Bài tập Hai dạng phương trình quy về phương trình bậc hai lớp 10 (có lời giải)

Đáp án đúng là: C

Thay các nghiệm x vào phương trình thấy $x = \frac{4}{3}$ là nghiệm.

Đáp án đúng là: C

Ta có $\sqrt {2x-3} = x-3$

Bình phương hai vế của phương trình ta được:

2x - 3 = x$^{2}$ - 6x + 9

⇔ x$^{2}$ - 8x + 12 = 0

⇔ x = 2 hoặc x = 6.

Thay lần lượt hai giá trị này của x vào phương trình đã cho, ta thấy x = 6 thỏa mãn.

Vậy phương trình có tập nghiệm T = {6}.

Đáp án đúng là: B

Ta có $\sqrt {{x^2}-3x + 2} = \sqrt {x + 2}$

Bình phương hai vế của phương trình ta được:

x$^{2}$ - 3x + 2 = x + 2

⇔ x$^{2}$ - 4x = 0

⇔ x = 0 hoặc x = 4.

Thay lần lượt hai giá trị này của x vào phương trình đã cho, ta thấy x = 0 và x = 4 đều thỏa mãn.

Vậy tập nghiệm của phương trình S = {0; 4} nên tổng các nghiệm là 4.

Đáp án đúng là: C

Ta có $\sqrt {3 - x} = \sqrt {x + 2}$

Bình phương hai vế của phương trình ta được:

3 - x = x + 2

⇔ 2x = 1

⇔ x = $\frac{1}{2}$

Thay giá trị trên của x vào phương trình đã cho, ta thấy x = $\frac{1}{2}$ thỏa mãn.

Vậy tập nghiệm của phương trình là S = $\left\{ {\frac{1}{2}} \right\}$.

Đáp án đúng là: B

Ta có: $\sqrt {{x^2} + 4x-1} = x-3$

Bình phương hai vế của phương trình ta được:

x$^{2}$+ 4x - 1 = x$^{2}$ - 6x + 9

⇔ 10x = 10

⇔ x = 1

Thay giá trị trên của x vào phương trình đã cho, ta thấy x = 1 không thỏa mãn.

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.

Đáp án đúng là: D

Ta có: $\sqrt {{x^2}-7x + 10} = x-4$

Bình phương hai vế của phương trình ta được:

x$^{2}$ - 7x + 10 = x$^{2}$ - 8x + 16

⇔ x = 6.

Thay giá trị trên của x vào phương trình đã cho, ta thấy x = 6 thỏa mãn.

Mà x = 6 ∈ [5; 6]. Vậy ta chọn phương án D.

Đáp án đúng là: A

Phương trình ${x^2}-3x + 86-19\sqrt {{x^2}-3x + 16} = 0$

$\Leftrightarrow {x^2}-3x + 16-19\sqrt {{x^2}-3x + 16} + 70 = 0$ (*)

Đặt $t = \sqrt {{x^2}-3x + 16}$, t ≥ 0. Khi đó (*) trở thành

t$^{2}$ - 19t + 70 = 0

⇔ t = 14 (thỏa mãn) hoặc t = 5 (thỏa mãn)

Với t = 14 ta có $\sqrt {{x^2}-3x + 16} = 14$

⇔ x$^{2}$ - 3x - 180 = 0

⇔ x = 15 hoặc x = -12.

Với t = 5 ta có $\sqrt {{x^2}-3x + 16} = 5$

⇔ x$^{2}$ - 3x - 9 = 0

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{{3 + 3\sqrt 5 }}{2}\\x = \frac{{3-3\sqrt 5 }}{2}\end{array} \right.$

Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm.

Đáp án đúng là: A

Điều kiện: x - m ≥ 0 ⇔ x ≥ m

Phương trình tương đương x = 1 hoặc x = m.

Yêu cầu bài toán ⇔ m < 1.

Vậy m ∈ (-∞; 1).

Đáp án đúng là: D

Ta có: $\sqrt {2{x^2} - 2x - 2m} = x - 2$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 2 \ge 0\\2{x^2} - 2x - 2m = {\left( {x - 2} \right)^2}\end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 2\\{x^2} + 2x - 4 = 2m \left( * \right)\end{array} \right.$

Đặt f(x) = x$^{2}$ + 2x - 4 , (x ≥ 2)

Xét hàm số f(x) trên ℝ, f(x) có a = 1 > 0 nên nghịch biến trên khoảng (-∞; -1) và đồng biến trên khoảng (-1; +∞).

Ta có BBT của f(x) trên khoảng (2; +∞) như sau:

Phương trình đã cho có nghiệm ⇔ (*) có nghiệm x ≥ 2 ⇔ 2m ≥ 4 ⇔ m ≥ 2.

Đáp án đúng là: B

Ta có: ${x^2}-4\sqrt {{x^2} + 1} -\left( {m-1} \right) = 0$ $\Leftrightarrow {x^2} + 1-4\sqrt {{x^2} + 1} -m = 0$.

Đặt $t = \sqrt {{x^2} + 1}$

Với x ∈ $\left( {0; \sqrt {15} } \right)$ thì t ∈ (1; 4)

Phương trình trở thành: t$^{2}$ - 4t - m = 0 ⇔ m = t$^{2}$ - 4t (*)

Đặt f(t) = t$^{2}$ - 4t với t ∈ (1; 4).

Xét hàm số f(t) trên ℝ, f(t) có a = 1 > 0 nên nghịch biến trên khoảng (-∞; 2) và đồng biến trên khoảng (2; +∞).

Ta có BBT:

Dựa vào BBT, suy ra phương trình đã cho có nghiệm thuộc khoảng $\left( {0; \sqrt {15} } \right)$

⇔ Phương trình (*) có nghiệm thuộc khoảng t ∈ (1; 4) ⇔ -4 ≤ m ≤ 0

Vậy các giá trị nguyên m thỏa là m ∈ {-4; -3; -2; -1}.