Bài tập Mô tả và vận dụng hằng đẳng thức lập phương của một hiệu để tính nhanh, khai triển, rút gọn biểu thức lớp 8 (có lời giải)

Đáp án đúng là: A

Ta có 4n$^{3}$ – 36n$^{2}$ + 54n – 27 + 4n$^{3}$

= 8n$^{3}$ – 36n$^{2}$ + 54n – 27

= (2n)$^{3}$ – 3 . (2n)$^{2}$ . 3 + 3 . 2n . 3$^{2}$ – 3$^{3}$

= (2n – 3)$^{3}$

Do đó ta chọn đáp án A.

Đáp án đúng là: B

Ta có (1 – 4m)$^{3}$

= 1$^{3}$ – 3 . 1$^{2}$ . 4m + 3 . 1 . (4m)$^{2}$ – (4m)$^{3}$

= 1 – 12m + 48m$^{2}$ – 64m$^{3}$.

Do đó ta chọn đáp án B.

Đáp án đúng là: D

Ta có: Y = 8n$^{3}$ – 36n$^{2}$ + 54n – 27

= (2n)$^{3}$ – 3 . (2n)$^{2}$ . 3 + 3 . 2n . 3$^{2}$– 33

= (2n – 3)$^{3}$.

Thay n = 1 vào biểu thức Y ta được:

Y = (2 . 1 – 3)$^{3}$ = (– 1)$^{3}$ = –1

Vậy Y = – 1 khi n = 1.

Do đó ta chọn đáp án D.

Đáp án đúng là: B

Ta có: m$^{3}$ – 21m$^{2}$ + 147m – 243

= m$^{3}$ – 3 . m$^{2}$ . 7 + 3 . m . 7$^{2}$ – 7$^{3}$

= (m – 7)$^{3}$.

Do đó ta chọn đáp án B.

Đáp án đúng là: C

(4m – 2m – 5)$^{3}$= (2m – 5)$^{3}$

= (2m)$^{3}$ – 3 . (2m)$^{2}$ . 5 + 3 . 2m . 5$^{2}$ – 5$^{3}$

= 8m$^{3}$ – 60m$^{2}$ + 150m – 125.

Do đó ta chọn đáp án C.

Đáp án đúng là: A

Ta có: T = n$^{3}$ – 9n$^{2}$a + 27na$^{2}$– 27a$^{3}$

= n$^{3}$ – 3 . n$^{2}$ . 3a + 3 . n . (3a)$^{2}$ – (3a)$^{3}$

= (n – 3a)$^{3}$.

Thay n = 3a vào biểu thức T, ta được:

T = ( 3a – 3a)$^{2}$ = 0

Vậy T = 0 khi n = 3a.

Đáp án đúng là: B

(3n – 2a)$^{3}$ = (3n)$^{3}$ – 3 . (3n)$^{2}$ . 2a + 3 . 3n . (2a)$^{2}$ – (2a)$^{3}$

= 27n$^{3}$ – 54n$^{2}$a + 36na$^{2}$ – 8a$^{3}$.

Do đó ta chọn đáp án B.

Đáp án đúng là: D

(m + 2)$^{3}$ – 3a(m + 2)$^{2}$ + 3a$^{2}$(m + 2) – a$^{3}$

= (m + 2)$^{3}$ – 3.(m + 2)$^{2}$.a + 3.(m + 2).a$^{2}$ – a$^{3}$

= (m + 2 – a)$^{3}$.

Do đó ta chọn đáp án D.

Đáp án đúng là: B

Ta có X = m$^{3}$ – 6m$^{2}$ + 12m – 8

= m$^{3}$ – 3 . m$^{2}$ . 2 + 3 . m . 2$^{2}$ – 2$^{3}$

= (m – 2)$^{3}$.

Thay m = 3 vào biểu thức X, ta được:

X = (3 – 2)$^{3}$ = 1$^{3}$ = 1.

Do đó ta chọn đáp án B.

Đáp án đúng là: D

Ta có 27 – 27m + 18m$^{2}$ – 9m$^{2}$– n$^{3}$

= 27 – 27m + 9m$^{2}$ – n$^{3}$

= 3$^{3}$– 3 . 3$^{2}$ . n + 3 . 3 . n$^{2}$ – n$^{3}$

= (3 – n)$^{3}$

Do đó ta chọn đáp án D.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng: D

Theo định nghĩa và quy tắc: (A – B)$^{3}$ = A$^{3}$ – 3A$^{2}$B + 3AB$^{2}$ – B$^{3}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng: D

Ta có (3x – 1)$^{3}$ = (3x)$^{3}$ – 3.(3x)$^{2}$.1 + 3.3x.1$^{2}$ – 1$^{3}$ = 27x$^{3}$ – 27x$^{2}$ + 9x – 1.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng: C

Ta có x$^{3}$ – 6x$^{2}$ + 12x – 8 = x$^{3}$ – 3x$^{2}$ . 2 + 3x . 2$^{2}$ – 2$^{3}$= (x – 2)$^{3}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng: A

Ta có M = (1 – y)$^{3}$ – 6(1 – y)$^{2}$ – 12(y – 1) + (y – 1)$^{3}$

= (1 – y)$^{3}$ – 3.(1 – y)$^{2}$. 2 + 3.(1 – y).2$^{2}$ – (1 – y)$^{3}$

= (1 – y – 2)$^{3}$ = (–1 – y)$^{3}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng: B

Ta viết B = 99$^{3}$ = (100 – 1)$^{3}$ = 100$^{3}$ – 3.100$^{2}$.1 + 3.100. 1$^{2}$ – 1$^{3}$

= 1 000 000 – 30 000 + 300 – 1

= 970 299.

Hướng dẫn giải

Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Sai. d) Đúng.

a) Đúng. Biểu thức A có dạng lập phương của một hiệu.

b) Sai. Ta có A = (2x)$^{3}$ – 3.(2x)$^{2}$.1 + 3.2x.1$^{2}$ – 1$^{3}$ = 8x$^{3}$ – 12x$^{2}$ + 6x – 1.

c) Sai. Hệ số của hạng tử chứa x$^{2}$ là –12.

d) Đúng. Thay x = 0,5 vào biểu thức A ta được (2 . 0,5 – 1)$^{3}$ = 0.

Hướng dẫn giải

Đáp án: a) Sai. b) Đúng. c) Đúng. d) Sai.

a) Sai. Vì M = 3$^{3}$ – 3.3$^{2}$.x + 3.3.x$^{2}$ – x$^{3}$ nên biểu thức viết gọn dưới dạng lập phương của một hiệu với hạng tử thứ nhất là 3, hạng tử thứ hai là x.

b) Đúng. Vì M = 3$^{3}$ – 3.3$^{2}$.x + 3.3.x$^{2}$ – x$^{3}$ = (3 – x)$^{3}$ = –(x – 3)$^{3}$.

c) Đúng. Thay x = 103 vào biểu thức thu gọn của M, ta được

(3 – 103)$^{3}$ = –100$^{3}$ = –1 000 000.

d) Sai. Với x < 3 thì 3 – x > 0 nên M = (3 – x)$^{3}$ > 0.

Vậy M có giá trị dương với x < 3.

Hướng dẫn giải

Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Đúng.

a) Đúng. Vì B có thể viết dưới dạng lập phương của một hiệu với hạng tử thứ nhất là 1, hạng tử thứ hai là x.

b) Sai. Ta có B = (1 – x)$^{3}$ = –(x – 1)$^{3}$ ≠ (x – 1)$^{3}$.

c) Đúng. Thay x = 11 vào biểu thức thu gọn ta được B = (1 – 11)$^{3}$ = (–10)$^{3}$ = –1000.

d) Đúng. Khi x > 1 thì 1 – x < 0 nên B = (1 – x)$^{3}$ < 0.

Hướng dẫn giải

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Sai.

a) Đúng. Ta có P = (x – 2)$^{3}$ = x$^{3}$ – 6x$^{2}$ + 12x – 8.

b) Đúng. Ta có Q = x(x$^{2}$ – 6x + 9) – 2(x$^{2}$ – 4) – x = x$^{3}$ – 8x$^{2}$ + 8x + 8.

c) Sai. Ta có A = P – Q = 2x$^{2}$ + 4x – 16

= 2(x$^{2}$ + 2x – 8)

= 2[(x + 1)$^{2}$ – 9]

= 2(x + 1)$^{2}$ – 18.

d) Sai. Vì (x + 1)$^{2}$ ≥ 0 với mọi x nên A ≥ –18 với mọi x.

Dấu bằng xảy ra khi x = –1.

Vậy giá trị nhỏ nhất của A là –18 khi x = –1.

Hướng dẫn giải

Đáp án: a) Sai. b) Đúng. c) Sai. d) Sai.

a) Sai. Ta có: P = x$^{3}$ – 6x$^{2}$ + 12x – 1.

b) Đúng. Ta có: Q = x(x + 1)(1 – x) – (x$^{2}$ – 2x + 1) – (x – 1)

= x(1 – x$^{2}$) – x$^{2}$ + 2x – 1 – x + 1

= –x$^{3}$ – x$^{2}$ + 2x.

A = P + Q = –7x$^{2}$ + 14x – 1.

c) Sai. Xét A = –7x$^{2}$ + 14x – 1

= –7(x$^{2}$ – 2x) – 1

= –7(x$^{2}$ – 2x.1 + 1 – 1) – 1

= –7(x – 1)$^{2}$ + 7 – 1

= –7(x – 1)$^{2}$ + 6.

d) Sai. Vì (x – 1)$^{2}$≥ 0 với mọi x nên –7(x – 1)$^{2}$ ≤ 0.

Suy ra A ≤ 6. Dấu “=” xảy ra khi x = 1.

Vậy giá trị lớn nhất của A bằng 6 khi x = 1.

Hướng dẫn giải

Đáp án: 12

(4 – x)$^{3}$ = 4$^{3}$ – 3.4$^{2}$.x + 3.4.x$^{2}$ – x$^{3}$ = 64 – 48x + 12x$^{2}$ – x$^{3}$.

Vậy số cần tìm là 12.

Hướng dẫn giải

Đáp án: 15

A = (2x – 1)$^{3}$ + 8x(2 - x)(x + 2) + 10(x – 2)

= 8x$^{3}$ – 12x$^{2}$ + 6x – 1 – 8x(x$^{2}$ – 4) + 10x – 20

= – 12x$^{2}$ + 48x – 21

Vậy a =-12, b = 48, c = -21 nên T = a + b + c = 15.

Đáp án: 45

P = (2x – 3)$^{3}$ – 8x(x – 3)$^{2}$ – 12x$^{2}$

= 8x$^{3}$ – 36x$^{2}$ + 54x – 27 – 8x(x$^{2}$ – 6x + 9) – 12x$^{2}$

= 8x$^{3}$ – 36x$^{2}$ + 54x – 27 – 8x$^{3}$ + 48x$^{2}$ – 72x – 12x$^{2}$

= –18x – 27.

Suy ra a = –18, b = –27. Do đó T = – [–18 + (–27)] = 45.

Hướng dẫn giải

Đáp án: 15

P = (x – 2)$^{3}$ – (x + 1)(x$^{2}$ – x + 1) + 6x(x – 1)

= x$^{3}$ – 6x$^{2}$ + 12x – 8 – [x(x$^{2}$ – x + 1) + 1.(x$^{2}$ – x + 1)] + 6x$^{2}$ – 6x

= x$^{3}$ – 6x$^{2}$ + 12x – 8 – [x$^{3}$ – x$^{2}$ + x + x$^{2}$ – x + 1] + 6x$^{2}$ – 6x

= x$^{3}$ + 6x – 8 – x$^{3}$ – 1 = 6x – 9.

Suy ra a = 6, b = –9. Do đó T = a – b = 6 – (–9) = 15.

Hướng dẫn giải

Đáp án: 23

P = (3x – 1)$^{3}$ – 27x$^{2}$(x – 1) – 2(2x – 1)(2x + 1) + 7(x + 2)

= 27x$^{3}$ – 27x$^{2}$ + 9x – 1 – 27x$^{2}$(x – 1) – 2(4x$^{2}$ – 1) + 7(x + 2)

= 27x$^{3}$ – 27x$^{2}$ + 9x – 1 – 27x$^{3}$ + 27x$^{2}$ – 8x$^{2}$ + 2 + 7x + 14

= –8x$^{2}$ + 16x + 15 = –8(x$^{2}$– 2x) + 15

= –8[(x – 1)$^{2}$ – 1] + 15 = –8(x – 1)$^{2}$ + 23

Vì (x – 1)$^{2}$ ≥ 0 với mọi x nên –8(x – 1)$^{2}$ + 23 ≤ 23.

Dấu “=” xảy ra khi x = 1.

Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức P là 23 khi x = 1.