Bài tập cuối chương V có đáp án

Khi cân một bao gạo bằng cân treo với thang chia 0,2 kg có độ chính xác là 0,2 kg.

Chọn B.

Ta có $s=\sqrt{{s}^{2}}$.

Do đó phương sai lớn hơn thì độ lệch chuẩn lớn hơn là đúng.

Chọn A.

Ta có giá trị Q$_{2}$ chia mẫu số liệu thành hai phần bằng nhau, giữa Q$_{1}$ và Q$_{2}$là nửa của nửa số liệu bên trái, giữa Q$_{3}$ và Q$_{2}$là nửa của nửa số liệu bên phải

Do đó có 50% giá trị của số liệu nằm nữa hai giá trị Q$_{1}$ và Q$_{3}$.

Vì vậy phát biểu đã cho là sai.

Chọn B.

Độ lệch chuẩn đặc trưng cho độ phân tán của mẫu số liệu.

Chọn D.

Điểm trung bình môn học kì I của bạn An theo thứ tự không giảm là:

3; 5; 6; 7; 7; 8; 9.

Số trung bình của mẫu số liệu là: $\overline{X}=\frac{8+9+7+6+5+7+3}{7}\approx 6{,}4.$

$\Rightarrow {s}^{2}=\frac{{(8-6{,}4)}^{2}+{(9-6{,}4)}^{2}+{(7-6{,}4)}^{2}+{(6-6{,}4)}^{2}+{(5-6{,}4)}^{2}+{(7-6{,}4)}^{2}+{(3-6{,}4)}^{2}}{7}$

$\approx 3{,}39$

$\Rightarrow s=\sqrt{{s}^{2}}=\sqrt{3{,}39}\approx 1{,}84$.

Vì n = 7 là số lẻ nên trung vị là Q$_{2}$ = 7.

Nửa số liệu bên trái có tứ phân vị thứ nhất là Q$_{1}$ = 5.

Nửa số liệu bên phải có tứ phân vị thứ ba là Q$_{3}$ = 8.

Điểm trung bình môn học kì I của bạn An sau khi thêm 0,5 điểm mỗi môn là:

3,5; 5,5; 6,5; 7,5; 7,5; 8,5; 9,5.

Số trung bình của mẫu số liệu là: $\frac{8{,}5+9{,}5+7{,}5+6{,}5+5{,}5+7{,}5+3{,}5}{7}\approx 6{,}9.$

$\Rightarrow {s}^{2}=\frac{{(8{,}5-6{,}9)}^{2}+{(9{,}5-6{,}9)}^{2}+{(7{,}5-6{,}9)}^{2}+{(6{,}5-6{,}9)}^{2}+{(5{,}5-6{,}9)}^{2}+{(7{,}5-6{,}9)}^{2}+{(3{,}5-6{,}9)}^{2}}{7}$

$\approx 3{,}39$

$\Rightarrow s=\sqrt{{s}^{2}}=\sqrt{3{,}39}\approx 1{,}84$.

Vì n = 7 là số lẻ nên trung vị là Q$_{2}$ = 7,5.

Nửa số liệu bên trái có tứ phân vị thứ nhất là Q$_{1}$ = 5,5.

Nửa số liệu bên phải có tứ phân vị thứ ba là Q$_{3}$ = 8,5.

Nếu An được cộng thêm mỗi môn 0,5 điểm thì số trung bình, trung bình và tứ phân vị cộng thêm 0,5. Còn độ lệch chuẩn không thay đổi.

Chọn C

a) Trong 5 sinh viên trên, có một sinh viên có mức lương rất thấp so với các sinh viên còn lại (3,5 triệu đồng, thấp hơn rất nhiều so với các giá trị còn lại trong dãy số liệu). Vì vậy, nên dùng trung vị để đo mức lương sau khi tốt nghiệp.

b) Nên dùng khoảng tứ phân vị để đo độ phân tán vì độ phân tán không bị ảnh hưởng bởi giá trị bất thường.

Điểm môn Toán của 11 bạn học sinh lớp 10 xếp theo thứ tự không giảm là:

5; 31; 37; 43; 43; 57; 62; 63; 78; 80; 91.

Số trung bình cộng điểm Toán

$\overline{X}=\frac{5+31+37+43+43+57+62+63+78+80+91}{11}\approx 53{,}64.$

$\Rightarrow {s}^{2}=\frac{{(5-53{,}64)}^{2}+{(31-53{,}64)}^{2}+...+{(80-53{,}64)}^{2}+{(91-53{,}64)}^{2}}{11}\approx 566{,}78$

$\Rightarrow s=\sqrt{{s}^{2}}\approx 23{,}81$

Ta có giá trị lớn nhất của mẫu số liệu là 91 và giá trị nhỏ nhất là 5. Khi đó khoảng biến thiên là: R = 91 – 5 = 86.

Vì n = 11 là số lẻ nên trung vị Q$_{2}$ = 57.

Nửa bên trái trung vị có 5 giá trị nên tứ phân vị thứ nhất Q$_{1}$ = 37.

Nửa bên phải trung vị có 5 giá trị nên tứ phân vị thứ ba Q$_{3}$ = 78.

Suy ra khoảng tứ phân vị là: Δ$_{Q}$ = Q$_{3}$ – Q$_{1}$ = 78 – 37 = 41.

Điểm môn Tiếng Anh của 11 bạn học sinh lớp 10 xếp theo thứ tự không giảm là:

37; 41; 49; 55; 57; 62; 64; 65; 65; 70; 73.

Số trung bình cộng điểm Tiếng Anh

$\overline{X'}=\frac{37+41+49+55+57+62+64+65+65+70+73}{11}=58.$

Ta có giá trị lớn nhất của mẫu số liệu là 73 và giá trị nhỏ nhất là 37. Khi đó khoảng biến thiên là: R = 73 – 37 = 36.

Vì n = 11 là số lẻ nên trung vị Q$_{2}$ = 62.

Nửa bên trái trung vị có 5 giá trị nên tứ phân vị thứ nhất Q$_{1}$ = 49.

Nửa bên phải trung vị có 5 giá trị nên tứ phân vị thứ ba Q$_{3}$ = 65.

Suy ra khoảng tứ phân vị là: Δ$_{Q}$ = Q$_{3}$ – Q$_{1}$ = 65 – 49 = 16.

Ta có bảng sau:

Phương sai: ${{s}^{'}}^{2}=\frac{1340}{11}\approx 121{,}81$.

Độ lệch chuẩn: .${s}^{'}=\sqrt{{{s}^{'}}^{2}}\approx \sqrt{121{,}81}\approx 11{,}04$

Nhận xét

Vì 23,81 > 11,04 nên độ lệch chuẩn của mẫu số liệu điểm Toán lớn hơn độ lệch chuẩn của mẫu số liệu điểm Tiếng Anh. Do đó độ phân tán của số liệu điểm Toán là cao hơn số liệu điểm Tiếng Anh hay 11 bạn học sinh lớp 10 này học đều môn Tiếng Anh hơn môn Toán.

Vì 86 > 36 nên khoảng biến thiên của mẫu số liệu điểm Toán lớn hơn khoảng biến thiên của mẫu số liệu điểm Tiếng Anh. Do đó độ phân tán của số liệu điểm Toán là cao hơn số liệu điểm Tiếng Anh hay 11 bạn học sinh lớp 10 này học đều môn Tiếng Anh hơn môn Toán.

Vì 41 > 16 nên khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu điểm Toán lớn hơn khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu điểm Tiếng Anh. Do đó độ phân tán của số liệu điểm Toán là cao hơn số liệu điểm Tiếng Anh hay 11 bạn học sinh lớp 10 này học đều môn Tiếng Anh hơn môn Toán.

Sắp xếp dãy số liệu trên theo thứ tự không giảm, ta được:

0,81; 0,97; 1,09; 1,19; 1,25; 1,27; 1,79, 1,81; 1,85; 2,01; 7,52.

Số trung bình của dãy số liệu trên là:

$\frac{0{,}81+0{,}97+1{,}09+1{,}19+1{,}25+1{,}27+1{,}79+1{,}81+1{,}85+2{,}01+7{,}52}{11}=1{,}96$

Vì n = 11 là một số lẻ nên trung vị là số chính giữa là: Q$_{2}$ = 1,27.

b)Ta thấy 7,52 lệch hẳn so với các số liệu còn lại trong dãy số liệu nên đây là giá trị bất thường của mẫu số liệu. Mà số trung bình thì ảnh hưởng bởi giá trị bất thường.

Do đó, số trung bình và trung vị có sự sai khác nhiều.

c)

Do có giá trị 7,52 là giá trị khác biệt so với các giá trị còn lại nên gây ảnh hưởng đến số trung bình.

Do đó, ta nên sử dụng số trung vị để đại diện cho dân số các tỉnh thuộc Đồng bằng Bắc Bộ.

a)

∙ Đồng bằng sông Hồng: 187 34 35 46 54 57 37 39 23 57 27.

Ta có: n = 11.

Số trung bình: $\overline{X}=\frac{187+34+35+46+54+57+37+39+23+57+27}{11}\approx 54{,}18.$.

Sắp xếp số liệu trên theo thứ tự không giảm ta được:

23; 27; 34; 35; 37; 39; 46; 54; 57; 57; 187.

Vì n = 11 là số lẻ nên trung vị Q$_{2}$ = 39.

Nửa số liệu bên trái có 5 giá trị nên tứ phân vị thứ nhất là: Q$_{1}$= 34.

Nửa số liệu bên phải có 5 giá trị nên tứ phân vị thứ ba là: Q$_{3}$ = 57.

Khoảng tứ phân vị là:

Δ$_{Q}$ = Q$_{3}$ – Q$_{1}$ = 57 – 34 = 23.

Ta có giá trị lớn nhất của số liệu là 187 và giá trị nhỏ nhất là 23. Khi đó khoảng biến thiên là: R = 187 – 23 = 164.

Theo quan sát số liệu, ta thấy giá trị 57 có tần số xuất hiện nhiều nhất nên mốt là 57.

Ta có bảng sau:

Phương sai: ${s}^{2}\approx \frac{2\ 0735{,}68}{11}\approx 1885{,}06$

Độ lệch chuẩn: $s=\sqrt{{s}^{2}}\approx \sqrt{1885{,}06}\approx 43{,}42$.

∙ Đồng bằng sông Cửu Long: 33 34 33 29 24 39 42 24 23 19 24 15 26.

Số trung bình của mẫu số liệu:

$\overset{⇀}{X'}=\frac{33+34+33+29+24+39+42+24+23+19+24+15+26}{13}\approx 28{,}08.$

Sắp xếp số liệu trên theo thứ tự không giảm ta được:

15; 19; 23; 24; 24; 24; 26; 29; 33; 33; 34; 39; 42.

Vì n' = 13 là số lẻ nên trung vị Q'$_{2}$ = 26.

Nửa số liệu bên trái có 6 giá trị nên tứ phân vị thứ nhất là: Q$_{1}$= (23 + 24):2 = 23,5.

Nửa số liệu bên phải có 6 giá trị nên tứ phân vị thứ ba là: Q$_{3}$ = (33 + 34):2 = 33,5.

Khoảng tứ phân vị là:

Δ'$_{Q}$ = Q'$_{3}$ – Q'$_{1}$ = 33,5 – 23,5 = 10.

Ta có giá trị lớn nhất của số liệu là 42 và giá trị nhỏ nhất là 15. Khi đó khoảng biến thiên là: R' = 42 – 15 = 27.

Theo quan sát số liệu, ta thấy giá trị 24 có tần số xuất hiện nhiều nhất nên mốt là 24.

Ta có bảng sau:

Phương sai: $s{'}^{2}=\frac{730{,}93}{13}\approx 56{,}23$.

Độ lệch chuẩn: ${s}^{'}=\sqrt{{{s}^{'}}^{2}}\approx \sqrt{56{,}23}\approx 7{,}5$.

b) Số trung bình sai khác vì ở Đồng bằng sông Hồng thì có giá trị bất thường là 187 (cao hơn hẳn so với các giá trị còn lại), còn ở Đồng bằng sông Cửu Long thì không có giá trị bất thường.

Chính giá trị bất thường làm nên sự sai khác đó, còn trung vị không bị ảnh hưởng đến giá trị bất thường nên trung vị ở hai mẫu số liệu không khác nhau quá nhiều.

c) Giá trị bất thường ảnh hưởng đến khoảng biến thiên và độ lệch chuẩn, còn với khoảng tứ phân vị thì không (khoảng tứ phân vị đo 50% giá trị ở chính giữa).

a) Số trung bình của mẫu số liệu là:

$\overline{X}=\frac{5{,}5+13{,}8+10{,}2+12{,}2+11{,}0+7{,}4+11{,}4+13{,}1+12{,}5+13{,}4}{10}=11{,}05$

$\Rightarrow {s}^{2}=\frac{{(5{,}5-11{,}05)}^{2}+{(13{,}8-11{,}05)}^{2}+...+{(12{,}5-11{,}05)}^{2}+{(13{,}4-11{,}05)}^{2}}{10}=6{,}57$

$\Rightarrow s=\sqrt{{s}^{2}}=2{,}56$.

Sắp xếp dãy số liệu theo thứ tự không giảm, ta được:

5,5; 7,4; 10,2; 11,0; 11,4; 12,2; 12,5; 13,1; 13,4; 13,8.

Vì n = 10 là số chẵn nên số trung vị là trung bình cộng của hai giá trị chính giữa:

(11,4 + 12,2) : 2 = 11,8.

Ta có giá trị lớn nhất của số liệu là 13,8 và giá trị nhỏ nhất là 5,5. Khi đó khoảng biến thiên là: R = 13,8 – 5,5 = 8,3.

b) Thực hiện làm tròn đến hàng đơn vị cho các giá trị trong mẫu số liệu, ta được:

5,5; 7,4; 10,2; 11,0; 11,4; 12,2; 12,5; 13,1; 13,4; 13,8.

Ta được:

6 ; 7; 10; 11; 11; 12; 13; 13; 13; 14.

Làm tròn các số liệu trong mẫu:

Sai số tuyệt đối của phép làm tròn này không vượt quá 0,5.