Bài tập Giới hạn một bên lớp 11 (có lời giải)

Đáp án đúng là: A

Ta có $\underset{x\rightarrow {4}^{-}}{\lim }(x-3)=4-3=1$.

Đáp án đúng là: C

Ta có $\underset{x\rightarrow {4}^{+}}{\lim }\frac{7x-5}{x-4}=+\infty$ vì $\{\begin{matrix}\underset{x\rightarrow {4}^{+}}{\lim }(7x-5)=23>0 \\ \underset{x\rightarrow {4}^{+}}{\lim }(x-4)=0 \\ x\rightarrow {4}^{+}\Rightarrow x-4>0\end{matrix}$.

Đáp án đúng là: C

Ta có $\underset{x\rightarrow {5}^{-}}{\lim }\frac{3}{|x-5|}=\underset{x\rightarrow {5}^{-}}{\lim }\frac{3}{5-x}=+\infty$ $\{\begin{matrix}\underset{x\rightarrow {5}^{-}}{\lim }3=3>0 \\ \underset{x\rightarrow {5}^{-}}{\lim }(5-x)=0 \\ x\rightarrow {5}^{-}\Rightarrow 5-x>0\end{matrix}$.

Đáp án đúng là: C

$\underset{x\rightarrow {4}^{+}}{\lim }\frac{|x-4|}{{x}^{2}-5x+4}=\underset{x\rightarrow {4}^{+}}{\lim }\frac{x-4}{(x-1)(x-4)}=\underset{x\rightarrow {4}^{+}}{\lim }\frac{1}{x-1}=\frac{1}{3}$

Đáp án đúng là: D

Ta có $\underset{x\rightarrow {0}^{+}}{\lim }\frac{2x+\sqrt{x}}{x-\sqrt{x}}=\underset{x\rightarrow {0}^{+}}{\lim }\frac{2\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1}=-1$.

Đáp án đúng là: D

Ta có $\underset{x\rightarrow {1}^{-}}{\lim }f(x)=\underset{x\rightarrow {1}^{-}}{\lim }(-2{x}^{3}+3x)=1$.

Đáp án đúng là: A

Ta có $\underset{x\rightarrow {1}^{+}}{\lim }f(x)=\underset{x\rightarrow {1}^{+}}{\lim }({x}^{4}-6{x}^{2}-2x)=-7$.

Đáp án đúng là: A

Ta có $\underset{x\rightarrow {2}^{+}}{\lim }f(x)=\underset{x\rightarrow {2}^{+}}{\lim }\sqrt{x-2}=0$.

Đáp án đúng là: B

Ta có $\underset{x\rightarrow {2}^{-}}{\lim }f(x)=\underset{x\rightarrow {2}^{-}}{\lim }\frac{{x}^{2}+1}{x-2}=-\infty$ vì $\{\begin{matrix}\underset{x\rightarrow {2}^{-}}{\lim }({x}^{2}+1)=23>0 \\ \underset{x\rightarrow {2}^{-}}{\lim }(x-2)=0 \\ x\rightarrow {2}^{-}\Rightarrow x-2<0\end{matrix}$.

Đáp án đúng là: B

Ta có $\underset{x\rightarrow {1}^{-}}{\lim }(\frac{1}{x-1}-\frac{1}{{x}^{2}-1})=\underset{x\rightarrow {1}^{-}}{\lim }\frac{x+1-1}{{x}^{2}-1}$

$=\underset{x\rightarrow {1}^{-}}{\lim }\frac{x}{(x-1)(x+1)}=-\infty$.

Vì $\{\begin{matrix}\underset{x\rightarrow {1}^{-}}{\lim }x=1>0,\ \underset{x\rightarrow {1}^{-}}{\lim }(x+1)=2>0 \\ \underset{x\rightarrow {1}^{-}}{\lim }(x-1)=0 \\ x\rightarrow {1}^{-}\Rightarrow x-1<0\end{matrix}$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Ta có: $\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} \left[ {\left( {x - 3} \right) \cdot \left( {\frac{1}{{\sqrt {{x^2} - 9} }}} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} \left[ {\sqrt {x - 3} \left( {\frac{1}{{\sqrt {x + 3} }}} \right)} \right] = 0$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Ta có: $\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 1} \right)}^ + }} \left[ {\left( {{x^3} + 1} \right) \cdot \sqrt {\frac{x}{{{x^2} - 1}}} } \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 1} \right)}^ + }} \left[ {\left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} - x + 1} \right)\sqrt {\frac{x}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}} } \right]$

$= \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 1} \right)}^ + }} \left[ {\sqrt {x + 1} \left( {{x^2} - x + 1} \right)\sqrt {\frac{x}{{x - 1}}} } \right] = 0$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

Ta có: |x + 2| = x + 2 với mọi x > -2, do đó:

$\mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ + }} \frac{{\left| {3x + 6} \right|}}{{x + 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ + }} \frac{{3\left| {x + 2} \right|}}{{x + 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ + }} \frac{{3\left( {x + 2} \right)}}{{x + 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ + }} 3 = 3$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

Tập xác định: D = ℝ

Xét $\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \left( {{x^2} + ax + 1} \right) = 2a + 5$

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \left( {2{x^2} - x + 1} \right) = 7$.

Hàm số y = f(x) có giới hạn tại x = 2 khi và chỉ khi:

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f\left( x \right) \Leftrightarrow 2a + 5 = 7 \Leftrightarrow a = 1$

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

Ta có: x + 3 > 0 với mọi x > -3 nên

$\mathop {\lim }\limits_{x \to - {3^ + }} \frac{{{x^2} + 13x + 30}}{{\sqrt {\left( {x + 3} \right)\left( {{x^2} + 5} \right)} }} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {3^ + }} \frac{{\left( {x + 3} \right)\left( {x + 10} \right)}}{{\sqrt {\left( {x + 3} \right)\left( {{x^2} + 5} \right)} }} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {3^ + }} \frac{{\sqrt {x + 3} \cdot \left( {x + 10} \right)}}{{\sqrt {{x^2} + 5} }}$

$= \frac{{\sqrt { - 3 + 3} \cdot \left( { - 3 + 7} \right)}}{{\sqrt {{{\left( { - 3} \right)}^2} + 5} }} = 0$

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Đúng.

a) Đúng. Ta có: $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \left( {2x + 1} \right) = 2 \cdot 1 + 1 = 3$.

b) Đúng. Ta có: $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} {x^2} = {1^2} = 1$.

c) Sai. Nhận thấy $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) \ne \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right)$ nên không tồn tại $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right)$.

d) Đúng. f(1) = 1$^{2}$ = 1.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Sai. b) Đúng. c) Đúng. d) Sai.

a) Sai. Ta có: $\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \left( {\sqrt {x + 2} } \right) = \sqrt 5$.

b) Đúng. $\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \left( {1 - {x^2}} \right) = 1 - {2^2} = - 3$

c) Đúng. $\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \left( {\sqrt {x + 2} } \right) = \sqrt {2 + 2} = 2$

d) Sai. Vì $\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f\left( x \right) \ne \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f\left( x \right)$ nên không tồn tại $\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f\left( x \right)$

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Sai. b) Đúng. c) Đúng. d) Sai.

a) Sai. Ta có: $\mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} \left( {x - 2} \right) = - 4$

b) Đúng. Ta có: $\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ - }} \left( {x - 2} \right) = - 1 - 2 = - 3$.

c) Đúng. Ta có: $\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} \left( {\sqrt {{x^2} + 1} } \right) = \sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^2} + 1} = \sqrt 2$.

d) Sai. Vì $\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ - }} f\left( x \right) \ne \mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} f\left( x \right)$ nên không tồn tại $\mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} f\left( x \right)$

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Sai. b) Đúng. c) Sai. d) Đúng.

a) Sai. f(2) = 2a + 2024.

b) Đúng. $\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \left( {\frac{{{x^2} - 4}}{{x - 2}}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \left( {x + 2} \right) = 4$.

c) Sai. $\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \left( {ax + 2024} \right) = 2a + 2024$.

d) Đúng. Hàm số f(x) có giới hạn khi x $\rightarrow$ 2 khi và chỉ khi $\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f\left( x \right)$

$\Leftrightarrow$ 4 = 2a + 2024 $\Leftrightarrow$ a = -1010.

Hướng dẫn giải

Đáp án: a) Sai. b) Sai. c) Đúng. d) Sai.

a) Sai. f(-1) = (-1)$^{2}$ – (-1) – m = 2 – m.

b) Sai. Ta có: $\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \left( {{x^2} - x - m} \right) = {2^2} - 2 - m = 2 - m$.

c) Đúng. Ta có: $\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \frac{{\sqrt {3x + 3} - 3}}{{x - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \frac{{{{\left( {\sqrt {3x + 3} } \right)}^2} - {3^2}}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {\sqrt {3x + 3} + 3} \right)}}$

$= \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \frac{3}{{\sqrt {3x + 3} + 3}} = \frac{1}{2}$.

d) Sai. Để tồn tại $\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f\left( x \right)$ khi $\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f\left( x \right) \Leftrightarrow 2 - m = \frac{1}{2} \Leftrightarrow m = \frac{3}{2}$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 3.

Ta có: $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{{x^2} - 3x + 2}}{{{x^2} - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{x - 2}}{{x + 1}} = \frac{{1 - 2}}{{1 + 1}} = - \frac{1}{2}$

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{{ - x}}{2} = - \frac{1}{2}$.

Nhận thấy $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right) = - \frac{1}{2}$. Do đó: $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right) = - \frac{1}{2}$.

Do đó, a = -1; b = 2 $\Rightarrow$ a + 2b = (-1) + 2.2 = 3.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 6.

Ta có: $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{{\sqrt {{x^3} - 3x + 2} }}{{{x^2} - 5x + 4}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{{\sqrt {\left( {x + 2} \right){{\left( {x - 1} \right)}^2}} }}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x - 4} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{{\sqrt {x + 2} \cdot \left| {x - 1} \right|}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x - 4} \right)}}$

Do x $\rightarrow$ 1$^{-}$ nên x – 1 < 0 suy ra |x – 1| = 1 – x .

Vậy $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{{\sqrt {x + 2} \cdot \left| {x - 1} \right|}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 4} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{{\sqrt {x + 2} \cdot \left( {1 - x} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x - 4} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{{ - \sqrt {x + 2} }}{{x - 4}} = \frac{{\sqrt 3 }}{3}$.

$\Rightarrow$ a = 3, b = 3 $\Rightarrow$ a + b = 3 + 3 = 6.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 1.

Ta có: $\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \left( {x + m} \right) = m$

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \left( {{x^2} + 1} \right) = 1$

Hàm số có giới hạn tại x = 0 khi $\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x \right) \Leftrightarrow m = 1$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 40.

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} \frac{{9 - {x^2}}}{{x - 3}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} \frac{{ - \left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}}{{x - 3}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} \left( { - x - 3} \right) = - 6 = a$

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} \left( {1 - x} \right) = - 2 = b$.

Khi đó: a$^{2}$ + b$^{2}$ = (-6)$^{2}$ + (-2)$^{2}$ = 40.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: -0,3.

Ta có: $\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \frac{{\left| {2 - x} \right|}}{{2{x^2} - 5x + 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \frac{{2 - x}}{{\left( {2 - x} \right)\left( {1 - 2x} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \frac{1}{{1 - 2x}} = - \frac{1}{3} \approx - 0{,}3$.