Bài tập Một số bài toán thực tế liên quan đến độ dài cung tròn, diện tích hình quạt tròn và hình vành khuyên lớp 9 (có lời giải)

Hướng dẫn giải

Chu vi của bánh xe là: C = πd = 650π (mm)

Khi người đi xe đạp 10 vòng thì xe đạp di chuyển được quãng đường bằng:

C = 650π. 3,3.10 = 21450π ≈ 6 738,72 (mm) = 6,783 (m)

Vậy chiếc xe đạp di chuyển được quãng đường dài khoảng 6,738 m sau khi người đi xe đạp 10 vòng liên tục.

Hướng dẫn giải

Diện tích hình vành khuyên bên trong là: S$_{1}$ = (18$^{2}$ – 15$^{2}$)π = 99π (cm$^{2}$).

Diện tích hình vành khuyên bên ngoài là: (24$^{2}$ – 21$^{2}$)π = 135π (cm$^{2}$).

Hướng dẫn giải

Tổng diện tích hai nửa hình tròn đường kính 2 cm (bán kính 1 cm) chính là diện tích của một hình bán kính 1 cm và bằng S = 1$^{2}$.π = π (cm$^{2}$).

Tổng diện tích của hai hình chữ nhật kích thước 2 cm × 8 cm là:

S$_{2}$ = 2.2.8 = 32 (cm$^{2}$)

Diện tích một phần tư hình vành khuyên giới hạn bởi đường tròn cùng tâm có bán kính lần lườ là 4 cm và 6 cm là: S$_{3}$ = $\frac{1}{4}\pi \left( {{6^2} - {4^2}} \right) = 5\pi$ (cm$^{2}$)

Diện tích của mặt cắt của khung gỗ đó là:

S = π + 32 + 5π = 32 + 6π (cm$^{2}$).

Hướng dẫn giải

Diện tích mặt đĩa CD có dạng hình vành khuyên là:

S = π(6$^{2}$ – 1,5$^{2}$) = 33,75π ≈ 106 (cm$^{2}$).

Hướng dẫn giải

Diện tích mảnh vải có dạng một phần tư hình vành khuyên đó là:

S = $\frac{1}{4}\pi \left( {{5^2} - {3^2}} \right) = 4\pi$ (dm$^{2}$)

Hướng dẫn giải

Đổi 3ft = 91,44 cm; 6 in = 15,24 cm.

Bán kính IQ là: 91,44 + 15,24 = 106,68 cm.

Diện tích của nêm cong MNPQ là:

S = π(106,68$^{2}$ – 15,24$^{2}$) ≈35 024 (cm$^{2}$).

Hướng dẫn giải

Diện tích miếng bánh được cắt ra từ chiếc bánh thứ nhất là:

S$_{1}$ = $\frac{{360.\pi {{.16}^2}}}{{360}}:6 = \frac{{128\pi }}{3}$ (cm$^{2}$)

Diện tích miếng bánh được cắt ra từ chiếc bánh thứ hai là:

S$_{2}$ = $\frac{{360.\pi {{.18}^2}}}{{360}}:8 = \frac{{81\pi }}{2}$ (cm$^{2}$).

Tổng diện tích bề mặt của hai miếng bánh được cắt ra từ chiếc bánh thứ nhất và chiếc bánh thứ hai là: $\frac{{128\pi }}{3} + \frac{{81\pi }}{2} = \frac{{499\pi }}{6}$ (cm$^{2}$).

Hướng dẫn giải

Đổi 1 dặm = 1 609 m = 1,609 km.

Diện tích vùng biển có thể nhìn thấy ánh sáng từ hải đăng là:

S = $\frac{{{{\left( {18.1{,}609} \right)}^2}.245\pi }}{{360}} \approx 1793$ (km$^{2}$).

Xét đường tròn (O) có OH ⊥ CD tại H nên H là trung điểm của CD.

Khi đó, CH = $\frac{1}{2}$CD = $\frac{1}{2}$.28 = 14 (km$^{2}$) (dặm).

Xét tam giác OHC vuông tịa H, áp dụng định lí Pythagore, ta có:

OC$^{2}$ = OH$^{2}$ + CH$^{2}$

Suy ra OH$^{2}$ = OC$^{2}$ – CH$^{2}$ = 18$^{2}$ – 14$^{2}$ = 128

Do đs, OH = $\sqrt {128}$ ≈ 11 (dặm)

Vậy khoảng cách nhỏ nhất từ thuyền đến ngọn hải đăng khoảng 11 dặm.

Hướng dẫn giải

Diện tích hình vành khuyên nằm giữa đường tròn thứ hai và đường tròn thứ ba là:

S$_{8}$ = π(15$^{2}$ – 10$^{2}$) = 125π (cm$^{2}$)

Diện tích hình tròn lớn nhất là:

S = π.30$^{2}$ = 900π (cm$^{2}$)

Xác suất ném trúng vòng 8 là: $\frac{{125\pi }}{{900\pi }} = \frac{5}{{36}}$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Bán kính của chiếc bánh pizza là: 30 : 2 = 15 (cm).

Diện tích của chiếc bánh pizza là: 15$^{2}$p = 225p (cm$^{2}$).

Vậy diện tích của chiếc bánh pizza bằng 225p cm$^{2}$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Diện tích mặt cắt là: $\frac{1}{4}\left( {{{3{,}5}^2} - {{2{,}5}^2}} \right) \cdot {\rm{\pi }} = 1{,}5{\rm{\pi }}\;\,\left( {{\rm{d}}{{\rm{m}}^2}} \right)$.

Vậy diện tích mặt cắt của khúc gỗ bằng 1,5p dm$^{2}$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

Ta có: $\widehat {{\rm{AOB}}} = 2 \cdot 32^\circ = 64^\circ .$ Do đó, sđ = 64$^{o}$.

Độ dài quãng đường AB mà con lắc đã di chuyển là: $\frac{{64}}{{180}} \cdot {\rm{\pi }} \cdot 30 = \frac{{32{\rm{\pi }}}}{3}\;\,\left( {{\rm{cm}}} \right).$

Vậy độ dài quãng đường AB mà con lắc di chuyển là $\frac{{32{\rm{\pi }}}}{3}\;\,{\rm{cm}}$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

Vì mỗi hình quạt tròn có có góc ở tâm bằng 8$^{o}$ nên mỗi hình quạt tròn ứng với cung 8$^{o}$.

Diện tích mỗi hình quạt tròn là: $\frac{8}{{360}} \cdot {\rm{\pi }} \cdot {3^2} = 0{,}2{\rm{\pi }}\;\left( {{\rm{d}}{{\rm{m}}^2}} \right).$

Vậy diện tích mỗi hình quạt tròn bằng 0,2p dm$^{2}$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

Bán kính của đống cát đó là: $\frac{{4{\rm{\pi }}}}{{2{\rm{\pi }}}} = 2\;\,\left( {\rm{m}} \right)$.

Chân đống cát đó có diện tích là: 2$^{2}$p = 4p (m$^{2}$).

Vậy chân đống cát có diện tích bằng 4p m$^{2}$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Sai. b) Đúng. c) Sai. d) Sai.

a) Sai.

Vì chiếc bánh pizza hình tròn được chia thành 8 miếng như nhau bởi 4 nhát cắt qua tâm nên số đo mỗi góc ở tâm là: $\frac{{360^\circ }}{8} = 45^\circ$.

Vậy mỗi miếng bánh cắt ra là một hình quạt tròn ứng với cung 45$^{o}$.

b) Đúng.

Vì miếng bánh cắt ra có diện tích bằng 8p cm$^{2}$nên diện tích bề mặt của cả chiếc bánh pizza là: 8.8p = 64p (cm$^{2}$).

Vậy diện tích bề mặt của chiếc bánh bằng 64p (cm$^{2}$).

c) Sai.

Bán kính của chiếc bánh là: $\sqrt {\frac{{64{\rm{\pi }}}}{{\rm{\pi }}}} = 8$ (cm).

Vậy bán kính của chiếc bánh bằng 8 cm.

d) Sai.

Đường kính của chiếc bánh là 8.2 = 16 (cm).

Vì 10 cm < 16 cm nên người ta đặt chiếc bánh trên vào một chiếc hộp hình vuông có cạnh bằng 10 cm thì chiếc bánh đó không giữ nguyên được hình dạng.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Sai.

a) Đúng.

Độ dài cung AB là: ${{\rm{l}}_{\rm{1}}} = \frac{{126}}{{180}} \cdot {\rm{\pi }} \cdot 12 = 8{,}4{\rm{\pi }}\;\,\left( {{\rm{cm}}} \right)$.

Vậy độ dài cung AB bằng 8,4p (cm).

b) Đúng.

Độ dài cung CD là: ${{\rm{l}}_2} = \frac{{126}}{{180}} \cdot {\rm{\pi }} \cdot 6 = 4{,}2{\rm{\pi }}\;\,\left( {{\rm{cm}}} \right)$.

Vậy độ dài cung CD bằng 4,2p (cm).

c) Sai.

Chu vi giấy dán cần dùng là:

l$_{1}$ + l$_{2}$ + BD + AC = 8,4p + 4,2p + 6 + 6 = 12 + 12,6p (cm).

Vậy chu vi giấy dán cần dùng bằng 12 + 12,6p (cm).

d) Sai.

Diện tích giấy dán cần dùng là:

$\frac{{126}}{{360}} \cdot {\rm{\pi }}\left( {{{12}^2} - {6^2}} \right) = \frac{{189{\rm{\pi }}}}{5}\;\,{\rm{c}}{{\rm{m}}^2} < 120\;\,{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}$.

Vậy diện tích giấy dán cần dùng nhỏ hơn 120 cm$^{2}$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Sai. d) Đúng.

a) Đúng.

Diện tích mặt bàn hình chữ nhật ở giữa là: 1.2 = 2 (m$^{2}$).

Vậy diện tích mặt bàn hình chữ nhật ở giữa bằng 2 m$^{2}$.

b) Sai.

Diện tích của hai nửa hình tròn là: $2 \cdot \frac{1}{2}\left[ {{{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^2} \cdot {\rm{\pi }}} \right] = 0{,}785\;\,\left( {{{\rm{m}}^2}} \right)$.

Vậy diện tích của hai nửa hình tròn bằng 0,785 m$^{2}$.

c) Sai.

Diện tích mặt bàn là: 2 + 0,785 = 2,785 (m$^{2}$).

Vậy diện tích mặt bàn nhỏ hơn 3 m$^{2}$.

d) Đúng.

Số tiền gia công bác Mai bỏ ra để làm bàn là: 2,785.150 = 417,75 (nghìn đồng).

Vậy số tiền gia công bác Mai bỏ ra để làm bàn nhỏ hơn 600 nghìn đồng.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Sai. d) Đúng.

a) Đúng.

Bán kính của nửa hình tròn màu vàng là: 2 : 2 = 1 (dm).

Vậy bán kính của nửa hình tròn màu vàng bằng 1 dm.

b) Sai.

Phần màu vàng là nửa hình tròn có bán kính bằng 1 dm.

Diện tích phần màu vàng là: 1$^{2}$.3,14 = 3,14 (dm$^{2}$).

Vậy diện tích phần màu vàng bằng 3,14 dm$^{2}$.

c) Sai.

Phần màu da cam là nửa hình tròn có bán kính bằng 1,5 dm.

Diện tích phần màu da cam là: 1,5$^{2}$.3,14 = 7,065 (dm$^{2}$).

Vậy diện tích phần màu da cam bằng 7,065 dm$^{2}$.

d) Đúng.

Diện tích phần không bị tô màu là:

${\left( {\frac{{2 + 3}}{2}} \right)^2} \cdot 3{,}14 - 3{,}14 - 7{,}065 = 9{,}42\;\,\left( {{\rm{d}}{{\rm{m}}^2}} \right)$.

Vậy diện phần không tô màu của họa tiết nhỏ hơn 10 dm$^{2}$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Sai.

a) Đúng.

Vì OC = OB nên O thuộc đường trung trực của BC.

Vì DABC cân tại A nên AB = AC, suy ra A thuộc đường trung trực của BC.

Do đó, AO là đường trung trực của BC.

Mà DABC cân tại A nên AO là phân giác của tam giác đó.

Vậy AO là tia phân giác của góc BAC.

b) Sai.

Vì tam giác ABC cân tại A nên $\widehat {{\rm{ABC}}} = \widehat {{\rm{ACB}}} = 30^\circ .$

Ta có: $\widehat {{\rm{BAC}}} = 180^\circ - \widehat {{\rm{ABC}}} - \widehat {{\rm{ACB}}} = 120^\circ .$

Vì AO là tia phân giác của góc BAC nên $\widehat {{\rm{BAO}}} = \frac{1}{2}\widehat {{\rm{BAC}}} = 60^\circ .$

Vì AO = OB nên tam giác ABO cân tại O. Mà $\widehat {{\rm{BAO}}} = 60^\circ$ nên tam giác AOB đều.

Do đó, OA = AB = 9 m. Vậy bán kính của ao bằng 9 m.

c) Đúng.

Vì tam giác AOB đều nên $\widehat {{\rm{BOA}}} = \widehat {{\rm{BAO}}} = 60^\circ$.

Vì OC = OB nên DOBC cân tại O, suy ra OA là đường trung trực đồng thời là đường phân giác của tam giác đó. Suy ra: $\widehat {{\rm{BOC}}} = 2\widehat {{\rm{BOA}}} = 120^\circ .$

Vì $\widehat {{\rm{BOC}}}$ là góc ở tâm chắn cung BC nhỏ đường tròn (O; OA) nên sđ$\overset{\frown}{\text{BC}}$ = 120$^{o}$.

d) Sai.

Độ dài quãng đường (men theo bờ ao) từ chòi B đến chòi C (đi qua chòi A) là:

$\frac{{120}}{{180}} \cdot 9 \cdot {\rm{\pi }} = 6{\rm{\pi }}\;\,\left( {\rm{m}} \right).$

Vậy độ dài quãng đường (men theo bờ ao) từ chòi B đến chòi C (đi qua chòi A) bằng 6p m.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 400

Chu vi của bánh xe sau là: 120p (cm).

Chu vi của bánh xe trước là: 80p (cm).

Khi bánh xe trước lăn được 600 vòng thì bánh xe sau lăn được số vòng là:

600. 80p : (120p) = 400 (vòng).

Vậy khi bánh xe trước lăn được 600 vòng thì bánh xe sau lăn được 400 vòng.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 15

Gọi bán kính của đường tròn lớn và đường tròn nhỏ lần lượt là r$_{1}$ và r$_{2}$.

Vì bán kính đường tròn lớn gấp 4 lần bán kính đường tròn nhỏ nên r$_{1}$ = 4r$_{2}$.

Diện tích phần tô màu là: S$_{1}$ = $\left( {{\rm{r}}_1^2 - {\rm{r}}_2^2} \right){\rm{\pi }} = \left( {{\rm{16r}}_2^2 - {\rm{r}}_2^2} \right){\rm{\pi }} = 15{\rm{\pi r}}_2^2.$

Diện tích hình tròn nhỏ là: S$_{2}$ = ${\rm{\pi r}}_2^2.$

Do đó, S$_{1}$ = 15S$_{2}$.

Vậy diện tích phần tô màu gấp 15 lần diện tích hình tròn nhỏ của đĩa CD.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 7,5

Ta có: Bán kính tỉ lệ nghịch với số vòng quay được của líp và giò đĩa.

Khi đạp 1 vòng bánh xe (hoặc líp) quay được số vòng là: 16 : 4 = 4 (vòng).

Chu vi của bánh xe là: 60p (cm) = 0,6p (m).

Khi người đi xe đạp được một vòng thì xe chạy được quãng đường là:

0,6p. 4 ≈ 7,5 (m).

Vậy khi người đi xe đạp được một vòng thì xe chạy được quãng đường khoảng 7,5 m.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 2

Gọi bán kính của chiếc bánh pizza thứ nhất và thứ hai lần lượt là r$_{1}$ và r$_{2}$.

Vì chiếc bánh thứ nhất được chia thành 6 miếng đều nhau có dạng hình quạt tròn nên số đo cung ứng mỗi miếng bánh cắt ra là một hình quạt tròn ứng với cung $\frac{{360^\circ }}{6} = 60^\circ .$

Diện tích bề mặt 1 miếng bánh cắt ra ở chiếc bánh pizza thứ nhất là:

${{\rm{S}}_1} = \frac{{60}}{{360}}{\rm{\pi r}}_1^2 = \frac{1}{6}{\rm{\pi r}}_1^2.$

Vì chiếc bánh thứ hai được chia thành 8 miếng đều nhau có dạng hình quạt tròn nên số đo cung ứng mỗi miếng bánh cắt ra là một hình quạt tròn ứng với cung $\frac{{360^\circ }}{8} = 45^\circ .$

Diện tích bề mặt một miếng bánh cắt ra ở chiếc bánh pizza thứ hai là:

${{\rm{S}}_2} = \frac{{45}}{{360}}{\rm{\pi r}}_2^2 = \frac{1}{8}{\rm{\pi r}}_2^2.$

Vì S$_{2}$ = 3S$_{1}$ nên $\frac{1}{8}{\rm{\pi r}}_2^2 = 3 \cdot \frac{1}{6}{\rm{\pi r}}_1^2$, suy ra ${\rm{r}}_2^2 = 4{\rm{r}}_1^2$ nên r$_{2}$ = 2r$_{1}$.

Vậy bán kính của chiếc bánh thứ hai gấp 2 lần bán kính của chiếc bánh thứ nhất.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 8859

Gọi C và D là các điểm chung của hai đường tròn (M; 100 km) và (N; $100\sqrt 3$ km).

Vì CM$^{2}$ + CN$^{2}$ = 100$^{2}$ + ${\left( {100\sqrt 3 } \right)^2}$ = 40 000 = MN$^{2}$ nên tam giác CMN vuông tại C.

Xét tam giác CMN vuông tại C có: $\sin \widehat {{\rm{CMN}}} = \frac{{{\rm{CN}}}}{{{\rm{MN}}}} = \frac{{100\sqrt 3 }}{{200}} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}$ nên $\widehat {{\rm{CMN}}} = 60^\circ .$

Suy ra: $\widehat {{\rm{CNM}}} = 90^\circ - \widehat {{\rm{CMN}}} = 30^\circ .$

Tương tự ta có: $\widehat {{\rm{DMN}}} = 60^\circ ,\;\,\widehat {{\rm{DNM}}} = 30^\circ .$

Ta có: $\widehat {{\rm{CMD}}} = \widehat {{\rm{CMN}}} + \widehat {{\rm{NMD}}} = 120^\circ ;\;\,\widehat {{\rm{CND}}} = \widehat {{\rm{CNM}}} + \widehat {{\rm{MND}}} = 60^\circ$.

Vì CN = ND nên DCND cân tại N, mà $\widehat {{\rm{CND}}} = 60^\circ$ nên DCND đều nên ${\rm{CD}} = 100\sqrt 3 \;\,{\rm{km}}{\rm{.}}$

Gọi E là giao điểm của MN và CD.

Vì $\widehat {{\rm{CNM}}} = \widehat {{\rm{MND}}} = 30^\circ$ nên NM là tia phân giác của góc CND.

Vì DCND đều nên NE là đường phân giác đồng thời là đường cao trong tam giác đó. Suy ra CD ^ MN tại E.

Diện tích tứ giác CMDN là:

S$_{MCND}$ = S$_{D}$$_{CMN}$+ S$_{D}$$_{MND}$$= \frac{1}{2}{\rm{CE}} \cdot {\rm{MN}} + \frac{1}{2}{\rm{DE}} \cdot {\rm{MN}} = \frac{1}{2}{\rm{CD}} \cdot {\rm{MN}} = 10\;000\sqrt 3 \;\left( {{\rm{k}}{{\rm{m}}^2}} \right)$.

Diện tích của hình quạt tròn MCD được giới hạn bởi hai bán kính MC, MD và cung nhỏ CD của (M; 100 km) là: ${{\rm{S}}_1} = \frac{{{\rm{\pi }} \cdot {{100}^2} \cdot 120}}{{360}} = \frac{{10\;000{\rm{\pi }}}}{3}\;\,\left( {{\rm{k}}{{\rm{m}}^2}} \right)$.

Diện tích của hình quạt tròn NCD được giới hạn bởi hai bán kính NC, ND và cung nhỏ CD của (N; $100\sqrt 3$ km) là: ${{\rm{S}}_2} = \frac{{{\rm{\pi }} \cdot {{\left( {100\sqrt 3 } \right)}^2} \cdot 60}}{{360}} = 5\;000{\rm{\pi }}\;\,\left( {{\rm{k}}{{\rm{m}}^2}} \right)$.

Diện tích của khu vực có thể đặt thiết bị thu sóng sao cho thu được cả hai sóng phát từ trạm M và trạm N là:

S$_{1}$ + S$_{2}$ – S$_{MCND}$$= \frac{{10\;000{\rm{\pi }}}}{3} + 5\;000{\rm{\pi }} - 10\;000\sqrt 3 \approx 8\;859\;\,\left( {{\rm{k}}{{\rm{m}}^2}} \right).$

Vậy diện tích của khu vực có thể đặt thiết bị thu sóng sao cho thu được cả hai sóng phát từ trạm M và trạm N bằng khoảng 8 859 km$^{2}$.