Bài tập Liên hệ giữa đường kính và dây của đường tròn lớp 9 (có lời giải)

Đáp án đúng là: A

Trong các dây của đường tròn, dây lớn nhất là đường kính nên AB > CD.

Đáp án đúng là: B

Trong các dây của một đường tròn, đường kính là dây có độ dài lớn nhất.

Đáp án đúng là: C

Dựa vào khái niệm dây và đường kính, mối quan hệ giữa dây và đường kính có đáp án A, B, D, là đúng.

Khi dây AB không là đường kính của đường tròn (O; R) thì AB < 2R.

>

Đáp án đúng là: D

Dây AB tùy ý không đi qua tâm nên AB < 2R.

>

Đáp án đúng là: C

Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác EAO và GDO ta có:

AE = $\sqrt {A{O^2} - O{E^2}} = DG = \sqrt {O{D^2} - O{G^2}}$.

Từ đây, suy ra AB = CD = 2AE = 2DG.

Lưu ý: Trong một đường tròn hay dây cách đều tâm thì bằng nhau.

Đáp án đúng là: C

Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác vuông AOE, ta có:

AE = $\sqrt {A{O^2} - O{E^2}}$.

Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác vuông DOG, ta có:

$DG = \sqrt {O{D^2} - O{G^2}}$.

Và OE > OG; OA = OC từ đó suy ra AE < GD.

Do đó, AB < CD.

Lưu ý để giải toán: Trong một đường tròn, dây nào gần tâm hơn thì dây đó lớn hơn.

>>

Đáp án đúng là: D

Xét tam giác MNP, có: MN < MP + NP (bất đẳng thức tam giác).

>

Đáp án đúng là: B

Kẻ OH vuông với AB tại H, do đó OH = 3 cm.

Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác OAH, ta có:

AH$^{2}$ + OH$^{2}$ = OA$^{2}$

AH$^{2}$ = OA$^{2}$ – OH$^{2}$

Suy ra AH = $\sqrt {O{A^2} - O{H^2}} = \sqrt {{5^2} - {3^2}} = 4$ cm.

Tam giác OAB có OA = OB = R nên tam giác OAB cân tại O.

Mà OH vuông với AB tại H nên H là trung điểm của AB.

Do đó, AB = 2AH = 8 cm.

Đáp án đúng là: D

Kẻ OH vuông với AB tại H, do đó OH = 2,5 cm.

Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác OAH, ta có:

AH$^{2}$ + OH$^{2}$ = OA$^{2}$

AH$^{2}$ = OA$^{2}$ – OH$^{2}$

Suy ra AH = $\sqrt {O{A^2} - O{H^2}} = \sqrt {6,{5^2} - 2,{5^2}} = 6$ cm.

Tam giác OAB có OA = OB = R nên tam giác OAB cân tại O.

Mà OH vuông với AB tại H nên H là trung điểm của AB.

Do đó, AB = 2AH = 12 cm.

Đáp án đúng là: D

Xét đường tròn (O).

Kẻ OE ⊥ AB tại E suy ra E là trung điểm của AB, kẻ OF ⊥ CD tại F.

Vì dây AB = CD nên OE = OF (hai dây bằng nhau thì cách đều tâm).

Xét tứ giác OEIF có $\widehat E = \widehat F = \widehat I = 90^\circ$ nên OEIF là hình chữ nhật và OE = OF nên OEIF là hình vuông.

Suy ra OE = OF = EI.

Mà AB = IA + IB = 6 cm nên EB = 3 cm.

Suy ra IE = EB – IB = 1 cm nên OE = OF = 1 cm.

Vậy tổng khoảng cách từ tâm đến hai dây AB, CD là 2 cm.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Khẳng định đúng là: Đoạn thẳng nối hai điểm tùy ý của một đường tròn được gọi là dây của đường tròn.

C sai vì dây đi qua tâm của đường tròn được gọi là đường kính của đường tròn.

D sai vì đường tròn có vô số đường kính.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

PQ là một dây của đường tròn (O) nếu P, Q đều nằm trên đường tròn (O).

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

Trong đường tròn trên:

+ Hai dây GD và CB cùng đi qua tâm A nên GD = CB.

+ Dây EF không đi qua tâm A nên GD = CB > EF.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Đường tròn tâm A có:

+ Dây CB đi qua tâm A nên CB là đường kính, AD là bán kính nên CB = 2AD.

+ Dây EF không đi qua tâm A nên EF < CB, suy ra EF < 2AD, EF < 2AC.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

Đường kính của đường tròn (O; 5 cm) là: 2.5 = 10 (cm).

Vì EF là dây của đường tròn (O; 5 cm) và không đi qua tâm O nên EF < 10 cm.

Do đó, độ dài dây EF không thể bằng 10 cm.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Sai. b) Đúng. c) Đúng. d) Đúng.

a) Sai.

Vì AC ^ AB tại A nên DABC vuông tại A.

Mà AO là đường trung tuyến của tam giác đó nên OA = OB = OC.

Vậy điểm A thuộc đường tròn đường O đường kính BC.

b) Đúng.

Vì BD ^ CD tại D nên DDBC vuông tại D.

Mà DO là đường trung tuyến của tam giác đó nên OD = OB = OC.

Vậy điểm D thuộc đường tròn đường (O; OB).

Theo a) ta có: OA = OB = OC nên điểm A thuộc đường tròn đường (O; OB).

Vậy 4 điểm A, B, C, D cùng thuộc đường tròn (O; OB).

c) Đúng.

Vì E là điểm đối xứng của A qua O nên EO = AO.

Mà OA = OB nên EO = OB.

Suy ra điểm E thuộc đường tròn đường (O; OB).

Theo b) ta có: 4 điểm A, B, C, D cùng thuộc đường tròn (O; OB).

Vậy 5 điểm A, B, C, D, E cùng thuộc một đường tròn.

d) Đúng.

Xét (O; OB) có AE là dây đi qua tâm O nên AE là đường kính, AD là dây không đi qua tâm O nên AD < AE.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Đúng. d) Sai.

a) Đúng.

Xét (O; 6 cm): AB là dây đi qua tâm O nên AB là đường kính của (O; 6 cm).

b) Đúng.

Vì AB là đường kính của (O; 6 cm), DB là dây không đi qua tâm O của (O; 6 cm) nên DB < AB.

c) Đúng.

Xét DADB có: AD + DB > AB (bất đẳng thức tam giác) hay AD + BD > 12 cm.

d) Sai.

Vì AB là đường kính của (O; 6 cm), AD là dây không đi qua tâm O của (O; 6 cm) nên AD < AB hay AD < 12 cm.

Theo b) ta có: DB < AB nên DB < 12 cm. Do đó, AD + BD < 24 cm.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Đúng. d) Sai.

a) Đúng.

Tứ giác ABCD có: $\widehat {{\rm{ABC}}} + \widehat {{\rm{BCD}}} + \widehat {{\rm{CDA}}} + \widehat {{\rm{DAB}}} = 360^\circ$.

Suy ra: $\widehat {{\rm{ABC}}} + \widehat {{\rm{ADC}}} = 180^\circ$ suy ra $\widehat {{\rm{ABC}}} = \widehat {{\rm{CDA}}} = 90^\circ$.

b) Đúng.

Vì $\widehat {{\rm{ABC}}} = 90^\circ$ nên tam giác ABC vuông tại B, mà BO là đường trung tuyến của tam giác đó nên OB = OA = OC.

Do đó, điểm B thuộc đường tròn đường kính AC.

c) Đúng.

Vì $\widehat {{\rm{ADC}}} = 90^\circ$ nên tam giác ADC vuông tại D, mà DO là đường trung tuyến của tam giác đó nên OD = OA = OC.

Do đó, điểm D thuộc đường tròn đường kính AC.

Theo b) ta có: điểm B thuộc đường tròn đường kính AC.

Vậy bốn điểm A, B, C, D cùng thuộc đường tròn đường kính AC.

d) Sai.

Vì BD là dây không đi qua tâm O của đường tròn đường kính AC nên AC > BD.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Đúng. d) Sai.

a) Đúng.

Vì H là hình chiếu vuông góc của B trên AC nên BH ^ AC tại H.

Do đó, tam giác BHC vuông tại H.

Mà HO là đường trung tuyến của tam giác đó nên OH = OB = OC.

Suy ra điểm H thuộc đường tròn (O; CO).

b) Đúng.

Vì K là hình chiếu vuông góc của C trên AB nên CK ^ AB tại K.

Do đó, tam giác BKC vuông tại K.

Mà KO là đường trung tuyến của tam giác đó nên OK = OB = OC.

Mà OH = OB = OC (cmt). Vậy OK = OH.

c) Đúng.

Vì OH = OB = OC = OK nên 4 điểm B, C, H, K thuộc đường tròn (O; OC).

d) Sai.

Xét đường tròn (O; OC) có BC là đường kính, KH là dây không đi qua tâm O nên ta có: HK < BC.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Đúng d) Sai.

a) Đúng.

Vì AB là dây không đi qua tâm O của đường tròn (O; 5 cm) nên AB < 10 cm.

b) Đúng.

Vì BM ^ AC tại M nên tam giác ABM vuông tại M.

Mà MI là đường trung tuyến của tam giác đó nên MI = IA = IB.

Suy ra, điểm M thuộc đường tròn (I; AI).

c) Đúng.

Vì BN ^ AD tại N nên tam giác ABN vuông tại N.

Mà NI là đường trung tuyến của tam giác đó nên NI = IA = IB.

Suy ra, điểm N thuộc đường tròn (I; AI).

Theo b) ta có điểm M thuộc đường tròn (I; AI).

Vậy 4 điểm M, N, B, A cùng thuộc một đường tròn.

d) Sai.

Xét đường tròn (I; AI) có AB là đường kính.

MN là dây không đi qua tâm O nên MN < AB.

Theo a) AB < 10 cm nên MN < 10 cm.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 4

Gọi O là trung điểm của BC.

Vì ∆BKC vuông tại K có KO là đường trung tuyến nên KO = OB = OC $= \frac{1}{2}$BC.

Vì ∆BHC vuông tại H có HO là đường trung tuyến nên HO = OB = OC $= \frac{1}{2}$BC.

Do đó, OH = OK = OB = OC$= \frac{1}{2}$BC nên 4 điểm B, C, H, K cùng thuộc đường tròn đường kính BC.

Lại có, KH là dây không đi qua tâm O của đường tròn đường kính BC nên KH < 4 m. Vậy số nguyên nhỏ nhất thỏa mãn bất đẳng thức trên là 4.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 7

Vì CE là đường cao của DABC nên EC ^ AB tại E.

Do đó, DAEH vuông tại E.

Suy ra EH = AH. sin$\widehat {{\rm{EAH}}}$, suy ra AH = $\frac{{{\rm{EH}}}}{{\sin \widehat {{\rm{EAH}}}}} = \frac{4}{{\sin 30^\circ }} = 8$ (cm).

Gọi G là trung điểm của AH.

Vì DAEH vuông tại E có EG là đường trung tuyến nên GA = GH = GE = $\frac{1}{2}$AH.

Vì BD là đường cao của DABC nên BD ^ AC tại D.

Do đó, DADH vuông tại D.

Mà DG là đường trung tuyến của tam giác đó GD = GH = GA.

Suy ra: GD = GA = GH = GE.

Suy ra 4 điểm G, E, A, H thuộc đường tròn đường kính AH.

Mà ED là dây không đi qua tâm O, suy ra ED < AH hay ED < 8 cm.

Mà a là số nguyên lớn nhất nên a = 7.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 20

Gọi H là trung điểm của AB, suy ra HB = 8 cm.

Vì A, B thuộc đường tròn (O) nên OA = OB. Suy ra tam giác AOB cân tại O.

Do đó OH là đường trung tuyến đồng thời là đường cao của tam giác AOB.

Suy ra, OH ^ AB tại H. Suy ra, OH là khoảng cách từ tâm O đến AB nên OH = 6 cm.

Áp dụng định lý Pythagore vào tam giác OHB vuông tại H có:

OB$^{2}$ = OH$^{2}$ + HB$^{2}$ = 6$^{2}$ + 8$^{2}$ = 100 nên OB = 10 cm.

Vậy đường kính của đường tròn (O; OB) bằng 20 cm.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 4

Vì $\widehat {{\rm{EDB}}} = \widehat {{\rm{DBC}}}$, mà hai góc này ở vị trí so le trong nên DE // CB.

Suy ra $\widehat {{\rm{DEC}}} = \widehat {{\rm{ECB}}} = 30^\circ$ (hai góc so le trong).

Ta có: $\widehat {{\rm{AEB}}} = 180^\circ - \widehat {{\rm{DEC}}} - \widehat {{\rm{CEB}}} = 60^\circ .$

Vì EA = AB nên tam giác ABE cân tại A, mà $\widehat {{\rm{AEB}}} = 60^\circ$ nên tam giác ABE đều.

Do đó, EB = EA = DE = 2 m.

Do đó, 3 điểm D, B, A thuộc đường tròn tâm E, đường kính DA = 4 m.

Vì DB là dây không đi qua tâm E của đường tròn đường kính DA = 4 m nên BD < 4 m.

Vậy số nguyên nhỏ nhất điền vào “…” là 4.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 12

Vì AB, CD là các dây của đường tròn (O; 6 cm) nên AB ≤ 12 cm, CD ≤ 12 cm.

Ta có: S$_{ACBD}$ = S$_{D}$$_{CEA}$+ S$_{D}$$_{CEB}$+ S$_{D}$$_{BED}$+ S$_{D}$$_{DEA}$

$= \frac{1}{2}{\rm{CE}} \cdot {\rm{AE}} + \frac{1}{2}{\rm{CE}} \cdot {\rm{EB}} + \frac{1}{2}{\rm{AE}} \cdot {\rm{ED}} + \frac{1}{2}{\rm{BE}} \cdot {\rm{ED}}$

$= \frac{1}{2}{\rm{AB}} \cdot {\rm{CD}} \le \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 12 = 72$ (cm$^{2}$).

Dấu “=” xảy ra khi AB = CD = 12 cm.

Vậy diện tích tứ giác ACBD lớn nhất bằng 144 cm$^{2}$ khi AB = CD = 12 cm.