Bài tập Mối quan hệ giữa động năng và thế năng lớp 11 (có lời giải)

Đáp án đúng là A

Ta có: ${\text{W}}_{đ}=\frac{1}{2}{\text{W}}_{t}\Rightarrow x=\frac{\pm A}{\sqrt{\frac{1}{2}+1}}=\pm A\sqrt{\frac{2}{3}}$

Mặt khác: ${\left( {\frac{x}{A}} \right)^2} + {\left( {\frac{v}{{{v_{{\rm{max}}}}}}} \right)^2} = 1 \Rightarrow v = \frac{{ \pm {v_{{\rm{max}}}}}}{{\sqrt 3 }} \Rightarrow {v_{{\rm{max}}}} = 10\sqrt 3 {\rm{ cm/s}}.$.

Đáp án đúng là D

${W_d} = \frac{3}{4}W \Rightarrow {W_t} = \frac{1}{4}W \Rightarrow \frac{{k{x^2}}}{2} = \frac{1}{4}\frac{{k{A^2}}}{2} \Rightarrow x = \pm \frac{A}{2} = \pm 3{\rm{ cm}}{\rm{.}}$

Đáp án đúng là C

${W_d} = {W_t} = \frac{W}{2} \Rightarrow \frac{{m{v^2}}}{2} = \frac{{m{\omega ^2}{A^2}}}{{2.2}} \Rightarrow A = 0{,}12{\rm{ m}}$

Đáp án đúng là D

Khi động năng bằng thế năng ${\text{W}}_{đ}={\text{W}}_{t}\Rightarrow x=\frac{\pm A}{\sqrt{1+1}}=\frac{\pm A}{\sqrt{2}}$

Khoảng thời gian 2 lần liên tiếp động năng và thế năng của vật lại bằng nhau là ${t_{\left( {\frac{{A\sqrt 2 }}{2} \to \frac{{A\sqrt 2 }}{2}} \right)}} = \frac{T}{8} + \frac{T}{8} = \frac{T}{4} = 0{,}05 \Rightarrow T = 0{,}2 = 2\pi \sqrt {\frac{m}{k}} = 5{\rm{0 N/m}}{\rm{.}}$

Đáp án đúng là D

Ta có khi động năng bằng thế năng ${\text{W}}_{đ}={\text{W}}_{t}\Rightarrow x=\frac{\pm A}{\sqrt{1+1}}=\frac{\pm A}{\sqrt{2}}$.

Do $\overrightarrow x \bot \overrightarrow v \Rightarrow {\left( {\frac{x}{A}} \right)^2} + {\left( {\frac{v}{{{v_{{\rm{max}}}}}}} \right)^2} = 1 \Rightarrow {\left( {\frac{v}{{{v_{{\rm{max}}}}}}} \right)^2} = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$.

Do đó ${v_{{\rm{max}}}} = \left| v \right|\sqrt 2 = 60\sqrt 2 = \omega A \Rightarrow A = 6\sqrt 2$cm.

Đáp án đúng là A

Ta có: ${\text{W}}_{đ}=3{\text{W}}_{t}\Rightarrow {\text{W}}_{t}=\frac{1}{4}\text{W}\Rightarrow {\text{α}}^{2}=\pm \frac{1}{4}{\text{α}}_{0}^{2}=\Rightarrow \text{α}=\pm \frac{1}{2}{\text{α}}_{0}=\pm 3^{\circ}.$

Đáp án đúng là A

+ Ta có: ${W}_{đ}=\frac{1}{2}{W}_{t}\Rightarrow x=\frac{\pm A}{\sqrt{\frac{1}{2}+1}}=\pm A\sqrt{\frac{2}{3}}$

+ Mặt khác: ${\left( {\frac{x}{A}} \right)^2} + {\left( {\frac{v}{{{v_{{\rm{max}}}}}}} \right)^2} = 1 \Rightarrow v = \frac{{ \pm {v_{{\rm{max}}}}}}{{\sqrt 3 }} \Rightarrow {v_{{\rm{max}}}} = 10\sqrt 3 cm/s$.

Đáp án đúng là B

$\{\begin{matrix}{\text{W}}_{đ}=\ 2{W}_{t} \\ {\text{W}}_{đ}+{\text{W}}_{t}=\ \frac{1}{2}mgl{α}_{o}^{2}\end{matrix}\Rightarrow 3{W}_{t}=\ \frac{1}{2}mgl{α}_{o}^{2}\Rightarrow 3\frac{1}{2}mgl{α}^{2}=\frac{1}{2}mgl{α}_{o}^{2}\Rightarrow α=\pm \frac{{α}_{o}}{\sqrt{3}}=\ \pm \ 2,{89}^{o}.$

Đáp án đúng là C

- Khi con lắc qua vị trí cân bằng thì ${{\rm{v}}_{\max }} = \sqrt {2g\ell \left( {1 - c{\rm{os}}{\alpha _0}} \right)} \Rightarrow c{\rm{os}}{\alpha _0} = 0 \Rightarrow {\alpha _0} = {90^0}.$

- Ở vị trí ${{\rm{W}}_d} = {{\rm{W}}_t}$ $\Leftrightarrow {\rm{W}} = 2{{\rm{W}}_t} \Rightarrow 1 - c{\rm{os}}{\alpha _0} = 2\left( {1 - c{\rm{os}}\alpha } \right)$

$\Leftrightarrow {\rm{cos}}\alpha = \frac{{1 + {\rm{cos}}{\alpha _0}}}{2} = \frac{1}{2} \Rightarrow \alpha = 60^\circ .$

Đáp án đúng là D

Động năng

${W_d} = {\rm{W}} - {{\rm{W}}_t} = mg\ell \left( {1 - \cos {\alpha _0}} \right) - mg\ell \left( {1 - \cos \alpha } \right) = mg\ell \left( {\cos \alpha - \cos {\alpha _0}} \right) = 13{,}2297{\rm{ }}mJ.$

a. Sai. Động năng và thế năng biến thiên tuần hoàn với chu kỳ $T' = \frac{T}{2}$ (bằng một nửa chu kỳ dao động của vật).

b. Đúng. Động năng biến thiên tuần hoàn với tần số góc $\omega ' = 2\omega$.

c. Sai. Cơ năng $W = {W_d} + {W_t} = \frac{1}{2}m{\omega ^2}{A^2}$ là hằng số không biến thiên theo thời gian.

d. Đúng. Cơ năng được bảo toàn, do đó tổng ${W_d} + {W_t} = W = {\rm{const}}$ tại mọi thời điểm.

a. Đúng. Ra vị trí biên thì $v$ giảm dần về $0$ (động năng giảm) và $|x|$ tăng đến $A$ (thế năng tăng), nên động năng chuyển hóa thành thế năng.

b. Đúng. Tại vị trí cân bằng, $x = 0 \Rightarrow {W_t} = 0$; tốc độ $|v| = {v_{\max }} \Rightarrow {W_d} = {W_{d\max }} = W$.

c. Đúng. Tại vị trí biên, $v = 0 \Rightarrow {W_d} = 0$; $|x| = A \Rightarrow {W_t} = {W_{t\max }} = W$.

d. Sai. Khi đi từ biên về VTCB, |x| giảm làm thế năng giảm, |v| tăng làm động năng tăng (thế năng chuyển hoá thành động năng).

a. Đúng. Cơ năng $W = \frac{1}{2}k{A^2} = \frac{1}{2} \cdot 40 \cdot {(0{,}05)^2} = 0{,}05{\rm{ J}} = 50{\rm{ mJ}}$.

b. Sai. Với $x = 2{,}5{\rm{ cm}} = \frac{A}{2} \Rightarrow {W_t} = \frac{1}{4}W \Rightarrow {W_d} = \frac{3}{4}W \Rightarrow {W_d} = 3{W_t}$ (động năng bằng 3 lần thế năng).

c. Đúng. Khi ${W_d} = {W_t} \Rightarrow {W_t} = \frac{1}{2}W \Rightarrow \frac{1}{2}k{x^2} = \frac{1}{2}\left( {\frac{1}{2}k{A^2}} \right) \Rightarrow x = \pm \frac{A}{{\sqrt 2 }} = \pm \frac{5}{{\sqrt 2 }} = \pm 2{,}5\sqrt 2 {\rm{ cm}}$.

d. Đúng. Động năng cực đại ${W_{d\max }} = W = 0{,}05{\rm{ J}} = 50{\rm{ mJ}}$.

a. Đúng. Động năng bằng thế năng khi $x = \pm \frac{A}{{\sqrt 2 }}$. Khoảng thời gian ngắn nhất giữa hai vị trí này liên tiếp là $\Delta t = \frac{T}{4} = \frac{1}{4} = 0{,}25{\rm{ s}}$.

b. Sai. Thế năng tăng từ $0$ (tại VTCB) đến ${W_{t\max }}$ (tại biên) mất thời gian ngắn nhất là $\Delta t = \frac{T}{4} = 0{,}25{\rm{ s}}$.

c. Đúng. Trong một chu kỳ, vật qua 4 vị trí $x = \pm \frac{A}{{\sqrt 2 }}$ tương ứng 4 lần ${W_d} = {W_t}$.

d. Đúng. Động năng đạt cực đại tại VTCB. Hai lần liên tiếp qua VTCB cách nhau $\frac{T}{2} = 0{,}5{\rm{ s}}$.

a. Sai. Khi ${W_d} = 3{W_t} \Rightarrow {W_d} = \frac{3}{4}W \Rightarrow \frac{1}{2}m{v^2} = \frac{3}{4}\left( {\frac{1}{2}m{v_{{{\max }^2}}}} \right) \Rightarrow |v| = \frac{{{v_{\max }}\sqrt 3 }}{2}$.

b. Đúng. Khi ${W_t} = 3{W_d} \Rightarrow {W_t} = \frac{3}{4}W \Rightarrow \frac{1}{2}k{x^2} = \frac{3}{4}\left( {\frac{1}{2}k{A^2}} \right) \Rightarrow |x| = \frac{{A\sqrt 3 }}{2}$.

c. Sai. Khi vật di chuyển từ $- \frac{A}{2}$ qua $0$ đến $\frac{A}{2}$, thế năng giảm từ ${W_0}$ về $0$ rồi lại tăng lên ${W_0}$.

d. Đúng. $\frac{{{W_d}}}{{{W_t}}} = \frac{{W - {W_t}}}{{{W_t}}} = \frac{{\frac{1}{2}k{A^2} - \frac{1}{2}k{x^2}}}{{\frac{1}{2}k{x^2}}} = \frac{{{A^2} - {x^2}}}{{{x^2}}} = {\left( {\frac{A}{x}} \right)^2} - 1$.

a. Đúng. ${W_t} = \frac{1}{2}k{x^2} = \frac{1}{2}k{\left( { \pm \frac{A}{3}} \right)^2} = \frac{1}{9}\left( {\frac{1}{2}k{A^2}} \right) = \frac{1}{9}W$.

b. Đúng. ${W_d} = W - {W_t} = \frac{8}{9}W \Rightarrow \frac{{{W_d}}}{{{W_t}}} = 8$.

c. Đúng. Khi ${W_d} = {W_t} \Rightarrow {W_d} = \frac{1}{2}W \Rightarrow \frac{1}{2}m{v^2} = \frac{1}{2}\left( {\frac{1}{2}m{v_{{{\max }^2}}}} \right) \Rightarrow |v| = \frac{{{v_{\max }}}}{{\sqrt 2 }}$.

d. Sai. Khi $x = \pm A$, thế năng bằng cơ năng, động năng bằng $0$.

a. Đúng. $v = - A\omega \sin (\omega t) \Rightarrow {W_d} = \frac{1}{2}m{v^2} = \frac{1}{2}m{\omega ^2}{A^2}{\sin ^2}(\omega t) = \frac{1}{4}m{\omega ^2}{A^2}[1 - \cos (2\omega t)]$.

b. Đúng. ${W_t} = \frac{1}{2}m{\omega ^2}{x^2} = \frac{1}{2}m{\omega ^2}{A^2}{\cos ^2}(\omega t) = \frac{1}{4}m{\omega ^2}{A^2}[1 + \cos (2\omega t)]$.

c. Đúng. Do $\langle \cos (2\omega t)\rangle = 0 \Rightarrow \langle {W_d}\rangle = \frac{1}{4}m{\omega ^2}{A^2} = \frac{W}{2}$.

d. Sai. Giá trị trung bình của thế năng trong một chu kỳ cũng bằng $\langle {W_t}\rangle = \frac{W}{2}$.

a. Sai. Cơ năng con lắc lò xo $W = \frac{1}{2}k{A^2}$, không phụ thuộc trực tiếp vào khối lượng $m$ (nếu giữ nguyên $k$ và $A$).

b. Đúng. Cơ năng tỉ lệ thuận với độ cứng $k$.

c. Đúng. Cơ năng $W \propto {A^2}$.

d. Đúng. Biên độ tăng $2$ lần $\Rightarrow A' = 2A \Rightarrow W' = \frac{1}{2}k{(2A)^2} = 4W$.

a. Sai. $W = \frac{1}{2}m{v_{{{\max }^2}}} \Rightarrow 1 = \frac{1}{2}m \cdot {2^2} \Rightarrow m = 0{,}5{\rm{ kg}}$ (Lời giải tính đúng $m = 0{,}5{\rm{ kg}}$, phát biểu ghi $0{,}5{\rm{ kg}}$ là Đúng).

b. Đúng. ${W_t} = W - {W_d} = 1 - 0{,}75 = 0{,}25{\rm{ J}}$.

c. Đúng. ${W_d} = \frac{1}{2}m{v^2} = \frac{1}{2} \cdot 0{,}5 \cdot {1^2} = 0{,}25{\rm{ J}}$.

d. Đúng. Khi ${W_d} = {W_t} \Rightarrow |v| = \frac{{{v_{\max }}}}{{\sqrt 2 }} = \frac{2}{{\sqrt 2 }} = \sqrt 2 {\rm{ m/s}}$.

a. Đúng. Với góc $\alpha$ nhỏ, $1 - \cos \alpha \approx \frac{{{\alpha ^2}}}{2} \Rightarrow {W_t} \approx \frac{1}{2}mgl{\alpha ^2}$.

b. Đúng. $W = \frac{1}{2}mgl\alpha _0^2 \Rightarrow W \propto \alpha _0^2$.

c. Đúng. ${W_t} = \frac{1}{2}mgl{\alpha ^2} = \frac{1}{2}mgl{\left( {\frac{{{\alpha _0}}}{{\sqrt 2 }}} \right)^2} = \frac{1}{2}W \Rightarrow {W_d} = {W_t}$.

d. Sai. Tại VTCB, lực căng dây đạt giá trị cực đại ${T_{\max }} = mg(3 - 2\cos {\alpha _0})$.

Đáp án: 0,5

Cơ năng của con lắc lò xo: $W = \frac{1}{2}k{A^2} = \frac{1}{2} \cdot 100 \cdot {(0{,}1)^2} = 0{,}5{\rm{ J}}$.

Đáp án: 36

Động năng cực đại bằng cơ năng:

${W_{d\max }} = W = \frac{1}{2}m{\omega ^2}{A^2} = \frac{1}{2} \cdot 0{,}2 \cdot {10^2} \cdot {(0{,}06)^2} = 0{,}036{\rm{ J}} = 36{\rm{ mJ}}$.

Đáp án: 6

Khi ${W_d} = 3{W_t} \Rightarrow W = {W_d} + {W_t} = 4{W_t}$.

$\Rightarrow \frac{1}{2}k{A^2} = 4\left( {\frac{1}{2}k{x^2}} \right) \Rightarrow {x^2} = \frac{{{A^2}}}{4} \Rightarrow |x| = \frac{A}{2} = \frac{{12}}{2} = 6{\rm{ cm}}$.

Đáp án: 40

Khi ${W_t} = 3{W_d} \Rightarrow W = 4{W_d}$.

$\Rightarrow \frac{1}{2}m{v_{{{\max }^2}}} = 4\left( {\frac{1}{2}m{v^2}} \right) \Rightarrow {v^2} = \frac{{{v_{{{\max }^2}}}}}{4} \Rightarrow |v| = \frac{{{v_{\max }}}}{2} = \frac{{80}}{2} = 40{\rm{ cm/s}}$.

Đáp án: 0,1

Khoảng thời gian ngắn nhất giữa hai lần liên tiếp ${W_d} = {W_t}$ là:

$\Delta t = \frac{T}{4} = \frac{{0{,}4}}{4} = 0{,}1{\rm{ s}}$.

Đáp án: 40

Thế năng tại li độ $x$:

${W_t} = \frac{1}{2}k{x^2} = \frac{1}{2}k{\left( {\frac{2}{3}A} \right)^2} = \frac{4}{9}\left( {\frac{1}{2}k{A^2}} \right) = \frac{4}{9}W$.

Thay $W = 90{\rm{ mJ}} \Rightarrow {W_t} = \frac{4}{9} \cdot 90 = 40{\rm{ mJ}}$.

Đáp án: 1,78

Tỉ số $\frac{{{W_d}}}{{{W_t}}} = \frac{{W - {W_t}}}{{{W_t}}} = \frac{{\alpha _0^2 - {\alpha ^2}}}{{{\alpha ^2}}} = \frac{{0,{1^2} - 0,{{06}^2}}}{{0,{{06}^2}}} = \frac{{0{,}01 - 0{,}0036}}{{0{,}0036}} = \frac{{0{,}0064}}{{0{,}0036}} = \frac{{16}}{9} \approx 1{,}78$.

Đáp án: 32

Cơ năng của hệ: $W = {W_d} + {W_t} = 0{,}09 + 0{,}07 = 0{,}16{\rm{ J}}$.

Mặt khác $W = \frac{1}{2}k{A^2} \Rightarrow 0{,}16 = \frac{1}{2}k{(0{,}1)^2} = 0{,}005k$.

$\Rightarrow k = \frac{{0{,}16}}{{0{,}005}} = 32{\rm{ N/m}}$.

Đáp án: 1,26

Cơ năng của vật: $W = {W_d} + {W_t} = 0{,}06 + 0{,}02 = 0{,}08{\rm{ J}}$.

Mặt khác $W = \frac{1}{2}m{v_{{{\max }^2}}} \Rightarrow 0{,}08 = \frac{1}{2} \cdot 0{,}1 \cdot {v_{{{\max }^2}}} \Rightarrow {v_{{{\max }^2}}} = 1{,}6$.

$\Rightarrow {v_{\max }} = \sqrt {1{,}6} \approx 1{,}265{\rm{ m/s}} \approx 1{,}26{\rm{ m/s}}$.

Đáp án: 4

Chu kỳ biến thiên của thế năng $T' = \frac{T}{2} \Rightarrow T = 2T' = 2 \cdot 0{,}25 = 0{,}5{\rm{ s}}$.

Số dao động toàn phần vật thực hiện trong $t = 2{\rm{ s}}$ là:

$N = \frac{t}{T} = \frac{2}{{0{,}5}} = 4$ dao động.