Bài tập Elip có đáp án

a) Toạ độ hai tiêu điểm F$_{1}$, F$_{2}$ của (E) là F$_{1}$ $(-\sqrt{{a}^{2}-{b}^{2}};\ 0),$ F$_{2}$ $(\sqrt{{a}^{2}-{b}^{2}};\ 0).$

b)

+) Vì A$_{2}$ thuộc trục Ox nên toạ độ của A$_{2}$ có dạng $({x}_{{A}_{2}};\ 0).$

Mà A$_{2}$ thuộc (E) nên $\frac{{x}_{{}_{{A}_{2}}}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{0}^{2}}{{b}^{2}}=1\Rightarrow {x}_{{}_{{A}_{2}}}^{2}={a}^{2}\Rightarrow [\begin{matrix}{x}_{{A}_{2}}=a \\ {x}_{{A}_{2}}=-a\end{matrix}.$

Ta thấy A$_{2}$ nằm bên phải điểm O trên trục Ox nên ${x}_{{A}_{2}}>0\Rightarrow {x}_{{A}_{2}}=a$ $\Rightarrow$ A$_{2}$(a; 0). Khi đó OA$_{2}$ = $\sqrt{{(a-0)}^{2}+{(0-0)}^{2}}=\sqrt{{a}^{2}}=a\$(vì a > 0).

Vậy OA$_{2}$ = a.

+) Vì B$_{2}$ thuộc trục Oy nên toạ độ của B$_{2}$ có dạng $(0;\ {y}_{{B}_{2}}).$

Mà B$_{2}$ thuộc (E) nên $\frac{{0}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}_{{}_{{B}_{2}}}^{2}}{{b}^{2}}=1\Rightarrow {y}_{{}_{{B}_{2}}}^{2}={b}^{2}\Rightarrow [\begin{matrix}{y}_{{B}_{2}}=b \\ {y}_{{B}_{2}}=-b\end{matrix}.$

Ta thấy B$_{2}$ nằm bên trên điểm O trên trục Oy nên ${y}_{{B}_{2}}>0\Rightarrow {y}_{{B}_{2}}=b\Rightarrow$ B$_{2}$(0; b). Khi đó OB$_{2}$ = $\sqrt{{(0-0)}^{2}+{(b-0)}^{2}}=\sqrt{{b}^{2}}=b$ (vì b > 0).

Vậy OB$_{2}$ = b.

Theo đề bài, M(x; y) nằm trên (E) nên ta có: $\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1.$

a) M$_{1}$ là điểm đối xứng của M qua trục Ox, suy ra M$_{1}$ có toạ độ là (x; –y).

Ta có $\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{(-y)}^{2}}{{b}^{2}}=\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1.$ Do đó M$_{1}$ cũng thuộc (E).

b) M$_{2}$ là điểm đối xứng của M qua trục Oy, suy ra M$_{2}$ có toạ độ là (–x; y).

Ta có $\frac{{(-x)}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1.$ Do đó M$_{2}$ cũng thuộc (E).

c) M$_{3}$ là điểm đối xứng của M qua gốc O, suy ra M$_{3}$ có toạ độ là (–x; –y).

Ta có $\frac{{(-x)}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{(-y)}^{2}}{{b}^{2}}=\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1.$ Do đó M$_{3}$ cũng thuộc (E).

a) Bốn đỉnh của elip là trung điểm các cạnh của hình chữ nhật cơ sở.

b) Nếu điểm M(x; y) thuộc (E) thì $\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1.$

+) Vì $\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}\ge 0$ nên $\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}\le 1\Rightarrow {x}^{2}\le {a}^{2}\Rightarrow$ –a ≤ x ≤ a.

Do đó:

Giá trị nhỏ nhất của x là –a khi x = –a, y = 0.

Giá trị lớn nhất của x là a khi x = a, y = 0.

+) Vì $\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}\ge 0$ nên $\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}\le 1\Rightarrow {y}^{2}\le {b}^{2}\Rightarrow$ – b ≤ y ≤ b.

Do đó:

Giá trị nhỏ nhất của y là –b khi x = 0, y = –b.

Giá trị lớn nhất của y là b khi x = 0, y = b.

Gọi phương trình chính tắc của elip đã cho là $\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$ (a > b > 0).

Elip đã cho có hai đỉnh là A$_{1}$(– 4; 0) và B$_{2}$(0; 2) nên a = 4, b = 2 hoặc a = 2, b = 4.

Mà a > b nên a = 4, b = 2.

Vậy phương trình chính tắc của elip đã cho là $\frac{{x}^{2}}{{4}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{2}^{2}}=1$ hay $\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{4}=1.$

a) Ta thấy Q(a; b), R(a; –b) nên QR = $\sqrt{{(a-a)}^{2}+{(-b-b)}^{2}}=\sqrt{{(-2b)}^{2}}=2b.$

Ta thấy P(–a; b), Q(a; b) nên PQ = $\sqrt{{(a-(-a))}^{2}+{(b-b)}^{2}}=\sqrt{{(2a)}^{2}}=2a.$

Vậy $\frac{QR}{PQ}=\frac{2b}{2a}=\frac{b}{a}.$

b) Tỉ số $\frac{b}{a}$ phản ánh cụ thể hình dạng của (E) như sau:

– Nếu tỉ số $\frac{b}{a}$ càng bé thì hình chữ nhật cơ sở càng "dẹt", do đó (E) càng "gầy".

– Nếu tỉ số $\frac{b}{a}$ càng lớn thì b càng gần a và hình chữ nhật cơ sở càng gần với hình vuông, do đó (E) càng "béo".

Gọi phương trình chính tắc của elip đã cho là $\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$ (a > b > 0).

Theo đề bài elip có tiêu cự bằng 12 => 2c = 12 => c = 6.

Elip có tâm sai bằng $\frac{3}{5}\Rightarrow \frac{c}{a}=\frac{3}{5}\Rightarrow \frac{6}{a}=\frac{3}{5}\Rightarrow$a = 10 $\Rightarrow b=\sqrt{{a}^{2}-{c}^{2}}=\sqrt{{10}^{2}-{6}^{2}}=8.$

Vậy phương trình chính tắc của elip đã cho là $\frac{{x}^{2}}{{10}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{8}^{2}}=1$ hay $\frac{{x}^{2}}{100}+\frac{{y}^{2}}{64}=1.$

a) MF$_{1}$$^{2}$ = [x – (– c)]$^{2}$ + (y – 0)$^{2}$ = (x + c)$^{2}$ + y$^{2}$ = x$^{2}$ + 2cx + c$^{2}$ + y$^{2}$.

b) MF$_{2}$$^{2}$ = (x – c)$^{2}$ + (y – 0)$^{2}$ = x$^{2}$ – 2cx + c$^{2}$ + y$^{2}$.

c) MF$_{1}$$^{2}$ – MF$_{2}$$^{2}$ = (x$^{2}$ + 2cx + c$^{2}$ + y$^{2}$) – (x$^{2}$ – 2cx + c$^{2}$ + y$^{2}$) = 4cx.

a) MF$_{1}$$^{2}$ – MF$_{2}$$^{2}$ = 4cx $\Rightarrow$ (MF$_{1}$ + MF$_{2}$)(MF$_{1}$ – MF$_{2}$) = 4cx $\Rightarrow$ 2a(MF$_{1}$ – MF$_{2}$) = 4cx

$\Rightarrow$ MF$_{1}$ – MF$_{2}$ = $\frac{4cx}{2a}=\frac{2c}{a}$.

b) Từ MF$_{1}$ + MF$_{2}$ = 2a và $M{F}_{1}-M{F}_{2}=\frac{2c}{a}x$ ta suy ra:

(MF$_{1}$ + MF$_{2}$) + (MF$_{1}$ – MF$_{2}$) = 2a + $\frac{2c}{a}x$ 2MF$_{1}$ = 2a + $\frac{2c}{a}x$ MF$_{1}$ = a + x.

c) Từ MF$_{1}$ + MF$_{2}$ = 2a và $M{F}_{1}-M{F}_{2}=\frac{2c}{a}x$ ta suy ra:

(MF$_{1}$ + MF$_{2}$) – (MF$_{1}$ – MF$_{2}$) = 2a – $\frac{2c}{a}x$$\Rightarrow$ 2MF$_{2}$ = 2a – $\frac{2c}{a}x$$\Rightarrow$ MF$_{2}$ = a – $\frac{c}{a}$x.

Có a$^{2}$ = 9, suy ra a = 3.

Gọi toạ độ của M là (x; y).

Theo công thức độ dài bán kính qua tiêu ta có F$_{2}$M = 3 – $\frac{\sqrt{5}}{3}$x.

Mặt khác, vì M thuộc (E) nên x ≤ 3 $\Rightarrow \frac{\sqrt{5}}{3}x\le \frac{\sqrt{5}}{3}3\Rightarrow \frac{\sqrt{5}}{3}x\le \sqrt{5}\Rightarrow -\frac{\sqrt{5}}{3}x\ge -\sqrt{5}$

$\Rightarrow$ F$_{2}$M = 3 – x ≥ 3 – $\sqrt{5}.$

Đẳng thức xảy ra khi x = 3.

Vậy độ dài F$_{2}$M nhỏ nhất khi M có hoành độ bằng 3, tức là M trùng với đỉnh (3; 0) của elip.

a) Viết lại phương trình đường thẳng Δ$_{1}$ ở dạng: $x+0y+\frac{a}{e}=0.$ Với mỗi điểm M(x; y) thuộc (E), ta có: $d(M,{Δ}_{1})=\frac{|x+0y+\frac{a}{e}|}{\sqrt{{1}^{2}+{0}^{2}}}=\frac{|a+ex|}{e}.$

b) Do MF$_{1}$ = a + ex > 0 nên MF$_{1}$ = |a + ex|, suy ra $d(M,{Δ}_{1})=\frac{M{F}_{1}}{e}$. Vậy $\frac{M{F}_{1}}{d(M,{Δ}_{1})}=e.$

Elip có một tiêu điểm là F$_{2}$(5; 0) nên c = 5.

Theo đề bài ta có, đường chuẩn ứng với tiêu điểm F$_{2}$(5; 0) là x = $\frac{36}{5}.$

Suy ra $\frac{a}{e}=\frac{36}{5}\Rightarrow \frac{a}{\frac{c}{a}}=\frac{36}{5}\Rightarrow \frac{{a}^{2}}{c}=\frac{36}{5}\Rightarrow \frac{{a}^{2}}{5}=\frac{36}{5}\Rightarrow {a}^{2}=36.$

Suy ra b$^{2}$ = a$^{2}$ – c$^{2}$ = 36 – 5$^{2}$ = 36 – 25 = 11.

Vậy phương trình chính tắc của elip đã cho là $\frac{{x}^{2}}{36}+\frac{{y}^{2}}{11}=1.$

a) Ta có: $\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1\Rightarrow \frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1-\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}=\frac{{a}^{2}-{x}^{2}}{{a}^{2}}\Rightarrow {y}^{2}=\frac{({a}^{2}-{x}^{2}){b}^{2}}{{a}^{2}};$

${x}^{2}+{y}_{1}^{2}={a}^{2}\Rightarrow {y}_{1}^{2}={a}^{2}-{x}^{2}.$

b) Từ a) ta suy ra $\frac{{y}^{2}}{{y}_{1}^{2}}=\frac{\frac{({a}^{2}-{x}^{2}){b}^{2}}{{a}^{2}}}{{a}^{2}-{x}^{2}}=\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}\Rightarrow \frac{y}{{y}_{1}}=\frac{b}{a}.$ Vậy $\frac{HM}{H{M}_{1}}=\frac{y}{{y}_{1}}=\frac{b}{a}.$

Để vẽ elip (E), ta có thể làm như sau:

Ta thấy a = 5, b = 3. (E) có các đỉnh là A$_{1}$(– 5; 0), A$_{2}$(5; 0), B$_{1}$(0; – 3), B$_{2}$(0; 3).

Bước 1. Vẽ hình chữ nhật cơ sở có bốn cạnh thuộc bốn đường thẳng x = – 5, x = 5,
y = – 3, y = 3.

Bước 2. Tìm một số điểm cụ thể thuộc elip, chẳng hạn ta thấy điểm $M(4;\frac{9}{5})$ và điểm $N(3;\frac{12}{5})$ thuộc (E). Do đó các điểm ${M}_{1}(4;-\frac{9}{5}),{M}_{2}(-4;\frac{9}{5}),{M}_{3}(-4;-\frac{9}{5})$, ${N}_{1}(3;-\frac{12}{5}),{N}_{2}(-3;\frac{12}{5}),{N}_{3}(-3;-\frac{12}{5})$, thuộc $(E)$.

Bước 3. Vẽ đường elip (E) đi qua các điểm cụ thể trên, nằm ở phía trong hình chữ nhật cơ sở và tiếp xúc với các cạnh của hình chữ nhật cơ sở tại bốn đỉnh của (E) là
A$_{1}$(–5; 0), A$_{2}$(5; 0), B$_{1}$(0; –3), B$_{2}$(0; 3).

a) Gọi phương trình chính tắc của elip đã cho là $\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$ (a > b > 0).

Theo đề bài ta có:

– Độ dài trục lớn bằng 6, suy ra 2a = 6, suy ra a = 3, suy ra a$^{2}$ = 9.

– Elip có một tiêu điểm là F$_{1}$(– 2; 0), suy ra c = 2, suy ra b$^{2}$ = a$^{2}$ – c$^{2}$ = 3$^{2}$ – 2$^{2}$ = 5.

Vậy phương trình chính tắc của elip đã cho là $\frac{{x}^{2}}{9}+\frac{{y}^{2}}{5}=1.$

b) Gọi phương trình chính tắc của elip đã cho là $\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$ (a > b > 0).

Theo đề bài ta có:

– Elip có tiêu cự bằng 12, suy ra 2c = 12, suy ra c = 6, suy ra c$^{2}$ = 36.

– Elip có tâm sai bằng suy ra $\frac{c}{a}=\frac{3}{5}\Rightarrow \frac{6}{a}=\frac{3}{5}\Rightarrow a=10$

$\Rightarrow b=\sqrt{{a}^{2}-{c}^{2}}=\sqrt{{10}^{2}-{6}^{2}}=8.$

Vậy phương trình chính tắc của elip đã cho là $\frac{{x}^{2}}{100}+\frac{{y}^{2}}{64}=1.$

c) Gọi phương trình chính tắc của elip đã cho là $\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$ (a > b > 0).

Theo đề bài ta có:

– Elip có tâm sai bằng $\frac{\sqrt{5}}{3},$ suy ra $\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{5}}{3}\Rightarrow \frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}=\frac{5}{9}\Rightarrow \frac{{a}^{2}-{b}^{2}}{{a}^{2}}=\frac{5}{9}\Rightarrow 1-\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}=\frac{5}{9}$

$\Rightarrow \frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}=\frac{4}{9}\Rightarrow \frac{b}{a}=\frac{2}{3}\Rightarrow b=\frac{2}{3}a\ (1).$

– Chu vi hình chữ nhật cơ sở của elip bằng 20 $\Rightarrow 2(2a+2b)=20\Rightarrow a+b=5\ (2).$

Thế (1) vào (2) ta được $\frac{2}{3}a+a=5\Rightarrow \frac{5}{3}a=5\Rightarrow a=3\Rightarrow b=\frac{2}{3}a=\frac{2}{3}\ .\ 3=2.$

Vậy phương trình chính tắc của elip đã cho là $\frac{{x}^{2}}{{3}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{2}^{2}}=1$ hay $\frac{{x}^{2}}{9}+\frac{{y}^{2}}{4}=1.$

a) Gọi độ dài bán trục lớn và bán trục bé lần lượt là a và b, ta có a = 2b.

Suy ra c = $\sqrt{{a}^{2}-{b}^{2}}=\sqrt{{a}^{2}-{(\frac{a}{2})}^{2}}=\sqrt{\frac{3}{4}{a}^{2}}=\frac{\sqrt{3}a}{2}.$

Vậy tâm sai của elip là $e=\frac{c}{a}=\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}a}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}.$

b) Giả sử elip có một đỉnh trên trục lớn là A(a; 0) (a > 0) và một đỉnh trên trục bé là B(0; b) (b > 0).

Khi đó theo đề bài ta có AB = 2c = 2 $\sqrt{{a}^{2}-{b}^{2}}.$

$\begin{matrix}\Rightarrow \sqrt{{(0-a)}^{2}+{(b-0)}^{2}}=2\sqrt{{a}^{2}-{b}^{2}}\Rightarrow {a}^{2}+{b}^{2}=4({a}^{2}-{b}^{2}) \\ \Rightarrow 3{a}^{2}=5{b}^{2}\Rightarrow {b}^{2}=\frac{3}{5}{a}^{2}\Rightarrow {c}^{2}={a}^{2}-\frac{3}{5}{a}^{2}=\frac{2}{5}{a}^{2} \\ \Rightarrow \frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}=\frac{2}{5}\Rightarrow \frac{c}{a}=\sqrt{\frac{2}{5}}=\frac{\sqrt{10}}{5}.\end{matrix}$

Vậy elip có tâm sai bằng $\frac{\sqrt{10}}{5}.$

Chọn hệ trục toạ độ sao cho Mặt Trời trùng với tiêu điểm F$_{1}$ của elip. Khi đó, áp dụng công thức bán kính qua tiêu ta có, khoảng cách giữa Trái Đất và Mặt Trời là:

MF$_{1}$ = a + ex với x là hoành độ của điểm biểu diễn Trái Đất và –a ≤ x ≤ a.

Do đó a + e . (–a) ≤ MF$_{1}$ ≤ a + e . a

hay 147055090 ≤ MF$_{1}$ ≤ 152141431

Vậy khoảng cách nhỏ nhất và lớn nhất giữa Trái Đất và Mặt Trời lần lượt là 147055090 km và 152141431 km.

Elip (E) có phương trình $\frac{{x}^{2}}{25}+\frac{{y}^{2}}{9}=1\Rightarrow$ a$^{2}$ = 25 và b$^{2}$ = 9 $\Rightarrow$ a = 5 và b = 3.

c$^{2}$ = a$^{2}$ – b$^{2}$ = 25 – 9 = 16 $\Rightarrow$ c = 4.

Gọi toạ độ của M là (x; y). Áp dụng công thức bán kính qua tiêu ta có:

MF$_{2}$ = a – ex = a – $\frac{c}{a}$x = 5 – $\frac{4}{5}$x.

Mà x ≥ –a hay x ≥ –5 $\Rightarrow \frac{4}{5}$x ≥ $\frac{4}{5}$. (–5) $\Rightarrow$ –$\frac{4}{5}$x ≤ –5

$\Rightarrow$MF$_{2}$ ≤ 5 – $\frac{4}{5}$. (–5) $\Rightarrow$ MF$_{2}$ ≤ 9.

Đẳng thức xảy ra khi x = –5.

Vậy độ dài F$_{2}$M lớn nhất khi M có toạ độ (–5; 0).

a) Gọi phương trình chính tắc của elip cần tìm là $\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$ (a > b > 0).

Nhìn hình vẽ ta thấy:

– Độ dài trục lớn của elip bằng 16 $\Rightarrow$ 2a = 16 $\Rightarrow$ a = 8 (m).

– Độ dài bán trục bé của elip bằng 3 $\Rightarrow$ b = 3 (m).

Vậy phương trình chính tắc của elip cần tìm là $\frac{{x}^{2}}{{8}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{3}^{2}}=1$ hay $\frac{{x}^{2}}{64}+\frac{{y}^{2}}{9}=1.$

b) Vì một tia sáng xuất phát từ một tiêu điểm của elip, sau khi phản xạ tại elip thi sẽ đi qua tiêu điểm còn lại nên để bức tượng sáng rõ nhất ta sẽ đặt bức tượng ở tiêu điểm còn lại. Toạ độ của vị trí này là (c; 0).

Có c = $\sqrt{{a}^{2}-{b}^{2}}=\sqrt{{8}^{2}-{3}^{2}}=\sqrt{64-9}=\sqrt{55}.$

Vì tượng cao 4 m nên ta cần đặt bức tượng ở vị trí có toạ độ là $(\sqrt{55};\ -4).$