Bài tập Mô tả và vận dụng hai hằng đẳng thức bình phương của một tổng, bình phương của một hiệu để tính nhanh, rút gọn biểu thức có đáp án lớp 8 (có lời giải)

Đáp án đúng là: A

Ta có 9x$^{2}$ + 24x + 16 = (3x)$^{2}$ + 2 . 3x . 4 + 4$^{2}$ = (3x + 4)$^{2}$.

Do đó ta chọn đáp án A.

Đáp án đúng là: C

Ta có (a + 2b)$^{2}$ + (2a + b)$^{2}$

= [a$^{2}$ + 2 . a . 2b + (2b)$^{2}$] + [(2a)$^{2}$ + 2 . 2a . b + b$^{2}$]

= a$^{2}$ + 4ab + 4b$^{2}$ + 4a$^{2}$ + 4ab + b$^{2}$

= 5a$^{2}$ + 8ab + 5b$^{2}$.

Do đó ta chọn đáp án C.

Đáp án đúng là: B

Ta có x$^{2}$ – 8x + 16 = x$^{2}$ – 2 . x . 4 + 4$^{2}$ = (x – 4)$^{2}$.

Do đó ta chọn đáp án B.

Đáp án đúng là: D

Ta có (3x – 2y)$^{2}$ = (3x)$^{2}$ – 2 . 3x . 2y + (2y)$^{2}$ = 9x$^{2}$ – 12xy + 4y$^{2}$.

Do đó ta chọn đáp án D.

Đáp án đúng là: C

Ta có (x – xy)$^{2}$ = x$^{2}$ – 2 . x . xy + (xy)$^{2}$ = x$^{2}$ – 2x$^{2}$y + x$^{2}$y$^{2}$.

Đáp án đúng là: B

Ta có A = 16x$^{2}$ + 24x + 9 = (4x)$^{2}$ + 2 . 4x . 3 + 3$^{2}$ = (4x + 3)$^{2}$.

Thay x = 1 vào biểu thức A ta được:

A = (4 . 1 + 3)$^{2}$ = 7$^{2}$ = 49.

Vậy tại x = 1 biểu thức A có giá trị bằng 49.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

Ta có B = 16x$^{2}$ – 24x + 9 = (4x)$^{2}$ – 2 . 4x . 3 + 3$^{2}$ = (4x – 3)$^{2}$.

Thay x = 1 vào biểu thức A ta được:

B = (4 . 1 – 3)$^{2}$ = 1$^{2}$ = 1.

Vậy tại x = 1 biểu thức B có giá trị bằng 1.

Đáp án đúng là: A

Ta có (a – 2b)$^{2}$ + (2a – b)$^{2}$

= [a$^{2}$ – 2 . a . 2b + (2b)$^{2}$] + [(2a)$^{2}$ – 2 . 2a . b + b$^{2}$]

= a$^{2}$ – 4ab + 4b$^{2}$ + 4a$^{2}$ – 4ab + b$^{2}$

= 5a$^{2}$ – 8ab + 5b$^{2}$.

Do đó ta chọn đáp án A.

Đáp án đúng là: B

Ta có (m – 3)$^{2}$ = m$^{2}$ – 2 . 3 . m + 3$^{2}$ = m$^{2}$ – 6m + 9.

Do đó ta chọn đáp án B.

Đáp án đúng là: D

Ta có 61$^{2}$ = (60 + 1)$^{2}$ = 60$^{2}$ + 2 . 60 . 1 + 1$^{2}$

= 3 600 + 120 + 1 = 3 721.

Do đó ta chọn đáp án D.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Bình phương của một tổng: (A + B)$^{2}$ = A$^{2}$ + 2AB + B$^{2}$.

Hiệu của hai bình phương: A$^{2}$ – B$^{2}$ = (A – B)(A + B).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng: A

(2x + 3y)$^{2}$ = (2x)$^{2}$ + 2.(2x).(3y) + (3y)$^{2}$ = 4x$^{2}$ + 12xy + 9y$^{2}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng: B

A = x$^{2}$ – 8x + 16 = x$^{2}$ – 2.x.4 + 4$^{2}$ = (x – 4)$^{2}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng: A

Để tính nhanh, ta đưa số 49 về hiệu của số tròn trăm gần nhất là (50 – 1).

B = (50 – 1)$^{2}$ = 50$^{2}$ – 2.50.1 + 1$^{2}$ = 2500 – 100 + 1 = 2401.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng: D

A = (x – 2y)$^{2}$ + (x + 2y)$^{2}$ + 2(x – 2y)(x + 2y)

= (x – 2y)$^{2}$ + 2(x – 2y)(x + 2y) + (x + 2y)$^{2}$

= (x – 2y + x + 2y)$^{2}$ = 4x$^{2}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án: a) Sai. b) Đúng. c) Sai. d) Đúng.

a) Sai. Ta có: P = (2x + 3y)$^{2}$ – 2(2x – 3y)(2x + 3y) + (2x – 3y)$^{2}$

= (2x + 3y – 2x + 3y) = 36y$^{2}$.

Vậy giá trị của P không phụ thuộc vào giá trị của x, nhưng phụ thuộc vào giá trị của y.

b) Đúng. Ta có: Q = [(x + 2 – (x – 2)]$^{2}$ = 4$^{2}$ = 16.

Vậy giá trị của Q không phụ thuộc vào giá trị của x.

c) Sai. Ta có: P = 36y$^{2}$ ≥ 0 với mọi y. Dấu bằng xảy ra khi y = 0.

P vẫn nhận giá trị bằng 0.

Vì Q = 16 nên Q luôn nhận giá trị dương.

d) Đúng. Với $y=\frac{2}{3}$ ta có: $P=36{y}^{2}=36\cdot {(\frac{2}{3})}^{2}=16=Q.$

Vậy tại $y=\frac{2}{3}$ thì P = Q.

Hướng dẫn giải

Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Đúng.

a) Đúng. Ta có: A = (2x + 1)$^{2}$ + 2(2x + 1)(3 – 2x) + (2x – 3)$^{2}$

= [(2x + 1) + (3 – 2x)]$^{2}$ = 4$^{2}$ = 16.

b) Sai. Ta có: B = (x$^{2}$ + 10x + 25) – (x$^{2}$ – 10x + 25) = 20x là đơn thức bậc nhất.

c) Đúng. Tại $x=\frac{4}{5}$ thì $B=20\cdot \frac{4}{5}=16=A$.

d) Đúng. Tích AB = 16.20x = 320x. Với mọi x > 0 thì 320x > 0.

Hướng dẫn giải

Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Sai.

a) Đúng. Ta có: M = (2x – y)[(2x + y) – (2x – y)] = 2y(2x – y).

b) Sai. Ta có: N = (x – y)$^{2}$ + (x + y)$^{2}$ + 2(y – x)(y + x)

= (x – y)$^{2}$ – 2(x – y)(y + x) + (x + y)$^{2}$

= [(x – y) – (x + y)]$^{2}$

= (–2y)$^{2}$ = 4y$^{2}$.

c) Đúng. Vì với mọi y > 0 thì y$^{2}$ > 0 nên N > 0.

d) Sai. Tại x = 1, y = 2, ta có:

M = 2.2.(2.1 – 2) = 4.0 = 0.

N = 4.2$^{2}$ = 16.

Vì 0 < 16 nên M < N.

Hướng dẫn giải

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Đúng.

a) Đúng. Ta có: E = (x$^{4}$ – 2x$^{2}$ + 1) – (x$^{4}$ – 4) = –2x$^{2}$ + 5 là đa thức bậc hai.

b) Đúng. Ta có: F = (x – 1)$^{2}$ – 2(x – 1)(x + 2) + (x + 2)$^{2}$

= [(x – 1) – (x + 2)]$^{2}$ = (–3)$^{2}$ = 9.

c) Sai. Vì x$^{2}$ ≥ 0 với mọi giá trị của x nên –2x$^{2}$ ≤ 0

Suy ra E = –2x$^{2}$ + 5 ≤ 5. Do đó giá trị lớn nhất của E là 5 khi x = 0.

d) Đúng. Để E = F thì –2x$^{2}$ + 5 = 9

–2x$^{2}$ = 4

x$^{2}$ = –2 (vô lý vì x$^{2}$ ≥ 0 với mọi x ).

Do đó không tồn tại giá trị nào của x thỏa mãn.

Hướng dẫn giải

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Đúng. d) Sai.

a) Đúng. Có E = (x$^{4}$ + 4x$^{2}$ + 4) – (x$^{4}$ – 9) = 4x$^{2}$ + 13.

b) Đúng. Có F = [(2x + 1) – (2x – 3)]$^{2}$ = (2x + 1 – 2x + 3)$^{2}$ = 4$^{2}$ = 16.

c) Đúng. Vì x$^{2}$ ≥ 0 với mọi x nên E = 4x$^{2}$ + 13 ≥ 13.

Dấu "=" xảy ra khi x = 0. Vậy giá trị nhỏ nhất của E là 13.

d) Sai. Để E = F + 1 thì

4x$^{2}$ + 13 = 16 + 1

4x$^{2}$ = 4

x$^{2}$ = 1

x = ± 1

Vậy có 1 giá trị dương của x là x = 1 thỏa mãn.

Đáp án: 0,5

Phần đất còn lại có là hình vuông có cạnh là 10 – 2x (m).

Diện tích phần còn lại được tính bằng (10 – 2x)$^{2}$ = 81

Suy ra 10 – 2x = 9

2x = 1

x = 0,5 (m).

Đáp án: 94

P = (5x + 3)$^{2}$ + 2(25x$^{2}$ – 9) + (5x – 3)$^{2}$ – (4x + 2)(2x – 1)

= (5x + 3)$^{2}$+ 2(5x + 3)(5x – 3) + (5x – 3)$^{2}$– 2(2x + 1)(2x – 1)

= (5x + 3 + 5x – 3)$^{2}$ – 2(4x$^{2}$ – 1)

= 100x$^{2}$ – 8x$^{2}$ + 2

= 92x$^{2}$ + 2.

Vậy a = 92, b = 2 nên T = 94.

Đáp án: 0

Ta có (a – b)$^{2}$ = a$^{2}$ – 2ab + b$^{2}$ = 18 – 2.9 = 0 suy ra a = b.

Do đó A = 0.

Đáp án: 7

Ta có: (a – b)$^{2}$ = a$^{2}$ – 2ab + b$^{2}$ = 25 – 2.12 = 25 – 24 = 1.

Vì a > b nên a – b > 0, suy ra: a – b = 1.

Mặt khác, ta lại có: (a + b)$^{2}$ = (a$^{2}$ + b$^{2}$) + 2ab = (a + b)$^{2}$ = 25 + 2.12 = 25 + 24 = 49.

Vì a > 0, b > 0 nên a + b > 0 , suy ra: a + b = 7

Suy ra A = a$^{2}$ – b$^{2}$= (a – b)(a + b) = 1.7 = 7.

Đáp án: 4

Ta có a = 6n + 2 (với n là số tự nhiên).

a$^{2}$ = 36n$^{2}$ + 24n + 4

Vì 36n$^{2}$ + 24n chia hết cho 6; 4 chia 6 dư 4 nên a$^{2}$ chia 6 dư 4.