Bài tập Mô tả và vận dụng hằng đẳng thức tổng hai lập phương có đáp án lớp 8 (có lời giải)

Đáp án đúng là: C

Hằng đẳng thức đúng là: a$^{3}$ + b$^{3}$ = (a + b)(a$^{2}$ – ab + b$^{2}$).

Đáp án đúng là: B

8x$^{3}$ + 27y$^{3}$ = (2x)$^{3}$ + (3y)$^{3}$

= (2x + 3y)[(2x)$^{2}$ – 2x.3y + (3y)$^{2}$]

= (2x + 3y)(4x$^{2}$ – 6xy + 9y$^{2}$) .

Đáp án đúng là: D

8x$^{3}$ + 1 = (2x)$^{3}$ + 1$^{3}$

= (2x + 1)[(2x)$^{2}$ – 2x.1 + 1$^{2}$]

= (2x + 1)(4x$^{2}$ – 2x + 1).

Đáp án đúng là: D

$$\left( {\frac{x}{2} + 6} \right)\left( {\frac{{{x^2}}}{4} - 3x + 36} \right) = \left( {\frac{x}{2} + 6} \right)\left( {\frac{{{x^2}}}{{{2^2}}} - \frac{x}{2}.3 + {6^2}} \right)$$

$= {\left( {\frac{x}{2}} \right)^3} + {6^3}$$= \frac{{{x^3}}}{8} + 216$.

Đáp án đúng là: B

A = x$^{3}$ – 16 + (16 + 4x + x$^{2}$)(4 – x)

= x$^{3}$ – 16 + (4$^{2}$ + 4x + x$^{2}$)(4 – x)

= x$^{3}$ – 16 + (4$^{3}$ – x$^{3}$)

= x$^{3}$ – 16 + 64 – x$^{3}$= 48.

Vậy A là một số chẵn.

Đáp án đúng là: A

$\frac{{{a^3}}}{{64}} + \frac{1}{{{b^3}}} = {\left( {\frac{a}{4}} \right)^3} + \frac{1}{{{b^3}}}$$= \left( {\frac{a}{4} + \frac{1}{b}} \right)\left( {\frac{{{a^2}}}{{{4^2}}} - \frac{a}{4}.\frac{1}{b} + \frac{1}{{{b^2}}}} \right)$

$= \left( {\frac{a}{4} + \frac{1}{b}} \right)\left( {\frac{{{a^2}}}{{16}} - \frac{a}{{4b}} + \frac{1}{{{b^2}}}} \right)$.

Đáp án đúng là: D

M = 2(x$^{3}$ + y$^{3}$) = 2(x + y)(x$^{2}$ – xy + y$^{2}$)

= 2(x + y)(x$^{2}$ + 2xy + y$^{2}$ – 3xy)

= 2(x + y)[(x + y)$^{2}$ – 3xy].

Thay x + y = 3 và xy = 2 vào biểu thức M, ta có:

M = 2 . 3 . (3$^{2}$ – 3 . 2) = 6 . (9 – 6) = 6 . 3 = 18.

Đáp án đúng là: A

H = (a + b)[(a – b)$^{2}$ + ab]

= (a + b)[a$^{2}$ – 2ab + b$^{2}$ + ab]

= (a + b)[a$^{2}$ – ab + b$^{2}$] = a$^{3}$ + b$^{3}$.

Đáp án đúng là: B

Áp dụng hằng đẳng thức tổng hai lập phương, ta có:

A = x$^{3}$ – 3xy + y$^{3}$= (x$^{3}$ + y$^{3}$) – 3xy

= (x + y)(x$^{2}$ – xy + y$^{2}$) – 3xy

= (x + y)(x$^{2}$ + 2xy + y$^{2}$ – 3xy) – 3xy

= (x + y)[(x + y)$^{2}$ – 3xy)] – 3xy.

Thay x + y = – 1vào biểu thức A, ta được:

A = – 1.[( – 1)$^{2}$ – 3xy] – 3xy = – 1 + 3xy – 3xy = – 1.

Đáp án đúng là: B

N = (2a + 3)(4a$^{2}$ – 6a + 9) + 4(3 – 2a$^{3}$)

= (2a + 3)[(2a)$^{2}$ – 2a.3 + 3$^{2}$] + 4(3 – 2a$^{3}$)

= (2a)$^{3}$ + 3$^{3}$ + 12 – 8a$^{3}$

= 8a$^{3}$ + 27 + 12 – 8a$^{3}$ = 39.

Vậy N là một số lẻ.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Tổng của hai lập phương: A$^{3}$ + B$^{3}$ = (A + B )(A$^{2}$ – AB + B$^{2}$).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng: D

8x$^{3}$ + y$^{3}$ = (2x)$^{3}$ + y$^{3}$ = (2x + y)(4x$^{2}$ – 2xy + y$^{2}$).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng: C

A = (x + 2)(x$^{2}$ - 2x + 4) = (x + 2)(x$^{2}$ - 2x + 2$^{2}$) = (x)$^{3}$ + 2$^{3}$ = x$^{3}$ + 8.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng: A

A = (–x + y)(x$^{2}$ + xy + y$^{2}$) = (–x + y)[(–x)$^{2}$ – (–x)y + y$^{2}$] = (–x)$^{3}$ + y$^{3}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng: D

A = (x + 2y)(x$^{2}$ – 2xy + 4y$^{2}$) – (x + 2y)$^{3}$

= x$^{3}$ + 8y$^{3}$ – (x$^{3}$ + 6x$^{2}$y + 12xy$^{2}$ + 8y$^{3}$)

= –6x$^{2}$y – 12xy$^{2}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án: a) Sai. b) Đúng. c) Sai. d) Đúng.

a) Sai. Ta có: P = 8x$^{3}$ + 1 – 8x(x$^{2}$ – 2x + 1)

= 8x$^{3}$ + 1 – 8x$^{3}$ + 16x$^{2}$ – 8x

= 16x$^{2}$ – 8x + 1.

b) Đúng. Ta có: Q = [(x + 2) – x]$^{3}$ = 2$^{3}$ = 8.

Vậy giá trị của biểu thức Q không phụ thuộc vào giá trị của biến.

c) Sai. Ta có: B = P – Q = 16x$^{2}$ – 8x + 1 – 8 = 16x$^{2}$ – 8x – 7.

d) Đúng. Xét B = 16x$^{2}$ – 8x – 7 = (4x)$^{2}$ – 2.4x + 1 – 8 = (4x – 1)$^{2}$ – 8.

Vì (4x – 1)$^{2}$ ≥ 0 với mọi x nên B ≥ – 8.

Dấu bằng xảy ra khi$x=\frac{1}{4}$.

Vậy giá trị nhỏ nhất của B bằng – 8.

Hướng dẫn giải

Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Đúng.

a) Đúng. Vì P = x$^{3}$ + 3$^{3}$ = x$^{3}$ + 27.

b) Sai. Ta có: Q = [(x – 1) + 1]$^{3}$ = x$^{3}$.

c) Đúng. Ta có: C = P – Q = x$^{3}$ + 27 – x$^{3}$ = 27. Vậy giá trị của biểu thức C không phụ thuộc vào giá trị của biến.

d) Đúng. Vì C = 27 nên giá trị của biểu thức C luôn chia hết cho 9.

Hướng dẫn giải

Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Sai.

a) Đúng. Ta có: M = (3x)$^{3}$ + (2y)$^{3}$ = 27x$^{3}$ + 8y$^{3}$.

b) Sai. Ta có: N – y$^{3}$ = (3x + y)$^{3}$ – 3y(3x + y)$^{2}$ + 3y$^{2}$(3x + y) – y$^{3}$

= [(3x + y) – y]$^{3}$ = 27x$^{3}$.

Suy ra N = 27x$^{3}$ + y$^{3}$.

c) Đúng. Ta có: D = M – N = 27x$^{3}$ + 8y$^{3}$ – (27x$^{3}$ + y$^{3}$) = 7y$^{3}$.

d) Sai. Thay $y=-\frac{1}{2}$ vào biểu thức D ta được: $7\cdot {(-\frac{1}{2})}^{3}=\frac{-7}{8}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Đúng.

a) Đúng. Thể tích khối lớn là a$^{3}$, thể tích khối nhỏ là b$^{3}$. Tổng thể tích là V = a$^{3}$ + b$^{3}$.

b) Sai. Vì V = (a + b)(a$^{2}$ – ab + b$^{2}$).

c) Đúng. Ta có: V = a$^{3}$ + b$^{3}$ = (a + b)$^{3}$ – 3ab(a + b).

Thay số vào ta được: V = 8$^{3}$ – 3.12.8 = 512 – 288 = 224 (cm$^{3}$).

d) Đúng.Từ công thức V = (a + b)(a$^{2}$ – ab + b$^{2}$) nên a$^{2}$ – ab + b$^{2}$= 280 : 10 = 28 (cm$^{2}$).

Hướng dẫn giải

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Đúng. d) Sai.

a) Đúng. Tổng thể tích của hai ngăn bể lập phương là V = x$^{3}$ + y$^{3}$.

b) Đúng. Ta có V = x$^{3}$ + y$^{3}$ = (x + y)(x$^{2}$ – xy + y$^{2}$).

c) Đúng. Ta có (x + y)$^{2}$ = x$^{2}$ + y$^{2}$ + 2xy

Thay số ta được (x + y)$^{2}$ = 13 + 2.6 = 25 suy ra x + y = 5 (vì x, y > 0).

Khi đó, V = (x + y)(x$^{2}$ – xy + y$^{2}$) = 5.(13 – 6) = 5.7 = 35 m$^{3}$.

d) Sai. Ta có V = (x + y)(x$^{2}$ – xy + y$^{2}$)

Hay 28 = 4.(x$^{2}$ – xy + y$^{2}$)

x$^{2}$ – xy + y$^{2}$ = 7.

Mặt khác, (x + y)$^{2}$ = 16 nên x$^{2}$ + 2xy + y$^{2}$= 16.

Lấy (x$^{2}$ + 2xy + y$^{2}$) – (x$^{2}$ – xy + y$^{2}$) = 16 – 7 hay

3xy = 9

xy = 3.

Từ đó tính được: (x – y)$^{2}$ = x$^{2}$ – 2xy + y$^{2}$ = (x$^{2}$ – xy + y$^{2}$) – xy = 7 – 3 = 4.

Vì x > y nên x – y = 2 m.

Hướng dẫn giải

Đáp án: 3

3x[(3x – 1)$^{2}$ – 3x + 2] = [(3x – 1) + 1][(3x – 1)$^{2}$ – (3x – 1) + 1] = (3x – 1)$^{3}$ + 1.

Hướng dẫn giải

Đáp án: 1

(x + 1)(x$^{2}$ – x + 1) = 0

x$^{3}$ + 1 = 0

x$^{3}$ = –1

x = –1.

Vậy có 1 giá trị của x thỏa mãn đề bài.

Hướng dẫn giải

Đáp án: 3

(3 – x)(x + 3) + x(x + 3)(x$^{2}$ – 3x + 9) – 9(1 + 3x) = 0

9 – x$^{2}$ + x(x$^{3}$ + 27) – 9 – 27x = 0

x$^{4}$ – x$^{2}$ = 0

x$^{2}$(x$^{2}$ – 1) = 0

TH1: x$^{2}$ = 0 nên x = 0.

TH2: x$^{2}$ – 1 = 0 nên x = ±1

Vậy x = 0, x =1, x = –1. Có 3 giá trị của x thỏa mãn đề bài.

Hướng dẫn giải

Đáp án: 3,5

Ta có (a + b)$^{2}$ = a$^{2}$ + 2ab + b$^{2}$

Hay 2$^{2}$ = a$^{2}$ + 2.0,75 + b$^{2}$

Suy ra a$^{2}$ + b$^{2}$ = 2,5.

Do đó a$^{3}$ + b$^{3}$ = (a + b)(a$^{2}$ – ab + b$^{2}$) = 2.(2,5 – 0,75) = 3,5.

Hướng dẫn giải

Đáp án: 18

Ta có (a + b)$^{3}$ = a$^{3}$ + b$^{3}$ + 3a$^{2}$b + 3ab$^{2}$ = a$^{3}$ + b$^{3}$ + 3ab(a + b)

Hay 343 = 721 + 3.ab.7

Suy ra A = |ab| = 18.