TopStudy

Đáp án và lời giải

Bài tập cuối chuyên đề 2 có đáp án

Về trang đề

Câu 1

Hướng dẫn chấm do TopStudy biên soạn, mang tính gợi ý

Hướng dẫn giải

a) Bước 1. Với n = 1, ta có 13 = 12(1+1)24.\frac{{1}^{2}{(1+1)}^{2}}{4}. Do đó đẳng thức đúng với n = 1.

Bước 2. Giả sử đẳng thức đúng với n = k ≥ 1, nghĩa là có:13+23+33+…+k3=k2(k+1)24.{1}^{3}+{2}^{3}+{3}^{3}+\ldots +{k}^{3}=\frac{{k}^{2}{(k+1)}^{2}}{4}.

Ta cần chứng minh đẳng thức đúng với n = k + 1, nghĩa là cần chứng minh:13+23+33+…+k3+(k+1)3=(k+1)2[(k+1)+1]24.{1}^{3}+{2}^{3}+{3}^{3}+\ldots +{k}^{3}+{(k+1)}^{3}=\frac{{(k+1)}^{2}{[(k+1)+1]}^{2}}{4}.

Sử dụng giả thiết quy nạp, ta có:

13+23+33+…+k3+(k+1)3{1}^{3}+{2}^{3}+{3}^{3}+\ldots +{k}^{3}+{(k+1)}^{3}

=k2(k+1)24+(k+1)3=\frac{{k}^{2}{(k+1)}^{2}}{4}+{(k+1)}^{3}

=k2(k+1)24+4(k+1)34=\frac{{k}^{2}{(k+1)}^{2}}{4}+\frac{4{(k+1)}^{3}}{4}

=(k+1)2[k2+4(k+1)]4=\frac{{(k+1)}^{2}[{k}^{2}+4(k+1)]}{4}

=(k+1)2(k2+4k+4)4=\frac{{(k+1)}^{2}({k}^{2}+4k+4)}{4}

=(k+1)2(k+2)24=(k+1)2[(k+1)+1]24.=\frac{{(k+1)}^{2}{(k+2)}^{2}}{4}=\frac{{(k+1)}^{2}{[(k+1)+1]}^{2}}{4}.

Vậy đẳng thức đúng với n = k + 1.

Theo nguyên lí quy nạp toán học, đẳng thức đúng với mọi số tự nhiên n ≥ 1.

b) Bước 1. Với n = 1, ta có 1(3 . 1 + 1) = 4 = 1(1 + 1)2. Do đó đẳng thức đúng với n = 1.

Bước 2. Giả sử đẳng thức đúng với n = k ≥ 1, nghĩa là có:

1.4+2.7+3.10+…+k(3k+1)=k(k+1)2.1.4+2.7+3.10+\ldots +k(3k+1)=k{(k+1)}^{2}.

Ta cần chứng minh đẳng thức đúng với n = k + 1, nghĩa là cần chứng minh:

1.4+2.7+3.10+…+k(3k+1)+(k+1)[3(k+1)+1]=(k+1)[(k+1)+1]2.1.4+2.7+3.10+\ldots +k(3k+1)+(k+1)[3(k+1)+1]=(k+1){[(k+1)+1]}^{2}.

Sử dụng giả thiết quy nạp, ta có:1.4+2.7+3.10+…+k(3k+1)+(k+1)[3(k+1)+1]1.4+2.7+3.10+\ldots +k(3k+1)+(k+1)[3(k+1)+1]

=k(k+1)2+(k+1)[3(k+1)+1]=k{(k+1)}^{2}+(k+1)[3(k+1)+1]

=(k+1)[k(k+1)+3(k+1)+1]=(k+1)[k(k+1)+3(k+1)+1]

=(k+1)(k2+4k+4)=(k+1)({k}^{2}+4k+4)

=(k+1)(k+2)2=(k+1)[(k+1)+1]2.=(k+1){(k+2)}^{2}=(k+1){[(k+1)+1]}^{2}.

Vậy đẳng thức đúng với n = k + 1.

Theo nguyên lí quy nạp toán học, đẳng thức đúng với mọi số tự nhiên n ≥ 1.

c) Bước 1. Với n = 1, ta có 1(2.1−1)(2.1+1)=13=12.1+1.\frac{1}{(2.1-1)(2.1+1)}=\frac{1}{3}=\frac{1}{2.1+1}. Do đó đẳng thức đúng với n = 1.

Bước 2. Giả sử đẳng thức đúng với n = k ≥ 1, nghĩa là có:11.3+13.5+15.7+…+1(2k−1)(2k+1)=k2k+1.\frac{1}{1.3}+\frac{1}{3.5}+\frac{1}{5.7}+\ldots +\frac{1}{(2k-1)(2k+1)}=\frac{k}{2k+1}.

Ta cần chứng minh đẳng thức đúng với n = k + 1, nghĩa là cần chứng minh:11.3+13.5+15.7+…+1(2k−1)(2k+1)+1[2(k+1)−1][2(k+1)+1]=k+12(k+1)+1.\frac{1}{1.3}+\frac{1}{3.5}+\frac{1}{5.7}+\ldots +\frac{1}{(2k-1)(2k+1)}+\frac{1}{[2(k+1)-1][2(k+1)+1]}=\frac{k+1}{2(k+1)+1}.

Sử dụng giả thiết quy nạp, ta có:11.3+13.5+15.7+…+1(2k−1)(2k+1)+1[2(k+1)−1][2(k+1)+1]\frac{1}{1.3}+\frac{1}{3.5}+\frac{1}{5.7}+\ldots +\frac{1}{(2k-1)(2k+1)}+\frac{1}{[2(k+1)-1][2(k+1)+1]}

=k2k+1+1[2(k+1)−1][2(k+1)+1]=\frac{k}{2k+1}+\frac{1}{[2(k+1)-1][2(k+1)+1]}

=k2k+1+1(2k+1)(2k+3)=\frac{k}{2k+1}+\frac{1}{(2k+1)(2k+3)}

=k(2k+3)+1(2k+1)(2k+3)=\frac{k(2k+3)+1}{(2k+1)(2k+3)}

=2k2+3k+1(2k+1)(2k+3)=\frac{2{k}^{2}+3k+1}{(2k+1)(2k+3)}

=(k+1)(2k+1)(2k+1)(2k+3)=k+12k+3=k+12(k+1)+1.=\frac{(k+1)(2k+1)}{(2k+1)(2k+3)}=\frac{k+1}{2k+3}=\frac{k+1}{2(k+1)+1}.

Vậy đẳng thức đúng với n = k + 1.

Theo nguyên lí quy nạp toán học, đẳng thức đúng với mọi số tự nhiên n ≥ 1.

Câu 2

Hướng dẫn chấm do TopStudy biên soạn, mang tính gợi ý

Hướng dẫn giải

a) Bước 1. Với n = 1, ta có 31 – 1 – 2 . 1 = 0 ⁝ 4. Do đó khẳng định đúng với n = 1.

Bước 2. Giả sử khẳng định đúng với n = k ≥ 1, nghĩa là có: 3k – 1 – 2k ⁝ 4.

Ta cần chứng minh đẳng thức đúng với n = k + 1, nghĩa là cần chứng minh:

3k + 1 – 1 – 2(k + 1) ⁝ 4.

Sử dụng giả thiết quy nạp, ta có:

3k + 1 – 1 – 2(k + 1) = 3 . 3k – 1 –2k – 2 = 3 . 3k – 3 –2k = 3 . 3k – 3 –6k + 4k

= 3(3k – 1 – 2k) + 4k

Vì (3k – 1 – 2k) và 4k đều chia hết cho 4 nên 3(3k – 1 – 2k) + 4k ⁝ 4 hay 3k + 1 – 1 – 2(k + 1) ⁝ 4.

Vậy khẳng định đúng với n = k + 1.

Theo nguyên lí quy nạp toán học, khẳng định đúng với mọi số tự nhiên n ≥ 1.

b) Bước 1. Với n = 1, ta có 71 – 41 – 31 = 0 ⁝ 12. Do đó khẳng định đúng với n = 1.

Bước 2. Giả sử khẳng định đúng với n = k ≥ 1, nghĩa là có: 7k – 4k – 3k ⁝ 12.

Ta cần chứng minh đẳng thức đúng với n = k + 1, nghĩa là cần chứng minh:

7k + 1 – 4k + 1 – 3k + 1 ⁝ 12.

Sử dụng giả thiết quy nạp, ta có:

7k + 1 – 4k + 1 – 3k + 1 = 7 . 7k – 4 . 4k – 3 . 3k = 7 . 7k – 7 . 4k – 7 . 3k + 3 . 4k + 4 . 3k

= 7(7k – 4k – 3k) + 3 . 4k + 4 . 3k = 7(7k – 4k – 3k) + 12 . 4k – 1 + 12 . 3k – 1 (vì k ≥ 1).

Vì 7(7k – 4k – 3k), 12 . 4k – 1 và 12 . 3k – 1 đều chia hết cho 12 nên 7(7k – 4k – 3k) + 12 . 4k – 1 + 12 . 3k – 1 ⁝ 12 hay 7k + 1 – 4k + 1 – 3k + 1 ⁝ 12.

Vậy khẳng định đúng với n = k + 1.

Theo nguyên lí quy nạp toán học, khẳng định đúng với mọi số tự nhiên n ≥ 1.

Câu 3

Hướng dẫn chấm do TopStudy biên soạn, mang tính gợi ý

Hướng dẫn giải

Bước 1. Với n = 1, ta có 81 = 8 > 1 = 13. Do đó bất đẳng thức đúng với n = 1.

Bước 2. Giả sử bất đẳng thức đúng với n = k ≥ 1, nghĩa là có: 8k ≥ k3.

Ta cần chứng minh bất đẳng thức đúng với n = k + 1, nghĩa là cần chứng minh:

8k + 1 ≥ (k + 1)3.

Sử dụng giả thiết quy nạp, ta có:

8k + 1 = 8 . 8k ≥ 8 . k3 = k3 + 3k3 + 3k3 + k3 ≥ k3 + 3k2 + 3k + 1 (vì k ≥ 1) = (k + 1)3.

Vậy bất đẳng thức đúng với n = k + 1.

Theo nguyên lí quy nạp toán học, bất đẳng thức đúng với mọi số tự nhiên n ≥ 1.

Câu 4

Hướng dẫn chấm do TopStudy biên soạn, mang tính gợi ý

Hướng dẫn giải

Bước 1. Với n = 1, ta có 11=1=1+12.\frac{1}{1}=1=\frac{1+1}{2}. Do đó bất đẳng thức đúng với n = 1.

Bước 2. Giả sử bất đẳng thức đúng với n = k ≥ 1, nghĩa là có:1+12+13+…+1k≤k+12.1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\ldots +\frac{1}{k}\le \frac{k+1}{2}.

Ta cần chứng minh bất đẳng thức đúng với n = k + 1, nghĩa là cần chứng minh:1+12+13+…+1k+1k+1≤(k+1)+12.1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\ldots +\frac{1}{k}+\frac{1}{k+1}\le \frac{(k+1)+1}{2}.

Sử dụng giả thiết quy nạp, ta có:

1+12+13+…+1k+1k+1≤1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\ldots +\frac{1}{k}+\frac{1}{k+1}\le k+12+1k+1=(k+1)2+22(k+1)=k2+2k+32(k+1)\frac{k+1}{2}+\frac{1}{k+1}=\frac{{(k+1)}^{2}+2}{2(k+1)}=\frac{{k}^{2}+2k+3}{2(k+1)}≤k2+2k+1+22(k+1)≤k2+2k+k+22(k+1)=k2+3k+22(k+1)=(k+1)(k+2)2(k+1)=k+22=(k+1)+12.\le \frac{{k}^{2}+2k+1+2}{2(k+1)}\le \frac{{k}^{2}+2k+k+2}{2(k+1)}=\frac{{k}^{2}+3k+2}{2(k+1)}=\frac{(k+1)(k+2)}{2(k+1)}=\frac{k+2}{2}=\frac{(k+1)+1}{2}.

Vậy bất đẳng thức đúng với n = k + 1.

Theo nguyên lí quy nạp toán học, bất đẳng thức đúng với mọi số tự nhiên n ≥ 1.

Câu 5

Hướng dẫn chấm do TopStudy biên soạn, mang tính gợi ý

Hướng dẫn giải

a) Sau bước 1 thì trong bình có 1/2 l nước, do đó a1_{1} = 1/2

Sau bước 2 thì trong bình có: (12+1)2=34\frac{(\frac{1}{2}+1)}{2}=\frac{3}{4} l nước, do đó a2_{2} = 3/4

Sau bước 3 thì trong bình có: (34+1)2=78.\frac{(\frac{3}{4}+1)}{2}=\frac{7}{8}. l nước, do đó a2_{2} = 7/8

Ta có thể dự đoán an_{n} = 2n−12n.\frac{{2}^{n}-1}{{2}^{n}}.

b) Ta chứng minh bằng quy nạp:

Bước 1. Với n = 1, ta có a1_{1} = 12=21−121.\frac{1}{2}=\frac{{2}^{1}-1}{{2}^{1}}. Do đó công thức đúng với n = 1.

Bước 2. Giả sử công thức đúng với n = k ≥ 1, nghĩa là có: ak_{k} = 2k−12k.\frac{{2}^{k}-1}{{2}^{k}}.

Ta cần chứng minh đẳng thức đúng với n = k + 1, nghĩa là cần chứng minh:

ak+1_{k + 1} = 2k+1−12k+1.\frac{{2}^{k+1}-1}{{2}^{k+1}}.

Thật vậy:

ak_{k} là lượng nước có trong bình sau bước thứ k thì lượng nước có trong bình sau bước thứ k + 1 là:

ak+1_{k + 1} = ak+12\frac{{a}_{k}+1}{2}=2k−12k+12=(2k−1)+2k2k2=2 . 2k−12k . 2=2k+1−12k+1.=\frac{\frac{{2}^{k}-1}{{2}^{k}}+1}{2}=\frac{\frac{({2}^{k}-1)+{2}^{k}}{{2}^{k}}}{2}=\frac{2\ .\ {2}^{k}-1}{{2}^{k}\ .\ 2}=\frac{{2}^{k+1}-1}{{2}^{k+1}}.

Vậy công thức đúng với n = k + 1.

Theo nguyên lí quy nạp toán học, công thức đúng với mọi số tự nhiên n ≥ 1.

Câu 6

Hướng dẫn chấm do TopStudy biên soạn, mang tính gợi ý

Hướng dẫn giải

a) Áp dụng công thức nhị thức Newton, ta có:

(1 – 3x)8 = C8018+C8117(−3x)+...+C8k18−k(−3x)k+...+C88(−3x)8{C}_{8}^{0}{1}^{8}+{C}_{8}^{1}{1}^{7}(-3x)+...+{C}_{8}^{k}{1}^{8-k}{(-3x)}^{k}+...+{C}_{8}^{8}{(-3x)}^{8}

=1+C81(−3)x+...+C8k(−3)kxk+...+C88(−3)8x8.=1+{C}_{8}^{1}(-3)x+...+{C}_{8}^{k}{(-3)}^{k}{x}^{k}+...+{C}_{8}^{8}{(-3)}^{8}{x}^{8}.

Số hạng chứa x3^{3} ứng với giá trị k = 3. Hệ số của số hạng này là C83(−3)3=−1512.{C}_{8}^{3}{(-3)}^{3}=-1512.

b) Áp dụng công thức nhị thức Newton, ta có:

(1+x2)7{(1+\frac{x}{2})}^{7} = C7017+C7116(x2)+...+C7k17−k(x2)k+...+C77(x2)7{C}_{7}^{0}{1}^{7}+{C}_{7}^{1}{1}^{6}(\frac{x}{2})+...+{C}_{7}^{k}{1}^{7-k}{(\frac{x}{2})}^{k}+...+{C}_{7}^{7}{(\frac{x}{2})}^{7}

=1+C7112x+...+C7k(12)kxk+...+C77(12)7x7.=1+{C}_{7}^{1}\frac{1}{2}x+...+{C}_{7}^{k}{(\frac{1}{2})}^{k}{x}^{k}+...+{C}_{7}^{7}{(\frac{1}{2})}^{7}{x}^{7}.

Số hạng chứa x3^{3} ứng với giá trị k = 3. Hệ số của số hạng này là C73(12)3=358.{C}_{7}^{3}{(\frac{1}{2})}^{3}=\frac{35}{8}.

Câu 7

Hướng dẫn chấm do TopStudy biên soạn, mang tính gợi ý

Hướng dẫn giải

Có (2x + 3)(x – 2)6^{6}

= 2x(x – 2)6^{6} + 3(x – 2)6^{6}.

Ta tìm hệ số của x5 trong từng khai triển: 2x(x – 2)6^{6} và 3(x – 2)6^{6}.

+) Có: 2x(x – 2)6^{6}

= 2x[C60x6+C61x5(−2)+C62x4(−2)2+C63x3(−2)3\text{[}{C}_{6}^{0}{x}^{6}+{C}_{6}^{1}{x}^{5}(-2)+{C}_{6}^{2}{x}^{4}{(-2)}^{2}+{C}_{6}^{3}{x}^{3}{(-2)}^{3}

+C64x2(−2)4+C65x(−2)5+C66(−2)6]+{C}_{6}^{4}{x}^{2}{(-2)}^{4}+{C}_{6}^{5}x{(-2)}^{5}+{C}_{6}^{6}{(-2)}^{6}\text{]}

= 2C60x7+2(−2)C61x6+2(−2)2C62x5+2(−2)3C63x42{C}_{6}^{0}{x}^{7}+2(-2){C}_{6}^{1}{x}^{6}+2{(-2)}^{2}{C}_{6}^{2}{x}^{5}+2{(-2)}^{3}{C}_{6}^{3}{x}^{4}

+2(−2)4C64x3+2(−2)5C65x2+2(−2)6C66x.+2{(-2)}^{4}{C}_{6}^{4}{x}^{3}+2{(-2)}^{5}{C}_{6}^{5}{x}^{2}+2{(-2)}^{6}{C}_{6}^{6}x.

Hệ số của x5^{5} trong khai triển này 120.

+) Có: 3(x – 2)6^{6}

= 3[C60x6+C61x5(−2)+C62x4(−2)2+C63x3(−2)3\text{[}{C}_{6}^{0}{x}^{6}+{C}_{6}^{1}{x}^{5}(-2)+{C}_{6}^{2}{x}^{4}{(-2)}^{2}+{C}_{6}^{3}{x}^{3}{(-2)}^{3}

+C64x2(−2)4+C65x(−2)5+C66(−2)6]+{C}_{6}^{4}{x}^{2}{(-2)}^{4}+{C}_{6}^{5}x{(-2)}^{5}+{C}_{6}^{6}{(-2)}^{6}\text{]}

=3C60x6+3(−2)C61x5+3(−2)2C62x4+3(−2)3C63x3=3{C}_{6}^{0}{x}^{6}+3(-2){C}_{6}^{1}{x}^{5}+3{(-2)}^{2}{C}_{6}^{2}{x}^{4}+3{(-2)}^{3}{C}_{6}^{3}{x}^{3}

+3(−2)4C64x2+3(−2)5C65x+3(−2)6C66.+3{(-2)}^{4}{C}_{6}^{4}{x}^{2}+3{(-2)}^{5}{C}_{6}^{5}x+3{(-2)}^{6}{C}_{6}^{6}.

Hệ số của x5^{5} trong khai triển này là 3(−2)C613(-2){C}_{6}^{1} = –36.

Vậy hệ số của x5^{5} trong khai triển (2x + 3)(x – 2)6 là 120 + (–36) = 84.

Câu 8

Hướng dẫn chấm do TopStudy biên soạn, mang tính gợi ý

Hướng dẫn giải

a) Sử dụng tam giác Pascal, ta có:

(1 + 2x)6^{6}

=16+6.15(2x)+15.14(2x)2+20.13(2x)3+15.12(2x)4+6.1(2x)5+(2x)6={1}^{6}+{6.1}^{5}(2x)+{15.1}^{4}{(2x)}^{2}+{20.1}^{3}{(2x)}^{3}+{15.1}^{2}{(2x)}^{4}+6.1{(2x)}^{5}+{(2x)}^{6}

=1+12x+60x2+160x3+240x4+192x5+64x6.=1+12x+60{x}^{2}+160{x}^{3}+240{x}^{4}+192{x}^{5}+64{x}^{6}.

Ba số hạng đầu tiên của khai triển là 1, 12x và 60x2^{2}.

b) Với x nhỏ thì x3^{3}, x4^{4}, x5,^{5,} x6^{6} sẽ rất nhỏ. Do đó có thể coi (1 + 2x)6^{6} ≈ 1 + 12x + 60x2.

Khi đó 1,026 = (1 + 2 . 0,01)6 ≈ 1 + 12 . 0,01 + 60 . 0,012 = 1,126.

Câu 9

Hướng dẫn chấm do TopStudy biên soạn, mang tính gợi ý

Hướng dẫn giải

Có (3x – 4)15^{15}

=C150(3x)15+C151(3x)14(−4)+...+C15k(3x)15−k(−4)k+...+C151(3x)(−4)14+C1515(−4)15={C}_{15}^{0}{(3x)}^{15}+{C}_{15}^{1}{(3x)}^{14}(-4)+...+{C}_{15}^{k}{(3x)}^{15-k}{(-4)}^{k}+...+{C}_{15}^{1}(3x){(-4)}^{14}+{C}_{15}^{15}{(-4)}^{15}

=a15x15+a14x14+...+akxk+...+a1x+a0={a}_{15}{x}^{15}+{a}_{14}{x}^{14}+...+{a}_{k}{x}^{k}+...+{a}_{1}x+{a}_{0} (với ai_{i} là hệ số của xi).

Thay x = 1, ta được:

(3 . 1 – 4)15^{15} =a15115+a14114+...+ak1k+...+a11+a0={a}_{15}{1}^{15}+{a}_{14}{1}^{14}+...+{a}_{k}{1}^{k}+...+{a}_{1}1+{a}_{0}=a15+a14+...+ak+...+a1+a0={a}_{15}+{a}_{14}+...+{a}_{k}+...+{a}_{1}+{a}_{0}

⇒a15+a14+...+ak+...+a1+a0=(−1)15=−1.\Rightarrow {a}_{15}+{a}_{14}+...+{a}_{k}+...+{a}_{1}+{a}_{0}={(-1)}^{15}=-1.

Vậy tổng các hệ số của đa thức nhận được là –1.

Câu 10

Hướng dẫn chấm do TopStudy biên soạn, mang tính gợi ý

Hướng dẫn giải

a) 1+2Cn1+4Cn2+…+2n−1Cnn−1+2nCnn1+2{C}_{n}^{1}+4{C}_{n}^{2}+\ldots +{2}^{n-1}{C}_{n}^{n-1}+{2}^{n}{C}_{n}^{n}

=Cn01+Cn12+Cn222+…+Cnn−12n−1+Cnn2n={C}_{n}^{0}1+{C}_{n}^{1}2+{C}_{n}^{2}{2}^{2}+\ldots +{C}_{n}^{n-1}{2}^{n-1}+{C}_{n}^{n}{2}^{n}

=Cn01n+Cn11n−12+Cn21n−222+…+Cnn−11 .2n−1+Cnn2n={C}_{n}^{0}{1}^{n}+{C}_{n}^{1}{1}^{n-1}2+{C}_{n}^{2}{1}^{n-2}{2}^{2}+\ldots +{C}_{n}^{n-1}1\ {.2}^{n-1}+{C}_{n}^{n}{2}^{n}

= (1 + 2)n = 3n.

b) Ta có:

(x+1)2n=C2n0x2n+C2n1x2n−11+C2n2x2n−212+…+C2n2n−1x12n−1+C2n2n12n{(x+1)}^{2n}={C}_{2n}^{0}{x}^{2n}+{C}_{2n}^{1}{x}^{2n-1}1+{C}_{2n}^{2}{x}^{2n-2}{1}^{2}+\ldots +{C}_{2n}^{2n-1}x{1}^{2n-1}+{C}_{2n}^{2n}{1}^{2n}

=C2n0x2n+C2n1x2n−1+C2n2x2n−2+…+C2n2n−1x+C2n2n.={C}_{2n}^{0}{x}^{2n}+{C}_{2n}^{1}{x}^{2n-1}+{C}_{2n}^{2}{x}^{2n-2}+\ldots +{C}_{2n}^{2n-1}x+{C}_{2n}^{2n}.

Cho x = –1, ta được:

(−1+1)2n=C2n0(−1)2n+C2n1(−1)2n−1+C2n2(−1)2n−2+…+C2n2n−1(−1)+C2n2n{(-1+1)}^{2n}={\text{C}}_{2n}^{0}{(-1)}^{2n}{\text{+C}}_{2n}^{1}{(-1)}^{2n-1}+{\text{C}}_{2n}^{2}{(-1)}^{2n-2}+\ldots +{\text{C}}_{2n}^{2n-1}(-1)+{\text{C}}_{2n}^{2n}

=C2n0−C2n1+C2n2−…−C2n2n−1+C2n2n={\text{C}}_{2n}^{0}-{\text{C}}_{2n}^{1}+{\text{C}}_{2n}^{2}-\ldots -{\text{C}}_{2n}^{2n-1}+{\text{C}}_{2n}^{2n}

⇒C2n0−C2n1+C2n2−…−C2n2n−1+C2n2n=0\Rightarrow {\text{C}}_{2n}^{0}-{\text{C}}_{2n}^{1}+{\text{C}}_{2n}^{2}-\ldots -{\text{C}}_{2n}^{2n-1}+{\text{C}}_{2n}^{2n}=0
⇒C2n0+C2n2+C2n4+…+C2n2n=C2n1+C2n3+C2n5+…+C2n2n−1.\Rightarrow {C}_{2n}^{0}+{C}_{2n}^{2}+{C}_{2n}^{4}+\ldots +{C}_{2n}^{2n}={C}_{2n}^{1}+{C}_{2n}^{3}+{C}_{2n}^{5}+\ldots +{C}_{2n}^{2n-1}.