Bài tập Một số bài toán hàm hợp liên quan đến giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số của hàm lớp 12 (có lời giải)

Đáp án đúng là: A

Ta có −1 ≤ cos5x ≤ 1 $\Leftrightarrow$ −1 ≤ 2cos5x + 1 ≤ 3.

Đặt t = 2cos5x + 1 với x ∈ [−2; 3] thì t ∈ [−1; 3].

Khi đó, y = f(2cos5x + 1) = f(t) với t ∈ [−1; 3].

Suy ra: M = 5; m = 0 $\Rightarrow$ M – 2m = 5.

Đáp án đúng là: D

Xét hàm số g(x) = x$^{3}$ – 3x$^{2}$ – 1; g'(x) = 3x$^{2}$ – 6x.

Có g'(x) = 0 $\Leftrightarrow$ x = 0 hoặc x = 2 (đều thuộc (−1; 3)).

Ta có f(−1) = |g(−1)| = 5; f(0) = |g(0)| = 1; f(2) = |g(2)| = 5; f(3) = |g(3)| = 1.

Vậy $\mathop {\max }\limits_{\left[ { - \,1;3} \right]} f\left( x \right) = 5$.

Đáp án đúng là: D

Ta có bảng biến thiên của hàm số y = f(x)

Ta có: g'(x) = −2f'(−2x + 3).

Có g'(x) = 0 $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} - 2x + 3 = - 3\\ - 2x + 3 = 1\\ - 2x + 3 = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 3\\x = 1\\x = 0\end{array} \right.$

Ta có x = 1 là nghiệm bội chẵn nên ta có bảng biến thiên của hàm số g(x).

Dựa vào bảng biến thiên ta có giá trị nhỏ nhất của hàm số g(x) trên đoạn [0; 3] là g(0).

Đáp án đúng là: B

Đặt t = x$^{2}$ – 2x. Ta có $x \in \left[ { - \frac{3}{2};\frac{7}{2}} \right] \Leftrightarrow - \frac{5}{2} \le x - 1 \le \frac{5}{2} \Leftrightarrow 0 \le {\left( {x - 1} \right)^2} \le \frac{{25}}{4}$

$\Leftrightarrow - 1 \le {\left( {x - 1} \right)^2} - 1 \le \frac{{21}}{4}$ nên $t \in \left[ { - 1;\frac{{21}}{4}} \right]$.

Xét hàm số $y = f\left( t \right),t \in \left[ { - 1;\frac{{21}}{4}} \right]$

Từ bảng biến thiên suy ra:

$m = \mathop {\min }\limits_{t \in \left[ { - 1;\frac{{21}}{4}} \right]} f\left( t \right) = f\left( 1 \right) = 2,M = \mathop {\max }\limits_{t \in \left[ { - 1;\frac{{21}}{4}} \right]} f\left( t \right) = f\left( {\frac{{21}}{4}} \right) = 5 \Rightarrow \frac{M}{m} > 2$.

Đáp án đúng là: A

Đặt $t = \sqrt {2x - {x^2}}$, ta có $0 \le t \le 1$.

Hàm số $y = \sqrt {2x - {x^2}}$ trở thành y = f(t) với 0 ≤ t ≤ 1.

Dựa vào đồ thị ta suy ra M = −3; m = −5.

Vậy 2M – m = −1.

Đáp án đúng là: C

Đặt t = 1 – cosx $\Rightarrow$ t ∈ [0; 2].

Dựa vào đồ thị ta thấy $\mathop {\max }\limits_{\left[ {0;2} \right]} f\left( t \right) = 2;\mathop {\min }\limits_{\left[ {0;2} \right]} f\left( t \right) = - \frac{3}{2} \Rightarrow M + n = \frac{1}{2}$.

Đáp án đúng là: C

Dựa vào đồ thị ta có: $\mathop {\max }\limits_{\left[ { - 2;{\rm{ 4}}} \right]} f\left( x \right) = 2$ khi x = 2 và $\mathop {\min }\limits_{\left[ { - 2;{\rm{ 4}}} \right]} f\left( x \right) = - 3$ khi x = −1.

Vậy $\mathop {\max }\limits_{\left[ { - 2;{\rm{ 4}}} \right]} \left| {f\left( x \right)} \right| = 3$ khi x = −1.

Đáp án đúng là: A

Vẽ đồ thị của hàm số y = |f(x)| bằng cách giữ nguyên phần đồ thị của hàm số y = f(x) ở phía trên trục hoành, lấy đối xứng phần đồ thị của hàm số y = f(x) ở phía đưới trục hoành qua trục hoành, xóa bỏ phần đồ thị phía dưới trục hoành.

Từ đó suy ra phần đồ thị của hàm số y = |f(x)| trên đoạn [−1; 1].

Dựa vào phần đồ thị đó, ta được M = 3; m = 0 nên T = 2019.

Đáp án đúng là: C

Đặt t = 2x – 1.

Với $x \in \left[ {0\,;\,\frac{1}{2}} \right]$ $\Rightarrow$ t ∈ [−1; 0].

Đồ thị hàm số y = |f(x)| có dạng

Suy ra với t ∈ [−1; 0] ta có m = 0, M = 1.

Vậy M – m = 1.

Đáp án đúng là: C

Từ yêu cầu bài toán ta có bảng biến thiên cho hàm số y = f(|x|) như sau

Nhìn vào bảng biến thiên ta thấy $\mathop {\min }\limits_{\left[ { - 2;\,4} \right]} f\left( {\left| x \right|} \right) = f\left( 4 \right)$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Vì −1 ≤ cosx ≤ 1. Đặt t = cosx, −1 ≤ t ≤1.

Bài toán trở thành tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f(t), −1 ≤ t ≤1.

Dựa vào đồ thị hàm số ta có $\mathop {\min }\limits_{\left[ { - 1;1} \right]} f\left( t \right) = - 1$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Đặt $t = \sqrt {4 - {x^2}}$, 0 ≤ t ≤ 2.

Bài toán trở thành tìm giá trị lớn nhất của hàm số y = f(t) với 0 ≤ t ≤ 2.

Dựa vào bảng biến thiên ta có $\mathop {\max }\limits_{\left[ {0;2} \right]} f\left( t \right) = 2$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Đặt t = x$^{2}$ – 2x.

Với x ∈ [0; 3] thì t ∈ [0; 3].

Bài toán trở thành tìm $\mathop {\max }\limits_{\left[ {0;3} \right]} f\left( t \right)$.

Dựa vào đồ thị hàm số y = f(x), ta có $\mathop {\max }\limits_{\left[ {0;3} \right]} f\left( t \right) = 5$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Có g'(x) = f'(x) – 2x – 1.

g'(x) = 0 $\Leftrightarrow$ f'(x) = 2x + 1.

Dựa vào đồ thị hàm số ta có g'(x) = 0 $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 1\\x = 1\\x = 2\end{array} \right.$.

Ta có bảng biến thiên của hàm số g(x) như sau

Dựa vào bảng biến thiên ta có $\mathop {\max }\limits_{\left[ { - 1;2} \right]} g\left( x \right) = g\left( 1 \right)$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Đặt t = e$^{x}$.

Vì x ∈ [0; ln3] thì t ∈ [1; 3].

Bài toán trở thành tìm $\mathop {\min }\limits_{\left[ {1;3} \right]} f\left( t \right)$.

Dựa vào bảng biến thiên ta có $\mathop {\min }\limits_{\left[ {1;3} \right]} f\left( t \right) = - 2$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Sai. d) Đúng.

a) Đúng. Dựa vào đồ thị hàm số y = f(x), ta có $\mathop {\max }\limits_{\left[ {0;2} \right]} f\left( x \right) = f\left( 0 \right) = 2$.

b) Sai. Đặt t = 2sinx + 1.

Vì −1 $\le$ sinx $\le$ 1 nên −1 $\le$ 2sinx + 1 $\le$ 3 hay −1 $\le$ t $\le$ 3.

Bài toán trở thành tìm $\mathop {\max }\limits_{\left[ { - 1;3} \right]} f\left( t \right)$.

Dựa vào đồ thị hàm số, ta có $\mathop {\max }\limits_{\left[ { - 1;3} \right]} f\left( t \right) = 2$.

c) Sai. Dựa vào đồ thị hàm số, ta có $\mathop {\min }\limits_{\left[ { - 1;3} \right]} f\left( t \right) = - 2$.

d) Đúng. M + m = 0.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Đúng.

a) Đúng. Dựa vào đồ thị hàm số ta có giá trị lớn nhất của hàm số y = f(x) trên đoạn [−1; 2] là 3.

b) Sai. Dựa vào đồ thị hàm số ta có giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f(x) trên đoạn [−1; 1] là −1.

c) Đúng. Đặt t = 2x$^{3}$ + x – 1. Với x $\in$ [0; 1] thì t $\in$ [−1; 2].

Bài toán trở thành tìm $\mathop {\min }\limits_{\left[ { - 1;2} \right]} f\left( t \right)$.

Dựa vào đồ thị hàm số ta có $\mathop {\min }\limits_{\left[ { - 1;2} \right]} f\left( t \right) = - 1$.

Vậy $\mathop {\min }\limits_{\left[ {0;1} \right]} f\left( {2{x^3} + x - 1} \right) = - 1$.

d) Đúng. Dựa vào đồ thị hàm số ta có $\mathop {\max }\limits_{\left[ { - 1;2} \right]} f\left( t \right) = 3$.

Do đó $\mathop {\max }\limits_{\left[ {0;1} \right]} f\left( {2{x^3} + x - 1} \right) = 3$$\Rightarrow \mathop {\max }\limits_{\left[ {0;1} \right]} \left[ {f\left( {2{x^3} + x - 1} \right) + m} \right] = 3 + m$.

Theo đề có 3 + m = −10 $\Leftrightarrow$ m = −13.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Sai. b) Sai. c) Sai. d) Sai.

a) Sai. Có f'(x) = −3x$^{2}$ + 6x; f'(x) = 0 $\Leftrightarrow$ x = 0 hoặc x = 2.

Bảng biến thiên của hàm số f(x) như sau

Dựa vào bảng biến thiên ta có hàm số y = f(x) không có giá trị nhỏ nhất.

b) Sai. Đặt t = e$^{x}$. Với x ∈ [0; ln2] thì t ∈ [1; 2].

Bài toán trở thành tìm $\mathop {\max }\limits_{\left[ {1;2} \right]} f\left( t \right)$.

Dựa vào bảng biến thiên ta có $\mathop {\max }\limits_{\left[ {1;2} \right]} f\left( t \right) = 6$.

c) Sai. Bài toán trở thành tìm $\mathop {\min }\limits_{\left[ {1;2} \right]} f\left( t \right)$.

Dựa vào bảng biến thiên ta có $\mathop {\min }\limits_{\left[ {1;2} \right]} f\left( t \right) = f\left( 1 \right) = 4$.

d) Sai. $\mathop {\max }\limits_{\left[ {1;2} \right]} f\left( t \right) + \mathop {\min }\limits_{\left[ {1;2} \right]} f\left( t \right) = 6 + 4 = 10$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Sai. b) Đúng. c) Đúng. d) Sai.

a) Sai. Dựa vào đồ thị hàm số ta có $\mathop {\max }\limits_{\left[ { - 1;3} \right]} f\left( x \right) = 5$.

b) Đúng. Dựa vào đồ thị hàm số ta có $\mathop {\min }\limits_{\left[ { - 1;3} \right]} f\left( x \right) = - 5{,}5$.

c) Đúng. Đặt t = x$^{2}$ – 2x.

Với x ∈ [−1; 2] thì t ∈ [0; 3].

Bài toán trở thành tìm $\mathop {\min }\limits_{\left[ {0;3} \right]} f\left( t \right)$.

Dựa vào đồ thị hàm số ta có $\mathop {\min }\limits_{\left[ {0;3} \right]} f\left( t \right) = - 5{,}5$.

d) Sai. Đưa bài toán tìm $\mathop {\max }\limits_{\left[ { - 1;2} \right]} f\left( {{x^2} - 2x} \right)$ về bài toán tìm $\mathop {\max }\limits_{\left[ {0;3} \right]} f\left( t \right)$.

Dựa vào đồ thị hàm số ta có $\mathop {\max }\limits_{\left[ {0;3} \right]} f\left( t \right) = 5$.

Khi đó $\mathop {\min }\limits_{\left[ { - 1;2} \right]} f\left( {{x^2} - 2x} \right) + \mathop {\max }\limits_{\left[ { - 1;2} \right]} f\left( {{x^2} - 2x} \right) = - 5{,}5 + 5 = - 0{,}5$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Sai. b) Đúng. c) Đúng. d) Đúng.

a) Sai. Dựa vào bảng xét dấu của f'(x), ta có $\mathop {\max }\limits_{\left( { - \infty ;1} \right)} f\left( x \right) = f\left( { - 1} \right)$.

b) Đúng. Đặt g(x) = f(x$^{2}$).

Ta có g'(x) = 2xf'(x$^{2}$).

Có g'(x) = 0 $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\f'\left( {{x^2}} \right) = 0\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\{x^2} = 1\\{x^2} = 4\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = \pm 1\\x = \pm 2\end{array} \right.$.

Bảng xét dấu của g'(x) trên đoạn [−2; 2] như sau

Ta có g(−2) = g(2) = f(4) và g(0) = f(0).

Vì f(0) < f(4) nên $\mathop {\max }\limits_{\left[ { - 2;2} \right]} f\left( {{x^2}} \right) = f\left( 4 \right)$.

c) Đúng. Có g(−1) = g(1) = f(1).

Do đó $\mathop {\min }\limits_{\left[ { - 2;2} \right]} f\left( {{x^2}} \right) = f\left( 1 \right)$.

d) Đúng. $\mathop {\max }\limits_{\left[ { - 2;2} \right]} f\left( {{x^2}} \right) + \mathop {\min }\limits_{\left[ { - 2;2} \right]} f\left( {{x^2}} \right) = f\left( 4 \right) + f\left( 1 \right)$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 0

Đặt t = x$^{2}$ – 1. Với $x \in \left[ {0;\sqrt 2 } \right]$ thì t ∈ [−1; 1].

Bài toán trở thành tìm $\mathop {\max }\limits_{\left[ { - 1;1} \right]} f\left( t \right)$.

Dựa vào đồ thị hàm số ta có $\mathop {\max }\limits_{\left[ { - 1;1} \right]} f\left( t \right) = 2$ khi t = −1.

Suy ra x$^{2}$ – 1 = −1 $\Leftrightarrow$ x = 0.

Do đó a = 0.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 8

Đặt t = x$^{2}$ – 2x. Với x ∈ [0; 3] thì t ∈ [0; 3].

Khi đó $M = \mathop {\max }\limits_{\left[ {0;3} \right]} f\left( t \right) = 12;m = \mathop {\min }\limits_{\left[ {0;3} \right]} f\left( t \right) = - 4$.

Suy ra M + m = 8.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 2

Đặt t = sinx. Khi đó t $\in$ [−1; 1].

Dựa vào bảng biến thiên ta có $M = \mathop {\max }\limits_{\left[ { - 1;1} \right]} f\left( t \right) = 5;m = \mathop {\min }\limits_{\left[ { - 1;1} \right]} f\left( t \right) = - 3$.

Do đó M + m = 2.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: −2

Đặt $t = \sqrt x$ với t $\in$ [0; +∞).

Dựa vào đồ thị hàm số ta có $\mathop {\min }\limits_{\left[ {0; + \infty } \right)} f\left( t \right) = - 2$.

Vậy $\min f\left( {\sqrt x } \right) = - 2$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: −4

Đặt $t = \frac{x}{2}$. Vì x $\in$ [−5; 3] nên $t \in \left[ { - \frac{5}{2};\frac{3}{2}} \right]$.

Bài toán trở thành tìm $\mathop {\min }\limits_{\left[ { - \frac{5}{2};\frac{3}{2}} \right]} f\left( t \right)$.

Dựa vào đồ thị hàm số đã cho ta có bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên ta có $\mathop {\min }\limits_{\left[ { - \frac{5}{2};\frac{3}{2}} \right]} f\left( t \right) = f\left( { - 2} \right) \Rightarrow \frac{x}{2} = - 2 \Rightarrow x = - 4$.

Vậy a = −4.