Bài tập Một số bài toán thực tế liên quan đến tỉ số lượng giác của góc nhọn lớp 9 (có lời giải)

Đáp án đúng là: A

Chiều cao của tòa tháp chính là độ dài của đoạn AB.

Xét tam giác ABC vuông tại A, ta có: AB = AC. $\tan \widehat {ACB}$ = 79.tan68° ≈ 196 m.

Đáp án đúng là: B

Chiều cao của tòa tháp chính là độ dài đoạn AB.

Xét tam giác ABC vuông tại A, ta có:

AB = AC.tan$\widehat {ACB}$ = 72.tan67° ≈ 170 m.

Đáp án đúng là: B

Xét tam giác vuông ABD có: BD = $\frac{{AB}}{{\sin \widehat {ADB}}} = \frac{{170}}{{\sin 45^\circ }} = 170\sqrt 2$ (m).

Vận tốc trung bình của chiếc flycam đó là: $170\sqrt 2 :140 \approx 1{,}72{\rm{ }}\left( {m/s} \right)$.

Vậy vận tốc trung bình của chiếc flycam đó khoảng 1,72 m/s.

Đáp án đúng là: B

Theo đề bài, ta có, phần ngọn bị gãy AB và phần gốc AC có tỉ lệ 3 : 2 hay $\frac{{AB}}{{AC}} = \frac{3}{2}$, suy ra $\frac{{AC}}{{AB}} = \frac{2}{3}$.

Xét tam giác ABC vuông tại C, ta có: $\sin \widehat {ABC} = \frac{{AC}}{{AB}} = \frac{2}{3}$,

suy ra $\alpha = \tan \widehat {ABC} = 41^\circ 49'$.

Vậy góc α tạo bởi phần thân bị gãy AB và mặt đất BC khoảng α ≈ 41°49’.

Đáp án đúng là: C

Xét tam giác ABC vuông tại C, ta có: AC = BC.tan$\widehat {ABC}$ = 5.tan41°49’ ≈ 4,47 (m).

Mà $\frac{{AB}}{{AC}} = \frac{3}{2}$, suy ra AB = $\frac{3}{2}$AC ≈ $\frac{3}{2}$.4,47 = 6,705 (m).

Độ dài cây ban đầu là tổng của phần ngọn bị gãy AB và phần gốc AC.

Vậy chiều cao ban đầu của cây khoảng: 4,47 + 6,705 = 11,175 ≈ 11,18 (m).

Đáp án đúng là: C

Khoảng cách của cồn và bờ sông hai người đứng chính là độ dài đoạn thẳng CH.

Xét tam giác AHC vuông tại H, ta có:

$\tan \widehat {CAH} = \frac{{CH}}{{AH}}$ nên $AH = \frac{{CH}}{{\tan \widehat {CAH}}} = \frac{{CH}}{{\tan 43^\circ }}$. (1)

Xét tam giác BHC vuông tại H, ta có:

$\tan \widehat {CBH} = \frac{{CH}}{{BH}}$ nên $BH = \frac{{CH}}{{\tan \widehat {CBH}}} = \frac{{CH}}{{\tan 28^\circ }}$. (2)

Từ (1) và (2) ta có:

AB + AH + BH = $\frac{{CH}}{{\tan 43^\circ }} + \frac{{CH}}{{\tan 28^\circ }} = CH\left( {\frac{1}{{\tan 43^\circ }} + \frac{1}{{\tan 28^\circ }}} \right)$

Do đó, $CH = \frac{{AB}}{{\frac{1}{{\tan 43^\circ }} + \frac{1}{{\tan 28^\circ }}}} = \frac{{250}}{{\frac{1}{{\tan 43^\circ }} + \frac{1}{{\tan 28^\circ }}}} \approx 84{,}66{\rm{ (m)}}{\rm{.}}$

Vậy cồn cách bờ sông hai người đứng khoảng 84,66 m.

Đáp án đúng là: A

Xét tam giác ADC vuông tại C, ta có: AC = h.cot$\widehat {DAC}$ = h.cot60° (m)

Xét tam giác BDC vuông tại C, ta có: BC = h.cot$\widehat {DBC}$ = h.cot75° (m).

Do AC – BC = AB = 101 nên h.cot60° − h.cot75° = 101

Suy ra h = $\frac{{101}}{{\cot 60^\circ - \cot 75^\circ }} \approx 326$ (m).

Vậy tháp Eiffel có độ cao khoảng 326 (m).

Đáp án đúng là: A

Xét tam giác BQA vuông tại B, ta có:

tanQ = $\frac{{AB}}{{QB}}$ nên BQ = $\frac{{AB}}{{QB}}$ nên BQ = $\frac{{AB}}{{\tan 42^\circ }} = \frac{h}{{\tan 42^\circ }}$.

Đáp án đúng là: C

Xét tam giác BPA vuông tại B, ta có:

tanP = $\frac{{AB}}{{PB}}$ nên $PB = \frac{{AB}}{{\tan 14^\circ }} = \frac{h}{{\tan 14^\circ }}$.

Đáp án đúng là: B

Ta có: BP – BQ = 300.

Suy ra $\frac{h}{{\tan 42^\circ }} - \frac{h}{{\tan 14^\circ }} = 300$.

Suy ra h = $\frac{{300}}{{\frac{1}{{\tan 14^\circ }} - \frac{1}{{\tan 42^\circ }}}} \approx 103{,}4$ (m).

Vậy chiều cao của tháp hải đăng là khoảng 103,4 m.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Đúng.

a) Đúng.

Theo đề bài, phần ngọn bị gãy $AB$ và phần gốc $AC$ có tỉ lệ $3:2$ hay $\frac{{AB}}{{AC}} = \frac{3}{2}$, suy ra $\frac{{AC}}{{AB}} = \frac{2}{3}$.

Xét tam giác $ABC$ vuông tại $C$, ta có: $\sin \widehat {ABC} = \frac{{AC}}{{AB}} = \frac{2}{3}$. Do đó, ý a) là đúng.

b) Đúng.

Vì $\sin \widehat {ABC} = \frac{{AC}}{{AB}} = \frac{2}{3}$ nên $\alpha = \widehat {ABC} \approx 41^\circ 49'.$ Do đó, ý b) là đúng.

c) Sai.

Xét tam giác $ABC$ vuông tại $C$, ta có: $AC = BC \cdot \tan \widehat {ABC} \approx 5 \cdot \tan 41^\circ 49' \approx 4{,}47{\rm{\;(m)}}{\rm{.}}$

Mà $\frac{{AB}}{{AC}} = \frac{3}{2}$, suy ra $AB = \frac{3}{2}AC \approx \frac{3}{2} \cdot 4{,}47 = 6{,}705{\rm{ (m)}}{\rm{.}}$

Độ dài phần ngọn bị gãy là độ dài đoạn thẳng $AB$ nên độ dài phần ngọn bị gãy lớn hơn $6{,}5{\rm{ m}}{\rm{.}}$

Do đó, ý c) là sai.

d) Đúng.

Độ dài cây ban đầu là tổng của phần ngọn bị gãy $AB$ và phần gốc $AC$.

Vậy chiều cao ban đầu của cây khoảng: $4{,}47 + 6{,}705 = 11{,}175 \approx 11{,}18{\rm{\;(m)}}{\rm{.}}$Do đó, ý d) là đúng.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Sai.

a) Đúng.

Có HBCD là hình chữ nhật nên BH = dc = 15 m.

b) Sai.

Xét tam giác AHB vuông tại H, có hai cạnh góc vuông HB = 15 m, AH = 0,9 m.

Ta có: $\tan \alpha = \frac{{AH}}{{HB}} = \frac{{0{,}9}}{{15}} = \frac{3}{{50}}$.

c) Đúng.

Vì $\tan \alpha = \frac{3}{{50}}$ nên $\alpha \approx 3^\circ 26'$.

d) Sai.

Ta có: AH = AB.sinα nên $AB = \frac{{AH}}{{\sin \alpha }} = \frac{{0{,}9}}{{\sin 3^\circ 26'}} \approx 15{,}03\,\,\left( m \right)$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Sai.

a) Đúng.

Vì tam giác ABC vuông tại B nên theo định lí về hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta có: $\tan \widehat {BAC} = \frac{{BC}}{{AB}} = \frac{9}{{14}}$.

b) Đúng.

Vì $\tan \widehat {BAC} = \frac{9}{{14}}$ nên $\widehat {BAC} \approx 33^\circ$.

c) Sai.

Có: $\widehat {BAD} = \widehat {BAC} + \widehat {CAD} = 33^\circ + 45^\circ = 78^\circ$

Do đó, $\widehat D = 90^\circ - 78^\circ = 12^\circ$.

d) Sai.

Xét tam giác ABD vuông tại B, có: AB = AD.sinD nên $AD = \frac{{AB}}{{\sin D}} = \frac{{14}}{{\sin 12^\circ }} \approx 67\,\,\left( m \right)$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: a) Đúng. b) Sai. c) Sai. d) Đúng.

a) Đúng.

Tam giác ABC cân tại A nên đường cao AH đồng thời cũng là đường trung tuyến.

Do đó, HB = HC = 4,4 : 2 = 2,2 (m).

b) Sai.

Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác AHC, có:

AH$^{2}$ + HC$^{2}$ = AC$^{2}$, suy ra $AC = \sqrt {{{1{,}8}^2} + {{2{,}2}^2}} \approx 2{,}8\,\,\left( m \right)$.

c) Sai.

Xét tam giác vuông AHC, có: $\tan \alpha = \frac{{AH}}{{HC}} = \frac{{1{,}8}}{{2{,}2}} = \frac{9}{{11}}.$

d) Đúng.

Vì $\tan \alpha = \frac{9}{{11}}$ nên α ≈ 39°.

Góc α giữa mái lều và mặt đất khoảng 39°.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Đúng.

a) Đúng.

Dựa vào hình vẽ, nhận thấy tam giác ABC vuông tại A, có:

$\tan B = \frac{{AC}}{{AB}} = \frac{{5{,}7}}{{8{,}3}}$.

b) Sai.

Vì $\tan B = \frac{{5{,}7}}{{8{,}3}}$ nên ta tính được $\widehat B \approx 35^\circ$.

c) Đúng.

Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác ABC, có:

AB$^{2}$ + AC$^{2}$ = BC$^{2}$ nên $BC = \sqrt {A{C^2} + A{B^2}} = \sqrt {{{5{,}7}^2} + {{8{,}3}^2}} \approx 10{,}1\,\,\left( {cm} \right)$.

d) Đúng.

Vì hai góc B và C là hai góc phụ nhau, nên $\widehat C = 90^\circ - \widehat B = 90^\circ - 35^\circ = 55^\circ$.

Do đó, số đo góc B nhỏ hơn số đo góc C.

Hướng dẫn giải

Đáp án: 2468

Quan sát hình, nhận thấy:

Xét ∆ACH vuông, được: $\tan \widehat {CAH} = \frac{{CH}}{{AH}}$ .

Suy ra $AH = \frac{{CH}}{{\tan \widehat {CAH}}} = \frac{{CH}}{{\tan 34^\circ }}$.

Xét ∆HCB vuông, được: $\tan \widehat {CBH} = \frac{{CH}}{{BH}}$.

Suy ra $BH = \frac{{CH}}{{\tan \widehat {CBH}}} = \frac{{CH}}{{\tan 38^\circ }}$.

Mà AH – BH = AB

$$\frac{{CH}}{{\tan 34^\circ }} - \frac{{CH}}{{\tan 38^\circ }} = 500$$

$$CH\left( {\frac{1}{{\tan 34^\circ }} - \frac{1}{{\tan 38^\circ }}} \right) = 500$$

$$CH = 500:\left( {\frac{1}{{\tan 34^\circ }} - \frac{1}{{\tan 38^\circ }}} \right)$$

CH ≈ 2 468 (m)

Vậy chiều cao của ngọn núi khoảng 2 468 m.

Hướng dẫn giải

Đáp án: 37

Tam giác ABC vuông tại A, có cạnh huyền BC = 5 m, cạnh góc vuông AB = 4 m.

Theo định lí về hệ thức tam giác vuông, ta có: AB = BC.cosα.

Do đó, $\cos \alpha = \frac{{AB}}{{BC}} = \frac{4}{5}$, suy ra α ≈ 37°.

Hướng dẫn giải

Đáp án: 69

Góc mà tia sáng mặt trời tạo với mặt đất là góc C.

Do đó, xét tam giác ABC vuông tại A, được: $\tan C = \frac{{AB}}{{AC}} = \frac{{18}}{7}$.

Suy ra $\widehat C \approx 69^\circ$.

Hướng dẫn giải

Đáp án: 6,8

Đổi 1,5 phút = $\frac{1}{{40}}$ giờ.

Suy ra quãng đường BC máy bay đã bay được là: $\frac{1}{{40}} \cdot 600 = 15$ (km)

Vì theo hình minh họa, tam giác ABC vuông tại A, AC chính là độ cao của máy bay so với mặt đất.

Do đó, AC = BC.sin B = 15.sin 27° ≈ 6,8 (km).

Vậy máy bay đạt độ cao 6,8 km so với mặt đất.

Hướng dẫn giải

Đáp án: 59

Ta có khúc sông AC = 130 m, BC = 250 m, góc lệch là góc C.

Do đó, xét tam giác ABC vuông tại A, ta có: $\cos C = \frac{{AC}}{{BC}} = \frac{{130}}{{250}}$, do đó $\widehat C \approx 59^\circ$.

Vậy dòng nước đã đẩy thuyền lệch đi một góc bằng 59°.