Bài tập Một số bài toán thực tế ứng dụng đường tiệm cận của đồ thị hàm số lớp 12 (có lời giải)

Đáp án đúng là: D

Chi phí trung bình để sản xuất x sản phẩm là $F\left( x \right) = \frac{{60000 + 250x}}{x}$ (nghìn đồng).

Ta có $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } F\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{60000 + 250x}}{x} = 250$.

Đáp án đúng là: D

Ta có $\mathop {\lim }\limits_{t \to \infty } f\left( t \right) = \mathop {\lim }\limits_{t \to \infty } \frac{{26t + 10}}{{t + 5}} = 26$. Nên đồ thị hàm số f(t) có đường tiệm cận ngang là y = 26.

Đáp án đúng là: D

Ta có $\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } P\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{5000x}}{{4x + 25}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{5000}}{{4 + \frac{{25}}{x}}} = 1250$.

Vậy tiệm cận ngang của đồ thị hàm số là y = 1250.

Đáp án đúng là: A

Ta có $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } S\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } 300\left( {2 + \frac{4}{{x + 2}}} \right) = 600$.

Vậy tiệm cận ngang của đồ thị hàm số là y = 600.

Đáp án đúng là: A

Ta có $\mathop {\lim }\limits_{t \to \infty } P\left( t \right) = \mathop {\lim }\limits_{t \to \infty } \frac{{400t}}{{2{t^2} + 7}} = \mathop {\lim }\limits_{t \to \infty } \frac{{\frac{{400}}{t}}}{{2 + \frac{7}{t}}} = 0$.

Do vậy tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y = P(t) là đường thẳng y = 0.

Đáp án đúng là: A

Ta có: $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{2000x - 1500}}{{35x + 5}} = \frac{{2000}}{{35}} = \frac{{400}}{7}$.

Do đó đồ thị hàm số y = f(x) nhận đường thẳng $y = \frac{{400}}{7}$ làm tiệm cận ngang, tức là khi số năm x càng lớn thì chi phí vận hành máy móc trong một năm càng tiến gần đến $\frac{{400}}{7} \approx 57{,}1$ (triệu đồng).

Đáp án đúng là: B

Gọi y là chiều rộng của đáy bể cá (y > 0, m).

Ta có :$0{,}8xy = 0{,}0128 \Rightarrow y = \frac{{0{,}016}}{x}\left( m \right)$.

Giá thành bể cá được xác định theo hàm số:

$f\left( x \right) = 2.0{,}8\left( {x + \frac{{0{,}016}}{x}} \right).70000 + 100000.x.\frac{{0{,}016}}{x}$ (VNĐ)

$\Rightarrow f\left( x \right) = 112000\left( {x + \frac{{0{,}016}}{x}} \right) + 1600$(VNĐ)

$\Rightarrow f\left( x \right) = 112000x + 1600 + \frac{{1792}}{x}$(VNĐ).

Ta có:$\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \left( {112000x + 1600 + \frac{{1792}}{x}} \right) = + \infty$.

$\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {f\left( x \right) - (112000x + 1600)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{1792}}{x} = 0$.

Nên đồ thị hàm f(x) có tiệm cận đứng là x = 0; tiệm cận xiên là y = 112000x + 1600.

Đáp án đúng là: C

Ta có: $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } S\left( t \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } 200\left( {\frac{2}{3} - \frac{8}{{2 + t}}} \right) = 200.\frac{2}{3} = \frac{{400}}{3}$ $\Rightarrow$ a = 400; b = 3.

Vậy P = a – 2b = 400 – 6 = 394.

Đáp án đúng là: B

Do tấm tôn có diện tích bằng 4 m$^{2}$ nên $xy = 4 \Leftrightarrow y = \frac{4}{x}$

Thùng có chiều cao là 0,5 m và các kích thước còn lại của thùng là: x – 1 và y – 1.

Thể tích của thùng là $V\left( x \right) = 0{,}5.\left( {x - 1} \right)\left( {y - 1} \right) = \frac{1}{2}\left( {x - 1} \right)\left( {\frac{4}{x} - 1} \right) = \frac{1}{2}\frac{{\left( {x - 1} \right)\left( {4 - x} \right)}}{x}$

Suy ra: $y = \frac{1}{{V\left( x \right)}} = \frac{{2x}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {4 - x} \right)}}$.

Ta có: $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{1}{{V\left( x \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{2x}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {4 - x} \right)}} = + \infty$ và $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{1}{{V\left( x \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{{2x}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {4 - x} \right)}} = - \infty$

Suy ra đường thẳng x = 1 là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y = \frac{1}{{V\left( x \right)}}$.

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ + }} \frac{1}{{V\left( x \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ + }} \frac{{2x}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {4 - x} \right)}} = - \infty$ và $\mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ - }} \frac{1}{{V\left( x \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ - }} \frac{{2x}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {4 - x} \right)}} = + \infty$

Suy ra đường thẳng x = 4 là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y = \frac{1}{{V\left( x \right)}}$.

Vậy đồ thị hàm số $y = \frac{1}{{V\left( x \right)}}$ có 2 đường tiệm cận đứng.

Đáp án đúng là: A

Do thể tích của bể là 1 m$^{3}$ nên 0,5xy = 1 $\Leftrightarrow$ xy = 2 .

Diện tích toàn phần của bể là $S\left( x \right) = xy + 2.0{,}5.x + 2.0{,}5.y = 2 + x + \frac{2}{x},\,\,\,\,\left( {x > 0} \right)$.

Ta có: $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {S\left( x \right) - \left( {x + 2} \right)} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{2}{x} = 0$.

Suy ra đồ thị hàm số S(x) có đường tiệm cận xiên là y = x + 2 $\Rightarrow$ a = 1; b = 2.

Vậy P = a$^{2}$ + b$^{2}$ = 5.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

$C\left( x \right) = \frac{{{x^2} + 200x + 500}}{{x + 10}} = x + 190 - \frac{{1400}}{{x + 10}}$.

Khi đó $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {C\left( x \right) - \left( {x + 190} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\frac{{ - 1400}}{{x + 10}}} \right) = 0$.

Do đó y = x + 190 là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số C(x).

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

$N\left( t \right) = \frac{{{t^2} + 20t + 30}}{{t + 2}} = t + 18 - \frac{6}{{t + 2}}$.

Có $\mathop {\lim }\limits_{t \to + \infty } \left[ {N\left( t \right) - \left( {t + 18} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{t \to + \infty } \left( { - \frac{6}{{t + 2}}} \right) = 0$.

Do đó y = t + 18 là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số N(t).

Suy ra tung độ gốc là 18.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

Vì $\mathop {\lim }\limits_{t \to + \infty } B\left( t \right) = \mathop {\lim }\limits_{t \to + \infty } \frac{{40{t^2}}}{{{t^2} + 4}} = 40$ nên nhịp thở trung bình của người vận động lâu dài sẽ không vượt quá 40 lần/phút.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

Có $\mathop {\lim }\limits_{t \to + \infty } E\left( t \right) = \mathop {\lim }\limits_{t \to + \infty } \frac{{500t}}{{t + 20}} = 500$. Do đó lượng điện tiêu thụ trung bình sẽ tiền dần đến 500 W.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Có $\mathop {\lim }\limits_{t \to + \infty } M\left( t \right) = \mathop {\lim }\limits_{t \to + \infty } 100 \cdot {e^{ - 0{,}05t}} = 0$.

Vậy tiệm cận ngang của đồ thị hàm số là y = 0.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Sai. d) Sai.

a) Đúng. Sau t phút, khối lượng muối trong bể là 25‧30‧t = 750t (gam).

Do đó sau 1 phút khối lượng muối trong bể là 750‧1 = 750 gam.

b) Sai. Sau t phút, khối lượng muối trong bể là 25‧30‧t = 750t (gam).

c) Sai. Thể tích của lượng nước trong bể là 5000 + 25t (lít).

Nồng độ muối sau t phút là $f\left( t \right) = \frac{{750t}}{{5000 + 25t}} = \frac{{30t}}{{200 + t}}$ (gam/lít).

Ta có $\mathop {\lim }\limits_{t \to + \infty } f\left( t \right) = \mathop {\lim }\limits_{t \to + \infty } \frac{{30t}}{{200 + t}} = 30$.

Suy ra tiệm cận ngang của đồ thị là y = 30.

d) Sai. Vì $\mathop {\lim }\limits_{t \to + \infty } f\left( t \right) = \mathop {\lim }\limits_{t \to + \infty } \frac{{30t}}{{200 + t}} = 30$ nên suy ra khi t càng lớn thì nồng độ muối trong nước bể sẽ tiến dần đến 30 gam/lít, không thể lớn hơn 30 gam/lít.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Sai.

a) Đúng. Ta có $\mathop {\lim }\limits_{p \to {{100}^ - }} C\left( p \right) = \mathop {\lim }\limits_{p \to {{100}^ - }} \frac{{60p}}{{100 - p}} = + \infty$.

Suy ra đồ thị hàm số C(p) có tiệm cận đứng là đường thẳng p = 100.

b) Sai. Do $\mathop {\lim }\limits_{p \to {{100}^ - }} C\left( p \right) = \mathop {\lim }\limits_{p \to {{100}^ - }} \frac{{60p}}{{100 - p}} = + \infty$ nên khi p tiến đến 100 thì chi phí bỏ ra là C(p) tăng lên gần tới vô cùng.

Suy ra để loại bỏ 100% rác thải nhựa thì chi phí bỏ ra là vô cùng lớn.

c) Đúng. Ta có $\mathop {\lim }\limits_{p \to + \infty } C\left( p \right) = \mathop {\lim }\limits_{p \to + \infty } \frac{{60p}}{{100 - p}} = - 60$.

Suy ra C = −60 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Do đó I(100; −60) là tâm đối xứng của đồ thị hàm số.

d) Sai. Hai đường tiệm cận của đồ thị hàm số lần lượt là (d$_{1}$): p = 100 và d$_{2}$: C = −60.

Lấy điểm $M\left( {{p_0};\frac{{60{p_0}}}{{100 - {p_0}}}} \right)$.

Khi đó $d\left( {M,{d_1}} \right) \cdot d\left( {M,{d_2}} \right) = \left| {{p_0} - 100} \right| \cdot \left| {\frac{{60{p_0}}}{{100 - {p_0}}} + 60} \right|$$= \left| {{p_0} - 100} \right| \cdot \left| {\frac{{6000}}{{100 - {p_0}}}} \right| = 6000$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Sai.

a) Đúng. $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } H\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } 500\left( {1 - \frac{4}{{x + 2}}} \right) = 500$.

Vậy y = 500 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

b) Đúng.$\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } H\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } 500\left( {1 - \frac{4}{{x + 2}}} \right) = 500$.

Vậy khi x càng lớn, số lượng khách hàng tiến dần đến 500.

c) Sai. $\mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ + }} H\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ + }} 500\left( {1 - \frac{4}{{x + 2}}} \right) = - \infty$; $\mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ - }} H\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ - }} 500\left( {1 - \frac{4}{{x + 2}}} \right) = + \infty$.

Vậy x = −2 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

d) Sai. $H\left( 5 \right) = 500\left( {1 - \frac{4}{{5 + 2}}} \right) \approx 214$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Đúng.

a) Đúng. $\mathop {\lim }\limits_{t \to + \infty } P\left( t \right) = \mathop {\lim }\limits_{t \to + \infty } \frac{{80{t^2}}}{{40 + {t^2}}} = 80$.

Do đó y = 80 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

b) Đúng. Vì $\mathop {\lim }\limits_{t \to + \infty } P\left( t \right) = \mathop {\lim }\limits_{t \to + \infty } \frac{{80{t^2}}}{{40 + {t^2}}} = 80$ nên khi số tuần đào tạo t càng lớn thì năng suất trung bình tiến dần đến 80 sản phẩm/giờ.

c) Sai. Vì t$^{2}$ + 40 > 0. Do đó đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng.

d) Đúng. $P\left( 2 \right) = \frac{{80 \cdot {2^2}}}{{40 + {2^2}}} \approx 7$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Đúng. d) Đúng.

a) Đúng. $C\left( x \right) = \frac{{T\left( x \right)}}{x} = 15 + \frac{{60000}}{x}$.

b) Đúng. $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } C\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {15 + \frac{{60000}}{x}} \right) = 15$.

Vậy đồ thị hàm số y = C(x) có tiệm cận ngang là y = 15.

c) Đúng. Vì $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } C\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {15 + \frac{{60000}}{x}} \right) = 15$ nên khi số lượng sản phẩm x càng lớn, chi phí trung bình tiến dần đến 15 nghìn đồng/sản phẩm.

d) Đúng. Có $C'\left( x \right) = - \frac{{60000}}{{{x^2}}} < 0$. Do đó hàm số C(x) giảm dần trên khoảng (0; +∞).

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 400

Ta có $\mathop {\lim }\limits_{t \to + \infty } V\left( t \right) = \mathop {\lim }\limits_{t \to + \infty } \frac{{400t}}{{t + 8}} = 400$ nên khi thời gian khởi động đủ lâu, tốc độ truyền dữ liệu không vượt quá 400 MB/phút.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 180

Ta có $\mathop {\lim }\limits_{t \to + \infty } H\left( t \right) = \mathop {\lim }\limits_{t \to + \infty } \frac{{180{t^2}}}{{{t^2} + 25}} = 180$ nên khi thời gian tập luyện đủ lâu, nhịp tim trung bình của người đó không vượt quá 180 nhịp/phút.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 150

Chi phí sản xuất trung bình cho mỗi sản phẩm là $f\left( x \right) = \frac{{C\left( x \right)}}{x} = \frac{{150x + 900}}{x}$.

$\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{150x + 900}}{x} = 150$.

Vậy khi sản xuất càng nhiều sản phẩm thì chi phí sản xuất trung bình cho mỗi sản phẩm càng giảm, nhưng không dưới $150$ nghìn đồng.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 50

Có f'(t) = −0,5be$^{−0{,}5t}$.

Theo đề ta có $\left\{ \begin{array}{l}f\left( 0 \right) = 30\\f'\left( 0 \right) = 10\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a + b = 30\\ - 0{,}5b = 10\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 50\\b = - 20\end{array} \right.$.

Suy ra f(t) = 50 – 20e$^{−0{,}5t}$.

Có $\mathop {\lim }\limits_{t \to + \infty } \left( {50 - 20{e^{ - 0{,}5t}}} \right) = 50$.

Vậy về lâu dài, số lượng tế bào của quần thể vi khuẩn tăng dần và tiến gần đến 50 tế bào nhưng không vượt quá giá trị này.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 2

Chiều rộng của mảnh đất là $\frac{{144}}{x}$ (m) (x > 0).

Chu vi mảnh đất là $P\left( x \right) = 2\left( {x + \frac{{144}}{x}} \right) = 2x + \frac{{288}}{x},x > 0$.

Có $\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} P\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \left( {2x + \frac{{288}}{x}} \right) = + \infty$ nên x = 0 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

$\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } P\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {2x + \frac{{288}}{x}} \right) = + \infty$ nên đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang.

$\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {P\left( x \right) - 2x} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{288}}{x} = 0$ nên y = 2x là tiệm cận xiên.

Vậy đồ thị hàm số P(x) có 2 đường tiệm cận.