Bài tập Mô tả và vận dụng hằng đẳng thức lập phương của một tổng để tính nhanh, khai triển, rút gọn biểu thức lớp 8 (có lời giải)

Đáp án đúng là: D

Ta có (x + y)$^{3}$ – (x – y)$^{3}$

= (x$^{3}$ + 3x$^{2}$y + 3xy$^{2}$ + y$^{3}$) – (x$^{3}$ – 3x$^{2}$y + 3xy$^{2}$ – y$^{3}$)

= x$^{3}$ + 3x$^{2}$y + 3xy$^{2}$ + y$^{3}$ – x$^{3}$ + 3x$^{2}$y – 3xy$^{2}$ + y$^{3}$

= 6x$^{2}$y + 2y$^{3}$ = 2y(3x$^{2}$ + y$^{2}$).

Do đó ta chọn đáp án D.

Đáp án đúng là: B

Ta có x$^{3}$ + 9x$^{2}$ + 27x + 27 = x$^{3}$ + 3 . x$^{2}$ . 3 + 3 . x . 3$^{2}$ + 3$^{3}$ = (x + 3)$^{3}$.

Do đó ta chọn đáp án B.

Đáp án đúng là: D

Ta có: (x + 4)$^{3}$ = x + 3 . x$^{2}$ . 4 + 3 . x . 4$^{2}$ + 4$^{3}$

= x$^{3}$ + 12x$^{2}$ + 48x + 64.

Do đó ta chọn đáp án D.

Đáp án đúng là: B

Ta có x$^{3}$ + 9x$^{2}$ + 27x + 27 = x$^{3}$ + 3 . x$^{2}$ . 3 + 3 . x . 3$^{2}$ + 3$^{3}$ = (x + 3)$^{3}$.

Thay x = 2 vào biểu thức (x + 3)$^{3}$ ta được (2 + 3) = 5 = 125.

Do đó ta chọn đáp án B.

Đáp án đúng là: C

Ta có y$^{3}$ + 15y$^{2}$ + 75y + 125 = y$^{3}$ + 3 . y$^{2}$ . 5 + 3 . y . 5$^{2}$ + 5 = (y + 5)$^{3}$.

Do đó ta chọn đáp án C.

Đáp án đúng là: A

Ta có x$^{3}$ + 9x$^{2}$y + 27xy$^{2}$ + 27y$^{3}$

= x$^{3}$ + 3 . x$^{2}$ . 3y + 3 . x . (3y)$^{2}$ + (3y)$^{3}$

= (x + 3y)$^{3}$.

Thay x = 1; y = 2 vào biểu thức (x + 3y)$^{3}$, ta được:

x$^{3}$ + 9x$^{2}$y + 27xy$^{2}$ + 27y$^{3}$ = (1 + 3 . 2)$^{3}$ = 7$^{3}$ = 343.

Do đó ta chọn đáp án A.

Đáp án đúng là: D

Ta có (2x + 3y)$^{3}$ = 2$^{3}$x$^{3}$ + 3 . (2x)$^{2}$ . 3y + 3 . 2x . (3y)$^{2}$ + (3y)$^{3}$

= 8x$^{3}$ + 36x$^{2}$y + 54xy$^{2}$ + 27y$^{3}$.

Do đó ta chọn đáp án D.

Đáp án đúng là: B

Ta có 125x$^{3}$ + 70x$^{2}$ + 5x$^{2}$ + 15x + 1

= 125x$^{3}$ + 75x$^{2}$ + 15x + 1

= (5x)$^{3}$ + 3 . (5x)$^{2}$ . 1 + 3 . 5x . 1$^{2}$ + 1$^{3}$

= (5x + 1)$^{3}$.

Do đó ta chọn đáp án B.

Đáp án đúng là: A

Ta có (2 + x)$^{3}$ = 2$^{3}$ + 3 . 2$^{2}$ . x + 3 . 2x$^{2}$ + x$^{3}$

= 8 + 12x + 6x$^{2}$ + x$^{3}$.

Do đó ta chọn đáp án A.

Đáp án đúng là: C

Ta có y$^{3}$ + 15y$^{2}$ + 75y + 100 + 25

= y$^{3}$ + 15y$^{2}$ + 75y + 125

= y$^{3}$ + 3 . y$^{2}$ . 5 + 3 . y . 5$^{2}$ + 5$^{3}$ = (y + 5)$^{3}$.

Do đó ta chọn đáp án C.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng: D

Theo định nghĩa và quy tắc: (A + B)$^{3}$ = A$^{3}$ + 3A$^{2}$B + 3AB$^{2}$ + B$^{3}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng: C

Ta có (x + 3)$^{3}$ = x$^{3}$ + 3x$^{2}$. 3 + 3x . 3$^{2}$ + 3$^{3}$ = x$^{3}$ + 9x$^{2}$ + 27x + 27.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng: B

Ta có x$^{3}$ + 6x$^{2}$ + 12x + 8 = x$^{3}$ + 3x$^{2}$ . 2 + 3x . 2$^{2}$ + 2$^{3}$= (x + 2)$^{3}$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng: D

Ta có M = (1 + 2y)$^{3}$ + 6(1 + 2y)$^{2}$ + 12(1 + 2y) + (1 + 2y)$^{3}$

= (1 + 2y)$^{3}$ + 3(1 + 2y)$^{2}$ . 2 + 3(1 + 2y) . 2$^{2}$ + (1 + 2y)$^{3}$

= (1 + 2y + 2)$^{3}$ = (3 + 2y)$^{3}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng: A

A = (y + 1)$^{3}$ + (–1 + y)$^{3}$ – 2y(y – 1)(1 + y) – (y – 1)$^{2}$

= y$^{3}$ + 3y$^{2}$ + 3y + 1 + (–1) + 3y – 3y$^{2}$ + y$^{3}$ – 2y(y$^{2}$ – 1) – (y$^{2}$ – 2y + 1)

= 2y$^{3}$ + 6y – 2y$^{3}$ + 2y – y$^{2}$ + 2y – 1

= – y$^{2}$ + 10y – 1.

Hướng dẫn giải

Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Sai. d) Đúng.

a) Đúng. Biểu thức A có dạng lập phương của một tổng.

b) Sai. Ta có A = (2x)$^{3}$ + 3.(2x)$^{2}$.1 + 3.2x.1$^{2}$ + 1$^{3}$ = 8x$^{3}$ + 12x$^{2}$ + 6x + 1.

c) Sai. Hệ số của hạng tử chứa x$^{2}$ là 12.

d) Đúng. Thay x = 0,5 vào biểu thức A ta được (2 . 0,5 + 1)$^{3}$ = 2$^{3}$ = 8.

Hướng dẫn giải

Đáp án: a) Sai. b) Sai. c) Đúng. d) Sai.

a) Sai. Biểu thức viết gọn dưới dạng lập phương của một tổng với hạng tử thứ nhất là x, hạng tử thứ hai là 3.

b) Sai. Vì M = x$^{3}$ + 3.x$^{2}$.3 + 3x.3$^{2}$ + 3$^{3}$ = (x + 3)$^{3}$ ≠ –(–x + 3)$^{3}$.

c) Đúng. Thay x = 97 vào biểu thức thu gọn của M ta được:

(97 + 3)$^{3}$ = 100$^{3}$ = 1 000 000.

d) Sai. Tại x = –3 thì M = (–3 + 3)$^{3}$ = 0 (không phải là số dương).

Hướng dẫn giải

Đáp án: a) Sai. b) Đúng. c) Sai. d) Đúng.

a) Sai. Ta có P = (x + 3)$^{3}$ = x$^{3}$ + 3x$^{2}$.3 + 3x.3$^{2}$ + 3$^{3}$ = x$^{3}$ + 9x$^{2}$ + 27x + 27.

b) Đúng. Ta có Q = x(x + 5)$^{2}$ = x$^{3}$ + 10x$^{2}$ + 25x.

A = P – Q = (x$^{3}$ + 9x$^{2}$ + 27x + 27) – (x$^{3}$ + 10x$^{2}$ + 25x) = –x$^{2}$ + 2x + 27.

c) Sai. Xét đa thức A = –x$^{2}$ + 2x + 27

= –(x$^{2}$ – 2x – 27)

= –(x$^{2}$ – 2x + 1 – 28)

= –(x – 1)$^{2}$ + 28.

d) Đúng. Ta có A = –(x – 1)$^{2}$ + 28

Vì (x – 1)$^{2}$ ≥ 0 với mọi x nên –(x – 1)$^{2}$ ≤ 0 với mọi x, suy ra A = –(x – 1)$^{2}$ + 28 ≤ 28.

Dấu "=" xảy ra khi x – 1 = 0 hay x = 1.

Vậy giá trị lớn nhất của A là 28 tại x = 1.

Hướng dẫn giải

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Sai.

a) Đúng. Ta có P = (x + 2)$^{3}$ = x$^{3}$ + 6x$^{2}$ + 12x + 8.

b) Đúng. Ta có Q = –x(x$^{2}$ + 6x + 9) + x$^{2}$ – 4 = –x$^{3}$ – 5x$^{2}$ – 9x – 4.

c) Sai. Ta có A = P + Q = x$^{2}$ + 3x + 4

$={x}^{2}+2x\cdot \frac{3}{2}+\frac{9}{4}-\frac{9}{4}+4$

$={(x+\frac{3}{2})}^{2}+\frac{7}{4}$

d) Sai. Vì ${(x+\frac{3}{2})}^{2}\ge 0$ với mọi x nên $A\ge \frac{7}{4}$ với mọi x.

Dấu bằng xảy ra khi $x=\frac{-3}{2}$.

Vậy giá trị nhỏ nhất của A là $\frac{7}{4}$ khi $x=\frac{-3}{2}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Sai.

a) Đúng. Ta có: P = 8x$^{3}$ + 12x$^{2}$ + 6x + 1.

b) Đúng. Ta có: Q = 8x(x + 2)(2 – x) – 6(x$^{2}$ – 2x + 1) – 14x

= 8x(4 – x$^{2}$) – 6x$^{2}$ + 12x – 6 – 14x

= –8x$^{3}$ – 6x$^{2}$ + 30x – 6.

Do đó A = P + Q = 6x$^{2}$ + 36x – 5.

c) Sai. Xét A = 6x$^{2}$ + 36x – 5 = 6(x$^{2}$ + 6x) – 5

= 6(x$^{2}$ + 2x.3 + 9 – 9) – 5

= 6(x + 3)$^{2}$ – 54 – 5 = 6(x + 3)$^{2}$– 59.

d) Sai. Vì (x + 3)$^{2}$≥ 0 với mọi x nên A ≥ – 59. Dấu bằng xảy ra khi x = –3.

Vậy giá trị nhỏ nhất của A bằng –59 khi x = –3.

Hướng dẫn giải

Đáp án: 9

(–x + 3)$^{3}$ = – x$^{3}$ + 3.(–x)$^{2}$.3 + 3.(–x).3$^{2}$ + 3$^{3}$ = – x$^{3}$ + 9x$^{2}$ – 27x + 27.

Vậy số cần tìm là 9.

Hướng dẫn giải

Đáp án: 2

8 – 12x + 6x$^{2}$ – x$^{3}$ = 2$^{3}$ + 3.2$^{2}$.(–x) + 3.2.(–x)$^{2}$ + (–x)$^{3}$ = (– x + 2)$^{3}$.

Vậy số cần tìm là 2.

Đáp án: 65

Ta có (a + b)$^{3}$ = a$^{3}$ + 3a$^{2}$b + 3ab$^{2}$ + b$^{3}$ = a$^{3}$ + 3ab(a + b) + b$^{3}$

125 = a$^{3}$ + b$^{3}$ + 3.4.5

a$^{3}$ + b$^{3}$ = 65

Hướng dẫn giải

Đáp án: 19

Ta có (a + b)$^{3}$ = a$^{3}$ + 3a$^{2}$b + 3ab$^{2}$ + b$^{3}$ = a$^{3}$ + 3ab(a + b) + b$^{3}$ hay

1 = a$^{3}$ + b$^{3}$ + 3.(–6).1

a$^{3}$ + b$^{3}$ = 19.

Hướng dẫn giải

Đáp án: 1

Ta có a = 5n + 1 (với n là số tự nhiên).

a$^{3}$ = 125n$^{3}$ + 75n$^{2}$ + 15n + 1

Vì 125n$^{3}$ + 75n$^{2}$ + 15n chia hết cho 5, 1 chia 5 dư 1 nên a$^{3}$ chia 5 dư 1.