Bài tập Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng lớp 12 (có lời giải)

Đáp án đúng là: C

Ta có $d\left( {M,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {2.\left( { - 1} \right) - 2.2 + 0 + 1} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2} + {1^2}} }} = \frac{5}{3}$.

Đáp án đúng là: D

Ta có $d\left( {M,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {1 + 2.2 + 2.\left( { - 3} \right) - 10} \right|}}{{\sqrt {1 + {2^2} + {2^2}} }} = \frac{{11}}{3}$.

Đáp án đúng là: C

Khoảng cách từ điểm A(3; 1; −2) đến mặt phẳng z = 0 bằng 2.

Đáp án đúng là: D

Ta có $d\left( {M,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {2.2 - 2.\left( { - 1} \right) + 3 + 1} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2} + {1^2}} }} = \frac{{10}}{3}$.

Đáp án đúng là: A

Ta có $d\left( {M,\left( \alpha \right)} \right) = \frac{{\left| {2.0 + 3 - 2.\left( { - 1} \right) - 2} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {1^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} }} = 1$.

Đáp án đúng là: A

Ta có M(10; 0; 0) (P) và (P) // (Q) nên

$d\left( {\left( P \right),\left( Q \right)} \right) = d\left( {M,\left( Q \right)} \right) = \frac{{\left| {10 - 5} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2} + {2^2}} }} = \frac{5}{3}$.

Đáp án đúng là: A

Dễ thấy (P) // (Q) $\Rightarrow d\left( {\left( P \right),\left( Q \right)} \right) = d\left( {M,\left( Q \right)} \right)$ với M(0; 1; 0) (P).

Suy ra $d\left( {\left( P \right),\left( Q \right)} \right) = \frac{{\left| {2.0 - 1 + 2.0 + 4} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {2^2}} }} = 1$.

Đáp án đúng là: D

Có (P) // (Q) nên d((P), (Q)) = d(M, (Q)) với M(0; 0; 2) (P).

Do đó $d\left( {\left( P \right),\left( Q \right)} \right) = \frac{{\left| {4 + 2} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2} + {1^2}} }} = \frac{6}{{\sqrt 3 }} = 2\sqrt 3$.

Đáp án đúng là: D

Ta có $d\left( {O,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {2.0 - 0 + 2.0 + 12} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {2^2}} }} = 4$.

Đáp án đúng là: A

(Q): 6x + 3y – 6z + 15 = 0 2x + y – 2z + 5 = 0.

Lấy M(0; 1; 0) ∈ (P).

Khi đó $d\left( {\left( P \right),\left( Q \right)} \right) = d\left( {M,\left( Q \right)} \right) = \frac{{\left| {1 + 5} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {1^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} }} = 2$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Ta có d(M, (P) = $\frac{{\left| {2 \cdot 1 - 1 \cdot 2 + 1 \cdot 0 + 1} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {1^2}} }} = \frac{1}{{\sqrt 6 }}$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Ta có d(M, (P)) = $\frac{{\left| {1 \cdot 1 + 2 \cdot 1 + 3 \cdot 1 + 1} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2} + {1^2}} }} = \frac{7}{{\sqrt 3 }}$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

Khoảng cách từ điểm A(3; 2; −2) đến mặt phẳng z = 0 bằng 2.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Ta có d(M, (P)) = $\frac{{\left| {0 \cdot 1 + 2 \cdot 1 + \left( { - 1} \right) \cdot \left( { - 1} \right) - 2} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} = \frac{1}{{\sqrt 3 }}$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Ta có d(O, (P)) = $\frac{{\left| {2 \cdot 0 + 1 \cdot 0 + 0 \cdot \left( { - 2} \right) + 10} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {1^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} }} = \frac{{10}}{3}$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Sai.

a) Đúng. Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P), (Q) lần lượt là $\overrightarrow {{n_P}} = \left( {1; - 1; - 2} \right)$, $\overrightarrow {{n_Q}} = \left( {1; - 1;1} \right)$.

b) Đúng. $\overrightarrow {{n_P}} \cdot \overrightarrow {{n_Q}} = 1 \cdot 1 + \left( { - 1} \right) \cdot \left( { - 1} \right) + \left( { - 2} \right) \cdot 1 = 0$

Do đó mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau.

c) Sai. Thay O(0; 0; 0) vào phương trình mặt phẳng (P): x – y – 2z + 2025 = 0.

Ta có: 0 – 0 − 2∙0 + 2025 = 2025.

Vậy mặt phẳng (P) không đi qua gốc toạ độ.

d) Sai. Ta có d(M, (Q)) = $\frac{{\left| {1 \cdot 2 - 1 \cdot 1 + 1 \cdot 1 + 1} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2} + {1^2}} }} = \sqrt 3$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Sai. d) Đúng.

a) Đúng. Ta có d(M, (P)) = $\frac{{\left| {\left( { - 1} \right) \cdot 3 + 3 \cdot \left( { - 4} \right) + 4 \cdot 1 + 1} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {{\left( { - 4} \right)}^2} + {1^2}} }} = \frac{{10}}{{\sqrt {26} }} = \frac{{5\sqrt {26} }}{{13}}$.

b) Sai. Ta có d(O, (P)) = $\frac{{\left| {0 \cdot 3 + 0 \cdot \left( { - 4} \right) + 0 \cdot 1 + 1} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {{\left( { - 4} \right)}^2} + {1^2}} }} = \frac{1}{{\sqrt {26} }}$.

c) Sai. Chọn A(0; 0; −1) thuộc mặt phẳng (P).

Ta có d((P), (Q)) = d(A, (Q)) = $\frac{{\left| {6 \cdot 0 - 8 \cdot 0 + 2 \cdot \left( { - 1} \right) + 13} \right|}}{{\sqrt {{6^2} + {{\left( { - 8} \right)}^2} + {2^2}} }} = \frac{{11}}{{\sqrt {104} }}$.

d) Đúng. Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow {{n_P}} = \left( {3; - 4;1} \right)$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án:

a) Đúng. b) Sai. c) Sai. d) Đúng.

a) Đúng. Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow {{n_P}} = \left( {1; - 2;3} \right)$.

b) Sai. Thay M(1; 1; 2) vào phương trình mặt phẳng (P): x – 2y + 3z + 1 = 0:

Ta có: 1 − 2∙1 + 3∙2 + 1 = 6.

Thay M(1; 1; 2) vào phương trình mặt phẳng (Q): x – 2y + 3z + 10 = 0:

Ta có 1− 2∙1 + 3∙2 + 10 = 15.

Vậy hai mặt phẳng (P) và (Q) đều không đi qua điểm M(1; 1; 2).

c) Sai. Ta có d(M, (P) = $\frac{{\left| {1 \cdot 1 + 1 \cdot \left( { - 2} \right) + 2 \cdot 3 + 1} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2} + {3^2}} }} = \frac{6}{{\sqrt {14} }}$.

d) Đúng. Ta có $\overrightarrow {{n_P}} = \overrightarrow {{n_Q}} = \left( {1; - 2;3} \right)$ và 1 ≠ 10 nên (P) // (Q).

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Sai. d) Đúng.

a) Đúng. Mặt phẳng (P) đi qua điểm M(−1; 2; 0) và nhận $\overrightarrow n = \left( {4;0; - 5} \right)$ làm vectơ pháp tuyến có phương trình là:

4(x + 1) + 0(y – 2) – 5(z – 0) = 0 hay 4x – 5z + 4 = 0.

b) Sai. Thay A(2; −1; 5) vào phương trình mặt phẳng (P): 4x – 5z + 4 = 0.

Ta có: 2∙4 + 5∙(−5) + 4 = − 13.

c) Sai. Ta có $\frac{4}{4} = \frac{{ - 5}}{{ - 5}} = \frac{4}{4}$ nên mặt phẳng (P) ≡ (Q).

d) Đúng. d(A, (P)) = $\frac{{\left| {4 \cdot \left( { - 2} \right) - 5 \cdot 3 + 4} \right|}}{{\sqrt {{4^2} + {{\left( { - 5} \right)}^2}} }} = \frac{{19}}{{\sqrt {41} }}$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Sai. d) Đúng.

a) Đúng. Gọi A, B, C lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm M(1; 2; 3) lên Ox, Oy, Oz nên A(1; 0; 0), B(0; 2; 0), C(0; 0; 3).

Phương trình mặt phẳng (P) theo đoạn chắn là:

$\frac{x}{1} + \frac{y}{2} + \frac{z}{3} = 1 \Leftrightarrow 6x + 3y + 2z - 6 = 0$.

Vậy vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) là (6; 3; 2).

b) Sai. Phương trình mặt phẳng (P) là $\frac{x}{1} + \frac{y}{2} + \frac{z}{3} = 1$.

c) Sai. Thay M(3; 0; −2) vào phương trình mặt phẳng (P): 6x + 3y + 2z – 6 = 0.

Ta có 3∙6 + 3∙0 + 2∙(−2) – 6 = 8.

Vậy M không thuộc mặt phẳng (P).

d) Đúng. Ta có d(O, (P)) = $\frac{{\left| {6 \cdot 0 + 3 \cdot 0 + 2 \cdot 0 - 6} \right|}}{{\sqrt {{6^2} + {3^2} + {2^2}} }} = \frac{6}{7}$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 3

Mặt phẳng (Oxy) có phương trình là z = 0.

Nên d(A, (Oxy)) = $\frac{{\left| 3 \right|}}{{\sqrt 1 }} = 3$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 4

Ta có d(A, (P)) = $\frac{{\left| {1 + 6 + 4 + 1} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} }} = 4$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 1,7

Do M thuộc trục Ox nên M(a; 0; 0).

Ta có d(M, (P)) = $\frac{{\left| {a + 4} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2} + {2^2}} }} = \frac{{\left| {a + 4} \right|}}{3} = 2 \Leftrightarrow \left| {a + 4} \right| = 6 \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{a = 2}\\{a = - 10}\end{array}} \right.$.

Do a > 1 nên M(2; 0; 0).

$\overrightarrow {IM} = \left( {1; - 1; - 1} \right) \Rightarrow IM = \sqrt 3$ ≈ 1,7.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 12

Gọi M(a; 0; 0) thuộc Ox.

Ta có Ta có d(M, (P)) = $\frac{{\left| {a + 4} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2} + {2^2}} }} = \frac{{\left| {a + 4} \right|}}{3} = 2 \Leftrightarrow \left| {a + 4} \right| = 6 \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{a = 2}\\{a = - 10}\end{array}} \right.$.

Chọn A(2; 0; 0), B(−10; 0; 0) nên $\overrightarrow {AB} = \left( { - 12;0;0} \right)$.

Vậy $AB = \sqrt {{{12}^2} + {0^2} + {0^2}} = 12$

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 1,2

Dễ thấy (P) // (Q).

Chọn M(−1; 0; 0) ∈ (P).

d((P), (Q)) = d(M, (Q)) = $\frac{{\left| { - 1 \cdot 1 + 1 \cdot 0 + 3 \cdot 0 + 5} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2} + {3^2}} }} = \frac{4}{{\sqrt {11} }}$ ≈ 1,2.