Bài tập Khai căn bậc hai của phép chia lớp 9 (có lời giải)

Đáp án đúng là: A

Ta có:

$\left( {\sqrt {\frac{1}{7}} - \sqrt {\frac{{16}}{7}} + \sqrt 7 } \right):\sqrt 7 = \left( {\sqrt {\frac{1}{7}} - \sqrt {\frac{{16}}{7}} + \sqrt 7 } \right).\frac{1}{{\sqrt 7 }} = \sqrt {\frac{1}{7}} .\frac{1}{{\sqrt 7 }} - \sqrt {\frac{{16}}{7}} .\frac{1}{{\sqrt 7 }} + \sqrt 7 .\frac{1}{{\sqrt 7 }}$

$= \frac{1}{7} - \frac{4}{7} + 1 = \frac{4}{7}$.

Đáp án đúng là: A

Ta có: $\sqrt {36 - 12\sqrt 5 } :\sqrt 6 = \sqrt {\frac{{36 - 2.6\sqrt 5 }}{6}} = \sqrt {6 - 2\sqrt 5 } = \sqrt {5 - 2\sqrt 5 + 1}$

$= \sqrt {{{\left( {\sqrt 5 - 1} \right)}^2}} = \sqrt 5 - 1$.

Đáp án đúng là: B

Ta có:

$\left( {\sqrt {32} + 3\sqrt {18} } \right):\sqrt 2 = \frac{{\sqrt {32} }}{{\sqrt 2 }} + \frac{{3\sqrt {18} }}{{\sqrt 2 }} = \sqrt {\frac{{32}}{2}} + 3.\sqrt {\frac{{18}}{2}} = \sqrt {16} + 3\sqrt 9 = 4 + 3.3 = 13$.

Đáp án đúng là: A

$\left( {20\sqrt {300} - 15\sqrt {675} + 5\sqrt {75} } \right):\sqrt {15} = \frac{{20\sqrt {300} }}{{\sqrt {15} }} - \frac{{15\sqrt {675} }}{{\sqrt {15} }} + \frac{{5\sqrt {75} }}{{\sqrt {15} }}$

$=20.\sqrt{\frac{300}{15}}-15.\sqrt{\frac{675}{15}}+5.\sqrt{\frac{75}{15}}=20.2\sqrt{5}-15.3\sqrt{5}+5\sqrt{5}=40\sqrt{5}-45\sqrt{5}+5\sqrt{5}=0$

Đáp án đúng là: A

$C = \left( {\frac{{1 - \sqrt 2 }}{{1 + \sqrt 2 }} - \frac{{1 + \sqrt 2 }}{{1 - \sqrt 2 }}} \right):\sqrt {72} = \left( {\frac{{1 - \sqrt 2 }}{{1 + \sqrt 2 }} - \frac{{1 + \sqrt 2 }}{{1 - \sqrt 2 }}} \right).\frac{1}{{\sqrt {72} }}$

$= \left[ {\frac{{{{\left( {1 - \sqrt 2 } \right)}^2} - {{\left( {1 + \sqrt 2 } \right)}^2}}}{{\left( {1 + \sqrt 2 } \right)\left( {1 - \sqrt 2 } \right)}}} \right].\frac{1}{{6\sqrt 2 }} = \frac{{1 - 2\sqrt 2 + 2 - 1 - 2\sqrt 2 - 2}}{{ - 1}}.\frac{1}{{6\sqrt 2 }}$

$=\frac{4\sqrt{2}}{6\sqrt{2}}=\frac{2}{3}$

Đáp án đúng là: A

Ta có: $A = x{y^2}\sqrt {\frac{5}{{{x^2}{y^4}}}} = x{y^2}.\frac{{\sqrt 5 }}{{\sqrt {{x^2}{y^4}} }} = x{y^2}.\frac{{\sqrt 5 }}{{\left| x \right|{y^2}}} = x{y^2}.\frac{{\sqrt 5 }}{{ - x{y^2}}} = - \sqrt 5$.

Đáp án đúng là: A

Ta có: $Q = \sqrt {\frac{{36{{\left( {a - 4} \right)}^2}}}{{144}}} = \frac{{\sqrt {36} .\sqrt {{{\left( {a - 4} \right)}^2}} }}{{\sqrt {144} }} = \frac{{6.\left| {a - 4} \right|}}{{12}} = \frac{{4 - a}}{2}$ (do a < 4).

>

Đáp án đúng là: A

Ta có: $A = \sqrt {\frac{{\sqrt a - 1}}{{\sqrt b + 1}}} :\sqrt {\frac{{\sqrt b - 1}}{{\sqrt a + 1}}} = \sqrt {\frac{{\sqrt a - 1}}{{\sqrt b + 1}}.} \sqrt {\frac{{\sqrt a + 1}}{{\sqrt b - 1}}} = \sqrt {\frac{{\sqrt a - 1}}{{\sqrt b + 1}}.\frac{{\sqrt a + 1}}{{\sqrt b - 1}}}$$= \sqrt {\frac{{a - 1}}{{b - 1}}}$.

Đáp án đúng là: A

Ta có:

$A = \sqrt {\frac{{{{\left( {x - 1} \right)}^4}}}{{{{\left( {2 - x} \right)}^2}}}} + \frac{{{x^2} - 2}}{{x - 2}} = \frac{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}{{2 - x}} + \frac{{{x^2} - 2}}{{x - 2}} = \frac{{{x^2} - 2x + 1 - {x^2} + 2}}{{2 - x}} = \frac{{ - 2x + 3}}{{2 - x}} = \frac{{2x - 3}}{{x - 2}}.$

Đáp án đúng là: A

Ta có: $A = \frac{{{x^2} - 2x\sqrt 2 + 2}}{{{x^2} - 2}} = \frac{{{{\left( {x - \sqrt 2 } \right)}^2}}}{{\left( {x - \sqrt 2 } \right)\left( {x + \sqrt 2 } \right)}} = \frac{{x - \sqrt 2 }}{{x + \sqrt 2 }}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Sai.

a) Đúng.

Ta có: $A = \frac{{\sqrt {10} - \sqrt {15} }}{{\sqrt 8 - \sqrt {12} }} = \frac{{\sqrt 5 .\sqrt 2 - \sqrt 5 .\sqrt 3 }}{{\sqrt 4 .\sqrt 2 - \sqrt 4 .\sqrt 3 }} = \frac{{\sqrt 5 .\left( {\sqrt 2 - \sqrt 3 } \right)}}{{\sqrt 4 .\left( {\sqrt 2 - \sqrt 5 } \right)}} = \frac{{\sqrt 5 }}{{\sqrt 4 }} = \frac{{\sqrt 5 }}{2}$.

b) Đúng.

Ta có: $B = \frac{{\sqrt 6 - \sqrt {15} }}{{\sqrt {35} - \sqrt {14} }} = \frac{{\sqrt {2.3} - \sqrt {3.5} }}{{\sqrt {5.7} - \sqrt {7.2} }} = \frac{{\sqrt 3 .\left( {\sqrt 2 - \sqrt 5 } \right)}}{{\sqrt 7 .\left( {\sqrt 5 - \sqrt 2 } \right)}} = \frac{{ - \sqrt 3 }}{{\sqrt 7 }} = \frac{{ - \sqrt 3 .\sqrt 7 }}{7} = \frac{{ - \sqrt {21} }}{7}$

c) Sai.

Ta có: $A = C = \frac{{5 + \sqrt 5 }}{{\sqrt {10} + \sqrt 2 }} = \frac{{\sqrt 5 .\left( {\sqrt 5 + 1} \right)}}{{\sqrt 2 .\left( {\sqrt 5 + 1} \right)}} = \frac{{\sqrt 5 }}{{\sqrt 2 }} = \frac{{\sqrt {10} }}{2}$.

Vì $\sqrt {10} > \sqrt 5$ nên $\frac{{\sqrt {10} }}{2} > \frac{{\sqrt 5 }}{2}$ hay C > A.

d) Sai.

Nhận thấy B < 0 < A < C nên sắp xếp theo thứ tự tăng dần các giá trị của biểu thức được B, A, C.

Hướng dẫn giải

Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Đúng.

a) Đúng.

Ta có: $a = \sqrt {2 + \sqrt {\frac{{5 + \sqrt 5 }}{2}} } + \sqrt {2 - \sqrt {\frac{{5 + \sqrt 5 }}{2}} }$

Suy ra ${a^2} = {\left( {\sqrt {2 + \sqrt {\frac{{5 + \sqrt 5 }}{2}} } + \sqrt {2 - \sqrt {\frac{{5 + \sqrt 5 }}{2}} } } \right)^2}$

$${a^2} = {\left( {\sqrt {2 + \sqrt {\frac{{5 + \sqrt 5 }}{2}} } } \right)^2} + {\left( {\sqrt {2 - \sqrt {\frac{{5 + \sqrt 5 }}{2}} } } \right)^2} + 2\sqrt {2 + \sqrt {\frac{{5 + \sqrt 5 }}{2}} } .\sqrt {2 - \sqrt {\frac{{5 + \sqrt 5 }}{2}} }$$

$${a^2} = 2 + \sqrt {\frac{{5 + \sqrt 5 }}{2}} + 2 - \sqrt {\frac{{5 + \sqrt 5 }}{2}} + 2\sqrt {\left( {2 + \sqrt {\frac{{5 + \sqrt 5 }}{2}} } \right).\left( {2 - \sqrt {\frac{{5 + \sqrt 5 }}{2}} } \right)}$$

$${a^2} = 4 + 2\sqrt {4 - {{\left( {\sqrt {\frac{{5 + \sqrt 5 }}{2}} } \right)}^2}}$$

$${a^2} = 4 + 2\sqrt {4 - \frac{{5 + \sqrt 5 }}{2}}$$

$${a^2} = 4 + \sqrt {6 - 2\sqrt 5 }$$

$${a^2} = 4 + \sqrt {{{\left( {\sqrt 5 - 1} \right)}^2}}$$

$${a^2} = 4 + \sqrt 5 - 1$$

$${a^2} = 3 + \sqrt 5$$

$a = \sqrt {3 + \sqrt 5 }$.

b) Sai.

Ta có: x = $\sqrt {2 + \sqrt {\frac{{5 + \sqrt 5 }}{2}} } + \sqrt {2 - \sqrt {\frac{{5 + \sqrt 5 }}{2}} } - \sqrt {3 - \sqrt 5 } - 1$

x = $\sqrt {3 + \sqrt 5 } - \sqrt {3 - \sqrt 5 } - 1$.

Lại có ${\left( {\sqrt {3 + \sqrt 5 } - \sqrt {3 - \sqrt 5 } } \right)^2} = 3 + \sqrt 5 + 3 - \sqrt 5 - 2\sqrt {\left( {3 - \sqrt 5 } \right)\left( {3 + \sqrt 5 } \right)} = 2$

Suy ra $\sqrt {3 + \sqrt 5 } - \sqrt {3 - \sqrt 5 } = \sqrt 2$

Vậy x = $\sqrt 2 - 1$.

c) Đúng.

Thay $x = \sqrt 2 - 1$ vào x$^{2}$ + 2x – 1 được

${\left( {\sqrt 2 - 1} \right)^2} + 2\left( {\sqrt 2 - 1} \right) - 1 = 2 - 2\sqrt 2 + 1 + 2\sqrt 2 - 2 - 1 = 0$.

d) Đúng

Ta có: A = 2x$^{3}$ + 3x$^{2}$ – 4x + 2

= 2x$^{3}$ + 4x$^{2}$ – 2x – x$^{2}$ – 2x + 2

= 2x(x$^{2}$ + 2x – 1) – (x$^{2}$ + 2x – 1) + 1

Thay $x = \sqrt 2 - 1$ và x$^{2}$ + 2x – 1 = 0 vào A, ta được:

A = $2.\left( {\sqrt 2 - 1} \right).0 - 0 + 1 = 1$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Sai.

a) Đúng.

Ta có: $A = \frac{{\sqrt {22} + \sqrt {33} }}{{\sqrt {14} + \sqrt {21} }} = \frac{{\sqrt {2.11} + \sqrt {3.11} }}{{\sqrt {2.7} + \sqrt {3.7} }} = \frac{{\sqrt {11} \left( {\sqrt 2 + \sqrt 3 } \right)}}{{\sqrt 7 \left( {\sqrt 2 + \sqrt 3 } \right)}} = \frac{{\sqrt {11} }}{{\sqrt 7 }} = \sqrt {\frac{{11}}{7}}$.

b) Đúng.

Ta có: $B = \frac{{\sqrt {30} - \sqrt {18} }}{{\sqrt {20} - \sqrt {12} }} = \frac{{\sqrt {3.10} - \sqrt {3.6} }}{{\sqrt {2.10} - \sqrt {2.6} }} = \frac{{\sqrt 3 \left( {\sqrt {10} - \sqrt 6 } \right)}}{{\sqrt 2 \left( {\sqrt {10} - \sqrt 6 } \right)}} = \frac{{\sqrt 3 }}{{\sqrt 2 }} = \sqrt {\frac{3}{2}}$.

c) Sai.

Ta có: $C = \frac{{2 + \sqrt 2 }}{{\sqrt 6 + \sqrt 3 }} = \frac{{\sqrt 2 \left( {\sqrt 2 + 1} \right)}}{{\sqrt 3 \left( {\sqrt 2 + 1} \right)}} = \frac{{\sqrt 2 }}{{\sqrt 3 }} = \sqrt {\frac{2}{3}}$.

Do đó, biểu thức B và C có giá trị khác nhau.

d) Sai.

Vì $\sqrt {\frac{2}{3}} < \sqrt {\frac{3}{2}} < \sqrt {\frac{{11}}{7}}$ nên C < A < B.

Sắp xếp theo thứ tự tăng dần của các biểu thức đã cho là C; A; B..

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: a) Đúng. b) Sai. c) Sai. d) Đúng.

a) Đúng.

Ta có: $E = \frac{{\sqrt {14} - \sqrt {21} }}{{\sqrt {10} - \sqrt {15} }} = \frac{{\sqrt {2.7} - \sqrt {3.7} }}{{\sqrt {2.5} - \sqrt {3.5} }} = \frac{{\sqrt 7 .\left( {\sqrt 2 - \sqrt 3 } \right)}}{{\sqrt 5 \left( {\sqrt 2 - \sqrt 3 } \right)}} = \frac{{\sqrt 7 }}{{\sqrt 5 }} = \sqrt {\frac{7}{5}}$.

b) Sai.

Ta có: $F = \frac{{\sqrt 6 - \sqrt {10} }}{{\sqrt {21} - \sqrt {35} }} = \frac{{\sqrt {3.2} - \sqrt {2.5} }}{{\sqrt {3.7} - \sqrt {5.7} }} = \frac{{\sqrt 2 \left( {\sqrt 3 - \sqrt 5 } \right)}}{{\sqrt 7 \left( {\sqrt 3 - \sqrt 5 } \right)}} = \frac{{\sqrt 2 }}{{\sqrt 7 }} = \sqrt {\frac{2}{7}}$.

c) Sai.

Ta có: $G = \frac{{3 + \sqrt 3 }}{{\sqrt 6 + \sqrt 2 }} = \frac{{\sqrt 3 \left( {\sqrt 3 + 1} \right)}}{{\sqrt 2 \left( {\sqrt 3 + 1} \right)}} = \frac{{\sqrt 3 }}{{\sqrt 2 }} = \sqrt {\frac{3}{2}}$.

Vì $\frac{7}{5} < \frac{3}{2}$ nên $\sqrt {\frac{7}{5}} < \sqrt {\frac{3}{2}}$ nên E < G.

d) Đúng.

Vì $\sqrt {\frac{2}{7}} < \sqrt {\frac{7}{5}} < \sqrt {\frac{3}{2}}$ nên F < E < G.

Do đó, sắp xếp theo thứ tự tăng dần ta được F; E; G.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: a) Đúng. b) Đúng. c) Đúng. d) Sai.

a) Đúng.

Ta có: $M = \frac{{\sqrt {15} - \sqrt {10} }}{{\sqrt 6 - 2}} = \frac{{\sqrt 5 \left( {\sqrt 3 - \sqrt 2 } \right)}}{{\sqrt 2 \left( {\sqrt 3 - \sqrt 2 } \right)}} = \frac{{\sqrt 5 }}{{\sqrt 2 }} = \sqrt {\frac{5}{2}} = \sqrt {\frac{{10}}{4}} = \frac{{\sqrt {10} }}{{\sqrt 4 }} = \frac{{\sqrt {10} }}{2}$.

b) Đúng.

Ta có: $\,N = \frac{{\sqrt {12} + \sqrt {20} }}{{\sqrt {21} + \sqrt {35} }} = \frac{{2\left( {\sqrt 3 + \sqrt 5 } \right)}}{{\sqrt 7 \left( {\sqrt 3 + \sqrt 5 } \right)}} = \frac{2}{{\sqrt 7 }} = \frac{{\sqrt 4 }}{{\sqrt 7 }} = \sqrt {\frac{4}{7}}$.

c) Đúng.

Ta có: $P = \frac{{5 - \sqrt 5 }}{{\sqrt {10} - \sqrt 2 }} = \frac{{\sqrt 5 \left( {\sqrt 5 - 1} \right)}}{{\sqrt 2 \left( {\sqrt 5 - 1} \right)}} = \frac{{\sqrt 5 }}{{\sqrt 2 }} = \sqrt {\frac{5}{2}}$.

Nhận thấy $P = M = \sqrt {\frac{5}{2}}$.

d) Sai.

Ta có: $M + N + P = 2\sqrt {\frac{5}{2}} + \sqrt {\frac{4}{7}} = \frac{{7\sqrt {10} + 2\sqrt 7 }}{7} = 3{,}918...$

Do đó, tổng của M + N + P có giá trị nhỏ hơn 4.

Hướng dẫn giải

Đáp án: 16

Ta có: $C = \left( {5\sqrt {28} - 2\sqrt {63} + 3\sqrt {112} } \right):\sqrt 7$

$= \frac{{5\sqrt {28} - 2\sqrt {63} + 3\sqrt {112} }}{{\sqrt 7 }}$

$= \frac{{5\sqrt {28} }}{{\sqrt 7 }} - \frac{{2\sqrt {63} }}{{\sqrt 7 }} + \frac{{3\sqrt {112} }}{{\sqrt 7 }}$

$= 5.\sqrt {\frac{{28}}{7}} - 2\sqrt {\frac{{63}}{7}} + 3\sqrt {\frac{{112}}{7}}$

$= 5.\sqrt 4 - 2\sqrt 9 + 3\sqrt {16}$

$= 5.2 - 2.3 + 3.4$

= 16.

Hướng dẫn giải

Đáp án: 4

Ta có: $D = \sqrt {\frac{{2 - \sqrt 3 }}{{2 + \sqrt 3 }}} + \sqrt {\frac{{2 + \sqrt 3 }}{{2 - \sqrt 3 }}}$

$= \frac{{\sqrt {2 - \sqrt 3 } }}{{\sqrt {2 + \sqrt 3 } }} + \frac{{\sqrt {2 + \sqrt 3 } }}{{\sqrt {2 - \sqrt 3 } }}$

$$= \frac{{\left( {\sqrt {2 - \sqrt 3 } } \right)\left( {\sqrt {2 - \sqrt 3 } } \right) + \left( {\sqrt {2 + \sqrt 3 } } \right)\left( {\sqrt {2 + \sqrt 3 } } \right)}}{{\left( {\sqrt {2 + \sqrt 3 } } \right)\left( {\sqrt {2 - \sqrt 3 } } \right)}}$$

$$= \frac{{{{\left( {\sqrt {2 - \sqrt 3 } } \right)}^2} + {{\left( {\sqrt {2 + \sqrt 3 } } \right)}^2}}}{{\sqrt {\left( {2 + \sqrt 3 } \right)\left( {2 - \sqrt 3 } \right)} }}$$

$$= \frac{{2 - \sqrt 3 + 2 + \sqrt 3 }}{{\sqrt {{2^2} - \left( {\sqrt 3 } \right)} }}$$

$= \frac{4}{1} = 4$.

Vậy A = 4.

Hướng dẫn giải

Đáp án: 8

Ta có: $E = \sqrt {\frac{{\sqrt a - 1}}{{\sqrt b + 1}}} :\sqrt {\frac{{\sqrt b - 1}}{{\sqrt a + 1}}}$

$= \sqrt {\frac{{\sqrt a - 1}}{{\sqrt b + 1}}} .\sqrt {\frac{{\sqrt a + 1}}{{\sqrt b - 1}}}$

$= \sqrt {\frac{{\sqrt a - 1}}{{\sqrt b + 1}}.\frac{{\sqrt a + 1}}{{\sqrt b - 1}}}$

$= \sqrt {\frac{{\left( {\sqrt a - 1} \right)\left( {\sqrt a + 1} \right)}}{{\left( {\sqrt b + 1} \right)\left( {\sqrt b - 1} \right)}}}$

$= \sqrt {\frac{{a - 1}}{{b - 1}}}$.

Thay a = 7,25, b = 3,25 (thỏa mãn điều kiện) vào E, ta có:

$E = \sqrt {\frac{{7{,}25 - 1}}{{3{,}25 - 1}}} = \sqrt {\frac{{6{,}25}}{{2{,}25}}} = \sqrt {\frac{{625}}{{225}}} = \sqrt {{{\left( {\frac{{25}}{{15}}} \right)}^2}} = \frac{{25}}{{15}} = \frac{5}{3}$.

Vậy $\frac{m}{n} = \frac{5}{3}$ hay m = 5 và n = 3.

Vậy T = m + n = 3 + 5 = 8.

Hướng dẫn giải

Đáp án: −3

Với a = 2,25 và b = 0,25, ta có:

$M = \sqrt {\frac{{\sqrt {2{,}25} - 1}}{{\sqrt {0{,}25} + 2}}} :\sqrt {\frac{{\sqrt {0{,}25} - 1}}{{\sqrt {2{,}25} - 2}}} = \sqrt {\frac{{1{,}5 - 1}}{{0{,}5 + 2}}} :\sqrt {\frac{{0{,}5 - 1}}{{1{,}5 - 2}}} = \sqrt {\frac{1}{5}} :1 = \frac{1}{{\sqrt 5 }}$.

Do đó, m = 1 và n = 5.

Vậy T = 2.1 – 5 = −3.

Hướng dẫn giải

Đáp án: 28

Thay x = 12,25 và y = 6,25 được :

$K = \sqrt {\frac{{\sqrt {12{,}25} - 2}}{{\sqrt {6{,}25} + 3}}} :\sqrt {\frac{{\sqrt {6{,}25} - 2}}{{\sqrt {12{,}25} + 3}}} = \sqrt {\frac{{3{,}5 - 2}}{{2{,}5 + 3}}} :\sqrt {\frac{{2{,}5 - 2}}{{3{,}5 + 3}}}$

$= \sqrt {\frac{{1{,}5}}{{5{,}5}}} :\sqrt {\frac{{0{,}5}}{{6{,}5}}} = \sqrt {\frac{{1{,}5}}{{5{,}5}}} .\sqrt {\frac{{6{,}5}}{{0{,}5}}} = \sqrt {\frac{{1{,}5}}{{5{,}5}}.\frac{{6{,}5}}{{0{,}5}}} = \sqrt {\frac{{39}}{{11}}}$.

Do đó p =39 và q = 11.

Vậy S = p – q = 39 – 11 = 28.