Bài tập cuối chuyên đề 2 có đáp án

Hướng dẫn giải

a) Bước 1. Với n = 1, ta có 13 = $\frac{{1}^{2}{(1+1)}^{2}}{4}.$ Do đó đẳng thức đúng với n = 1.

Bước 2. Giả sử đẳng thức đúng với n = k ≥ 1, nghĩa là có:${1}^{3}+{2}^{3}+{3}^{3}+\ldots +{k}^{3}=\frac{{k}^{2}{(k+1)}^{2}}{4}.$

Ta cần chứng minh đẳng thức đúng với n = k + 1, nghĩa là cần chứng minh:${1}^{3}+{2}^{3}+{3}^{3}+\ldots +{k}^{3}+{(k+1)}^{3}=\frac{{(k+1)}^{2}{[(k+1)+1]}^{2}}{4}.$

Sử dụng giả thiết quy nạp, ta có:

${1}^{3}+{2}^{3}+{3}^{3}+\ldots +{k}^{3}+{(k+1)}^{3}$

$=\frac{{k}^{2}{(k+1)}^{2}}{4}+{(k+1)}^{3}$

$=\frac{{k}^{2}{(k+1)}^{2}}{4}+\frac{4{(k+1)}^{3}}{4}$

$=\frac{{(k+1)}^{2}[{k}^{2}+4(k+1)]}{4}$

$=\frac{{(k+1)}^{2}({k}^{2}+4k+4)}{4}$

$=\frac{{(k+1)}^{2}{(k+2)}^{2}}{4}=\frac{{(k+1)}^{2}{[(k+1)+1]}^{2}}{4}.$

Vậy đẳng thức đúng với n = k + 1.

Theo nguyên lí quy nạp toán học, đẳng thức đúng với mọi số tự nhiên n ≥ 1.

b) Bước 1. Với n = 1, ta có 1(3 . 1 + 1) = 4 = 1(1 + 1)2. Do đó đẳng thức đúng với n = 1.

Bước 2. Giả sử đẳng thức đúng với n = k ≥ 1, nghĩa là có:

$1.4+2.7+3.10+\ldots +k(3k+1)=k{(k+1)}^{2}.$

Ta cần chứng minh đẳng thức đúng với n = k + 1, nghĩa là cần chứng minh:

$1.4+2.7+3.10+\ldots +k(3k+1)+(k+1)[3(k+1)+1]=(k+1){[(k+1)+1]}^{2}.$

Sử dụng giả thiết quy nạp, ta có:$1.4+2.7+3.10+\ldots +k(3k+1)+(k+1)[3(k+1)+1]$

$=k{(k+1)}^{2}+(k+1)[3(k+1)+1]$

$=(k+1)[k(k+1)+3(k+1)+1]$

$=(k+1)({k}^{2}+4k+4)$

$=(k+1){(k+2)}^{2}=(k+1){[(k+1)+1]}^{2}.$

Vậy đẳng thức đúng với n = k + 1.

Theo nguyên lí quy nạp toán học, đẳng thức đúng với mọi số tự nhiên n ≥ 1.

c) Bước 1. Với n = 1, ta có $\frac{1}{(2.1-1)(2.1+1)}=\frac{1}{3}=\frac{1}{2.1+1}.$ Do đó đẳng thức đúng với n = 1.

Bước 2. Giả sử đẳng thức đúng với n = k ≥ 1, nghĩa là có:$\frac{1}{1.3}+\frac{1}{3.5}+\frac{1}{5.7}+\ldots +\frac{1}{(2k-1)(2k+1)}=\frac{k}{2k+1}.$

Ta cần chứng minh đẳng thức đúng với n = k + 1, nghĩa là cần chứng minh:$\frac{1}{1.3}+\frac{1}{3.5}+\frac{1}{5.7}+\ldots +\frac{1}{(2k-1)(2k+1)}+\frac{1}{[2(k+1)-1][2(k+1)+1]}=\frac{k+1}{2(k+1)+1}.$

Sử dụng giả thiết quy nạp, ta có:$\frac{1}{1.3}+\frac{1}{3.5}+\frac{1}{5.7}+\ldots +\frac{1}{(2k-1)(2k+1)}+\frac{1}{[2(k+1)-1][2(k+1)+1]}$

$=\frac{k}{2k+1}+\frac{1}{[2(k+1)-1][2(k+1)+1]}$

$=\frac{k}{2k+1}+\frac{1}{(2k+1)(2k+3)}$

$=\frac{k(2k+3)+1}{(2k+1)(2k+3)}$

$=\frac{2{k}^{2}+3k+1}{(2k+1)(2k+3)}$

$=\frac{(k+1)(2k+1)}{(2k+1)(2k+3)}=\frac{k+1}{2k+3}=\frac{k+1}{2(k+1)+1}.$

Vậy đẳng thức đúng với n = k + 1.

Theo nguyên lí quy nạp toán học, đẳng thức đúng với mọi số tự nhiên n ≥ 1.

Hướng dẫn giải

a) Bước 1. Với n = 1, ta có 31 – 1 – 2 . 1 = 0 ⁝ 4. Do đó khẳng định đúng với n = 1.

Bước 2. Giả sử khẳng định đúng với n = k ≥ 1, nghĩa là có: 3k – 1 – 2k ⁝ 4.

Ta cần chứng minh đẳng thức đúng với n = k + 1, nghĩa là cần chứng minh:

3k + 1 – 1 – 2(k + 1) ⁝ 4.

Sử dụng giả thiết quy nạp, ta có:

3k + 1 – 1 – 2(k + 1) = 3 . 3k – 1 –2k – 2 = 3 . 3k – 3 –2k = 3 . 3k – 3 –6k + 4k

= 3(3k – 1 – 2k) + 4k

Vì (3k – 1 – 2k) và 4k đều chia hết cho 4 nên 3(3k – 1 – 2k) + 4k ⁝ 4 hay 3k + 1 – 1 – 2(k + 1) ⁝ 4.

Vậy khẳng định đúng với n = k + 1.

Theo nguyên lí quy nạp toán học, khẳng định đúng với mọi số tự nhiên n ≥ 1.

b) Bước 1. Với n = 1, ta có 71 – 41 – 31 = 0 ⁝ 12. Do đó khẳng định đúng với n = 1.

Bước 2. Giả sử khẳng định đúng với n = k ≥ 1, nghĩa là có: 7k – 4k – 3k ⁝ 12.

Ta cần chứng minh đẳng thức đúng với n = k + 1, nghĩa là cần chứng minh:

7k + 1 – 4k + 1 – 3k + 1 ⁝ 12.

Sử dụng giả thiết quy nạp, ta có:

7k + 1 – 4k + 1 – 3k + 1 = 7 . 7k – 4 . 4k – 3 . 3k = 7 . 7k – 7 . 4k – 7 . 3k + 3 . 4k + 4 . 3k

= 7(7k – 4k – 3k) + 3 . 4k + 4 . 3k = 7(7k – 4k – 3k) + 12 . 4k – 1 + 12 . 3k – 1 (vì k ≥ 1).

Vì 7(7k – 4k – 3k), 12 . 4k – 1 và 12 . 3k – 1 đều chia hết cho 12 nên 7(7k – 4k – 3k) + 12 . 4k – 1 + 12 . 3k – 1 ⁝ 12 hay 7k + 1 – 4k + 1 – 3k + 1 ⁝ 12.

Vậy khẳng định đúng với n = k + 1.

Theo nguyên lí quy nạp toán học, khẳng định đúng với mọi số tự nhiên n ≥ 1.

Hướng dẫn giải

Bước 1. Với n = 1, ta có 81 = 8 > 1 = 13. Do đó bất đẳng thức đúng với n = 1.

Bước 2. Giả sử bất đẳng thức đúng với n = k ≥ 1, nghĩa là có: 8k ≥ k3.

Ta cần chứng minh bất đẳng thức đúng với n = k + 1, nghĩa là cần chứng minh:

8k + 1 ≥ (k + 1)3.

Sử dụng giả thiết quy nạp, ta có:

8k + 1 = 8 . 8k ≥ 8 . k3 = k3 + 3k3 + 3k3 + k3 ≥ k3 + 3k2 + 3k + 1 (vì k ≥ 1) = (k + 1)3.

Vậy bất đẳng thức đúng với n = k + 1.

Theo nguyên lí quy nạp toán học, bất đẳng thức đúng với mọi số tự nhiên n ≥ 1.

Hướng dẫn giải

Bước 1. Với n = 1, ta có $\frac{1}{1}=1=\frac{1+1}{2}.$ Do đó bất đẳng thức đúng với n = 1.

Bước 2. Giả sử bất đẳng thức đúng với n = k ≥ 1, nghĩa là có:$1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\ldots +\frac{1}{k}\le \frac{k+1}{2}.$

Ta cần chứng minh bất đẳng thức đúng với n = k + 1, nghĩa là cần chứng minh:$1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\ldots +\frac{1}{k}+\frac{1}{k+1}\le \frac{(k+1)+1}{2}.$

Sử dụng giả thiết quy nạp, ta có:

$1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\ldots +\frac{1}{k}+\frac{1}{k+1}\le$ $\frac{k+1}{2}+\frac{1}{k+1}=\frac{{(k+1)}^{2}+2}{2(k+1)}=\frac{{k}^{2}+2k+3}{2(k+1)}$$\le \frac{{k}^{2}+2k+1+2}{2(k+1)}\le \frac{{k}^{2}+2k+k+2}{2(k+1)}=\frac{{k}^{2}+3k+2}{2(k+1)}=\frac{(k+1)(k+2)}{2(k+1)}=\frac{k+2}{2}=\frac{(k+1)+1}{2}.$

Vậy bất đẳng thức đúng với n = k + 1.

Theo nguyên lí quy nạp toán học, bất đẳng thức đúng với mọi số tự nhiên n ≥ 1.

Hướng dẫn giải

a) Sau bước 1 thì trong bình có 1/2 l nước, do đó a$_{1}$ = 1/2

Sau bước 2 thì trong bình có: $\frac{(\frac{1}{2}+1)}{2}=\frac{3}{4}$ l nước, do đó a$_{2}$ = 3/4

Sau bước 3 thì trong bình có: $\frac{(\frac{3}{4}+1)}{2}=\frac{7}{8}.$ l nước, do đó a$_{2}$ = 7/8

Ta có thể dự đoán a$_{n}$ = $\frac{{2}^{n}-1}{{2}^{n}}.$

b) Ta chứng minh bằng quy nạp:

Bước 1. Với n = 1, ta có a$_{1}$ = $\frac{1}{2}=\frac{{2}^{1}-1}{{2}^{1}}.$ Do đó công thức đúng với n = 1.

Bước 2. Giả sử công thức đúng với n = k ≥ 1, nghĩa là có: a$_{k}$ = $\frac{{2}^{k}-1}{{2}^{k}}.$

Ta cần chứng minh đẳng thức đúng với n = k + 1, nghĩa là cần chứng minh:

a$_{k + 1}$ = $\frac{{2}^{k+1}-1}{{2}^{k+1}}.$

Thật vậy:

a$_{k}$ là lượng nước có trong bình sau bước thứ k thì lượng nước có trong bình sau bước thứ k + 1 là:

a$_{k + 1}$ = $\frac{{a}_{k}+1}{2}$$=\frac{\frac{{2}^{k}-1}{{2}^{k}}+1}{2}=\frac{\frac{({2}^{k}-1)+{2}^{k}}{{2}^{k}}}{2}=\frac{2\ .\ {2}^{k}-1}{{2}^{k}\ .\ 2}=\frac{{2}^{k+1}-1}{{2}^{k+1}}.$

Vậy công thức đúng với n = k + 1.

Theo nguyên lí quy nạp toán học, công thức đúng với mọi số tự nhiên n ≥ 1.