Bài tập Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số lớp 12 (có lời giải)

Đáp án đúng là: C

Gọi M(x$_{0}$; y$_{0}$) là giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung.

Ta có x$_{0}$ = 0 y$_{0}$ = 2.

Đáp án đúng là: A

Tập xác định: ℝ.

Ta có: y' = 3x$^{2}$ – 3 = 3(x$^{2}$ – 1); y' = 0 x = ± 1.

Bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên ta thấy đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt.

Đáp án đúng là: B

Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và trục hoành là:

(x – 3)(x$^{2}$ + 2) = 0 x = 3 nghĩa là (C) cắt trục hoành tại một điểm.

Đáp án đúng là: B

Vì $\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {{x^3} - 3x + 2} \right) = - \infty$ nên loại C và D.

Đồ thị hàm số y = x$^{3}$ – 3x + 2 đi qua (−1; 4) nên chọn B.

Đáp án đúng là: A

Vì $\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( { - {x^3} + 3{x^2} - 1} \right) = + \infty$ suy ra loại đáp án B.

Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm (0; −1). Chọn A.

Đáp án đúng là: A

Ta có y' = 3x$^{2}$ + 6x; y' = 0 x = 0 hoặc x = −2.

Suy ra hàm số đồng biến trên các khoảng (−∞; −2) và (0; +∞) và nghịch biến trên khoảng (−2; 0).

Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm (0; −4).

Đáp án đúng là: A

Có $y' = \frac{1}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} > 0,\forall x \ne 1$.

Do đó hàm số đồng biến trên các khoảng (−∞; 1) và (1; +∞).

Đồ thị hàm số nhận x = 1 làm tiệm cận đứng và y = 1 là tiệm cận ngang.

Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm (0; 2).

Đáp án đúng là: A

Điều kiện: x + 1 ≠ 0 x ≠ −1.

Vậy tập xác định của hàm số f(x) là D = ℝ\{−1}.

Ta có: $f'\left( x \right) = \frac{{{x^2} + 2x + 2}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} > 0,\,\forall x \in D$.

Vậy hàm số f(x) luôn đồng biến trên từng khoảng xác định của nó.

Ta có: $f\left( x \right) = \frac{{{x^2} + 3x + 1}}{{x + 1}} = x + 2 - \frac{1}{{x + 1}}$

Và: $\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \left[ {f\left( x \right) - \left( {x + 2} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \frac{{ - 1}}{{x + 1}} = 0$.

Suy ra: đường thẳng y = x + 2 là đường tiệm cận xiên của (C).

Đồ thị hàm số nhận x = −1 là tiệm cận đứng.

Do đó điểm I(−1; 1) là tâm đối xứng của đồ thị hàm số đã cho.

Đáp án đúng là: A

Ta có tiệm cận đứng và tiệm cận xiên là đường thẳng x = 1, y = x + 3 do đó tâm đối xứng là I(1; 4).

Đáp án đúng là: C

Tiệm cận ngang của (C) là đường thẳng y = 2 vì $\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \frac{{2x + 3}}{{x - 1}} = 2$.

Đồ thị (C) có 2 đường tiệm cận là x = 1 và y = 2 nên tâm đối xứng của (C) là điểm I(1; 2).

Giao điểm của (C) với Oy là điểm A(0; −3).

Ta có $y = \frac{{2x + 3}}{{x - 1}} \Rightarrow y' = \frac{{ - 5}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} \Rightarrow y'\left( 0 \right) = - 5$.

Phương trình tiếp tuyến của (C) tại A(0; −3) là y = y'(0)(x − 0) + (−3) y = −5x – 3.

Gọi M(x$_{0}$; y$_{0}$) là một điểm bất kỳ trên (C), suy ra ${y_0} = \frac{{2{x_0} + 3}}{{{x_0} - 1}}$.

Đồ thị (C) có 2 đường tiệm cận là ∆$_{1}$: x – 1 = 0 và ∆$_{2}$: y – 2 = 0.

Khoảng cách từ M(x$_{0}$; y$_{0}$) tới ∆$_{1}$: x – 1 = 0 là d$_{1}$ = |x$_{0}$ – 1|.

Khoảng cách từ M(x$_{0}$; y$_{0}$) tới ∆$_{2}$: y – 2 = 0 là

${d_2} = \left| {{y_0} - 2} \right| = \left| {\frac{{2{x_0} + 3}}{{{x_0} - 1}} - 2} \right| = \left| {\frac{5}{{{x_0} - 1}}} \right| = \frac{5}{{\left| {{x_0} - 1} \right|}}$.

Suy ra ${d_1}.{d_2} = \left| {{x_0} - 1} \right|.\frac{5}{{\left| {{x_0} - 1} \right|}} = 5$ .

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và trục hoành là:

(x – 3)(x$^{2}$ + 2) = 0 Û x = 3 nghĩa là (C) cắt trục hoành tại một điểm.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Có y' = 3x$^{2}$ + 2bx + c.

Theo đề ta có $\left\{ \begin{array}{l}y\left( 2 \right) = - 20\\y'\left( { - 1} \right) = 0\\y\left( { - 1} \right) = 7\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4b + 2c + d = - 28\\ - 2b + c = - 3\\b - c + d = 8\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = - 3\\c = - 9\\d = 2\end{array} \right.$.

Khi đó P = b – 2c + d = −3 – 2‧(−9) + 2 = 17.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

Thay x = 0 vào lần lượt các phương trình thì chỉ có phương án C có $y = - \frac{1}{2} < 0$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Thay tọa độ các điểm trên vào hàm số ta thấy điểm $\left( {2; - \frac{4}{3}} \right)$ thỏa mãn đồ thị hàm số.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Ta có $y = \frac{{{x^2} - 2x + 2024}}{{x - 1}} = x - 1 + \frac{{2023}}{{x - 1}}$.

Đồ thị (C) có đường tiệm cận đứng là x = 1.

Đồ thị (C) có đường tiệm cận xiên là y = x – 1.

Đồ thị (C) có 2 trục đối xứng là hai đường phân giác của các góc tạo bởi 2 đường tiệm cận.

Thay x = 2 vào hàm số ta được y = 2024.

Do đó (C) đi qua điểm M(2; 2024).

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Sai. b) Đúng. c) Sai. d) Đúng.

a) Sai. Tập xác định D = ℝ.

b) Đúng. Thay x = 0 vào hàm số ta được y = 2.

Vậy đồ thị của hàm số đã cho đi qua điểm (0; 2).

c) Sai. Có y' = 3x$^{2}$ – 3; y' = 0 Û x = 1 hoặc x = −1.

Hàm số đạt cực đại tại x = −1 và đạt cực tiểu tại x = 1.

d) Đúng. Có y' = 0 Û x = 1 (vì x Î [0; 2]).

Có y(0) = 2; y(1) = 0; y(2) = 4.

Vậy giá trị lớn nhất của hàm số đã cho trên đoạn [0; 2] bằng 4.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Sai. b) Đúng. c) Đúng. d) Sai.

a) Sai. Ta có y' = x$^{2}$ + 3x + 2.

b) Đúng. y' > 0 Û x$^{2}$ + 3x + 2 > 0 Û $\left[ \begin{array}{l}x < - 2\\x > - 1\end{array} \right.$.

Vậy y' > 0 khi x Î (−∞; −2) È (−1; +∞).

c) Đúng. Bảng biến thiên

d) Sai. Đồ thị hàm số cắt trục Oy tại (0; −1).

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Sai. b) Sai. c) Đúng. d) Sai.

a) Sai. Tiệm cận ngang của (C) là đường thẳng y = 2 vì $\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \frac{{2x + 3}}{{x - 1}} = 2$.

b) Sai. Đồ thị (C) có 2 đường tiệm cận là x = 1 và y = 2 nên tâm đối xứng của (C) là điểm I(1; 2).

c) Đúng. Giao điểm của (C) với Oy là điểm A(0; −3).

Ta có $y = \frac{{2x + 3}}{{x - 1}} \Rightarrow y' = \frac{{ - 5}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} \Rightarrow y'\left( 0 \right) = - 5$.

Phương trình tiếp tuyến của (C) tại A(0; −3) là y = y'(0)(x − 0) + (−3) Û y = −5x – 3.

d) Sai. Gọi M(x$_{0}$; y$_{0}$) là một điểm bất kỳ trên (C), suy ra ${y_0} = \frac{{2{x_0} + 3}}{{{x_0} - 1}}$.

Đồ thị (C) có 2 đường tiệm cận là ∆$_{1}$: x – 1 = 0 và ∆$_{2}$: y – 2 = 0.

Khoảng cách từ M(x$_{0}$; y$_{0}$) tới ∆$_{1}$: x – 1 = 0 là d$_{1}$ = |x$_{0}$ – 1|.

Khoảng cách từ M(x$_{0}$; y$_{0}$) tới ∆$_{2}$: y – 2 = 0 là

${d_2} = \left| {{y_0} - 2} \right| = \left| {\frac{{2{x_0} + 3}}{{{x_0} - 1}} - 2} \right| = \left| {\frac{5}{{{x_0} - 1}}} \right| = \frac{5}{{\left| {{x_0} - 1} \right|}}$.

Suy ra ${d_1} \cdot {d_2} = \left| {{x_0} - 1} \right| \cdot \frac{5}{{\left| {{x_0} - 1} \right|}} = 5$ .

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Sai. b) Đúng. c) Sai. d) Đúng.

a) Sai. Tập xác định của hàm số đã cho là D = ℝ\{−1}.

b) Đúng. $y' = \frac{5}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}},\forall x \ne - 1$.

c) Sai. Có $\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} \frac{{3x - 2}}{{x + 1}} = - \infty$; $\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ - }} \frac{{3x - 2}}{{x + 1}} = + \infty$.

Suy ra x = −1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Có $\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \frac{{3x - 2}}{{x + 1}} = 3$.

Suy ra y = 3 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

d) Đúng. Đồ thị hàm số giao với Ox tại $\left( {\frac{2}{3};0} \right)$, giao với Oy tại (0; −2).

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Sai. b) Sai. c) Đúng. d) Đúng.

a) Sai. Có $y' = \frac{{\left( {2x - 3} \right)\left( {x - 1} \right) - \left( {{x^2} - 3x + 6} \right)}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} = \frac{{{x^2} - 2x - 3}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}$.

b) Sai. Có y' < 0 Û x$^{2}$ – 2x – 3 < 0 Û −1 < x < 3. Vậy y' < 0 khi x Î (−1; 3).

c) Đúng. Có y' = 0 Û x$^{2}$ – 2x – 3 = 0 Û x = 3 hoặc x = −1.

Bảng biến thiên

d) Đúng. Hàm số đồng biến trên các khoảng (−∞; −1) và (3; +∞).

Hàm số nghịch biến trên các khoảng (−1; 1) và (1; 3).

Đồ thị hàm số đạt cực đại tại (−1; −5) và đạt cực tiểu tại (3; 3).

Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là x = 1 và tiệm cận xiên là y = x – 2.

Đồ thị hàm số không cắt trục Ox và giao với trục Oy tại (0; −6).

Đồ thị hàm số có tâm đối xứng là (1; −1).

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 0,2

Có $y = \frac{{2{x^2} + x + 7}}{{x - 1}} = 2x + 3 + \frac{{10}}{{x - 1}}$.

Có $\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \left[ {y - \left( {2x + 3} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \frac{{10}}{{x - 1}} = 0$.

Suy ra y = 2x + 3 là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{2{x^2} + x + 7}}{{x - 1}} = + \infty$; $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{{2{x^2} + x + 7}}{{x - 1}} = - \infty$.

Suy ra x = 1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Tọa độ tâm đối xứng của đồ thị là nghiệm của hệ $\left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 2x + 3\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 5\end{array} \right. \Rightarrow I\left( {1;5} \right)$.

Do đó c = 1; d = 5. Vậy $\frac{c}{d} = 0{,}2$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 12

Có y' = 6x$^{2}$ – 8x – 14; y' = 0 Û 6x$^{2}$ – 8x – 14 = 0 Û $x = - 1$ hoặc $x = \frac{7}{3}$.

Có y' < 0 $\Leftrightarrow - 1 < x < \frac{7}{3}$.

Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng $\left( { - 1;\frac{7}{3}} \right)$.

Từ đó a = −1; $b = \frac{7}{3}$. Do đó 3b – 5a $= 3 \cdot \frac{7}{3} - 5 \cdot \left( { - 1} \right) = 12$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 5

Có y' = 3x$^{2}$ – 12x + 9; y' = 0 Û x = 1 hoặc x = 3.

Hàm số đạt cực đại tại x = 1 và đạt cực tiểu tại x = 3.

Suy ra a = 1; b = 3.

Vậy S = 2‧1 + 3 = 5.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 2

Gọi điểm M(x$_{0}$; y$_{0}$) thuộc đồ thị (C) có hoành độ và tung độ đều nguyên với x$_{0}$ ≠ 2.

Ta có ${y_0} = \frac{{ - {x_0} + 1}}{{{x_0} - 2}} = \frac{{ - \left( {{x_0} - 2} \right) - 1}}{{{x_0} - 2}} = - 1 - \frac{1}{{{x_0} - 2}}$.

Vì y$_{0}$ nguyên nên x$_{0}$ – 2 Î Ư(1) = {−1; 1}.

Do đó x$_{0}$ – 2 = −1 Þ x$_{0}$= 1 Þ y$_{0}$ = 0.

x$_{0}$ – 2 = 1 Þ x$_{0}$= 3 Þ y$_{0}$ = −2.

Vậy có 2 điểm thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 1

Hoành độ giao điểm là nghiệm của phương trình $\frac{{2x + 4}}{{x - 1}} = x + 1$Û 2x + 4 = x$^{2}$ – 1

Û x$^{2}$ – 2x – 5 = 0 Û $x = 1 + \sqrt 6$ hoặc $x = 1 - \sqrt 6$.

Khi đó hoành độ trung điểm của đoạn MN là $\frac{{1 + \sqrt 6 + 1 - \sqrt 6 }}{2} = 1$.