Bài tập Góc ở tâm và số đo cung bị chắn lớp 9 (có lời giải)

Đáp án đúng là: A

Góc có đỉnh trùng với tâm đường tròn được góc ở tâm.

Đáp án đúng là: D

Trong hai cung của một đường tròn hay hai đường tròn bằng nhau, cung nào nhỏ hơn thì có số đo nhỏ hơn.

Đáp án đúng là: D

Trong hai cung của một đường tròn hay hai đường tròn bằng nhau, hai cung bằng nhau nếu chúng có số đo bằng nhau.

Đáp án đúng là: C

Vì MA, MB là hai tiếp tuyến của đường tròn (O) nên OM là tia phân giác của $\widehat {AOB}$; MO là tia phân giác của $\widehat {AMB}$ hay $\widehat {AMO} = \frac{1}{2}\widehat {AMB} = 25^\circ$.

MÀ tam giác OAM vuông tại A (do MA là tiếp tuyến) nên $\widehat {AOM} = 90^\circ - \widehat {AMO} = 65^\circ$.

Mà OM là tia phân giác của $\widehat {AOB}$ nên $\widehat {MOB} = \widehat {MOA} = 65^\circ$.

Vậy $\widehat {OMA} = 25^\circ ;\widehat {MOB} = 65^\circ$.

Đáp án đúng là: C

Xét tứ giác OAMB có $\widehat {BOA} + \widehat {OBM} + \widehat {OAM} + \widehat {AMB} = 360^\circ$

Suy ra $\widehat {BOA} = 360^\circ - \left( {\widehat {OBM} + \widehat {OAM} + \widehat {AMB}} \right) = 360^\circ - \left( {90^\circ + 90^\circ + 50} \right) = 130^\circ$.

Vậy số đo của cung nhỏ AB là 130°, số đo cung lớn AB là: 360° − 130° = 230°.

Đáp án đúng là: D

Vì tam giác ABC đều có tâm O là tâm đường tròn ngoại tiếp nên O cũng là giao ba được phân giác nên BO, CO lần lượt là các đường phân giác $\widehat {ABC},\widehat {ACB}$.

Ta có: $\widehat {BCO} = \frac{1}{2}\widehat {ACB} = 30^\circ$; $\widehat {CBO} = \frac{1}{2}\widehat {ABC} = 30^\circ$.

Xét tam giác BOC có $\widehat {BOC} = 180^\circ - \widehat {CBO} - \widehat {BCO} = 180^\circ - 30^\circ - 30^\circ = 120^\circ$.

Do đó, số đo cung nhỏ BC là 120°.

Cách 2. Ta có: $\widehat {BOC} = 2\widehat {BAC} = 120^\circ$ (góc nội tiếp và góc ở tâm).

Do đó số đo cung nhỏ BC là 120°.

Đáp án đúng là: A

Vì tam giác ABC đều có tâm O là tâm đường tròn ngoại tiếp nên O cũng là giao ba được phân giác nên AO, CO lần lượt là các đường phân giác $\widehat {ABC},\widehat {ACB}$.

Ta có: $\widehat {CAO} = \frac{1}{2}\widehat {BAC} = 30^\circ$; $\widehat {ACO} = \frac{1}{2}\widehat {ACB} = 30^\circ$.

Xét tam giác AOC có $\widehat {AOC} = 180^\circ - \widehat {ACO} - \widehat {CAO} = 120^\circ$

Do đó, số đo cung nhỏ AC là 120°.

Nên số đo cung lớn AC là: 360° − 120° = 240°.

Đáp án đúng là: D

Xét tam giác AOM vuông tại A ta có:

$\cos AOM = \frac{{AO}}{{OM}} = \frac{R}{{2R}} = \frac{1}{2}$ suy ra $\widehat {AOM} = 60^\circ$.

Đáp án đúng là: B

Xét đường tròn (O) có MA, MB là hai tiếp tuyến cắt nhau tại M nên OM là tia phân giác của $\widehat {AOB}$.

Suy ra $\widehat {AOB} = 2\widehat {AOM} = 2.60^\circ = 120^\circ$ mà $\widehat {AOB}$ là góc ở tâm chắn cung AB nên số đo cung nhỏ AB là 120°.

Đáp án đúng là: A

Ta có: $\widehat {BMO} = 45^\circ$.

Xét tam giác OBM vuông tại B (do BM là tiếp tuyến của (O) có $\widehat {BMO} = 45^\circ$ nên

$\widehat {BOM} = 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ$.

Xét đường tròn (O) có MA, MB là hai tiếp tuyến cắt nhau tại M nên OM là tia phân giác của góc $\widehat {AOB} = 2.\widehat {BOM} = 2.45^\circ = 90^\circ$ mà $\widehat {AOB}$ là góc ở tâm chắn cung AB.

Do đó, số đo cung nhỏ AB là 90°.

Vậy số đo cung lớn AB là 360° − 90° = 270°.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

$\widehat {{\rm{DAC}}}$ là góc ở tâm của đường tròn trên.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Số đo của nửa đường tròn bằng 180$^{o}$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Số đo của cung nhỏ bằng số đo góc ở tâm chắn cung đó nên B đúng.

Trong hai cung, cung nào có số đo lớn hơn thì cung đó lớn hơn.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Vì $\widehat {{\rm{AOB}}}$ là góc ở tâm của đường tròn (O) chắn cung AB nhỏ nên sđ$\overset{\frown}{\text{AB}}$ $_{nhỏ}$ =$\widehat {{\rm{AOB}}} = 80^\circ .$

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Vì $\widehat {{\rm{AOB}}}$ là góc ở tâm của đường tròn (O) chắn cung AB nhỏ nên sđ$\overset{\frown}{\text{AB}}$$_{nhỏ}$ = $\widehat {{\rm{AOB}}} = 100^\circ .$

Do đó, sđ$\overset{\frown}{\text{AB}}$$_{lớn}$ = 360$^{o}$ – sđ$\overset{\frown}{\text{AB}}$$_{nhỏ}$ = 260$^{o}$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Đúng.

a) Đúng.

Vì $\widehat {{\rm{MAC}}}$ là góc ở tâm của đường tròn (A; AC) chắn cung MDC.

nên $\widehat {{\rm{MAC}}}$ = sđ $\overset{\frown}{\text{MDC}}=120^{\circ}$. Vậy $\widehat {{\rm{MAC}}} > 100^\circ .$

b) Đúng.

Ta có: $\widehat {{\rm{MAD}}} = \widehat {{\rm{DAC}}} = \frac{1}{2}\widehat {{\rm{MAC}}} = 60^\circ .$

Vì 2 điểm M, D thuộc (A; AC) nên MA = AD.

Suy ra, tam giác MAD cân tại A.

Lại có: $\widehat {{\rm{MAD}}} = 60^\circ$ nên tam giác MAD đều.

c) Sai.

Vì 2 điểm C, D thuộc (A; AC) nên AC = AD.

Suy ra, tam giác CAD cân tại A.

Lai có: $\widehat {{\rm{CAD}}} = 60^\circ$ nên tam giác CAD đều.

Suy ra: DC = AD.

Vì tam giác MAD đều nên MD = AD.

Vậy MD = DC.

d) Đúng.

Tứ giác MACD có: MD = DC = AC = MA (= AD) nên tứ giác MACD là hình thoi.

Do đó, MC ^ AD.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Đúng. d) Sai.

a) Đúng.

Xét nửa đường tròn (O; OA) có:

$\widehat {{\rm{DOB}}}$ = sđ $\overset{\frown}{\text{DB}}$ (góc ở tâm chắn cung DB), $\widehat {{\rm{DOA}}}$= sđ $\overset{\frown}{\text{AD}}$ (góc ở tâm chắn cung AD).

Mà sđ $\overset{\frown}{\text{DB}}$= 2 sđ $\overset{\frown}{\text{AD}}$nên $\widehat {{\rm{DOB}}} = 2\widehat {{\rm{DOA}}}$.

b) Đúng.

Ta có: $\widehat {{\rm{DOB}}} + \widehat {{\rm{DOA}}} = 180^\circ$ nên $\widehat {{\rm{DOA}}} + 2\widehat {{\rm{DOA}}} = 180^\circ$, suy ra $\widehat {{\rm{DOA}}} = 60^\circ$.

c) Đúng.

Vì A, D thuộc (O; OA) nên OD = OA.

Suy ra, tam giác AOD cân tại O.

Mà $\widehat {{\rm{DOA}}} = 60^\circ$ nên tam giác AOD đều.

d) Sai.

Ta có: $\widehat {{\rm{DOB}}} = 2\widehat {{\rm{DOA}}} = 120^\circ$.

Vì tam giác AOD đều nên $\widehat {{\rm{DAO}}} = 60^\circ$.

Vì B, D thuộc (O; OA) nên OD = OB.

Suy ra, DBOD cân tại O.

Suy ra: $\widehat {{\rm{OBD}}} = \widehat {{\rm{ODB}}}$

Do đó: $\widehat {{\rm{OBD}}} = \widehat {{\rm{ODB}}} = \frac{{180^\circ - \widehat {{\rm{DOB}}}}}{2} = 30^\circ$.

DABD có: $\widehat {{\rm{ADB}}} = 180^\circ - \widehat {{\rm{DAO}}} - \widehat {{\rm{DBA}}} = 90^\circ$.

Suy ra, tam giác ABD vuông tại D.

Do đó, DB = DA. tan$\widehat {{\rm{DAO}}}$ = DA. tan 60$^{o}$ = $\sqrt 3$AD.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Đúng. d) Sai.

a) Đúng.

Ta có: sđ $\overset{\frown}{\text{CD}}$$_{nhỏ}$ = 360$^{o}$ – sđ$\overset{\frown}{\text{CD}}$$_{lớn}$ = 360$^{o}$ – 280$^{o}$ = 80$^{o}$.

b) Đúng.

Xét (O; OC) có: $\widehat {{\rm{COD}}}$ = sđ $\overset{\frown}{\text{CD}}$$_{nhỏ}$ = 80$^{o}$ (góc ở tâm chắn cung CD nhỏ).

c) Đúng.

Vì C, D thuộc (O; OC) nên OC = OD.

Do đó, tam giác COD cân tại O.

Suy ra, OE là đường trung tuyến đồng thời là đường phân giác, đường cao của tam giác COD.

Suy ra, OE là tia phân giác của góc COD.

d) Sai.

Vì OE là tia phân giác của góc COD nên $\widehat {{\rm{COE}}} = \frac{1}{2}\widehat {{\rm{COD}}} = 40^\circ .$

Xét tam giác COE vuông tại E có: CE = OC.sin$\widehat {{\rm{COE}}}$= 6.sin 40$^{o}$ (m).

Do đó, CD = 2CE = 2.6.sin 40$^{o}$ ≈ 7,7 m.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Đúng. d) Sai.

a) Đúng.

Ta có: sđ $\overset{\frown}{\text{AB}}$$_{nhỏ}$ = sđ $\overset{\frown}{\text{AC}}$$_{nhỏ}$ = sđ $\overset{\frown}{\text{BC}}$$_{nhỏ}$ = $\frac{{360^\circ }}{3} = 120^\circ$.

b) Đúng.

Xét (O; OA): Vì các góc $\widehat {{\rm{AOB}}};\;\,\widehat {{\rm{BOC}}};\;\,\widehat {{\rm{COA}}}$ là các góc ở tâm lần lượt chắn các cung $_{nhỏ}$; $_{nhỏ}$; $_{nhỏ}$. Do đó, $\widehat {{\rm{AOB}}} = \widehat {{\rm{BOC}}} = \widehat {{\rm{COA}}}$ = sđ$_{nhỏ}$ = 120$^{o}$.

c) Đúng.

Vì A, B thuộc (O; OA) nên OA = OB.

Do đó, DAOB cân tại O.

Suy ra $\widehat {{\rm{ABO}}} = \widehat {{\rm{BAO}}}$.

Ta có: $\widehat {{\rm{ABO}}} = \widehat {{\rm{BAO}}} = \frac{{180^\circ - \widehat {{\rm{BOA}}}}}{2} = 30^\circ .$

Chứng minh tương tự ta có: $\widehat {{\rm{ACO}}} = \widehat {{\rm{CAO}}} = 30^\circ .$

Ta có: $\widehat {{\rm{BAC}}} = \widehat {{\rm{BAO}}} + \widehat {{\rm{OAC}}} = 60^\circ$.

d) Sai.

Chứng minh tương tự phần b) ta có: $\widehat {{\rm{ABC}}} = 60^\circ .$

DABC có: $\widehat {{\rm{BAC}}} = \widehat {{\rm{ABC}}} = 60^\circ$ nên DABC đều.

Do đó, AB = BC = AC.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Sai.

a) Đúng.

Vì M, N thuộc đường tròn (O; 4 cm) nên OM = ON.

Suy ra, DMON cân tại O.

Do đó, OI là đường cao đồng thời là đường trung tuyến của tam giác đó.

Suy ra MN = 4$\sqrt 2$ cm.

b) Đúng.

Vì OM$^{2}$ + ON$^{2}$ = MN$^{2}$ (do ${4^2} + {4^2} = {\left( {4\sqrt 2 } \right)^2}$) nên tam giác MON vuông tại O.

Theo a), tam giác MNO cân tại O nên tam giác MON vuông cân tại O.

c) Sai.

Vì tam giác MON vuông cân tại O nên $\widehat {{\rm{MON}}} = 90^\circ$.

Ta có: sđ$\overset{\frown}{\text{MN}}$$_{nhỏ}$ = $\widehat {{\rm{MON}}} = 90^\circ$ (góc ở tâm chắn cung MN nhỏ).

d) Sai.

Ta có: sđ$\overset{\frown}{\text{MN}}$$_{lớn}$ = 360$^{o}$ – sđ$\overset{\frown}{\text{MN}}$$_{nhỏ}$ = 360$^{o}$ – 90$^{o}$ = 270$^{o}$.

Vậy sđ$\overset{\frown}{\text{MN}}$$_{lớn}$ = 3sđ$\overset{\frown}{\text{MN}}$$_{nhỏ}$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 210

Vì số đo của cung cả đường tròn gấp 2,4 lần số đo cung DE nhỏ và cung cả đường tròn bằng 360$^{o}$ nên sđ$\overset{\frown}{\text{DE}}$$_{nhỏ}$ = 360$^{o}$ : 2,4 = 150$^{o}$.

Do đó, sđ$\overset{\frown}{\text{DE}}$$_{lớn}$ = 360$^{o}$ – 150$^{o}$ = 210$^{o}$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 220

Xét (O; OA) có:

+ Góc AOB là góc ở tâm chắn cung AB nhỏ nên sđ$\overset{\frown}{\text{AB}}$$_{nhỏ}$ =$\widehat {{\rm{AOB}}} = 45^\circ$.

+ Góc EOB là góc ở tâm chắn cung EB nhỏ nên sđ$\overset{\frown}{\text{EB}}$$_{nhỏ}$ =$\widehat {{\rm{EOB}}} = 95^\circ$.

Ta có: sđ$_{lớn}$ = 360$^{o}$ – sđ$\overset{\frown}{\text{AB}}$$_{nhỏ}$ – sđ$\overset{\frown}{\text{EB}}$$_{nhỏ}$ = 220$^{o}$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 215

Xét (O; OA) có:

+ Góc AOB là góc ở tâm chắn cung AmB nên $sđ\overset{\frown}{AmB}=\widehat{\text{AOB}}=45^{\circ}$.

+ Góc COD là góc ở tâm chắn cung CpD nhỏ nên $sđ\overset{\frown}{CpD}=\widehat{\text{COD}}=100^{\circ}$.

Ta có: $sđ\overset{\frown}{\text{BnC}}\ +\ sđ\overset{\frown}{\text{AqD}}\ =\ {360}^{o}-\ sđ\overset{\frown}{\text{CpD}}-\ sđ\overset{\frown}{\text{AmB}}\ ={215}^{o}.$

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 40

Vì DABC cân tại A nên $\widehat {\rm{B}} = \widehat {\rm{C}} = \frac{{180^\circ - \widehat {\rm{A}}}}{2} = 55^\circ$.

Vì B, D thuộc nửa đường tròn (O; OD) nên OB = OD.

Suy ra, DBOD cân tại O.

Suy ra: $\widehat {\rm{B}} = \widehat {{\rm{ODB}}}$ = 55$^{o}$.

Do đó, $\widehat {{\rm{DOB}}} = 180^\circ - \widehat {\rm{B}} - \widehat {{\rm{ODB}}} = 70^\circ$.

Chứng minh tương tự ta có: $\widehat {{\rm{EOC}}} = 70^\circ .$

Ta có: $\widehat {{\rm{DOE}}} = 180^\circ - \widehat {{\rm{DOB}}} - \widehat {{\rm{EOC}}} = 40^\circ$.

Vì $\widehat {{\rm{DOE}}}$là góc ở tâm chắn của nửa đường tròn (O; OD) nên sđ $\overset{\frown}{\text{DE}}=\widehat{\text{DOE}}=40^{\circ}$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 6

Vì số đo ba cung BD, DE, CE bằng nhau nên ta có:

$sđ\overset{\frown}{\text{DB}}=sđ\overset{\frown}{DE}=sđ\overset{\frown}{CE}=180^{\circ}:3=60^{\circ}$.

Xét (O; OB) có:

+ Góc DOB là góc ở tâm chắn cung BD nên $sđ\overset{\frown}{BD}=\widehat{\text{DOB}}=60^{\circ}$.

+ Góc EOC là góc ở tâm chắn cung EC nhỏ nên $sđ\overset{\frown}{EC}=\widehat{\text{EOC}}=60^{\circ}$.

+ Vì OB = OD nên DBOD cân tại O, $\widehat {{\rm{DOB}}} = 60^\circ$nên DBOD đều suy ra $\widehat {\rm{B}} = 60^\circ$.

Chứng minh tương tự ta có: $\widehat {\rm{C}} = 60^\circ$.

Tam giác ABC có: $\widehat {\rm{B}} = \widehat {\rm{C}} = 60^\circ$ nên tam giác ABC đều. Vậy AB = BC = 6 m.