Bài tập Giải quyết một số vấn đề thực tiễn liên quan đến cấp số cộng lớp 11 (có lời giải)

Đáp án đúng là: A

Dãy số 45; 43; 41; ...; 31 là một cấp số cộng có số hạng đầu u$_{1}$ = 45 và công sai d = –2. Khi đó số hạng tổng quát của cấp số cộng trên là:

u$_{n}$ = 45 + (n – 1)(– 2) = 47 – 2n, ∀ n ∈ ℕ*.

Thanh cuối cùng có độ dài là 31 cm nên để tìm thang có bao nhiêu bậc tương ứng với tìm thanh ngang cuối cùng là số hạng thứ bao nhiêu trong cấp số cộng trên.

Ta có u$_{n}$ = 47 – 2n = 31 ⇔ n = 8.

Vậy cái thang có 8 bậc.

Đáp án đúng là: A

Cấp số cộng có số hạng đầu tiên là u$_{1}$ = 16 và công sai d = 32.

Khi đó công thức số hạng tổng quát là: u$_{n}$ = 16 + (n – 1).32 = 32n – 16.

Sau 10 giây buông dù quãng đường người đó rơi tự do là:

u$_{10}$ = 32.10 – 16 = 304 (feet).

Tổng chiều dài quãng đường rơi tự do của người đó trong 10 giây đầu tiên cũng chính là tổng của 10 số hạng đầu tiên trong cấp số cộng và bằng:

${S}_{10}=\frac{10.(16+304)}{2}=1600$.

Vậy tổng chiều dài quãng đường rơi tự do của người đó trong 10 giây đầu tiên là 1 600 feet.

Đáp án đúng là: C

Chiều cao của các cây lập thành một cấp số cộng un

Cây thấp nhất có kiểu gene aabb nên u$_{1}$ = 100.

Nếu cứ thêm một alen trội A hay B thì chiều cao cây tăng thêm 5 cm do đó công sai của cấp số cộng là d = 5.

Vậy cây cao nhất với kiểu gene AABB có chiều cao là: 100 + 5.4 = 120 (cm).

Đáp án đúng là: A

Giá trị của chiếc xe ô tô trong từng năm lập thành một cấp số cộng với số hạng đầu là u$_{1}$ = 680 và công sai d = – 55 (do giá xe giảm).

Do đó, giá trị còn lại của chiếc ô tô sau 5 năm sử dụng là

u$_{5}$ = u$_{1}$ + (5 – 1)d = 680 + 4 . (– 55) = 460 (triệu đồng).

Vậy giá còn lại của chiếc xe sau 5 năm sử dụng là 460 triệu đồng.

Đáp án đúng là: B

Số ghế ở mỗi hàng của hội trường lập thành một cấp số cộng với số hạng đầu u$_{1}$ = 15 và công sai d = 3.

Giả sử cần thiết kế tối thiếu n hàng ghế để hội trường có sức chứa ít nhất 870 ghế ngồi.

Ta có: ${S_n} = \frac{n}{2}\left[ {2{u_1} + \left( {n - 1} \right)d} \right] = \frac{n}{2}\left[ {2\,.\,\,15 + \left( {n - 1} \right)\,.\,3} \right] \ge 870$

Do đó, n(30 + 3n – 3) ≥ 1740

⇔ n(3n + 27) – 1740 ≥ 0

⇔ 3n$^{2}$ + 27n – 1740 ≥ 0

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}n \le - 29\\n \ge 20\end{array} \right.$.

Vậy cần thiết kế tối thiểu 20 hàng ghế để thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Đáp án đúng là: D

Dân số mỗi năm của thành phố từ năm 2020 đến năm 2030 lập thành một cấp số cộng, gồm 11 số hạng (2030 – 2020 + 1 = 11), với số hạng đầu u$_{1}$ = 1 200 và công sai d = 30.

Ta có: u$_{11}$ = u$_{1}$ + (11 – 1)d = 1 200 + 10 . 30 = 1 500.

Vậy dân số của thành phố này vào năm 2030 khoảng 1 500 nghìn người hay 1,5 triệu người.

Đáp án đúng là: A

Ta có thửa ruộng thấp nhất có độ cao u$_{1}$ = 1 250 m so với mực nước biển.

• Thửa ruộng ở bậc thứ hai cao hơn so với mực nước biển là:

u$_{2}$ = 1 250 + 1,2 (m).

• Thửa ruộng ở bậc thứ ba cao hơn so với mực nước biển là:

u$_{3}$ = 1 250 + 1,2 + 1,2 = 1 250 + 2.1,2 (m).

...

• Thửa ruộng ở bậc thứ 10 cao hơn so với mực nước biển là:

u$_{10}$ = 1 250 + 9.1,2 = 1260,8 (m).

Vậy thửa ruộng ở bậc thứ 10 có độ cao là 1260,8 m so với mực nước biển.

Đáp án đúng là: C

Gọi u$_{n}$ là số tiền lương của bác Tư nhận được vào năm thứ n.

Khi đó, dãy số (u$_{n}$) tạo thành cấp số cộng có u$_{1}$ = 240 và d = 12.

Ta có u$_{11}$ = u$_{1}$ + 10d = 240 + 10.12 = 360.

Vậy vào năm thứ 11, số tiền lương một năm của bác Tư là 360 triệu đồng.

Đáp án đúng là: D

Gọi u$_{n}$ là số ghế ở hàng thứ n.

Khi đó, dãy số (u$_{n}$) tạo thành cấp số cộng với u$_{1}$ = 20 và d = 1.

Tổng số ghế có trong rạp hát là: ${S}_{20}=\frac{20.[2.20+(20-1).1]}{2}=590$.

Tổng số tiền vé thu được là: 590 . 60 000 = 35 400 000 (đồng).

Đáp án đúng là: C

Lúc 1 giờ đêm, toà tháp đánh 1 tiếng chuông; lúc 2 giờ đêm, toà tháp đánh 2 tiếng chuông, ...; lúc 12 giờ trưa, toà tháp đánh 12 tiếng chuông.

Ngoài ra, mỗi 30 phút không phải là giờ đúng thì đánh 1 tiếng chuông (có 11 lần như thế từ 1 giờ đến 12 giờ).

Vậy tổng số tiếng chuông là:

S = (1 + 2 + 3 + ...+ 12) + 1 . 11 = =$\frac{(1+12).12}{2}$+11 = 89 (tiếng chuông).

Vậy bắt đầu từ lúc 1 giờ đêm đến 12 giờ trưa, chuông đồng hồ đó đã đánh tất cả 89 tiếng.

Đáp án đúng là: A

Số tiền lương trong 15 năm của anh Nam lập thành một cấp số cộng với số hạng đầu là u$_{1}$ = 120 và công sai d = 20.

Tổng các số hạng là:

${S_{15}} = {u_1} + {u_2} + ... + {u_{15}} = \frac{{15}}{2} \cdot \left[ {2{u_1} + \left( {15 - 1} \right) \cdot 20} \right] = \frac{{15}}{2} \cdot \left( {2 \cdot 120 + 14 \cdot 20} \right) = 3900$

Vậy tổng số tiền lương anh Nam nhận sau 15 năm là 3900 triệu đồng

Đáp án đúng là: C

Chiều cao năm bốn tuổi của một đứa trẻ phát triển bình thường là:

x$_{4}$ = 75 + 5∙(4 – 1) = 90 cm.

Đáp án đúng là: A

Theo bài ra ta có số viên gạch ở mỗi bậc thang (tính từ dưới lên) lập thành một cấp số cộng gồm 40 số với số hạng đầu u$_{1}$ = 100 và công sai d = − 2.

Bậc trên cùng là bậc thứ 40. Do đó, số viên gạch cần cho bậc trên cùng là

${S_{40}} = {u_1} + {u_2} + ... + {u_{40}} = \frac{n}{2} \cdot \left[ {2{u_1} + \left( {n - 1} \right) \cdot d} \right] = \frac{{40}}{2} \cdot \left[ {2 \cdot 100 + \left( {40 - 1} \right) \cdot \left( { - 2} \right)} \right] = 2440$

Đáp án đúng là: B

Ta thấy số cây ở mỗi hàng tạo nên một cấp số cộng có số hạng đầu u$_{1}$ = 1 và công sai d = 1.

Áp dụng công thức tính tổng n số hạng liên tiếp của cấp số cộng ta có:

${S_n} = {u_1} + {u_2} + ... + {u_n} = \frac{n}{2} \cdot \left[ {2{u_1} + \left( {n - 1} \right) \cdot d} \right] \Leftrightarrow \frac{{{n^2} + n}}{2} = 5050$

$\Leftrightarrow {n^2} + n - 10100 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{n = 100}\\{n = - 101}\end{array}} \right.$.

Vậy có 100 hàng cây được trồng theo cách trên.

Đáp án đúng là: B

Gọi n là số ngày mà ốc sên trèo ra khỏi miệng giếng (n ∈ ℕ).

Số mét ốc sên bò được qua các ngày lập thành một cấp số cộng với ngày thứ nhất bò được là u$_{1}$ = 2 và công sai d = 3.

Tổng quãng đường ốc sên trèo được sau n ngày là:

${S_n} = \frac{n}{2} \cdot \left[ {2{u_1} + \left( {n - 1} \right) \cdot d} \right] = \frac{n}{2} \cdot \left[ {4 + 3\left( {n - 1} \right)} \right] = \frac{{n\left( {3n + 1} \right)}}{2}$

Do giếng sâu 100 mét nên ốc sên trèo ra khỏi miệng giếng khi S$_{n}$ ≥ 100.

Ta có : $\frac{{n\left( {3n + 1} \right)}}{2} \ge 100 \Leftrightarrow 3{n^2} + n - 200 \ge 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{n \le \frac{{ - 25}}{3}}\\{8 \le n}\end{array}} \right.$.

Do đó n = 8.

Vậy ốc sên trèo ra khỏi miệng giếng vào ngày thứ 8.

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Đúng. d) Sai.

a) Đúng. Dãy số T$_{n}$ lập thành cấp số cộng với số hạng đầu T$_{1}$ = 10 và công sai d = 2 là: T$_{1}$ = 10, T$_{2}$ = 12, T$_{3}$ = 14, T$_{4}$ = 16, T$_{5}$= 18, T$_{6}$ = 20.

b) Đúng. Dãy số T$_{n}$ là cấp số cộng có T$_{1}$ = 10 và công sai d = 2

Do đó, công thức tổng quát của dãy số là: T$_{n}$ = T$_{1}$ + (n −1)∙d = 8 + 2n với ∀ n ≥ 1.

c) Đúng. Ta có T$_{n}$ ≥ 60 ⇔ 8 + 2n ≥ 60 hay n ≥ 26 .

Vậy bác Hưng đạt được mục tiêu bơi ít nhất 60 phút mỗi ngày vào ngày thứ 26 của chương trình.

d) Sai. Tổng thời gian bác Hưng bơi trong 30 ngày đầu của chương trình là:

${S_{30}} = \frac{{\left[ {2{T_1} + \left( {30 - 1} \right) \cdot d} \right] \cdot 30}}{2} = \frac{{\left[ {2 \cdot 10 + 29 \cdot 2} \right] \cdot 30}}{2} = 1170$ (phút).

Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Sai.

a) Đúng. Phương án 1 là một cấp số cộng với số hạng đầu u$_{1}$= 120 (triệu đồng) và công sai d₁ = 18 (triệu đồng).

b) Sai. Tiền lương năm thứ ba là: u$_{3}$ = u$_{1}$ + 2d$_{1}$ = 120 + 218 =156 ( triệu đồng).

c) Đúng. Tổng tiền lương trong ba năm của phương án 1 là:

${S_3} = \frac{3}{2} \cdot \left( {2{u_1} + 2{d_1}} \right) = \frac{3}{2} \cdot \left( {2 \cdot 120 + 2 \cdot 18} \right) = 414$(triệu đồng).

d) Sai. Xét phương án 2:

Phương án 2 cũng là một cấp số cộng với số hạng đầu u$_{1}$ = 24 (triệu đồng) và công sai d$_{1}$ = 1,8 (triệu đồng).

Tổng tiền lương trong ba năm ứng với 12 quý của phương án 2 là:

${S_{12}} = \frac{{12}}{2} \cdot \left( {2 \cdot 24 + 11 \cdot 1{,}8} \right) = 406{,}8$ (triệu đồng).

Vì tổng tiền lương trong ba năm của phương án 1 là 414 triệu đồng lớn hơn tổng tiền lương trong ba năm của phương án hai là 406,8 triệu đồng. Do đó người lao động nên chọn phương án 1 để nhận được tổng số tiền lương cao nhất nếu kí hợp đồng lao động trong ba năm.

Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. c) Đúng.

a) Đúng. Số hộp sữa ở các hàng lập thành một cấp số cộng với số hạng đầu u$_{1}$ = 1 và công sai d = 2.

b) Sai. Số hộp sữa ở hàng thứ 10 là: u$_{10}$ = 1 + (10 – 1)∙2 = 19 (hộp).

c) Đúng. Số hộp sữa ở hàng thứ 12 là: u$_{12}$ = 1 + (12 – 1)∙2 = 23 (hộp).

d) Đúng. Gọi n là số hàng cần thiết để xếp hết 900 hộp sữa. Khi đó tổng số hộp sữa xếp được sau n hàng là tổng của n số hạng đầu tiên trong cấp số cộng với số hạng đầu tiên u$_{1}$ = 1 và công sai d = 2.

$S{}_n = \frac{n}{2} \cdot \left[ {2{u_1} + \left( {n - 1} \right)d} \right] = \frac{n}{2} \cdot \left[ {2 \cdot 1 + \left( {n - 1} \right) \cdot 2} \right] = \frac{n}{2} \cdot 2n = {n^2}$.

Để xếp hết 900 hộp sữa ta có n$^{2}$= 900 $\Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{n = 30}\\{n = - 30}\end{array}} \right.$.

Vậy cần 30 hàng để xếp hết tất cả số hộp sữa lên gian hàng.

Đáp án: a) Sai. b) Sai. c) Sai. d) Sai.

a) Sai. Xếp 1 tầng cần 3 que xếp đế tháp.

Xếp 2 tầng cần 7 que xếp đế tháp.

Xếp 3 tầng cần 11 que xếp đế tháp.

Xếp 4 tầng cần 15 que xếp đế tháp.

Xếp 5 tầng cần 19 que xếp đế tháp.

b) Sai. Số que diêm xếp tầng đế của tháp lập thành một cấp số cộng với u$_{1}$ = 3 và công sai d = 4. Do đó số que diêm xếp tầng để của tháp nếu có 100 tầng là:

u$_{100}$ = u$_{1}$ + (100 −1)∙d = 3 + 99∙4 = 399.

c) Sai. Số que ở 1 tầng là u$_{1}$ = 3;

Tổng số que ở 2 tầng là u$_{1}$ + u$_{2}$ = 3 + 7 = 3 + (3 + 1∙4).

Tổng số que ở 3 tầng là u$_{1}$ + u$_{2}$ + u$_{3}$ = 3 + 7 + 11 = 3 + (3 + 1∙4) + (3 +24)

….

Tổng số que ở 10 tầng là

u$_{1}$ + u$_{2}$ + u$_{3}$ + …+ u$_{10}$ = 3 + 7 + 11 = 3 + (3 + 1∙4) + (3 +24) + …+ (3 + 94).

Do đó ${S_{10}} = \frac{{10}}{2} \cdot \left( {2 \cdot 3 + 9 \cdot 4} \right) = 210$ que.

d) Sai. Số que diêm để xếp thêm vào tầng đế thứ n lập thành một cấp số cộng u$_{n}$ với số hạng đầu là u$_{1}$= 3 và công sai là d = 4.

Đáp án: a) Sai. b) Đúng. c) Sai. d) Đúng.

a) Sai. Gọi u$_{n}$ là chiều cao so với mực nước biển của thửa ruộng ở bậc thứ n. Khi đó dãy số u$_{n}$ lập thành cấp số cộng với u$_{1}$= 950 và d = 1,5.

Thửa ruộng ở bậc thứ 12 có độ cao so với mực nước biển là:

${u_{12}} = {u_1} + \left( {n - 1} \right) \cdot d = 950 + \left( {12 - 1} \right) \cdot 1{,}5 = 966{,}5$(m).

b) Đúng. Công thức tổng quát tính độ cao của thửa ruộng ở bậc thứ n là:

u$_{n}$ = u$_{1}$+ (n – 1)∙d = 950 + 1,5∙(n – 1).

c) Sai. Du khách đứng ở độ cao 972,5 m so với mực nước biển.

Ta có 950 + 1,5(n – 1) = 972,5 ⇔ 1,5(n – 1) = 22,5 ⇔ n – 1 = 15 ⇔ n = 16.

Thửa ruộng này thuộc bậc thứ 16.

d) Đúng. Thửa ruộng phải nằm dưới hoặc bằng độ cao đỉnh núi, tức là: u$_{n}$ ≤ 1000.

950 + 1,5(n – 1) ≤ 1000 ⇔ 1,5(n – 1) ≤ 50 ⇔ $n \le \frac{{103}}{3} \approx 34{,}3$.

Thửa ruộng cao nhất có thể xây dựng được tại đây là bậc thứ 34.

Đáp án: 120

Số ghế ở mỗi hàng lập thành một cấp số cộng có số hạng đầu u$_{1}$= 20 và công sai d = 1. Cấp số cộng này có 22 số hạng.

Do đó, tổng số ghế trong nhà thi đấu là: ${S_{22}} = \frac{{\left[ {2 \cdot 20 + \left( {22 - 1} \right) \cdot 1} \right] \cdot 22}}{2} = 671$

Vì số vé bán ra bằng số ghế dành cho khán giả của nhà thi đấu nên số vé bán ra là 671.

Vậy giá tiền của một vẻ là: 80520000 : 671 = 120000 (đồng) = 120 nghìn đồng.

Đáp án: 6,03

Số tiền khoan giếng được tăng theo cấp số cộng với số hạng đầu u$_{1}$ = 80000 và công sai d = 5000.

Số tiền phải trả khi khoan đến 36 mét là:

${S_{36}} = \frac{{36 \cdot \left[ {2 \cdot 80000 + \left( {36 - 1} \right) \cdot 5000} \right]}}{2} = 6030000$ đồng.

Ta có 6030000 đồng = 6,03 triệu đồng.

Vậy phải trả 6,03 triệu đồng để khoan cái giếng đó.

Đáp án: 10

Chiều dài các thanh ngang lập thành cấp số cộng với u$_{1}$ = 48, d = −2. Gọi n là số bậc của cái thang.

Số hạng tổng quát là: u$_{n}$ = 48 – 2(n – 1) = 50 – 2n

Khi u$_{n}$ = 30.

Ta có: 30 = 50 − 2n ⇔ n = 10.

Vậy cái thang có 10 bậc.

Đáp án: 32

Quãng đường vận động viên rơi tự do trong mỗi giây liên tiếp trước khi bung dù lập thành cấp số cộng với số hạng ban đầu là u$_{1}$ = 15 và số hạng thứ hai là u$_{2}$ là 47,… Do đó công sai d = u$_{2}$ – u$_{1}$ = 47 − 15 = 32.

Đáp án: 1600

Ta có 1,2 triệu người = 1200 nghìn người.

Dân số mỗi năm của thành phố từ năm 2020 đến năm 2030 lập thành cấp số cộng gồm 11 số hạng (2030 – 2020 + 1 = 11) với số hạng đầu u$_{1}$ = 1200, công sai d = 40.

Công thức số hạng tổng quát của số dân thành phố là u$_{n}$ = 1200 + 40(n − 1).

Dân số của năm 2030 là u$_{11}$ = 1200 + 40(11 − 1) = 1600 (nghìn người).