Bài tập Elip có đáp án

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, ta xét elip (E) có phương trỉnh chính tắc là $\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$, trong đó a > b > 0 (Hình 2).

a) Tìm toạ độ hai tiêu điểm F$_{1}$, F$_{2}$ của (E).

b) (E) cắt trục Ox tại các điểm A$_{1}$, A$_{2}$ và cắt trục Oy tại các điểm B$_{1}$, B$_{2}$. Tìm độ dài các đoạn thẳng OA$_{2}$ và OB$_{2}$.

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, ta xét elip (E) có phương trình chính tắc là $\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1,$ trong đó a > b > 0. Cho điểm M(x; y) nằm trên (E) (Hình 3).

a) Gọi M$_{1}$ là điểm đối xứng của M qua trục Ox. Tìm toạ độ của điểm M$_{1}$. Điểm M$_{1}$ có nằm trên (E) hay không? Tại sao?

b) Gọi M$_{2}$ là điểm đối xứng của M qua trục Oy. Tìm toạ độ của điểm M$_{2}$. Điểm M$_{2}$ có nằm trên (E) hay không? Tại sao?

c) Gọi M$_{3}$ là điểm đối xứng của M qua gốc O. Tìm toạ độ của điểm M$_{3}$. Điểm M$_{3}$ có nằm trên (E) hay không? Tại sao?

a) Nêu nhận xét về vị trí bốn đỉnh của elip (E) với bốn cạnh của hình chữ nhật cơ sở.

b) Cho điểm M(x; y) thuộc elip (E). Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của x và của y.

Quan sát elip (E) có phương trinh chính tắc là $\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$, trong đó a > b > 0 và hình chữ nhật cơ sở PQRS của (E) (Hình 5).

a) Tính tỉ số giữa hai cạnh $\frac{QR}{PQ}$ của hình chữ nhật PQRS.

b) Tỉ số $\frac{QR}{PQ}$ phản ánh đặc điểm gì của (E) về hình dạng?

Giả sử đường elip (E) là tập hợp các điểm M trong mặt phẳng sao cho MF$_{1}$ + MF$_{2}$ = 2a, ở đó F$_{1}$F$_{2}$ = 2c với 0 < c < a. Ta chọn hệ trục tọa độ Oxy có gốc là trung điểm của đoạn thẳng F$_{1}$F$_{2}$. Trục Oy là đường trung trực của F$_{1}$F$_{2}$ và F$_{2}$ nằm trên tia Ox (Hình 8).

Khi đó, F$_{1}$(– c; 0), F$_{2}$(c; 0) là các tiêu điểm của elip (E). Giả sử điểm M(x; y) thuộc elip (E). Chứng minh rằng:

a) MF$_{1}$$^{2}$ = x$^{2}$ + 2cx + c$^{2}$ + y$^{2}$;

b) MF$_{2}$$^{2}$ = x$^{2}$ – 2cx + c$^{2}$ + y$^{2}$;

c) MF$_{1}$$^{2}$ – MF$_{2}$$^{2}$ = 4cx.

Sử dụng đẳng thức c) ở trên và đẳng thức MF$_{1}$ + MF$_{2}$ = 2a, chứng minh:

a) MF$_{1}$ – MF$_{2}$ = $\frac{2c}{a}$x;

b) MF$_{1}$ = a + $\frac{c}{a}$x;

c) MF$_{2}$ = a – $\frac{c}{a}$x.

Cho elip (E) có phương trình chính tắc là $\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$ (a > b > 0). Xét đường thẳng Δ$_{1}$: x = $-\frac{a}{e}.$

Với mỗi điểm M(x; y)$\in$ (E) (Hình 9), tính:

a) Khoảng cách d(M, Δ$_{1}$) từ điểm M(x; y) đến đường thẳng Δ$_{1}$.

b) Tỉ số $\frac{M{F}_{1}}{d(M,{Δ}_{1})}$.

Cho elip (E) có phương trình chính tắc là $\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$ (a > b > 0). Xét đường tròn (C) tâm O bán kính a có phương trình là x$^{2}$ + y$^{2}$ = a$^{2}$.

Xét điểm M(x; y)$\in$(E) và điểm M$_{1}$(x; y$_{1}$)$\in$(C) sao cho y và y$_{1}$ luôn cùng dấu (khi M khác với hai đỉnh A$_{1}$, A$_{2}$ của (E)) (Hình 10).

a) Từ phương trình chính tắc của elip (E), hãy tính y$^{2}$ theo x$^{2}$.

Từ phương trình của đường tròn (C), hãy tính y$_{1}$$^{2}$ theo x$^{2}$.

b) Tính tỉ số $\frac{HM}{H{M}_{1}}=\frac{y}{{y}_{1}}$ theo a và b.

Viết phương trình chính tắc của elip (E) trong mỗi trường hợp sau:

a) Độ dài trục lớn bằng 6 và tiêu điểm là F$_{1}$(–2; 0);

b) Tiêu cự bằng 12 và tâm sai bằng $\frac{3}{5}$;

c) Tâm sai bằng $\frac{\sqrt{5}}{3}$ và chu vi hình chữ nhật cơ sở của (E) bằng 20.

Tìm tâm sai của elip (E) trong mỗi trường hợp sau:

a) Độ dài bán trục lớn gấp hai lần độ dài bán trục bé;

b) Khoảng cách từ một đỉnh trên trục lớn đến một đỉnh trên trục bé bằng tiêu cự.

Hình 11 minh hoạ mặt cắt đứng của một căn phòng trong bảo tàng với mái vòm trần nhà của căn phòng đó có dạng một nửa đường elip. Chiều rộng của căn phòng là 16 m, chiều cao của tượng là 4 m, chiều cao của mái vòm là 3 m.

a) Viết phương trình chính tắc của elip biểu diễn mái vòm trần nhà trong hệ trục tọa độ Oxy (đơn vị trên hai trục là mét).

b) Một nguồn sáng được đặt tại tiêu điểm thứ nhất của elip. Cần đặt bức tượng ở vị tri có toạ độ nào để bức tượng sáng rõ nhất? Giả thiết rằng vòm trần phản xạ ánh sáng. Biết rằng, một tia sáng xuất phát từ một tiêu điểm của elip, sau khi phản xạ tại elip thi sẽ đi qua tiêu điểm còn lại.