Bài tập Hệ trục tọa độ trong không gian Xác định tọa độ điểm, tọa độ vectơ lớp 12 (có lời giải)

Đáp án đúng là: D

$\overrightarrow {NM} = \left( {1 - 3; - 2 - 4;3 + 5} \right) = \left( { - 2; - 6;8} \right)$.

Đáp án đúng là: A

Ta có $\overrightarrow {AO} = \overrightarrow i - 2\overrightarrow j + 3\overrightarrow k$$\Rightarrow \overrightarrow {OA} = - \overrightarrow i + 2\overrightarrow j - 3\overrightarrow k$ A(−1; 2; −3).

Đáp án đúng là: A

Ta có A(2; −3; 4) $\overrightarrow {BA} = \left( {0; - 4;0} \right)$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Ta có $\overrightarrow b = 2\overrightarrow i + 3\overrightarrow j - \overrightarrow k \Rightarrow \overrightarrow b = \left( {2;3; - 1} \right)$.

Để $\overrightarrow a = \overrightarrow b$ thì m = 3.

Đáp án đúng là: D

Hình chiếu vuông góc của điểm A lên mặt phẳng (Oyz) có tọa độ là (0; −2; 3).

Đáp án đúng là: C

Vì ABCD là hình bình hành suy ra $\overrightarrow {AD} = \overrightarrow {BC}$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_D} - 3 = 1\\{y_D} - 1 = 3\\{z_D} - 2 = - 1\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_D} = 4\\{y_D} = 4\\{z_D} = 1\end{array} \right.$.

Vậy D(4; 4; 1).

Đáp án đúng là: B

Ta có $\overrightarrow {OM} = \left( {2x - 4} \right)\overrightarrow i - 4\overrightarrow j + \left( {y - 1} \right)\overrightarrow k$ M(2x – 4; −4; y – 1).

Vì M Oy nên $\left\{ \begin{array}{l}2x - 4 = 0\\y - 1 = 0\end{array} \right.$$\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = 1\end{array} \right.$. Vậy x + 2y = 4.

Đáp án đúng là: A

$\overrightarrow b = 4\overrightarrow j - \overrightarrow i$$\Rightarrow \overrightarrow b = \left( { - 1;4;0} \right)$.

Đáp án đúng là: D

Ta có $\overrightarrow {AB} = \left( {3; - 1;5} \right)$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_B} - {x_A} = 3\\{y_B} - {y_A} = - 1\\{z_B} - {z_A} = 5\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_B} - 1 = 3\\{y_B} - 3 = - 1\\{z_B} + 1 = 5\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_B} = 4\\{y_B} = 2\\{z_B} = 4\end{array} \right.$.

Vậy B(4; 2; 4) hay $\overrightarrow {OB} = \left( {4;2;4} \right)$.

Đáp án đúng là: C

Theo giả thiết ta có $\overrightarrow {AB} = 2\overrightarrow i ;\overrightarrow {AD} = 4\overrightarrow j ;\overrightarrow {AA'} = 3\overrightarrow k$.

Theo quy tắc hình hộp ta có $\overrightarrow {AC'} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AA'} = 2\overrightarrow i + 4\overrightarrow j + 3\overrightarrow k$.

Do đó C'(2; 4; 3). Vậy a + b – c = 2 + 4 – 3 = 3.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Điểm đối xứng của M(x; y; z) qua trục Oz có dạng toạ độ M'(−x; −y; z) nên chọn (−4; 5; 3).

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

Điểm thuộc mặt phẳng toạ độ (Oxy) có dạng toạ độ là: (x; y; 0) nên chọn M(3; 4; 0).

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Tọa độ điểm B là (−2; −2; 4).

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

Vectơ $\overrightarrow u = 2\overrightarrow i - 3\overrightarrow j + \overrightarrow k$ có tọa độ (2; −3; 1).

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Ta có $\overrightarrow b = 2\overrightarrow i + 3\overrightarrow j - \overrightarrow k \Rightarrow \overrightarrow b = \left( {2;3; - 1} \right)$.

Để $\overrightarrow a = \overrightarrow b$ thì m = 3.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Sai. b) Đúng. c) Đúng. d) Sai.

$\overrightarrow {ON} = 2\overrightarrow i + \overrightarrow k$, suy ra toạ độ điểm N(2; 0; 1).

a) Sai. Toạ độ điểm N(2; 0; 1).

b) Đúng. Hình chiếu vuông góc của M trên trục Oz là điểm M'(0; 0; 6).

c) Đúng. Hình chiếu vuông góc của M trên mặt phẳng (Oxy) là điểm N(2; 4; 0).

d) Sai. Đối xứng với điểm M qua mặt phẳng (Oyz) là điểm K(−2; 4; 6).

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Sai.

a) Đúng. Toạ độ điểm P(2; 3; 3).

b) Đúng. Hình chiếu của P trên trục Ox là điểm Q(2; 0; 0).

c) Sai. Hình chiếu của điểm P trên mặt phẳng (Oxy) là điểm P'(2; 3; 0).

d) Sai. Điểm đối xứng của điểm P qua mặt phẳng (Oyz) là điểm M(−2; 3; 3).

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Đúng. d) Sai.

a) Đúng. A(2; 0; 0) $\Rightarrow \overrightarrow {OA} = 2\overrightarrow i$.

b) Đúng. $\overrightarrow {OB} = 3\overrightarrow j ;\overrightarrow {OC} = 5\overrightarrow k$.

Lại có $\overrightarrow {OE} = \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} = 3\overrightarrow j + 5\overrightarrow k$Þ E(0; 3; 5).

c) Đúng. Có $\overrightarrow {OM} = \overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} = 2\overrightarrow i + 3\overrightarrow j + 5\overrightarrow k \Rightarrow M\left( {2;3;5} \right)$.

d) Sai. $\overrightarrow {OM} = \overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} = 2\overrightarrow i + 3\overrightarrow j + 5\overrightarrow k$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Sai. d) Đúng.

a) Đúng. $\overrightarrow {AB} = \left( {3 - 1;1 - 2;5 - 3} \right) = \left( {2; - 1;2} \right)$.

b) Sai. $\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BA} = \overrightarrow 0$.

c) Sai. $\overrightarrow a = 2\overrightarrow i - \overrightarrow j + 4\overrightarrow k \Rightarrow \overrightarrow a = \left( {2; - 1;4} \right)$.

Giả sử M(x; y; z), Khi đó $\overrightarrow {BM} = \left( {x - 3;y - 1;z - 5} \right)$.

Để $\overrightarrow {BM} = \overrightarrow a$ thì $\left\{ \begin{array}{l}x - 3 = 2\\y - 1 = - 1\\z - 5 = 4\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 5\\y = 0\\z = 9\end{array} \right.$ $\Rightarrow M\left( {5;0;9} \right)$.

d) Đúng. Có $\overrightarrow {BA} = \left( { - 2;1; - 2} \right)$.

Giả sử N(x; y; z).

Để $\overrightarrow {AN} = \overrightarrow {BA}$ thì $\left\{ \begin{array}{l}x - 1 = - 2\\y - 2 = 1\\z - 3 = - 2\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - 1\\y = 3\\z = 1\end{array} \right.$Þ N(−1; 3; 1).

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Đúng. d) Sai.

a) Đúng. Ta có A(2; 0; 0); C(0; 3; 0). Khi đó $\overrightarrow {AC} = \left( { - 2;3;0} \right)$.

b) Đúng. A'(2; 0; 4). Khi đó $\overrightarrow {AA'} = \left( {0;0;4} \right) \Rightarrow \overrightarrow {AA'} = 4\overrightarrow k$.

c) Đúng. Để $\overrightarrow {OM} = \overrightarrow {OB}$ thì M ≡ B(2; 3; 0).

d) Sai. Có $\overrightarrow {A'C} = \left( { - 2;3; - 4} \right)$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 4250

Do $\overrightarrow {OA} = 3\overrightarrow i + 4\overrightarrow j - 5\overrightarrow k$ nên A(3; 4; −5).

Vậy S = 100x + 1000y + 10z = 100∙3 + 1000∙4 + 10∙(−5) = 4250.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: −346

Dựa vào hình vẽ, ta thấy M(4; 5; 4).

M'(x; y; z) là điểm đối xứng của M qua mặt phẳng (Oyz) có dạng toạ độ (−x; y; z).

Do đó M'(−4; 5; 4).

Vậy T = 100x + 10y + z = 100∙(−4) + 10∙5 + 4 = −400 + 50 + 4 = −346.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 1

Có $\overrightarrow u = 2\overrightarrow i + 4\overrightarrow k - \overrightarrow j$$\Rightarrow \overrightarrow u = \left( {2; - 1;4} \right)$.

Giả sử M(x; y; z). Khi đó $\overrightarrow {AM} = \left( {x - 1;y - 2;z - 3} \right)$.

Để $\overrightarrow {AM} = \overrightarrow u$ thì $\left\{ \begin{array}{l}x - 1 = 2\\y - 2 = - 1\\z - 3 = 4\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 3\\y = 1\\z = 7\end{array} \right.$.

Vậy tung độ của điểm M là 1.

Khi đó $\overrightarrow {AB} = \left( { - 3; - 3;1} \right),\overrightarrow {MC} = \left( {4 - x;5 - y;3 - z} \right)$.

Vì $\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CM} = \overrightarrow 0$$\Leftrightarrow \overrightarrow {AB} = - \overrightarrow {CM}$$\Leftrightarrow \overrightarrow {AB} = \overrightarrow {MC}$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 3 = 4 - x\\ - 3 = 5 - y\\1 = 3 - z\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 7\\y = 8\\z = 2\end{array} \right.$.

Vậy tung độ của điểm M là 8.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: −2

Ta có: $\overrightarrow {OM} = \overrightarrow i - 3\overrightarrow j + 4\overrightarrow k$ do đó M(1; −3; 4).

Gọi H là hình chiếu vuông góc của M trên mặt phẳng (Oxy) nên H có toạ độ là (1; −3; 0). Do đó x = 1, y = −3, z = 0.

Vậy T = x + y + z = 1 + (−3) + 0 = −2.