Bài tập Giải bài toán bằng cách lập phương trình lớp 9 (có lời giải)

Đáp án đúng là: A

Gọi số chẵn thứ nhất là x (x ∈ ℕ*).

Khi đó, số chẵn thứ hai liền sau là x + 2.

Tổng bình phương của hai số trên là x$^{2}$ + (x + 2)$^{2}$.

Vì tổng bình phương của hai số bằng 244 nên ta có phương trình:

x$^{2}$ + (x + 2)$^{2}$ = 244

x$^{2}$ + x$^{2}$ + 4x + 4 – 244 = 0

2x$^{2}$ + 4x – 240 = 0

x$^{2}$ + 2x – 120 = 0

Phương trình trên có ∆' = 1$^{2}$ – 1.(–120) = 121 > 0 và $\sqrt {\Delta '} = \sqrt {121} = 11.$

Do đó phương trình trên có hai nghiệm phân biệt là:

${x_1} = \frac{{ - 1 - 11}}{1} = - 12$ (không thỏa mãn);

${x_2} = \frac{{ - 1 + 11}}{1} = 10$ (thỏa mãn).

Với x = 10, ta có số chẵn thứ nhất là 10 và số chẵn thứ hai là 12.

Vậy ta chọn phương án A.

Đáp án đúng là: D

Tổng của chữ số hàng trăm và hàng đơn vị là 12 – 3 = 9.

Gọi chữ số hàng trăm của số cần tìm là x (x ∈ ℕ, 0 < x ≤ 9).

Chữ số hàng đơn vị của số cần tìm là 9 – x.

Số tự nhiên cần tìm là: $\overline {x3\left( {9 - x} \right)} = 100x + 30 + \left( {9 - x} \right) = 99{\rm{x}} + 39.$

Nếu bỏ chữ số hàng trăm thì ta được số mới là: $\overline {3\left( {9 - x} \right)} .$

Tích của các chữ số của số mới là: 3.(9 – x) = 27 – 3x.

Theo bài, số mới có hai lần bình phương của tích của các chữ số lớn hơn số ban đầu 15 đơn vị, nên ta có phương trình:

2(27 – 3x)$^{2}$ = 99x + 39 + 15

2.(729 – 162x + 9x$^{2}$) = 99x + 54

18x$^{2}$ – 423x + 1404 = 0

2x$^{2}$ – 47x + 156 = 0

Phương trình trên có ∆ = (–47)$^{2}$ – 4.2.156 = 961 > 0 và $\sqrt \Delta = \sqrt {961} = 31.$

Do đó, phương trình có hai nghiệm phân biệtlà:

${x_1} = \frac{{47 - 31}}{{2 \cdot 2}} = 4$ (thỏa mãn); ${x_2} = \frac{{47 + 31}}{{2 \cdot 2}} = \frac{{39}}{2}$ (không thỏa mãn).

Với x = 4, ta có số tự nhiên ban đầu là 435.

Vậy thương của số tự nhiên ban đầu với 5 là 435 : 5 = 87.

>

Đáp án đúng là: A

Gọi độ dài cạnh góc vuông nhỏ là x (cm) (x > 0).

Khi đó, độ dài cạnh góc vuông lớn là x + 2 (cm).

Diện tích của tam giác vuông đó là: $\frac{1}{2}x\left( {x + 2} \right) = \frac{1}{2}{x^2} + x$ (cm$^{2}$).

Vì diện tích của tam giác vuông là 31,5 cm$^{2}$, nên ta có phương trình:

$$\frac{1}{2}{x^2} + x = 31{,}5$$

x$^{2}$ + 2x – 63 = 0.

Phương trình trên có: ∆' = 1$^{2}$ – 1.(–63) = 64 > 0 và $\sqrt {\Delta '} = \sqrt {64} = 8.$

Do đó, phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt là:

${x_1} = \frac{{ - 1 - 8}}{1} = - 9$ (loại);

${x_2} = \frac{{ - 1 + 8}}{1} = 7$ (thỏa mãn).

Vậy độ dài cạnh góc vuông nhỏ là 7 cm.

Đáp án đúng là: D

Gọi chiều dài ban đầu của mảnh đất là x (m) (x > 0).

Chiều rộng ban đầu của mảnh đất là $\frac{{720}}{x}$ (m).

Chiều dài của mảnh đất nếu tăng thêm 6 m là: x + 6 (m).

Chiều rộng của mảnh đất nếu giảm đi 4 m là: $\frac{{720}}{x} - 4$ (m).

Diện tích của mảnh đất sau khi thay đổi kích thước là: $\left( {x + 6} \right)\left( {\frac{{720}}{x} - 4} \right)$ (m$^{2}$).

Theo bài, nếu tăng chiều dài 6 m và giảm chiều rộng 4 m thì diện tích của mảnh đất không đổi nên ta có phương trình:

$$\left( {x + 6} \right)\left( {\frac{{720}}{x} - 4} \right) = 720$$

Giải phương trình:

$$\left( {x + 6} \right)\left( {\frac{{720}}{x} - 4} \right) = 720$$

$720 - 4x + \frac{{4320}}{x} - 24 = 720$

4x$^{2}$ + 24x – 4320 = 0

x$^{2}$ + 6x – 1080 = 0.

Phương trình trên có ∆' = 3$^{2}$ – 1.(–1080) = 1089 > 0 và $\sqrt {\Delta '} = \sqrt {1089} = 33.$

Do đó phương trình trên có hai nghiệm phân biệt là:

${x_1} = \frac{{ - 3 - 33}}{1} = - 36$ (không thỏa mãn);

${x_2} = \frac{{ - 3 + 33}}{1} = 30$ (thỏa mãn).

Vậy chiều dài mảnh đất là 30 m.

Đáp án đúng là: A

Gọi thời gian đội I làm một mình xong công việc là x (ngày) (x > 4).

Thời gian đội II làm một mình xong công việc là x + 6 (ngày).

Trong 1 ngày, đội I làm một mình được $\frac{1}{x}$ (công việc), đội II làm một mình được $\frac{1}{{x + 6}}$ (công việc).

Như vậy, trong 1 ngày, hai đội cùng làm được $\frac{1}{x} + \frac{1}{{x + 6}}$ (công việc).

Theo bài, hai đội cùng làm thì trong 4 ngày xong việc nên trong 1 ngày, hai đội cùng làm được $\frac{1}{4}$ (công việc).

Ta có phương trình: $\frac{1}{x} + \frac{1}{{x + 6}} = \frac{1}{4}.$

Giải phương trình:

$\frac{1}{x} + \frac{1}{{x + 6}} = \frac{1}{4}$

$\frac{{x + 6 + x}}{{x\left( {x + 6} \right)}} = \frac{1}{4}$

$\frac{{2x + 6}}{{x\left( {x + 6} \right)}} = \frac{1}{4}$

x(x + 6) = 4.(2x + 6)

x$^{2}$ + 6x – 8x – 24 = 0

x$^{2}$ – 2x – 24 = 0.

Phương trình trên có ∆' = (–1)$^{2}$ – 1.(–24) = 25 > 0 và $\sqrt {\Delta '} = \sqrt {25} = 5.$

Do đó phương trình trên có:

${x_1} = \frac{{1 - 5}}{1} = - 4$ (không thỏa mãn);

${x_2} = \frac{{1 + 5}}{1} = 6$ (thỏa mãn).

Vậy đội I làm một mình xong công việc trong 6 giờ.

Đáp án đúng là: B

Gọi số đèn lồng nhóm thợ phải làm mỗi ngày theo kế hoạch là x (đèn) (x > 0).

Theo kế hoạch, nhóm thợ cần làm hết 1200 chiếc đèn trong $\frac{{1200}}{x}$ (ngày).

Trong 12 ngày làm theo kế hoạch, nhóm thợ làm được 12x (đèn).

Số đèn còn lại sau 12 ngày đó là 1200 – 12x (đèn).

Sau khi có thêm người, mỗi ngày nhóm thợ làm được x + 20 (đèn).

Thời gian làm số đèn còn lại là $\frac{{1200 - 12x}}{{x + 20}}$ (ngày).

Theo bài, nhóm thợ hoàn thành kế hoạch sớm 2 ngày nên ta có phương trình:

$\frac{{1200}}{x} = 12 + \frac{{1200 - 12x}}{{x + 20}} + 2.$

Giải phương trình:

$\frac{{1200}}{x} = 12 + \frac{{1200 - 12x}}{{x + 20}} + 2$

$$\frac{{1200}}{x} - \frac{{1200 - 12x}}{{x + 20}} = 14$$

$$\frac{{1200\left( {x + 20} \right) - x\left( {1200 - 12x} \right)}}{{x\left( {x + 20} \right)}} = 14$$

$$\frac{{12{x^2} + 2\,\,4000}}{{x\left( {x + 20} \right)}} = 14$$

12x$^{2}$ + 24 000 = 14x(x + 20)

12x$^{2}$ + 24 000 = 14x$^{2}$ + 280x

2x$^{2}$ + 280x – 24 000 = 0

x$^{2}$ + 140x – 12 000 = 0.

Phương trình trên có ∆' = 70$^{2}$ – 1.(–12 000) = 16 900 > 0 và $\sqrt {\Delta '} = \sqrt {16\,\,900} = 130.$

Do đó phương trình trên có hai nghiệm phân biệt là:

${x_1} = \frac{{ - 70 - 130}}{1} = - 200$ (không thỏa mãn);

${x_2} = \frac{{ - 70 + 130}}{1} = 60$ (thỏa mãn).

Vậy theo kế hoạch thì mỗi ngày nhóm thộ phải làm 60 chiếc đèn lồng.

Đáp án đúng là: D

Đổi 20 phút $= \frac{1}{3}$ giờ.

Gọi vận tốc của ca nô khi nước yên lặng là x (km/h) (x > 3).

Vận tốc ca nô lúc xuôi dòng là: x + 3 (km/h).

Vận tốc của ca nô lúc ngược dòng là: x – 3 (km/h).

Thời gian ca nô xuôi dòng từ A đến B là $\frac{{15}}{{x + 3}}$ (giờ).

Thời gian ca nô ngược dòng từ B về A là $\frac{{15}}{{x - 3}}$ (giờ).

Theo bài, thời gian một ca nô xuôi dòng từ bến A đến bến B, tại bến B nghỉ 20 phút rồi ngược dòng từ bến B trở về bến A tổng cộng là 3 giờ nên ta có phương trình:

$$\frac{{15}}{{x + 3}} + \frac{{15}}{{x - 3}} + \frac{1}{3} = 3.$$

Giải phương trình:

$$\frac{{15}}{{x + 3}} + \frac{{15}}{{x - 3}} + \frac{1}{3} = 3$$

$$\frac{{15}}{{x + 3}} + \frac{{15}}{{x - 3}} = \frac{8}{3}$$

$$\frac{1}{{x + 3}} + \frac{1}{{x - 3}} = \frac{8}{{45}}$$

$$\frac{{x - 3 + x + 3}}{{\left( {x + 3} \right)\left( {x - 3} \right)}} = \frac{8}{{45}}$$

$$\frac{{2x}}{{{x^2} - 9}} = \frac{8}{{45}}$$

8(x$^{2}$ – 9) = 45.2x

4x$^{2}$ – 45x – 36 = 0.

Phương trình trên có ∆ = (–45)$^{2}$ – 4.4.(–36) = 2601 > 0 và $\sqrt \Delta = \sqrt {2601} = 51.$

Do đó phương trình trên có hai nghiệm phân biệt là:

${x_1} = \frac{{45 - 51}}{{2 \cdot 4}} = - 0{,}75$ (không thỏa mãn);

${x_1} = \frac{{45 + 51}}{{2 \cdot 4}} = 12$ (thỏa mãn).

Khi đó, vận tốc của ca nô khi nước yên lặng là 12 km/h nên vận tốc của ca nô khi xuôi dòng là: 12 + 3 = 15 (km/h).

Vậy ta chọn phương án D.

Đáp án đúng là: C

Gọi vận tốc xe máy là x (km/h) (x > 0).

Khi đó, vận tốc xe ô tô là x + 20 (km/h).

Sau khi hai xe gặp nhau (gọi là điểm C), xe máy đi 1 giờ 30 phút (tức 1,5 giờ) nữa mới đến B nên quãng đường từ C đến B là: 1,5x (km).

Thời gian xe ô tô đi từ lúc khởi hành từ B đến C là: $\frac{{1{,}5x}}{{x + 20}}$ (giờ).

Do đó, quãng đường từ A đến C là: 100 – 1,5x (km), nên thời gian xe máy đi từ lúc khởi hành từ A đến C là: $\frac{{100 - 1{,}5x}}{x}$ (giờ).

Vì hai xe cùng xuất phát và cùng gặp nhau nên ta có phương trình:

$\frac{{100 - 1{,}5x}}{x} = \frac{{1{,}5x}}{{x + 20}}.$

Giải phương trình:

$\frac{{100 - 1{,}5x}}{x} = \frac{{1{,}5x}}{{x + 20}}$

(100 – 1,5x)(x + 20) = x.1,5x

100x + 2 000 – 1,5x$^{2}$ – 30x = 1,5x$^{2}$

3x$^{2}$ – 70x – 2 000 = 0

Phương trình trên có ∆' = (–35)$^{2}$ – 3.(–2 000) = 7225 > 0 và $\sqrt {\Delta '} = \sqrt {7255} = 85.$

Do đó phương trình trên có hai nghiệm phân biệt là:

${x_1} = \frac{{35 - 85}}{3} = - \frac{{50}}{3}$ (không thỏa mãn);

${x_2} = \frac{{35 + 85}}{3} = 40$ (thỏa mãn).

Vậy vận tốc của xe máy là 40 km/h; vận tốc của xe ô tô là 40 + 20 = 60 (km/h).

Đáp án đúng là: B

Gọi khối lượng riêng của miếng kim loại thứ hai là x (g/cm$^{3}$) (x > 0).

Khối lượng riêng của miếng kim loại thứ nhất là x + 1 (g/cm$^{3}$).

Thể tích của miếng kim loại thứ nhất là: $\frac{{880}}{{x + 1}}$ (cm$^{3}$).

Thể tích của miếng kim loại thứ hai là: $\frac{{858}}{x}$ (cm$^{3}$).

Theo bài, thể tích của miếng thứ nhất nhỏ hơn thể tích của miếng thứ hai là 10 cm$^{3}$, nên ta có phương trình:

$\frac{{858}}{x} - \frac{{880}}{{x + 1}} = 10.$

Giải phương trình:

$\frac{{858}}{x} - \frac{{880}}{{x + 1}} = 10$

$$\frac{{858\left( {x + 1} \right) - 880x}}{{x\left( {x + 1} \right)}} = 10$$

$$\frac{{858x + 858 - 880x}}{{x\left( {x + 1} \right)}} = 10$$

$$\frac{{858 - 22x}}{{{x^2} + x}} = 10$$

10(x$^{2}$ + x) = 858 – 22x

10x$^{2}$ + 10x = 858 – 22x

10x$^{2}$ + 32x – 858 = 0

5x$^{2}$ + 16x – 429 = 0

Phương trình trên có:

∆' = 8$^{2}$ – 5.(–429) = 2209 > 0 và $\sqrt {\Delta '} = \sqrt {2209} = 47.$

Do đó phương trình trên có hai nghiệm phân biệt là:

${x_1} = \frac{{ - 8 - 47}}{5} = - 11$ (không thỏa mãn);

${x_2} = \frac{{ - 8 + 47}}{5} = 7{,}8$ (thỏa mãn).

Khi đó, khối lượng riêng của miếng kim loại thứ hai là 7,8 g/cm$^{3}$ và khối lượng riêng của miếng kim loại thứ nhất là 7,8 + 1 = 8,8 (g/cm$^{3}$).

Đáp án đúng là: C

Gọi lãi suất cho vay của ngân hàng đó là x (%/năm) (x > 0).

Số tiền lãi bác Ba phải trả sau 1 năm gửi 100 triệu đồng là 100.x% = x (triệu đồng).

Số tiền bác Ba phải trả sau 1 năm là 100 + x (triệu đồng).

Do số tiền lãi của năm đầu được tính gộp vào tiền vốn để tính lãi năm sau nên số tiền lãi bác Ba phải trả sau 2 năm là: $\left( {100 + x} \right) \cdot x\% = \frac{{\left( {100 + x} \right)x}}{{100}}$ (triệu đồng).

Số tiền cả gốc lẫn lãi sau 2 năm bác Ba phải trả là: $100 + x + \frac{{\left( {100 + x} \right)x}}{{100}}$ (triệu đồng).

Hết 2 năm, bác Ba phải trả tất cả là 121 triệu đồng nên ta có phương trình:

$$100 + x + \frac{{\left( {100 + x} \right)x}}{{100}} = 121$$

Giải phương trình:

$$100 + x + \frac{{\left( {100 + x} \right)x}}{{100}} = 121$$

10 000 + 100x + 100x + x$^{2}$ = 12 100

x$^{2}$ + 200x – 2 100 = 0

Phương trình trên có ∆' = 100$^{2}$ – 1.(–2 100) = 12 100 > 0 và $\sqrt {\Delta '} = \sqrt {12\,\,100} = 110.$

Do đó phương trình trên có hai nghiệm phân biệt là:

${x_1} = \frac{{ - 100 - 110}}{1} = - 210$ (không thỏa mãn);

${x_2} = \frac{{ - 100 + 110}}{1} = 10$ (thỏa mãn).

Vậy lãi suất của ngân hàng đó là 10%/năm.

Đáp án đúng là: D

Chiều dài hình chữ nhật là: x + 4 (cm).

Diện tích hình chữ nhật là: x(x + 4) = x$^{2}$ + 4x (cm$^{2}$).

Đáp án đúng là: D

Hai số lẻ liên tiếp hơn kém nhau 2 đơn vị nên số lớn hơn là: x + 2.

Tích của hai số là: x(x + 2) = x$^{2}$ + 2x.

Vì tích của hai số bằng 143 nên ta có: x$^{2}$ + 2x = 143 hay x$^{2}$ + 2x – 143 = 0.

Vậy ta thu có phương trình là x$^{2}$ + 2x – 143 = 0.

Đáp án đúng là: C

Độ dài cạnh góc vuông lớn hơn là x + 2 (cm).

Diện tích tam giác vuông là: $\frac{1}{2}{\rm{x}}\left( {{\rm{x}} + 2} \right) = \frac{1}{2}{{\rm{x}}^2} + {\rm{x}}\;\,\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}} \right).$

Vì diện tích tam giác vuông bằng 24 cm$^{2}$ nên ta có phương trình:

$\frac{1}{2}{{\rm{x}}^2} + {\rm{x}} = 24$ nên x$^{2}$ + 2x – 48 = 0.

Do đó, ta có phương trình là x$^{2}$ + 2x – 48 = 0.

Đáp án đúng là: B

Chiều dài hình chữ nhật là: 15 – x (cm).

Diện tích hình chữ nhật là: x(15 – x) = –x$^{2}$ + 15x (cm$^{2}$).

Vì diện tích hình chữ nhật bằng 44 cm$^{2}$ nên ta có phương trình

–x$^{2}$ + 15x = 44 hay x$^{2}$ – 15x + 44 = 0.

Đáp án đúng là: C

Vận tốc người đó đi từ B về A là: x + 10 (km/h).

Thời gian người đó đi từ A đến B là: $\frac{{200}}{{\rm{x}}}$ (giờ).

Thời gian người đó đi từ B đến A là: $\frac{{200}}{{{\rm{x}} + 10}}$ (giờ).

Vì thời gian kể từ lúc bắt đầu đi từ A đến lúc trở về A là 9 giờ nên ta có phương trình:

$\frac{{200}}{{\rm{x}}} + \frac{{200}}{{{\rm{x}} + 10}} = 9$

$\frac{{200\left( {{\rm{x}} + 10} \right) + 200{\rm{x}}}}{{{\rm{x}}\left( {{\rm{x}} + 10} \right)}} = \frac{{9{\rm{x}}\left( {{\rm{x}} + 10} \right)}}{{{\rm{x}}\left( {{\rm{x}} + 10} \right)}}$

200x + 2 000 + 200x = 9x$^{2}$ + 90x

9x$^{2}$ – 310x – 2 000 = 0.

Do đó, ta thu được phương trình 9x$^{2}$ – 310x – 2 000 = 0.

Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Sai. d) Đúng.

a) Đúng.

Vì thực tế có 4 xe bị điều đi làm việc khác nên số xe thực tế chở hàng là x – 4 (xe).

b) Sai.

Thực tế, có x – 4 xe chở 240 tấn hàng nên mỗi xe chở $\frac{{240}}{{{\rm{x}} - 4}}$ tấn hàng.

Vậy thực tế mỗi xe chở $\frac{{240}}{{{\rm{x}} - 4}}$ tấn hàng.

c) Sai.

Theo dự định, mỗi xe chở $\frac{{240}}{{\rm{x}}}$ tấn hàng.

Vì thực tế mỗi xe phải chở thêm 5 tấn so với dự định nên ta có phương trình

$\frac{{240}}{{{\rm{x}} - 4}} - \frac{{240}}{{\rm{x}}} = 5$.

d) Đúng.

$\frac{{240}}{{{\rm{x}} - 4}} - \frac{{240}}{{\rm{x}}} = 5$

$\frac{{240{\rm{x}} - 240\left( {{\rm{x}} - 4} \right)}}{{{\rm{x}}\left( {{\rm{x}} - 4} \right)}} = \frac{{5{\rm{x}}\left( {{\rm{x}} - 4} \right)}}{{{\rm{x}}\left( {{\rm{x}} - 4} \right)}}$

240x – 240x + 960 = 5x$^{2}$ – 20x

5x$^{2}$ – 20x – 960 = 0

x$^{2}$ – 4x – 192 = 0

x$^{2}$ + 12x – 16x – 192 = 0

x(x + 12) – 16(x + 12) = 0

(x – 16)(x + 12) = 0

x – 16 = 0 hoặc x + 12 = 0

x = 16 (thỏa mãn) hoặc x = –12 (loại).

Vậy đội xe dự định dùng 16 xe để chở hàng.

Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Đúng.

a) Đúng.

Vì mỗi năm dân số tăng x nên sau năm đầu tiên, dân số tỉnh A là: 2 + 2x (người).

b) Sai.

Sau hai năm, dân số tỉnh A là: 2 + 2x + x(2 + 2x) = 2x$^{2}$ + 4x + 2 (người).

Vậy sau hai năm dân số tỉnh A là 2x$^{2}$ + 4x + 2 triệu người.

c) Đúng.

Vì sau hai năm, dân số tỉnh A là 2,0402 triệu người nên ta có phương trình

2x$^{2}$ + 4x + 2 = 2,0402 nên 2x$^{2}$ + 4x – 0,0402 = 0 hay x$^{2}$ + 2x – 0,0201 = 0.

Vậy ta có phương trình x$^{2}$ + 2x – 0,0201 = 0.

d) Đúng.

x$^{2}$ + 2x – 0,0201 = 0

x$^{2}$ – 0,01x + 2,01x – 0,0201 = 0

x(x – 0,01) + 2,01(x – 0,01) = 0

(x + 2,01)(x – 0,01) = 0

x + 2,01 = 0 hoặc x – 0,01 = 0

x = –2,01 (loại) hoặc x = 0,01 (thỏa mãn).

Vậy mỗi năm, dân số tỉnh A tăng 1%.

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Đúng. d) Sai.

a) Đúng.

Vì hai đội làm riêng thì đội thứ nhất hoàn thành đoạn đường nhanh hơn đội thứ hai 5 giờ nên thời đội thứ hai làm riêng hoàn thành đoạn đường là x + 5 (giờ).

b) Đúng.

Trong 1 giờ, đội thứ nhất làm được $\frac{1}{{\rm{x}}}$ (đoạn đường).

Trong 1 giờ, đội thứ hai làm được $\frac{1}{{{\rm{x}} + 5}}$ (đoạn đường).

Trong 1 giờ, cả hai đội cùng làm được $\frac{1}{{\rm{x}}} + \frac{1}{{{\rm{x}} + 5}}$ đoạn đường.

c) Đúng.

Vì hai đội cùng làm thì sau 3 giờ 20 phút $= \frac{{10}}{3}$ giờ hoàn thành đoạn đường nên trong một giờ của hai đội làm được $\frac{3}{{10}}$ đoạn đường.

Ta có phương trình $\frac{1}{{\rm{x}}} + \frac{1}{{{\rm{x}} + 5}} = \frac{3}{{10}}.$

d) Sai.

$\frac{1}{{\rm{x}}} + \frac{1}{{{\rm{x}} + 5}} = \frac{3}{{10}}$

$\frac{{{\rm{10x}} + 10\left( {5 + {\rm{x}}} \right)}}{{{\rm{10x}}\left( {{\rm{x}} + 5} \right)}} = \frac{{3{\rm{x}}\left( {{\rm{x}} + 5} \right)}}{{10{\rm{x}}\left( {{\rm{x}} + 5} \right)}}$

10x + 50 + 10x = 3x$^{2}$ + 15x

3x$^{2}$ – 5x – 50 = 0

3x$^{2}$ – 15x + 10x – 50 = 0

3x(x – 5) + 10(x – 5) = 0

(x – 5)(3x + 10) = 0

x – 5 = 0 hoặc 3x + 10 = 0

x = 5 (thỏa mãn) hoặc ${\rm{x}} = \frac{{ - 10}}{3}\;\,\left( {\rm{L}} \right)$.

Vậy thời gian đội thứ hai làm riêng hoàn thành đoạn đường là 8 giờ.

Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Đúng.

a) Đúng.

Vì thực tế mỗi ngày xưởng đã in nhiều hơn 450 cuốn so với theo kế hoạch nên số cuốn sách xưởng in một ngày theo thực tế x + 450 (cuốn).

b) Sai.

Thực tế, xưởng in xong 9 000 cuốn sách trong $\frac{{9\;000}}{{{\rm{x}} + 450}}$ ngày.

c) Đúng.

Theo kế hoạch, xưởng in xong 9 000 cuốn sách trong $\frac{{9\;000}}{{\rm{x}}}$ ngày.

Vì thực tế xưởng đã in đủ số cuốn sách theo kế hoạch sớm hơn 1 ngày nên ta có phương trình: $\frac{{9\;000}}{{\rm{x}}} - \frac{{9\;000}}{{{\rm{x}} + 450}} = 1.$

d) Đúng.

$\frac{{9\;000}}{{\rm{x}}} - \frac{{9\;000}}{{{\rm{x}} + 450}} = 1$

$\frac{{9\;000\left( {{\rm{x}} + 450} \right) - 9\;000{\rm{x}}}}{{{\rm{x}}\left( {{\rm{x}} + 450} \right)}} = \frac{{{\rm{x}}\left( {{\rm{x}} + 450} \right)}}{{{\rm{x}}\left( {{\rm{x}} + 450} \right)}}$

9 000x + 4 050 000 – 9 000x = x$^{2}$ + 450x

x$^{2}$ + 450x – 4 050 000 = 0

x$^{2}$ – 1 800x + 2 250x – 4 050 000 = 0

x(x – 1800) + 2 250(x – 1800) = 0

(x – 1800)(x + 2 250) = 0

x – 1 800 = 0 hoặc x + 2 250 = 0

x = 1 800 (thỏa mãn) x = –2 250 (loại).

Vậy theo kế hoạch mỗi ngày xưởng cần in 1 800 cuốn sách.

Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Sai. d) Sai.

a) Đúng.

Vì vận tốc dòng nước là 2,5 km/h nên vận tốc thuyền đi xuôi dòng từ A đến B là x + 2,5 (km/h).

b) Sai.

Vận tốc thuyền đi ngược dòng từ B đến A là x – 2,5 (km/h).

Thời gian thuyền đi xuôi dòng từ A đến B là $\frac{{60}}{{{\rm{x}} + 2{,}5}}$ (giờ).

Thời gian thuyền đi ngược dòng từ B đến A là $\frac{{60}}{{{\rm{x}} - 2{,}5}}$ (giờ).

Tổng thời gian thuyền đi xuôi dòng và ngược dòng là $\frac{{60}}{{{\rm{x}} + 2{,}5}} + \frac{{60}}{{{\rm{x}} - 2{,}5}}$ (giờ).

c) Sai.

Vì thuyền chạy xuôi dòng sông từ A đến B rồi chạy ngược dòng từ B về A hết tất cả 4 giờ 24 phút = 4,4 giờ nên ta có phương trình $\frac{{60}}{{{\rm{x}} + 2{,}5}} + \frac{{60}}{{{\rm{x}} - 2{,}5}} = 4{,}4$.

d) Sai.

$\frac{{60}}{{{\rm{x}} + 2{,}5}} + \frac{{60}}{{{\rm{x}} - 2{,}5}} = 4{,}4$

$\frac{{60\left( {{\rm{x}} - 2{,}5} \right) + 60\left( {{\rm{x}} + 2{,}5} \right)}}{{\left( {{\rm{x}} + 2{,}5} \right)\left( {{\rm{x}} - 2{,}5} \right)}} = \frac{{4{,}4\left( {{\rm{x}} + 2{,}5} \right)\left( {{\rm{x}} - 2{,}5} \right)}}{{\left( {{\rm{x}} + 2{,}5} \right)\left( {{\rm{x}} - 2{,}5} \right)}}$

60x – 150 + 60x + 150 = 4,4x$^{2}$ – 27,5

4,4x$^{2}$ – 120x – 27,5 = 0

4,4x$^{2}$ – 121x + x – 27,5 = 0

4,4x(x – 27,5) + (x – 27,5) = 0

(x – 27,5)(4,4x + 1) = 0

x – 27,5 = 0 (do 4,4x + 1 > 0 với x > 0).

x = 27,5 (thỏa mãn).

Vậy vận tốc thực của thuyền bằng 27,5 km/h.

Đáp án: 12

Gọi số dãy ghế trong phòng họp ban đầu là x (dãy, ${\rm{x}} \in \mathbb{N}*,\;\,{\rm{x}} > 4$).

Số chỗ ngồi trong mỗi dãy ghế ban đầu là $\frac{{240}}{{\rm{x}}}$ (chỗ ngồi).

Khi bớt đi 4 dãy ghế thì số dãy ghế là x – 4 (dãy).

Số chỗ ngồi trong mỗi dãy ghế khi có x – 4 dãy ghế là: $\frac{{240}}{{{\rm{x}} - 4}}$ (chỗ ngồi).

Vì số chỗ ngồi trong mỗi dãy tăng thêm 10 chỗ nên ta có phương trình:

$\frac{{240}}{{{\rm{x}} - 4}} - \frac{{240}}{{\rm{x}}} = 10$

$\frac{{24{\rm{x}} - 24\left( {{\rm{x}} - 4} \right)}}{{{\rm{x}}\left( {{\rm{x}} - 4} \right)}} = \frac{{{\rm{x}}\left( {{\rm{x}} - 4} \right)}}{{{\rm{x}}\left( {{\rm{x}} - 4} \right)}}$

24x – 24x + 96 = x$^{2}$ – 4x

x$^{2}$ – 4x – 96 = 0

x$^{2}$ – 12x + 8x – 96 = 0

x(x – 12) + 8(x – 12) = 0

(x – 12)(x + 8) = 0

x = 12 (thỏa mãn) hoặc x = –8 (loại).

Vậy ban đầu có 12 dãy ghế trong phòng.

Đáp án: 20

Giá của chiếc áo khi giảm giá lần thứ nhất là: 200 – 200x% = 200 – 2x (nghìn đồng).

Giá của chiếc áo khi giảm giá lần thứ hai là: 200 – 2x – x%(200 – 2x) (nghìn đồng).

Vì sau hai lần giảm giá thì giá chiếc áo là 128 nghìn đồng nên ta có phương trình:

200 – 2x – x%(200 – 2x) = 128

200 – 2x – 0,01x(200 – 2x) = 128

0,02x$^{2}$ – 4x + 72 = 0

x$^{2}$ – 200x + 3 600 = 0

x$^{2}$ – 20x – 180x + 3 600 = 0

x(x – 20) – 180(x – 20) = 0

(x – 180)(x – 20) = 0

x – 180 = 0 hoặc x – 20 = 0

x = 180 (loại) hoặc x = 20 (thỏa mãn).

Vậy x = 20.

Đáp án: 22

Gọi số chẵn bé hơn cần tìm là x $\left( {{\rm{x}} \in \mathbb{N}} \right)$.

Số chẵn lớn hơn cần tìm là x + 2.

Vì tích hai số bằng 120 nên ta có phương trình

x(x + 2) = 120

x$^{2}$ + 2x – 120 = 0

x + 12x – 10x – 120 = 0

x(x + 12) – 10(x + 12) = 0

(x – 10)(x + 12) = 0

x – 10 = 0 hoặc x + 12 = 0

x = 10 (thỏa mãn) hoặc x = –12 (loại).

Do đó, hai số cần tìm là 10 và 12.

Vậy tổng của hai số cần tìm bằng 22.

Đáp án: 40

Gọi vận tốc của người đi xe máy từ A đến B là x (km/h, x > 0).

Vận tốc của người đó đi từ B đến C là: x + 10 (km/h).

Thời gian người đó đi từ A đến B là: $\frac{{70}}{{\rm{x}}}$ (giờ).

Thời gian người đó đi từ B đến C là: $\frac{{20}}{{{\rm{x}} + 10}}$ (giờ).

Vì người đó nghỉ 15 phút $= \frac{1}{4}$ giờ và tổng thời gian người đó đi từ A đến C hết 2 giờ 24 phút $= \frac{{12}}{5}$ giờ nên ta có phương trình

$\frac{{70}}{{\rm{x}}} + \frac{1}{4} + \frac{{20}}{{{\rm{x}} + 10}} = \frac{{12}}{5}$

$\frac{{70\left( {{\rm{x}} + 10} \right) + 20{\rm{x}}}}{{{\rm{x}}\left( {{\rm{x}} + 10} \right)}} = \frac{{43}}{{20}}$

$\frac{{20\left( {90{\rm{x}} + 700} \right)}}{{{\rm{20x}}\left( {{\rm{x}} + 10} \right)}} = \frac{{43{\rm{x}}\left( {{\rm{x}} + 10} \right)}}{{20{\rm{x}}\left( {{\rm{x}} + 10} \right)}}$

1 800x + 14 000 = 43x$^{2}$ + 430x

43x$^{2}$ – 1 370x – 14 000 = 0

43x$^{2}$ – 1 720x + 350x – 14 000 = 0

43x(x – 40) + 350(x – 40) = 0

(x – 40)(43x + 350) = 0

x – 40 = 0 (do 43x + 350 > 0 với x > 0)

x = 40 (thỏa mãn).

Vậy vận tốc của người đi xe máy từ A đến B là 40 km/h.

Đáp án: 1,6

Thể tích của hỗn hợp chất lỏng là: $\frac{{12 + 16}}{{1{,}4}} = 20\;\,\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}} \right).$

Gọi khối lượng riêng của chất lỏng A là x (g/cm$^{3}$, x > 0,4).

Khối lượng riêng của chất lỏng B là x – 0,4 (g/cm$^{3}$).

Thể tích của chất lỏng A là: $\frac{{16}}{{\rm{x}}}\;\,\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}} \right)$.

Thể tích của chất lỏng B là: $\frac{{12}}{{{\rm{x}}--0{,}4}}\;\,\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}} \right)$.

Thể tích của hỗn hợp là: $\frac{{16}}{{\rm{x}}}{\rm{ + }}\frac{{12}}{{{\rm{x}}--0{,}4}}\;\,\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}} \right).$

Ta có phương trình: $\frac{{16}}{{\rm{x}}}{\rm{ + }}\frac{{12}}{{{\rm{x}}--0{,}4}} = 20$

$\frac{{16\left( {{\rm{x}}--0{,}4} \right) + 12{\rm{x}}}}{{{\rm{x}}\left( {{\rm{x}}--0{,}4} \right)}} = \frac{{20{\rm{x}}\left( {{\rm{x}}--0{,}4} \right)}}{{{\rm{x}}\left( {{\rm{x}}--0{,}4} \right)}}$

16x – 6,4 + 12x = 20x$^{2}$ – 8x

20x$^{2}$ – 36x + 6,4 = 0

20x$^{2}$ – 4x – 32x + 6,4 = 0

4x(5x – 1) – 6,4(5x – 1) = 0

(5x – 1)(4x – 6,4) = 0

5x – 1 = 0 hoặc 4x – 6,4 = 0

x = 0,2 (không thỏa mãn) hoặc x = 1,6 (thỏa mãn).

Vậy khối lượng riêng của chất lỏng A là 1,6 g/cm$^{3}$.