4 \approx 10{,}09$.

Tại thời điểm vật dừng hẳn ta có: $v(t) = 0 \Leftrightarrow 150 - 10t = 0 \Leftrightarrow t = 15$

Do vậy trong 4 giây trước khi dừng hẳn, vật di chuyển được một quảng đường bằng

$S = \int_{11}^{15} {\left( {150 - 10t} \right){\rm{d}}t} = 80\,{\rm{m}}{\rm{.}}$

Vận tốc của vật là $v\left( t \right) = \int {a\left( t \right)} {\rm{dt}} = \int {\frac{{3{\rm{dt}}}}{{t + 1}}} {\mkern 1mu} = 3\ln \left| {t + 1} \right| + C$.

Tại thời điểm vật bắt đầu tăng tốc$v\left( 0 \right) = C = 6$. Suy ra $v\left( t \right) = 3\ln \left| {t + 1} \right| + 6\,\,\,\left( {{\rm{m/s}}} \right)$

Vậy vận tốc của vật sau $10$ giây bằng $v\left( {10} \right) = 3\ln 11 + 6\,\, \approx 13\,\left( {{\rm{m/s}}} \right)$.

Ta có:

$\begin{array}{l}v(t) = \int {a(t)dt} = \int {\frac{3}{{t + 1}}dt = 3\ln \left| {t + 1} \right|} + C\\v(0) = 6 \Rightarrow 3\ln 1 + C = 6 \Rightarrow C = 6;{\rm{ }} \Rightarrow v(10) = 3\ln 11 + 6\end{array}$

Vận tốc của ô tô là $v\left( t \right) = \int {\left( {2 + 6t} \right){\rm{d}}t = } 2t + 3{t^2} + C$.

Tại thời điểm ô tô bắt đầu chuyển động $v\left( 0 \right) = C = 60$.

Quãng đường ô tô đi được là $S = \int\limits_0^1 {\left( {2t + 3{t^2} + 60} \right){\rm{d}}t} = \left( {{t^2} + {t^3} + 60t} \right)\left| \begin{array}{l}1\\0\end{array} \right. = 62\,{\rm{km}}$.

Vận tốc ô tô tại thời điểm bắt đầu phanh là: ${v_1}\left( 5 \right) = 35\left( {m/s} \right)$.

Vận tốc của chuyển động sau khi phanh là: ${v_2}\left( t \right) = - 70t + C$.

Do ${v_2}\left( 0 \right) = 35$ $\Rightarrow C = 35$ $\Rightarrow {v_2}\left( t \right) = - 70t + 35$.

Khi xe dừng hẳn tức là ${v_2}\left( t \right) = 0 \Rightarrow - 70t + 35 = 0$ $\Rightarrow t = \frac{1}{2}$.

Quãng đường $S\left( m \right)$ đi được của ô tô từ lúc bắt đầu chuyển bánh cho đến khi dừng hẳn là:

$S\left( m \right) = \int\limits_0^5 {7t.\,dt} + \int\limits_0^{\frac{1}{2}} {\left( { - 70t + 35} \right)\,dt}$ $= 96{,}25\left( m \right)$.

Tại thời điểm ô tô có vận tốc $19\,\left( {{\rm{m/s}}} \right)$tương ứng với $t = 0\,\left( {\rm{s}} \right)$.

Khi ô tô dừng lại thì $v\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow - 38t + 19 = 0 \Leftrightarrow t = \frac{1}{2}\,\left( {\rm{s}} \right)$.

Quãng đường ô tô di chuyển được từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn là

$s = \int\limits_0^{\frac{1}{2}} {\left( { - 38t + 19} \right){\rm{d}}t} = \left( { - 19{t^2} + 19t} \right)\left| {_{\scriptstyle\atop\scriptstyle0}^{\frac{1}{2}}} \right. = 4{,}75\,\left( {\rm{m}} \right)$.

Gọi ${t_0}$ là thời điểm lúc ô tô bắt đầu đạp phanh, ta có $9 = - 3{t_0} + 9$ $\Leftrightarrow {t_0} = 0$.

Gọi ${t_1}$ là thời điểm lúc ô tô dừng hẳn, ta có $0 = - 3{t_1} + 9$$\Leftrightarrow {t_1} = 3$.

Vậy quãng đường ô tô đi được từ lúc đạp phanh đến lúc dừng hẳn là

$S\left( t \right) = \int\limits_0^3 {v\left( t \right){\rm{d}}t}$$= \int\limits_0^3 {\left( { - 3t + 9} \right){\rm{d}}t}$$\left. { = \left( {\frac{{ - 3}}{2}{t^2} + 9t} \right)} \right|_0^3 = 13{,}5$ $\left( {\rm{m}} \right)$.

Khi ôtô dừng hẳn ta có $v\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow - 5t + a = 0 \Leftrightarrow t = \frac{a}{5}$.

Quãng đường ôtô di chuyển được kể từ khi đạp phanh đến khi dừng hẳn là

$$S = \int\limits_0^{\frac{a}{5}} {v\left( t \right)dt} = 40 \Leftrightarrow \int\limits_0^{\frac{a}{5}} {\left( { - 5t + a} \right)dt} = 40 \Leftrightarrow \left. {\left( { - 5.\frac{{{t^2}}}{2} + at} \right)} \right|_0^{\frac{a}{5}} = 40$$

$$- \frac{5}{2}.\frac{{{a^2}}}{{25}} + \frac{{{a^2}}}{5} = 40 \Leftrightarrow \frac{{{a^2}}}{{10}} = 40 \Leftrightarrow a = 20.$$

Gọi $v\left( t \right)$ là vận tốc của vật, ta có $v'\left( t \right) = a\left( t \right) = 3{t^2} + 2t \Rightarrow v\left( t \right) = \int {\left( {3{t^2} + 2t} \right)} {\rm{d}}t = {t^3} + {t^2} + C$.

Do $v\left( 0 \right) = 10 \Leftrightarrow C = 10 \Rightarrow v\left( t \right) = {t^3} + {t^2} + 10\,$.

Khi đó $S = \int\limits_0^{12} {\left( {{t^3} + {t^2} + 10} \right)} {\rm{d}}t = \left. {\left( {\frac{{{t^4}}}{4} + \frac{{{t^3}}}{3} + 10t} \right)} \right|_0^{12} = 5880\,\left( {\rm{m}} \right)$.

$a\left( t \right) = {t^2} + 4t$ $\Rightarrow v\left( t \right) = \int {a\left( t \right){\rm{d}}t} = \frac{{{t^3}}}{3} + 2{t^2} + C{\rm{ }}$$\left( {C \in \mathbb{R}} \right)$.

Mà $v\left( 0 \right) = C = 15$ $\Rightarrow v\left( t \right) = \frac{{{t^3}}}{3} + 2{t^2} + 15$.

Vậy $S = \int\limits_0^3 {\left( {\frac{{{t^3}}}{3} + 2{t^2} + 15} \right){\rm{d}}t} = 69{,}75\;{\rm{m}}$.

Đặt ${t_0} = 0$ là thời điểm người lái xe ô tô bắt đầu đạp phanh, khi ô tô dừng hẳn thì vận tốc triệt tiêu nên

$- 4t + 20 = 0 \Leftrightarrow t = 5$.

Từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn, ô tô còn di chuyển được quãng đường:

$\int\limits_0^5 {\left( { - 4t + 20} \right){\rm{dt}}} = 50$ mét.

Có $v\left( t \right) = \int {a\left( t \right){\rm{d}}t}$$= \int {\left( { - 2t + 10} \right){\rm{d}}t = 10t - {t^2} + C}$.

Lại có $v\left( 0 \right) = 5$ $\Leftrightarrow C = 5$. Vậy $v\left( t \right) = 10t - {t^2} + 5$.

Khi đó vận tốc của vật sau $5$ giây là $v\left( 5 \right) = 10.5 - {5^2} + 5 = 30\left( {{\rm{m/s}}} \right)$.

Thời gian từ lúc hãm phanh đến dừng hẳn là: $- 2t + 20 = 0$$\Leftrightarrow t = 10{\rm{ }}\left( {\rm{s}} \right)$.

Quãng đường ôto đi được trong $15$ giây cuối cùng là:

$s = 20.5 + \int\limits_0^{10} {\left( { - 2t + 20} \right){\rm{d}}t} = 100 + \left. {\left( { - {t^2} + 20t} \right)} \right|_0^{10} = 100 + \left( { - 100 + 200} \right) = 200{\rm{ }}\left( {\rm{m}} \right)$.

Ta có $v\left( t \right) = \int {a\left( t \right){\rm{d}}t}$$= \int {\left( {2t + 1} \right){\rm{d}}t}$$= {t^2} + t + C$.

Mặt khác vận tốc ban đầu là $180$ ${\rm{km/h}}$ hay $50$ ${\rm{m/s}}$ nên ta có $v\left( 0 \right) = 50$$\Leftrightarrow C = 50$.

Khi đó vận tốc của vật sau $5$ giây là $v\left( 5 \right) = {5^2} + 5 + 50 = 80$${\rm{m/s}}$ hay $288$${\rm{km/h}}$.

Ta có $v\left( t \right) = s'\left( t \right) = 3{t^2} + 9t - 6 = 24 \Rightarrow t = 2$$\left( {\rm{s}} \right)$.

Lại có $a\left( t \right) = s''\left( t \right) = 6t + 9 \Rightarrow a\left( 2 \right) = 21$$\left( {{\rm{m/}}{{\rm{s}}^2}} \right)$.

Ta có $v\left( 0 \right) = 10\,{\rm{m/s}}$ và $v\left( t \right) = \int\limits_0^t {a\left( t \right){\rm{d}}t}$$= \int\limits_0^t {\left( {{t^2} + 3t} \right){\rm{d}}t}$$= \left. {\left( {\frac{{{t^3}}}{3} + \frac{{3{t^2}}}{2}} \right)} \right|_0^t$$= \frac{1}{3}{t^3} + \frac{3}{2}{t^2}$.

Quãng đường vật đi được là $S = \int\limits_0^6 {v\left( t \right){\rm{d}}t}$$= \int\limits_0^6 {\left( {\frac{1}{3}{t^3} + \frac{3}{2}{t^2}} \right){\rm{d}}t}$$= \left. {\left( {\frac{1}{{12}}{t^4} + \frac{1}{2}{t^3}} \right)} \right|_0^6$$= 216\,{\rm{m}}$.

Ta có $v\left( t \right) = \int {\frac{3}{{t + 1}}{\rm{d}}t}$ $= 3\ln \left| {t + 1} \right| + C$.

Theo giả thiết ta có $v\left( 0 \right) = 6$ $\Leftrightarrow C = 6$. Suy ra $v\left( t \right) = 3\ln \left| {t + 1} \right| + 6$.

Vận tốc của vật sau $10$ giây là $v\left( {10} \right) = 3\ln \left| {10 + 1} \right| + 6 \approx 13{\rm{m/s}}$.

* Xe dừng lại khi $v\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow - 5t + 20 = 0 \Leftrightarrow t = 4{\rm{ }}\left( {\rm{s}} \right)$.

* Quãng đường xe đi được kể từ lúc đạp phanh đến khi dừng lại là:

$$\int\limits_0^4 {v\left( t \right)dt} = \int\limits_0^4 {\left( { - 5t + 20} \right)dt} {\rm{ = }}\left. {\left( {20t - \frac{{5{t^2}}}{2}} \right)} \right|_0^4{\rm{ = 40 m}}$$

* Khi xe dừng hẳn, khoảng cách từ xe đến hàng rào là: $45 - 40 = 5{\rm{ m}}$.

Gia tốc $a\left( t \right) = v'\left( t \right)$$= 3{t^2} - 3$. Tại thời điểm vật có gia tốc $24$${\rm{m/}}{{\rm{s}}^{\rm{2}}}$thì $24 = 3{t^2} - 3$$\Leftrightarrow t = 3$.

Quãng đường vật đi được kể từ khi bắt đầu chuyển động đến khi gia tốc bằng $24$${\rm{m/}}{{\rm{s}}^{\rm{2}}}$là quãng đường vật đi từ vị trí $t = 0$đến vị trí $t = 3$. Nên $S\left( 3 \right) = \int\limits_0^3 {\left( {{t^3} - 3t + 1} \right){\rm{d}}t} = \frac{{39}}{4}$.

Gọi $a$ là gia tốc của chuyển động chậm dần đều nên $a$ là hằng số thực âm.

Ta có: $v = \int_{}^{} {a\,{\rm{d}}t} = at + C$

Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}v\left( 0 \right) = 72\,{\rm{km/h}}\\{\rm{v}}\left( {10} \right) = 54\,{\rm{km/h}}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}C = 72\\10a + C = 54\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}C = 72\\a = - \frac{9}{5}\end{array} \right.$

Do đó: $v = - \frac{9}{5}t + 72$. Vậy $v = 36$$\Leftrightarrow 72 - \frac{9}{5}t = 36$ $\Leftrightarrow t = 20{\rm{s}}$.

Vật tốc $v\left( t \right) = \int {a\left( t \right){\rm{d}}t} = \int {\left( {6t + 12{t^2}} \right){\rm{d}}t}$$= 3{t^2} + 4{t^3} + C$

Tại thời điểm $t = 0$ (lúc bắt đầu tăng tốc) thì $v\left( t \right) = 10$ ${\rm{m/s}}$$\Leftrightarrow v\left( 0 \right) = 10$ $\Leftrightarrow C = 10$.

Vậy $v\left( t \right) = 3{t^2} + 4{t^3} + 10$.

Quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian $10$ giây kể từ lúc bắt đầu tăng tốc là

$S = \int\limits_0^{10} {v\left( t \right){\rm{d}}t}$ $= \int\limits_0^{10} {\left( {3{t^2} + 4{t^3} + 10} \right){\rm{d}}t}$$= 11100$ ${\rm{m}}$.

Khi ô tô dùng hẳn thì $V\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow - 5t + 15 = 0 \Leftrightarrow t = 3$

Quãng đường di chuyển của ô tô từ lúc hãm phanh đến khi dừng hẳn là

$s = \int\limits_0^3 {\left( { - 5t + 15} \right){\rm{d}}t} = \left. {\left( { - \frac{{5{t^2}}}{2} + 15t} \right)} \right|_0^3 = 22{,}5$m.

Khi xe dừng hẳn thì $v = 0$$\Leftrightarrow$$36 - 4t = 0 \Leftrightarrow t = 9\,$.

Khi đó, quãng đường $s = \int\limits_3^9 {\left( {36 - 4t} \right)dt} = \left. {\left( {36t - 2{t^2}} \right)} \right|_3^9 = 72\,\,\left( m \right)$.

Vậy quãng đường $s = 72\,\,m$.

Xe dừng hẳn khi $v\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow = - 3t + 12 = 0 \Leftrightarrow t = 4$.

Suy ra thời gian từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn là bốn giây.

Quãng đường ô tô đi được là $S = \int\limits_0^4 {v\left( t \right)} {\rm{d}}t{\rm{ = }}\int\limits_0^4 {\left( { - 3t + 12} \right)} {\rm{d}}t{\rm{ = }}\left. {\left( {\frac{{ - 3}}{2}{t^2} + 12t} \right)} \right|_0^4 = 24{\rm{m}}$.

Ta có biểu thức vận tốc: ${v_{(t)}} = 15 - at{\rm{ }}(m/s)$

Tại thời điểm xe dừng hẳn ${v_{(t)}} = 0 \Rightarrow 15 - at = 0 \Rightarrow t = \frac{{15}}{a}$

Do ô tô đi được $20m$thì dừng hẳn

$$\Rightarrow S = \int\limits_0^{\frac{{15}}{a}} {{v_{\left( t \right)}}dt = 20} \Leftrightarrow \int\limits_0^{\frac{{15}}{a}} {\left( {15 - at} \right)dt} = 20 \Leftrightarrow \left( {15t - \frac{{a{t^2}}}{2}} \right)\left| \begin{array}{l}\frac{{15}}{a}\\0\end{array} \right. = 20$$

$$\Leftrightarrow 15\left( {\frac{{15}}{a}} \right) - \frac{a}{2}.{\left( {\frac{{15}}{a}} \right)^2} = 20 \Leftrightarrow \frac{{225}}{a} - \frac{{225}}{{2a}} = 20 \Leftrightarrow 225 = 40a \Rightarrow a = 5{,}625 \in \left( {5;6} \right).$$

Ô tô dừng lại khi $v(t) = 0 \Leftrightarrow - 6t + 24 = 0 \Leftrightarrow t = 4$.

Do đó từ lúc đạp phanh ($t = 0$) đến khi dừng hẳn ($t = 4$), ô tô di chuyển được quãng đường là:

$S = \int\limits_0^4 {( - 6t + 24)dt = \left. {( - 3{t^{{2^{}}}} + 24t)} \right|} _0^4 = 48$.

Ta có: $v\left( t \right) = 100 - 10t$

Khi vật dừng hẳn thì $v\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow t = 10$

Vậy quãng đường vật di chuyển từ thời điểm $t = 0$ đến lúc vật dừng hẳn là

$S = \int\limits_0^{10} {\left( {100 - 10t} \right)dt = 500}$.

Vận tốc của ô tô sau khi tăng tốc là $v\left( t \right) = \int {a\left( t \right){\rm{d}}t}$$= \int {\left( {3t - 8} \right){\rm{d}}t = \frac{3}{2}{t^2} - 8t + C}$.

Tại thời điểm $t = 0$, ta có $v\left( 0 \right) = 15 \Rightarrow C = 15$$\Rightarrow v\left( t \right) = \frac{3}{2}{t^2} - 8t + 15$.

Vậy sau $10$giây tăng tốc, quãng đường ô tô đi được là

$S = \int\limits_0^{10} {v\left( t \right){\rm{d}}t = } \int\limits_0^{10} {\left( {\frac{3}{2}{t^2} - 8t + 15} \right){\rm{d}}t} = 250$.

$\left( P \right)$.

Khi xe dừng thì vận tốc bằng $0$$\Rightarrow - 5t + 10 = 0$$\Rightarrow t = 2\,\left( {\rm{s}} \right)$.

Quãng đường xe đi đường từ lúc đạp phanh đến lúc dừng hẳn là

$\Rightarrow M\left( {\frac{1}{6} + t;\frac{5}{6} + t;\frac{{13}}{6} + t} \right)$$= \int\limits_0^2 {\left( { - 5t + 10} \right){\rm{d}}t}$$= \left. {\left( { - \frac{{5{t^2}}}{2} + 10t} \right)} \right|_0^2 = 10\,\left( {\rm{m}} \right)$.

Khoảng thời gian ô tô chuyển động từ lúc đạp phanh đến lúc dừng hẳn là:

$- 4t + 20 = 0 \Leftrightarrow t = 5$ $\left( {\rm{s}} \right)$.

Như vậy trong $10$ giây cuối cùng, ô tô chạy với vận tốc không đổi là $20$$\left( {{\rm{m/s}}} \right)$ trong $5$ giây đầu tiên và chuyển động chậm dần đều với vận tốc $v(t) = - 4t + 20$ $\left( {{\rm{m/s}}} \right)$ trong $5$ giây còn lại.

Vậy quãng đường ô tô di chuyển được trong $10$ giây cuối cùng là:

$S = 20.5 + \int\limits_0^5 {\left( { - 4t + 20} \right){\rm{d}}t} = 150$$\left( {\rm{m}} \right)$.

Theo đề bài vận tốc của xe lúc nhấn ga để về đích là $180{\rm{ km/h}}$ hay $50{\rm{ m/s}}$.

Gọi $v\left( t \right)$ là vận tốc của xe đua, ta có $v(t) = \int {a(t){\rm{d}}t = \int {(2t + 1){\rm{d}}t = {t^2}} } + t + C$.

Vì vận tốc ban đầu của xe là $50{\rm{ m/s}}$ nên $v(0) = 50 \Rightarrow {0^2} + 0 + C = 50$$\Rightarrow$ $v(t) = {t^2} + t + 50$.

Vận tốc của xe tại thời điểm $t = 4\left( {\rm{s}} \right)$ là $v\left( 4 \right) = {4^2} + 4 + 50 = 70{\rm{ }}\left( {{\rm{m/s}}} \right)$ hay $252\;{\rm{km/h}}.$

Vận tốc của xe sau 4 giây là 252km/h.

Khi ô tô dừng hẳn thì: $v\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow - 5t + 20 = 0 \Leftrightarrow t = 4\left( s \right)$.

Vậy từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn, ô tô di chuyển được: $s = \int\limits_0^4 {\left( { - 5t + 20} \right)dt = 40\left( m \right)}$.

Ta có: $v\left( t \right) = \int {a\left( t \right){\rm{dt}}} = \int {\left( {2t + \frac{1}{3}{t^2}} \right){\rm{dt}}\;} {\rm{ = }}\;\frac{{{t^3}}}{9} + {t^2} + C$.

Vận tốc khi bắt đầu tăng tốc là $10\;m/s$: $v\left( 0 \right) = 10 \Leftrightarrow C = 10$.

Vận tốc của vật là $v\left( t \right) = \frac{{{t^3}}}{9} + {t^2} + 10$.

Quãng đường vật đi được trong 12 giây kể từ lúc bắt đầu tăng tốc:

$\int\limits_0^{12} v \left( t \right){\rm{dt = }}\int\limits_0^{12} {\left( {\frac{{{t^3}}}{9} + {t^2} + 10} \right)} {\rm{dt = 1272}}\;{\rm{m}}$.

Thời gian kể từ kể từ lúc đạp phanh đến lúc xe dừng hẵn là $- 2t + 20 = 0 \Leftrightarrow t = 10.$

Quảng đường ô tô đi được trong 10s kể từ lúc đạp phanh là $\int\limits_0^{10} {\left( { - 2t + 20} \right){\rm{d}}x} = 100$ m.

Quảng đường ô tô đi được trong 5s cuối trước khi đạp phanh là $20.5 = 100$ m.

Vậy trong 15s cuối, ô tô đi được quảng đường là $200$ m.

Khi ô tô dừng hẳn thì vận tốc $v\left( t \right) = 0$, tức là $v\left( t \right) = - 6t + 12 = 0$$\Leftrightarrow t = 2$.

Vậy ô tô còn di chuyển được quãng đường là: $\int\limits_0^2 {\left( { - 6t + 12} \right)} {\rm{d}}t$$= 12$$\left( m \right)$.

Ta có $v\left( t \right) = \int {a\left( t \right){\rm{d}}} t = \int {6t{\rm{d}}t = 3{t^2} + C}$

Đang chạy với vận tốc${\rm{10}}\,\left( {{\rm{m/s}}} \right)$thì bắt đầu tăng tốc, thời điểm bắt đầu tăng tốc là$t = 0$nên ta có

$v\left( 0 \right) = 10 \Rightarrow C = 10 \Rightarrow v\left( t \right) = 3{t^2} + 10$.

Quãng đường đi được trong khoảng thời gian$10\left( {\rm{s}} \right)$kể từ lúc bắt đầu tăng tốc là

$\int\limits_0^{10} {v\left( t \right){\rm{d}}t} = \int\limits_0^{10} {\left( {3{t^2} + 10} \right){\rm{d}}t = 1100\left( {\rm{m}} \right)}$.

Khi dừng hẳn thì $v(t) = - 5t + 15 = 0 \Leftrightarrow t = 3$.

Từ lúc hãm phanh đến khi dừng lại, xe di chuyển được:

$s = \int\limits_0^3 {v(t){\rm{d}}t} = \int\limits_0^3 {( - 5t + 15){\rm{d}}t} = \left. {( - \frac{5}{2}{t^2} + 15t)} \right|_0^3 = 22{,}5\,{\rm{m}}$.

Vận tốc chuyển động $v(t) = \int {a(t){\rm{d}}t} = \int {(3{t^2} + t){\rm{d}}t} = {t^3} + \frac{1}{2}{t^2} + C.$

Chọn gốc thời gian lúc bắt đầu tăng tốc thì $v(0) = 2 \Rightarrow C = 2 \Rightarrow v(t) = {t^3} + \frac{1}{2}{t^2} + 2.$

Khi đó tại thời điểm $2\,{\rm{s}}$ thì $v(2) = 12\,{\rm{m/s}}.$

Gọi ${t_0}$ là thời điểm vật dừng lại, khi đó $v({t_0}) = 0$$\Leftrightarrow 160 - 10{t_0} = 0$$\Leftrightarrow {t_0} = 16$.

Vậy quãng đường vật chuyển động đến lúc dừng lại là $S = \int\limits_0^{16} {(160 - 10t)} {\rm{d}}t = 1280{\rm{ (m)}}$.

Công thức xác định tọa độ của chất điểm theo thời gian là:

$x(t) = \int {v(t)dt = \int {(3{t^2} + 4t)dt = {t^3} + 2{t^2} + c} }$

Vì lúc bắt đầu chuyển động thì chất điểm ở vị trí có tọa độ$x = 2$nên ta có:$x(0) = {0^3} + {2.0^2} + c = 2 \Rightarrow c = 2$.

Vậy công thức biểu thị tọa độ chất điểm đi được theo thời gian là: $x\left( t \right) = {t^3} + 2{t^2} + 2.$

Nên tọa độ của chất điểm sau $1$ giây chuyển động là:$x(1) = {1^3} + {2.1^2} + 2 = 5$.

Quãng đường đi được trong $10$ giây đầu tiên là: $\int\limits_0^{10} {\left( {\frac{1}{4}{t^2} + k} \right)} {\rm{d}}t = \frac{{250}}{3} + 10k = 120$ $\Rightarrow k = \frac{{11}}{3}$.

Quãng đường đi được trong $12$ giây đầu tiên là: $\int\limits_0^{12} {\left( {\frac{1}{4}{t^2} + \frac{{11}}{3}} \right)} {\rm{d}}t = 188\,\left( {\rm{m}} \right)$.

Sau 5 giây đầu tiên, vận tốc của vật là: ${v_5} = {5^2} = 25\,\,$(m/s)

Suy ra trong 15 giây tiếp theo, vật chuyển động thẳng đều với vận tốc là 25 (m/s)

Vậy quãng đường vật đi được trong 20 giây đầu tiên là:

$S = \int\limits_0^{20} {vdt} = \int\limits_0^5 {vdt} + \int\limits_5^{20} {vdt} = \int\limits_0^5 {{t^2}dt} + \int\limits_5^{20} {25dt} = \frac{{1250}}{3}$ (m).

Chọn hệ quy chiếu có chiều dương là chiều chuyển động của vật, gốc thời gian là tại thời điểm vật bắt đầu chịu tác dụng của lực hãm.

Vận tốc của vật là $v = \int {a{\rm{d}}t = } \int {\left( {1 - 2t} \right){\rm{d}}t = t - {t^2} + C{\rm{ }}\left( {{\rm{m/}}{{\rm{s}}^{\rm{2}}}} \right)}$.

Dựa vào điều kiện ban đầu, ta có ${v_0} = 20 = C \Rightarrow v = t - {t^2} + 20{\rm{ }}\left( {{\rm{m/s}}} \right)$.

Vật dừng lại khi $v = t - {t^2} + 20 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = - 4\\t = 5\end{array} \right.$

Theo cách hệ hệ quy chiếu ta có $t = 5{\rm{ }}\left( {\rm{s}} \right)$ thỏa mãn.

Suy ra quãng đường vật đi được tính từ lúc chịu tác dụng của lực hãm cho đến khi dừng lại là

$\int\limits_0^5 {\left| v \right|{\rm{d}}t = } \int\limits_0^5 {\left| {t - {t^2} + 20} \right|{\rm{d}}t = } \frac{{425}}{6}{\rm{ }}\left( {\rm{m}} \right)$.

+) Từ đề bài, ta suy ra: tính từ lúc chất điểm $A$ bắt đầu chuyển động cho đến khi bị chất điểm $B$ bắt kịp thì $A$ đi được $15$ giây, $B$ đi được 10 giây.

+) Biểu thức vận tốc của chất điểm $B$ có dạng ${v_B}\left( t \right) = \int {a{\rm{d}}t} = at + C$, lại có ${v_B}\left( 0 \right) = 0$ nên ${v_B}\left( t \right) = at$.

+) Từ lúc chất điểm $A$ bắt đầu chuyển động cho đến khi bị chất điểm $B$ bắt kịp thì quãng đường hai chất điểm đi được là bằng nhau. Do đó

$\int\limits_0^{15} {\left( {\frac{1}{{180}}{t^2} + \frac{{11}}{{18}}t} \right){\rm{d}}t} = \int\limits_0^{10} {at{\rm{d}}t}$$\Leftrightarrow 75 = 50a$$\Leftrightarrow a = \frac{3}{2}$.

Từ đó, vận tốc của $B$ tại thời điểm đuổi kịp $A$ bằng ${v}_{B}(10)=\frac{3.10}{2}$ = 15

Tìm được phương trình của vận tốc là $v\left( t \right) = - \frac{3}{4}{t^2} + 3t + 6$

Vậy $S = \int\limits_0^3 {( - \frac{3}{4}{t^2} + 3t + 6} )dt =$ 24,75.

Gọi $v\left( t \right)$ là vận tốc của vật, ta có $v'\left( t \right) = a\left( t \right) = 3{t^2} + 2t \Rightarrow v\left( t \right) = \int {\left( {3{t^2} + 2t} \right)} {\rm{d}}t = {t^3} + {t^2} + C$.

Do $v\left( 0 \right) = 10 \Leftrightarrow C = 10 \Rightarrow v\left( t \right) = {t^3} + {t^2} + 10\,$.

Khi đó $s={\int }_{0}^{12}({t}^{3}+{t}^{2}+10)dt=(\frac{{t}^{4}}{4}+\frac{{t}^{3}}{3}+10t)\{\begin{matrix}12 \\ 0\end{matrix}=5880(m)$

Ta có: $v = 0 \Rightarrow 150 - 10t = 0 \Leftrightarrow t = 15$.

Trong 4 giây trước khi dừng hẳn, vật di chuyển được quãng đường là:

$s = \int\limits_{11}^{15} {\left( {150 - 10t} \right){\rm{d}}t} = 80\,{\rm{m}}$.

Vận tốc ô tô sau khi phanh gấp là: ${v_2}\left( t \right) = \int {\left( { - 70} \right){\rm{d}}t = - 70t + c}$

Khi $t = 5$ thì ${v_1}\left( 5 \right) = 35$ $\Rightarrow {v_2}\left( 0 \right) = 35$$\Leftrightarrow c = 35$

Khi ô tô dừng hẳn thì ${v_2}\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow t = \frac{1}{2}$

Vậy quãng đường $S$ từ lúc ô tô bắt đầu chuyển bánh cho đến khi dừng hẳn là $S = \int\limits_0^5 {\left( {7t} \right)} {\rm{d}}t + \int\limits_0^{\frac{1}{2}} {\left( { - 70t + 35} \right)} {\rm{d}}t = \frac{{385}}{4}m$

Ta có: $v\left( t \right) = \int {a\left( t \right){\rm{dt}}} = \int {\left( {3t - 8} \right){\rm{dt}}\;} {\rm{ = }}\;\frac{{3{t^2}}}{2} - 8t + C$.

Vận tốc khi ô tô bắt đầu tăng tốc là $15\;m/s$: $v\left( 0 \right) = 15 \Leftrightarrow C = 15$.

Vận tốc của ô tô là $v\left( t \right) = \frac{{3{t^2}}}{2} - 8t + 15$.

Quãng đường ô tô đi được sau $10$ giây kể từ lúc bắt đầu tăng tốc là

$\int\limits_0^{10} v \left( t \right){\rm{dt = }}\int\limits_0^{10} {\left( {\frac{{3{t^2}}}{2} - 8t + 15} \right)} {\rm{dt = 250}}\;\left( {\rm{m}} \right)$.

Quãng đường vật di chuyển được là

$S = \int\limits_0^5 {\left( {5 + 2t} \right){\rm{dt}}} \, = \,\left( {5t + {t^2}} \right)\left| \begin{array}{l}5\\0\end{array} \right. = 5.5 + {5^2} = 50\,m$.

Gọi phương trình của parabol $v = a{t^2} + bt + c$ ta có hệ như sau: $\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{c = 4}\\{4a + 2b + c = 9}\\{ - \frac{b}{{2a}} = 2}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = 5\\c = 4\\a = - \frac{5}{4}\end{array} \right.$

Với $t = 1$ ta có $v = \frac{{31}}{4}$.

Vậy quãng đường vật chuyển động được là $s = \int\limits_0^1 {\left( { - \frac{5}{4}{t^2} + 5t + 4} \right)} dt + \int\limits_1^3 {\frac{{31}}{4}} dt = \frac{{259}}{{12}} \approx {\rm{21}}{\rm{,583}}$.

Gọi $\left( P \right):y = {\rm{a}}{{\rm{x}}^2} + bx + c$.

Vì $\left( P \right)$ qua $O\left( {0;0} \right)$ và có đỉnh $I\left( {2;9} \right)$ nên dễ tìm được phương trình $\left( P \right)$ là $y = \frac{{ - 9}}{4}{{\rm{x}}^2} + 9x$.

Ngoài ra tại $x = 3$ ta có $y = \frac{{27}}{4}$. Suy ra $S = \int\limits_0^3 {\left( {\frac{{ - 9}}{4}{{\rm{x}}^2} + 9x} \right)} dx + \int\limits_3^4 {\frac{{27}}{4}} x = 27(km)$

Gọi parabol là $\left( P \right):y = a{x^2} + bx + c.$ Từ hình vẽ ta có $\left( P \right)$ đi qua $O\left( {0;{\rm{ }}0} \right)$, $A\left( {1;{\rm{ }}0} \right)$ và điểm $I\left( {\frac{1}{2};{\rm{ }}8} \right)$.

Suy ra $\left\{ \begin{array}{l}c = 0\\a + b + c = 0\\\frac{a}{4} + \frac{b}{2} + c = 8\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - 32\\b = 32\\c = 0\end{array} \right..$

Vậy $\left( P \right):y = - 32{x^2} + 32x$. Quảng đường người đó đi được là $s = \int\limits_0^{\frac{3}{4}} {\left( { - 32{x^2} + 32x} \right){\rm{d}}x = } 4{,}5$(km).

$a = - 8t\left( {m/{s^2}} \right) \Rightarrow v = \int { - 8t{\rm{d}}t} = - 4{t^2} + C$.

Tại thời điểm $t = 0$thì vận tốc của vật là ${v_0}\left( {{\rm{m/s}}} \right)$nên ta có ${v_0} = C$, vậy $v = - 4{t^2} + {v_0}$.

Tại thời điểm ${t_0}$vận tốc của vật là $0$nên ta có $0 = - 4{t_0}^2 + {v_0} \Leftrightarrow 4{t_0}^2 = {v_0}$.

Ta có

$\int_0^{{t_0}} {\left( { - 4{t^2} + {v_0}} \right){\rm{d}}t} = 12$$\Leftrightarrow - \frac{{4{t_0}^3}}{3} + {v_0}{t_0} = 12$$\Leftrightarrow - \frac{{4{t_0}^3}}{3} + 4{t_0}^3 = 12$$\Leftrightarrow {t_0} = \frac{{\sqrt[3]{{36}}}}{2}$.

$\Rightarrow {v_0} = 4.{\left( {\frac{{\sqrt[3]{{36}}}}{2}} \right)^2} = \sqrt[3]{{1296}}$.

Lần tăng tốc đầu tiên xe chuyển động với vận tốc $v\left( t \right) = a.t$, $\left( {a > 0} \right)$.

Đến khi xe đạt vận tốc $80{\rm{m/s}}$thì xe chuyển động hết ${t_1} = \frac{{80}}{a}\left( {\rm{s}} \right)$.

Lần giảm tốc, xe chuyển động với vận tốc ${v_3} = 80 - bt$, $\left( {b > 0} \right)$.

Khi xe dừng lại thì xe chuyển động thêm được ${t_3} = \frac{{80}}{b}\left( {\rm{s}} \right)$.

Theo yêu cầu bài toán ta có $\frac{{80}}{a} + 56 + \frac{{80}}{b} = 74 \Leftrightarrow \frac{{80}}{a} + \frac{{80}}{b} = 18$.

Ta có ${{\rm{S}}_1} = \int\limits_0^{{t_1}} {at{\rm{dt}}} = \int\limits_0^{\frac{{80}}{a}} {at{\rm{dt}}} = \frac{1}{2}.\frac{{{{80}^2}}}{a}\left( {\rm{m}} \right)$.

${{\rm{S}}_2} = 80.56\left( {\rm{m}} \right)$.

${{\rm{S}}_3} = b\int\limits_0^{{t_3}} {\left( {80 - bt} \right){\rm{dt}}} = \int\limits_0^{\frac{{80}}{b}} {\left( {80 - bt} \right){\rm{dt}}} = \frac{1}{2}.\frac{{{{80}^2}}}{b}\left( {\rm{m}} \right)$.

Vậy quảng đường xe chạy được là ${{\rm{S}}_3} = \frac{1}{2}.80.\left( {\frac{{80}}{a} + \frac{{80}}{b}} \right) + 80.56 = 40.18 + 80.56 = 5200\left( {\rm{m}} \right)$.

Từ đề bài ta suy ra tính từ lúc chất điểm $A$ bắt đầu chuyển động cho đến khi chất điểm $B$ đuôi kịp thì chất điểm $A$ đi được $15$giây.

Vận tốc của chất điểm $B$ là: ${v_B}\left( t \right) = \int {adt = at + C}$ và ${v_B}\left( 0 \right) = 0 \Rightarrow C = 0$ hay ${v_B}\left( t \right) = at$

từ lúc chất điểm $A$ bắt đầu chuyển động cho đến khi chất điểm $B$ đuôi kịp thì chất điểm $A$ thì quảng đường bằng nhau nên:

$\int\limits_0^{15} {\left( {\frac{1}{{180}}{t^2} + \frac{{11}}{{18}}t} \right)dt = \int\limits_0^{10} {atdt \Leftrightarrow 75 = 50a \Leftrightarrow a = \frac{3}{2}} }$.