Bài tập Liên hệ giữa quan hệ song song và quan hệ vuông góc của đường thẳng và mặt phẳng lớp 11 (có lời giải)

Đáp án đúng là: C

Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thứ ba thì song song chỉ đúng khi ba đường thẳng đó đồng phẳng.

Đáp án đúng là: A

Vì nếu a ⊥ b và b ⊥ c thì có thể xảy ra a và c trùng nhau.

Đáp án đúng là: B

a // (P) ⇒ ∃a' ∈ (P) sao cho a' // a

b ⊥ (P) ⇒ b ⊥ a'

Khi đó, a ⊥ b.

Đáp án đúng là: B

Do tam giác ABC là tam giác đều và I là trung điểm của BC nên AI vuông góc với BC

Mặt khác, AI ⊥ CC' ⇒ AI ⊥ (BCC'B') ⇒ AI ⊥ BC'

Dễ thấy BCC'B' là hình vuông nên B'C ⊥ BC'.

Mặt khác MI là đường trung bình trong tam giác B'BC nên MI // B'C suy ra MI ⊥ BC'

Lại có: AI ⊥ BC' ⇒ BC' ⊥ (AIM) ⇒ BC' ⊥ AM.

Đáp án đúng là: D

Qua điểm O có thể dựng vô số đường thẳng vuông góc với Δ, các đường thẳng đó cùng nằm trong một mặt phẳng vuông góc với Δ.

Đáp án đúng là: B

Đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng nằm trong (α) thì d ⊥ (α) chỉ đúng khi hai đường thẳng đó cắt nhau.

Đáp án đúng là: C

Cho trước đường thẳng d và điểm O thì tập hợp các đường thẳng qua O và vuông góc với d là mặt phẳng (P) qua O và vuông góc với d. Khi đó, trong mp (P) mỗi đường thẳng qua O sẽ là một đường thẳng vuông góc với d.

Đáp án đúng là: A

Giả sử xét hình lập phương ABCD.A'B'C'D' như hình vẽ có:

A'B' // (ABCD)

B'C' ⊥ A'B'

Do đó, B'C' // (ABCD).

Đáp án đúng là: B

Vì hình chóp S.ABCD có các cạnh bên bằng nhau SA = SB = SC = SD và H là hình chiếu của S lên mặt đáy ABCD

⇒ SH ⊥ (ABCD)

⇒ H tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABCD

Suy ra HA = HB = HC = HD.

Đáp án đúng là: C

Do SA = SB = SC và SH vuông góc với mp(ABC) nên HA = HB = HC

Suy ra H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Mà tam giác ABC vuông tại B nên H là trung điểm của AC

(SH được gọi là trục đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC).

Đáp án đúng là: B

Để kết luận d ⊥ (α), điều kiện bắt buộc là d phải vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong (α)

⇒ Đáp án B chưa đủ vì hai đường thẳng đó có thể song song với nhau.

Đáp án đúng là: A

Nếu a ∥ (P) và b ⊥ a là không đủ để kết luận b ⊥ (P)

Giả sử cho đường thẳng a ∥ (P). Lấy đường thẳng b nằm hoàn toàn trong mặt phẳng (P) sao cho b ⊥ a. Lúc này b ⊂ (P) nên b không thể vuông góc với (P).

Đáp án đúng là: A

Trong không gian, hai đường thẳng cùng vuông góc với một đường thẳng thứ ba thì chúng có thể song song, cắt nhau hoặc chéo nhau.

Đáp án đúng là: A

Theo tính chất: Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song với nhau. Do đó (P) ∥ (Q).

Đáp án đúng là: A

Ta có: M, N, P lần lượt là trung điểm của SA, SB, SC nên (MNP) ∥ (ABC)

Mặt khác SA ⊥ (ABC). Theo tính chất, đường thẳng vuông góc với một trong hai mặt phẳng song song thì cũng vuông góc với mặt phẳng còn lại. Do đó SA ⊥ (MNP).

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Đúng.

a) Đúng. MN là đường trung bình tam giác SAD nên MN ∥ AD. Do AD ⊂ (ABCD) và MN không nằm trong (ABCD) nên MN ∥ (ABCD).

b) Đúng. Ta có: AD ⊥ AB và AD ⊥ SA ⇒ AD ⊥ (SAB).

Vì MN ∥ AD nên MN ⊥ (SAB).

c) Sai. Mặt phẳng (AMN) chứa SA nên cắt (SBC) theo giao tuyến đi qua S và song song với BC, nên 2 mặt phẳng này không song song nhau.

d) Đúng. Vì SA ⊥ (ABCD) nên SA ⊥ AD

Do MN ∥ AD (chứng minh câu a) nên SA ⊥ MN.

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Đúng. d) Đúng.

a) Đúng. Theo giả thiết, OA ⊥ OB và OA ⊥ OC

Trong mặt phẳng (OBC), hai đường thẳng OB và OC cắt nhau tại O

Do đường thẳng OA vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau OB và OC cùng nằm trong mặt phẳng (OBC), nên: OA ⊥ (OBC).

b) Đúng. Gọi I là trung điểm của cạnh BC

Vì M là trọng tâm △ABC, ta có M ∈ AI và: $\frac{{IM}}{{IA}} = \frac{1}{3}$

Vì N là trọng tâm △OBC, ta có N ∈ OI và: $\frac{{IN}}{{IO}} = \frac{1}{3}$

Xét △AIO, trong mặt phẳng (AIO), ta có: $\frac{{IM}}{{IA}} = \frac{{IN}}{{IO}} = \frac{1}{3}$

Theo định lý Ta-lét đảo ⇒ Đường thẳng MN song song với đường thẳng OA.

c) Đúng. Theo câu a), ta có: OA ⊥ (OBC)

Theo câu b), ta có: MN ∥ OA

Theo tính chất quan hệ giữa tính song song và tính vuông góc của đường thẳng và mặt phẳng ⇒ MN ⊥ (OBC).

d) Đúng. Ta có: BC ⊂ (OBC), MN ⊥ (OBC) (theo câu c)

⇒ MN ⊥ BC.

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Sai.

a) Đúng. Xét △SAB, có M và N lần lượt là trung điểm của SA và SB

⇒ MN là đường trung bình của △SAB ⇒ MN ∥ AB

Mặt khác, AB ⊂ (ABC) và MN không nằm trong (ABC)

Do đó, MN ∥ (ABC).

b) Đúng. Theo giả thiết, △ABC vuông tại B nên BC ⊥ AB

Lại có SA ⊥ (ABC) mà BC ⊂ (ABC) ⇒ SA ⊥ BC

Vì BC ⊥ AB và BC ⊥ SA (AB, SA cắt nhau tại A trong (SAB)) ⇒ BC ⊥ (SAB)

Do MN ⊂ (SAB) nên BC ⊥ MN.

c) Sai.Ta có: SA ⊥ (ABC) ⇒ SA ⊥ AB

Mặt khác, lại có: MN ∥ AB

Nếu AB ⊥ (MNC) thì AB ⊥ MC

Kết hợp với AB ⊥ SA (tại A), với SA và MC cắt nhau tại M và đều nằm trong (SAC)

⇒ AB ⊥ (SAC) ⇒ AB ⊥ AC, điều này mâu thuẫn với giả thiết △ABC vuông tại B

Do đó, mặt phẳng (MNC) không vuông góc với đường thẳng AB.

d) Sai. Ta có AB ⊥ BC (giả thiết △ABC vuông tại B)

Giả sử AB ⊥ (SBC), khi đó AB ⊥ SB

Xét △SAB vuông tại A (do SA ⊥ (ABC)), nếu AB ⊥ SB thì △SAB vừa vuông tại A vừa vuông tại B (vô lý)

Vậy đường thẳng AB không vuông góc với mặt phẳng (SBC).

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Đúng. d) Sai.

a) Đúng. Vì SA ⊥ (ABCD) và BD ⊂ (ABCD) ⇒ SA ⊥ BD

Do ABCD là hình vuông nên hai đường chéo vuông góc: AC ⊥ BD

Vì BD ⊥ SA và BD ⊥ AC (SA và AC cắt nhau tại A trong (SAC)) ⇒ BD ⊥ (SAC).

b) Đúng. Theo câu a, ta có: BD ⊥ (SAC)

Theo giả thiết, trong mặt phẳng (SBD), đường thẳng MN ∥ BD

⇒ MN ⊥ (SAC).

c) Đúng. Theo câu b, MN ⊥ (SAC)

Vì SA ⊂ (SAC) nên MN ⊥ SA

d) Sai. Xét △SBD: MN ∥ BD

Giả sử: MN ⊥ SD thì BD ⊥ SD

Mặt khác, theo câu a), BD ⊥ (SAC) ⇒ BD ⊥ SO (do SO ⊂ (SAC))

Trong mặt phẳng (SBD), BD vuông góc với cả SD và SO (hai đường thẳng cắt nhau tại S) ⇒ △SDO có hai góc vuông là $\widehat {SDB}$ = 90° và $\widehat {SOD}$ = 90° (vô lý)

Do đó, MN không vuông góc với SD.

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Đúng. d) Đúng.

a) Đúng. Xét △SBD, có I và K lần lượt là trung điểm của SB và SD

⇒ IK là đường trung bình của △SBD

Do đó, IK ∥ BD.

b) Đúng. Vì ABCD là hình vuông nên hai đường chéo vuông góc với nhau: BD ⊥ AC

Mặt khác, do SO ⊥ (ABCD) và BD ⊂ (ABCD) ⇒ SO ⊥ BD

Vì BD ⊥ AC và BD ⊥ SO (AC, SO cắt nhau tại O trong (SAC)) ⇒ BD ⊥ (SAC)

Theo câu a), ta có IK ∥ BD

Do BD ⊥ (SAC) và IK ∥ BD ⇒ IK ⊥ (SAC).

c) Đúng. Theo chứng minh ở câu b, ta có: BD ⊥ AC (do ABCD là hình vuông) và BD ⊥ SO (do SO ⊥ (ABCD))

Vì BD vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau AC và SO cùng nằm trong mặt phẳng (SAC) nên BD ⊥ (SAC).

d) Đúng. Vì SO ⊥ (ABCD) và BD ⊂ (ABCD) ⇒ SO ⊥ BD

Theo câu a), ta có: IK ∥ BD

Do SO ⊥ BD và IK ∥ BD ⇒ SO ⊥ IK.

Đáp án: 90

Vì SH ⊥ (ABCD) và AC ⊂ (ABCD) nên: SH ⊥ AC

Xét hình vuông ABCD trên mặt phẳng đáy:

Gọi O là giao điểm của HK và AC

Trong tam giác ABD, vì H và K lần lượt là trung điểm của AB và AD nên HK là đường trung bình của △ABD

Do đó: HK ∥ BD

Mặt khác, do ABCD là hình vuông nên hai đường chéo vuông góc với nhau: AC ⊥ BD

Vì HK ∥ BD và AC ⊥ BD nên AC ⊥ HK

Xét mặt phẳng (SHK), ta có: $\left\{ \begin{array}{l}AC \bot SH\\AC \bot HK\end{array} \right.$

Vì SH, HK là hai đường thẳng cắt nhau tại H trong mặt phẳng (SHK), nên: AC ⊥ (SHK)

Vì SK ⊂ (SHK) nên từ AC ⊥ (SHK) ⇒ AC ⊥ SK

Vậy góc giữa hai đường thẳng AC và SK bằng 90°.

Đáp án: 90

Gọi I là trung điểm của AB, P là trung điểm của SA, O là giao điểm của AC và BD

Trong △ABC, vì I và N lần lượt là trung điểm của AB và BC

⇒ IN là đường trung bình của △ABC ⇒ IN ∥ AC

Do ABCD là hình vuông nên hai đường chéo vuông góc với nhau: AC ⊥ BD

Lại có: IN ∥ AC và AC ⊥ BD ⇒ BD ⊥ IN (1)

Xét tứ giác AESD: Vì P là trung điểm của SA, mà E là điểm đối xứng với D qua P nên P cũng là trung điểm của DE

Do đó, hai đường chéo SA và DE cắt nhau tại trung điểm P của mỗi đường

⇒ AESD là hình bình hành ⇒ SE ∥ AD và SE = AD

Lại có: ABCD là hình vuông ⇒ AD ∥ BC và AD = BC

⇒ SE ∥ BC và SE = BC ⇒ BCSE là hình bình hành ⇒ BE ∥ SC

Trong △ABE, vì I và M lần lượt là trung điểm của AB và AE

⇒ IM là đường trung bình của △ABE ⇒ IM ∥ BE

Vì S.ABCD là hình chóp đều nên SA = SB = SD; ABCD là hình vuông nên AB = AD

⇒ △SBA = △SDA

Do P là trung điểm của SA nên BP là đường trung tuyến của △SAB và DP là đường trung tuyến của △SAD

⇒ Hai đường trung tuyến xuất phát từ cùng đỉnh tương ứng bằng nhau: PB = PD

⇒ △BPD cân tại P

Có PO là đường trung tuyến (do O là trung điểm của BD) ⇒ PO ⊥ BD (*)

Xét △BDE có O là trung điểm BD, P là trung điểm DE

⇒ PO là đường trung bình của △BDE ⇒ PO ∥ BE

Ta có: IM ∥ BE và PO ∥ BE ⇒ IM ∥ PO (**)

Từ (*) và (**) ⇒ BD ⊥ IM (2)

Trong mặt phẳng (IMN), hai đường thẳng IN và IM cắt nhau tại I

Từ (1) và (2) ⇒ BD ⊥ (IMN)

Vì MN ⊂ (IMN) và BD ⊥ (IMN) ⇒ BD ⊥ MN

Vậy góc giữa hai đường thẳng MN và BD bằng 90°.

Đáp án: 1

Vì SA ⊥ (ABC) nên SA ⊥ BC

Mặt khác, tam giác ABC vuông tại B nên AB ⊥ BC

Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}BC \bot SA\\BC \bot AB\end{array} \right.$ ⇒ BC ⊥ (SAB)

Vì AH ⊂ (SAB) nên: BC ⊥ AH

Mà theo giải thiết, đường thẳng qua H song song với BC cắt SC tại K ⇒ HK ∥ BC

Vì AH ⊥ BC và HK ∥ BC nên HK ⊥ AH

Do AH ⊥ HK nên góc α giữa hai đường thẳng AH và HK bằng 90°

Vậy: sin α = sin 90° = 1.

Đáp án: 90

Xét △ABC: H là trung điểm của BC và △ABC cân tại A ⇒ AH là đường trung tuyến

I là trung điểm của AB ⇒ CI là đường trung tuyến

Vì điểm M thuộc đường trung tuyến CI và MC = 2MI nên M chính là trọng tâm của △ABC

⇒ M thuộc đường trung tuyến AH (tức M = AH ∩ CI) và thỏa mãn: $\frac{{MA}}{{MH}} = 2$

Xét △SAH, ta có: $\frac{{NA}}{{NS}} = 2$ và $\frac{{MA}}{{MH}} = 2$ ⇒ $\frac{{NA}}{{NS}} = \frac{{MA}}{{MH}}$

Áp dụng định lý Ta-lét đảo cho △SAH ⇒ MN ∥ SH

Mặt khác, theo giả thiết: SH ⊥ (ABC)

Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}MN\parallel SH\\SH \bot (ABC)\end{array} \right.$ ⇒ MN ⊥ (ABC)

Vì đường thẳng MN vuông góc với mặt phẳng (ABC) nên góc giữa đường thẳng MN và mặt phẳng (ABC) bằng 90°.

Đáp án: 90

Vì SA ⊥ (ABCD) và BD ⊂ (ABCD) nên: SA ⊥ BD

Do ABCD là hình vuông nên hai đường chéo vuông góc với nhau: BD ⊥ AC

Trong mặt phẳng (SAC), hai đường thẳng SA và AC cắt nhau tại A

Từ BD ⊥ SA và BD ⊥ AC ⇒ BD ⊥ (SAC)

Xét △SAB, vì I và K lần lượt là trung điểm của AB và SB nên IK là đường trung bình của △SAB ⇒ IK ∥ SA

Xét △ABC, vì I và J lần lượt là trung điểm của AB và BC nên IJ là đường trung bình của △ABC ⇒ IJ ∥ AC

Mặt khác: IK và IJ cắt nhau tại I trong mặt phẳng (IJK); SA và AC cắt nhau tại A trong mặt phẳng (SAC)

Do đó: (IJK) ∥ (SAC)

Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}(IJK)\parallel (SAC)\\BD \bot (SAC)\end{array} \right.$ ⇒ BD ⊥ (IJK)

Vì KJ ⊂ (IJK) nên từ BD ⊥ (IJK) ⇒ BD ⊥ KJ

Vậy góc giữa hai đường thẳng BD và KJ bằng 90°.