Bài tập Giải các phương trình lượng giác ở dạng vận dụng trực tiếp phương trình lượng giác cơ bản lớp 11 (có lời giải)

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Vì –1 ≤ sin x ≤ 1 với mọi số thực x nên phương trình sin x = 5 vô nghiệm.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

sin x = 1 ⇔ $x=\frac{π}{2}+k2π$, k ∈ ℤ.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

Ta có: cos 30° = $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ≠ 0.

Do đó, 30° không phải là nghiệm của phương trình cos x = 0.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

Ta có: sin $\frac{5π}{2}$ = 1 ≠ – 1.

Do đó,$\frac{5π}{2}$ không phải là nghiệm của phương trình sin x = –1.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

tan x = $\sqrt{3}$ ⇔ tan x = tan 60° ⇔ x = 60° + k180°, k ∈ ℤ.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

cot x = 2 ⇔ x = arccot 2 + kπ, k ∈ ℤ.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Ta có: $\tan (\frac{4π}{3}+\frac{π}{3})=-\sqrt{3}$

Do đó, x = $\frac{4π}{3}$ không phải là một nghiệm của phương trình $\tan (x+\frac{π}{3})=\sqrt{3}$.

Đáp án đúng là: A

$\tan \left( {x + \frac{\pi }{3}} \right) = \sqrt 3$

⇔ $\tan \left( {x + \frac{\pi }{3}} \right) = \tan \frac{\pi }{3}$

⇔ $x + \frac{\pi }{3} = \frac{\pi }{3} + k\pi$, k ∈ ℤ

⇔ $x = k\pi$, k ∈ ℤ.

Đáp án đúng là: D

$\cos \left( {x - \frac{\pi }{3}} \right) = \frac{1}{2}$

⇔ $\cos \left( {x - \frac{\pi }{3}} \right) = \cos \frac{\pi }{3}$

⇔ $\left[ \begin{array}{l}x - \frac{\pi }{3} = \frac{\pi }{3} + k2\pi \\x - \frac{\pi }{3} = - \frac{\pi }{3} + k2\pi \end{array} \right.$ , k ∈ ℤ

⇔ $\left[ \begin{array}{l}x = \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi \\x = k2\pi \end{array} \right.$ , k ∈ ℤ.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

$\sin (2x+\frac{2π}{3})=1$

⇔ $2x+\frac{2π}{3}=\frac{π}{2}+k2π$, k ∈ ℤ

⇔ $2x=\frac{-π}{6}+k2π$, k ∈ ℤ

⇔ $x=\frac{-π}{12}+kπ$, k ∈ ℤ.

Đáp án đúng là: A

cosx = −1 ⇔ x = π + k2π, k ∈ ℤ.

Đáp án đúng là: B

Vì −1 ≤ cosx ≤ 1 nên phương trình $\cos x = - \frac{{\sqrt 5 }}{2}$ vô nghiệm.

Đáp án đúng là: B

$\sin \left( {2x - \frac{\pi }{3}} \right) = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \sin \left( {2x - \frac{\pi }{3}} \right) = \sin \frac{\pi }{6}$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x - \frac{\pi }{3} = \frac{\pi }{6} + k2\pi \\2x - \frac{\pi }{3} = \frac{{5\pi }}{6} + k2\pi \end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{4} + k\pi \\x = \frac{{7\pi }}{{12}} + k\pi \end{array} \right.,k \in \mathbb{Z}$

Xét họ $x = \frac{\pi }{4} + k\pi \in \left( {0;\pi } \right) \Rightarrow k = 0 \Rightarrow x = \frac{\pi }{4}$.

Xét họ $x = \frac{{7\pi }}{{12}} + k\pi \in \left( {0;\pi } \right) \Rightarrow k = 0 \Rightarrow x = \frac{{7\pi }}{{12}}$.

Vậy phương trình có đúng 2 nghiệm trên khoảng đã cho.

Đáp án đúng là: C

$\tan \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = \sqrt 3 \Leftrightarrow x + \frac{\pi }{4} = \frac{\pi }{3} + k\pi \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{3} - \frac{\pi }{4} + k\pi \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{{12}} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}$.

Đáp án đúng là: C

$\cos 3x = \cos \left( {\frac{\pi }{2} - 2x} \right)$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}3x = \frac{\pi }{2} - 2x + k2\pi \\3x = - \frac{\pi }{2} + 2x + k2\pi \end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{{10}} + k\frac{{2\pi }}{5}\\x = - \frac{\pi }{2} + k2\pi \end{array} \right.,k \in \mathbb{Z}$.

Họ nghiệm $x = \frac{\pi }{{10}} + k\frac{{2\pi }}{5}$ có nghiệm âm lớn nhất ứng với k = −1 là $x = - \frac{{3\pi }}{{10}}$.

Họ nghiệm $x = - \frac{\pi }{2} + k2\pi$ có nghiệm âm lớn nhất ứng với k = 0 là $x = - \frac{\pi }{2}$.

Vậy nghiệm âm lớn nhất của phương trình là $x = - \frac{{3\pi }}{{10}}$.

Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Sai.

a) Đúng. Do −1 ≤ sinx ≤ 1 nên với |m| > 1 thì phương trình sinx = m vô nghiệm.

b) Sai. sinx = 0 ⇔ x = kπ, k ∈ ℤ.

c) Đúng. sinx = 1 $\Leftrightarrow x = \frac{\pi }{2} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}$.

d) Sai. Nếu x = α là một nghiệm thì x = π −α cũng là một nghiệm của phương trình.

Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Sai.

a) Đúng. $2\cos \left( {2x + \frac{\pi }{4}} \right) - \sqrt 3 = 0$$\Leftrightarrow \cos \left( {2x + \frac{\pi }{4}} \right) = \frac{{\sqrt 3 }}{2}$.

b) Sai. $\cos \frac{\pi }{6} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}$.

c) Đúng. $\cos \left( {2x + \frac{\pi }{4}} \right) = \frac{{\sqrt 3 }}{2}$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x + \frac{\pi }{4} = \frac{\pi }{6} + k2\pi \\2x + \frac{\pi }{4} = - \frac{\pi }{6} + k2\pi \end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - \frac{\pi }{{24}} + k\pi \\x = - \frac{{5\pi }}{{24}} + k\pi \end{array} \right.,k \in \mathbb{Z}$.

d) Sai. Nghiệm dương nhỏ nhất của họ nghiệm $x = - \frac{\pi }{{24}} + k\pi$ ứng với k = 1 là $x = \frac{{23\pi }}{{24}}$.

Nghiệm dương nhỏ nhất của họ nghiệm $x = - \frac{{5\pi }}{{24}} + k\pi$ ứng với k = 1 là $x = \frac{{19\pi }}{{24}}$.

Vậy nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình là $x = \frac{{19\pi }}{{24}}$.

Đáp án: a) Sai. b) Đúng. c) Đúng. d) Đúng.

a) Sai. Điều kiện: $\cos \left( {3x - \frac{\pi }{6}} \right) \ne 0$$\Leftrightarrow 3x - \frac{\pi }{6} \ne \frac{\pi }{2} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}$.

b) Đúng. $\tan \left( {3x - \frac{\pi }{6}} \right) = - 1 \Leftrightarrow 3x - \frac{\pi }{6} = - \frac{\pi }{4} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}$.

c) Đúng. $3x = \frac{\pi }{6} - \frac{\pi }{4} + k\pi = - \frac{\pi }{{12}} + k\pi \Leftrightarrow x = - \frac{\pi }{{36}} + \frac{{k\pi }}{3},k \in \mathbb{Z}$.

d) Đúng. Xét họ nghiệm trên trên khoảng (0; π)

$0 < - \frac{\pi }{{36}} + \frac{{k\pi }}{3} < \pi \Leftrightarrow \frac{1}{{36}} < \frac{k}{3} < \frac{{37}}{{36}} \Leftrightarrow \frac{1}{{12}} < k < \frac{{37}}{{12}} \approx 3{,}08$

Vì $k \in \mathbb{Z} \Rightarrow k \in \{ 1;2;3\}$. Vậy có 3 nghiệm phân biệt.

Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Sai.

a) Đúng. Thay $m = 2$ vào vế phải: ${m^2} - 4 = {2^2} - 4 = 0$.

Phương trình trở thành $\cos \left( {2x - \frac{\pi }{3}} \right) = 0$.

b) Sai. Thay $m = \sqrt 3$ vào vế phải: ${m^2} - 4 = {\left( {\sqrt 3 } \right)^2} - 4 = - 1$.

Phương trình trở thành:

$\cos \left( {2x - \frac{\pi }{3}} \right) = - 1 \Leftrightarrow 2x - \frac{\pi }{3} = \pi + k2\pi \Leftrightarrow 2x = \frac{{4\pi }}{3} + k2\pi \Leftrightarrow x = \frac{{2\pi }}{3} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}$.

Với $k = - 1 \Rightarrow x = \frac{{2\pi }}{3} - \pi = - \frac{\pi }{3}$.

Với $k = 0 \Rightarrow x = \frac{{2\pi }}{3}$ (dương).

Do đó, nghiệm âm lớn nhất là $- \frac{\pi }{3}$.

c) Đúng. Để phương trình có nghiệm thì

$- 1 \le {m^2} - 4 \le 1 \Leftrightarrow 3 \le {m^2} \le 5 \Leftrightarrow \sqrt 3 \le \left| m \right| \le \sqrt 5 \Leftrightarrow m \in \left[ { - \sqrt 5 ; - \sqrt 3 } \right] \cup \left[ {\sqrt 3 ;\sqrt 5 } \right]$

Do đó, phương trình sẽ vô nghiệm khi $m$ nằm ngoài đoạn trên tức

$m \in \left( { - \infty ; - \sqrt 5 } \right) \cup \left( { - \sqrt 3 ;\sqrt 3 } \right) \cup \left( {\sqrt 5 ; + \infty } \right)$.

d) Sai. Để phương trình có nghiệm thì ${m^2} \in \left[ {3;5} \right] \Leftrightarrow m \in \left[ { - \sqrt 5 ; - \sqrt 3 } \right] \cup \left[ {\sqrt 3 ;\sqrt 5 } \right]$.

Các 2 giá trị nguyên của $m$ thỏa mãn khoảng này là: $m = 2$ và $m = - 2$.

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Đúng. d) Sai.

a) Đúng. $\sin 3x = \sin \left( {2x + \frac{\pi }{4}} \right)$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}3x = 2x + \frac{\pi }{4} + k2\pi \\3x = \pi - \left( {2x + \frac{\pi }{4}} \right) + k2\pi \end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{4} + k2\pi \\x = \frac{{3\pi }}{{20}} + k\frac{{2\pi }}{5}\end{array} \right.,k \in \mathbb{Z}$.

Vậy phương trình đã cho có hai họ nghiệm.

b) Đúng. Nghiệm dương nhỏ nhất của họ nghiệm $x = \frac{\pi }{4} + k2\pi$ ứng với k = 0 là $x = \frac{\pi }{4}$.

Nghiệm dương nhỏ nhất của họ nghiệm $x = \frac{{3\pi }}{{20}} + k\frac{{2\pi }}{5}$ ứng với k = 0 là $x = \frac{{3\pi }}{{20}}$.

Vậy nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình là $x = \frac{{3\pi }}{{20}}$.

c) Đúng. Đối với họ nghiệm $x = \frac{\pi }{4} + k2\pi$: Chỉ có duy nhất một giá trị $k = 0$ cho nghiệm $x = \frac{\pi }{4} \in \left( {0;\pi } \right)$.

Đối với họ nghiệm $x = \frac{{3\pi }}{{20}} + k\frac{{2\pi }}{5} = \frac{{3\pi + 8k\pi }}{{20}}$

Có $0 < \frac{{3\pi + 8k\pi }}{{20}} < \pi \Leftrightarrow 0 < 3 + 8k < 20 \Leftrightarrow - \frac{3}{8} < k < \frac{{17}}{8}$.

Do $k \in \mathbb{Z} \Rightarrow k \in \{ 0;1;2\}$. Họ này đóng góp 3 nghiệm phân biệt là: $\frac{{3\pi }}{{20}}$, $\frac{{11\pi }}{{20}}$, và $\frac{{19\pi }}{{20}}$.

Tổng số nghiệm của phương trình trên khoảng (0; π) là 4 nghiệm.

d) Sai. Ta tính tổng của tất cả 4 nghiệm vừa tìm được ở ý c:

$S = \frac{\pi }{4} + \left( {\frac{{3\pi }}{{20}} + \frac{{11\pi }}{{20}} + \frac{{19\pi }}{{20}}} \right)$$= \frac{{5\pi }}{{20}} + \frac{{33\pi }}{{20}} = \frac{{38\pi }}{{20}} = \frac{{19\pi }}{{10}}$.

Đáp án: 40

sinx = sin40° $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 40^\circ + k360^\circ \\x = 180^\circ - 40^\circ + k360^\circ \end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 40^\circ + k360^\circ \\x = 140^\circ + k360^\circ \end{array} \right.,k \in \mathbb{Z}$.

Vậy nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình là x = 40°.

Đáp án: 4

$\cos \left( {2x - \frac{\pi }{6}} \right) = \cos \left( {x + \frac{\pi }{3}} \right)$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x - \frac{\pi }{6} = x + \frac{\pi }{3} + k2\pi \\2x - \frac{\pi }{6} = - \left( {x + \frac{\pi }{3}} \right) + k2\pi \end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \\x = - \frac{\pi }{{18}} + k\frac{{2\pi }}{3}\end{array} \right.,k \in \mathbb{Z}$.

Họ nghiệm $x = \frac{\pi }{2} + k2\pi$ có 1 nghiệm thuộc [0; 2π] là $x = \frac{\pi }{2}$.

Họ nghiệm $x = - \frac{\pi }{{18}} + \frac{{k2\pi }}{3}$. Để nghiệm thuộc [0; 2π] thì

$0 \le - \frac{\pi }{{18}} + \frac{{k2\pi }}{3} \le 2\pi \Leftrightarrow \frac{1}{{12}} \le k \le \frac{{37}}{{12}} \Rightarrow k \in \{ 1;2;3\}$.

Tổng số nghiệm phân biệt là $1 + 3 = 4$.

Đáp án: 0

Điều kiện: m ≠ 1.

Để phương trình có nghiệm thì $- 1 \le \frac{{m + 2}}{{m - 1}} \le 1$.

Khi đó $\left\{ \begin{array}{l}\frac{{m + 2}}{{m - 1}} \ge - 1\\\frac{{m + 2}}{{m - 1}} \le 1\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\frac{{2m + 1}}{{m - 1}} \ge 0\\\frac{3}{{m - 1}} \le 0\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}m \le - \frac{1}{2}\\m \ge 1\end{array} \right.\\m \le 1\end{array} \right. \Leftrightarrow m \le - \frac{1}{2}$.

Do m nguyên dương nên không có giá trị nào của m thỏa mãn.

Đáp án: 6

$\cos \left( {3x + \frac{\pi }{4}} \right) = \frac{{\sqrt 2 }}{2}$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}3x + \frac{\pi }{4} = \frac{\pi }{4} + k2\pi \\3x + \frac{\pi }{4} = - \frac{\pi }{4} + k2\pi \end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = k\frac{{2\pi }}{3}\\x = - \frac{\pi }{6} + k\frac{{2\pi }}{3}\end{array} \right.,k \in \mathbb{Z}$.

Xét họ nghiệm $x = k\frac{{2\pi }}{3}$.

$- \pi \le \frac{{k2\pi }}{3} \le \pi \Leftrightarrow - 1{,}5 \le k \le 1{,}5 \Rightarrow k \in \{ - 1;0;1\}$. (Có 3 nghiệm).

Xét họ nghiệm $x = - \frac{\pi }{6} + k\frac{{2\pi }}{3}$.

$- \pi \le - \frac{\pi }{6} + \frac{{k2\pi }}{3} \le \pi \Leftrightarrow - \frac{5}{4} \le k \le \frac{7}{4} \Leftrightarrow - 1{,}25 \le k \le 1{,}75 \Rightarrow k \in \{ - 1;0;1\}$. (Có 3 nghiệm).

Do hai họ nghiệm lệch nhau một khoảng không là bội của $\frac{{2\pi }}{3}$ nên các nghiệm hoàn toàn phân biệt.

Vậy tổng số nghiệm phân biệt là 3 + 3 = 6.

Đáp án: 11

$\tan \left( {2x - \frac{\pi }{6}} \right) = \tan \frac{\pi }{6} \Leftrightarrow 2x - \frac{\pi }{6} = \frac{\pi }{6} + k\pi \quad (k \in \mathbb{Z})$

$\Leftrightarrow 2x = \frac{\pi }{3} + k\pi \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{6} + \frac{{k\pi }}{2},k \in \mathbb{Z}$

Có $0 < \frac{\pi }{6} + \frac{{k\pi }}{2} < \pi \Leftrightarrow 0 < \frac{1}{6} + \frac{k}{2} < 1 \Leftrightarrow - \frac{1}{3} < k < \frac{5}{3}$.

Vì $k \in \mathbb{Z} \Rightarrow k \in \{ 0;1\}$.

Với $k = 0 \Rightarrow {x_1} = \frac{\pi }{6}$;

Với $k = 1 \Rightarrow {x_2} = \frac{\pi }{6} + \frac{\pi }{2} = \frac{{2\pi }}{3}$.

$S = {x_1} + {x_2} = \frac{\pi }{6} + \frac{{2\pi }}{3} = \frac{{5\pi }}{6}$. Suy ra a = 5; b = 6. Vậy a + b = 11.