TopStudy

Đáp án và lời giải

Bài tập cuối chương IV có đáp án

Về trang đề

Câu 1

Hướng dẫn chấm do TopStudy biên soạn, mang tính gợi ý

Xét hình đầu tiên:

Hình minh hoạ

Ta có x+x+20∘+x+10∘=180∘.x+x+20^{\circ}+x+10^{\circ}=180^{\circ}.

hay 3x+30∘=180∘3\text{x}+30^{\circ}=180^{\circ} hay 3x=180∘−30∘=150∘.3\text{x}=180^{\circ}-30^{\circ}=150^{\circ}.

Do đó x=50∘.x=50^{\circ}.

Xét hình thứ hai:

Hình minh hoạ

Ta có 60∘+y+2y=180∘.60^{\circ}+y+2y=180^{\circ}.

hay 60∘+3y=180∘60^{\circ}+3y=180^{\circ} hay 3y=180∘−60∘=120∘.3y=180^{\circ}-60^{\circ}=120^{\circ}.

Do đó y=40∘.y=40^{\circ}.

Vậy x=50∘,y=40∘.x=50^{\circ},y=40^{\circ}.

Câu 2

Hướng dẫn chấm do TopStudy biên soạn, mang tính gợi ý

Xét hai tam giác MAN và MBN có:

AM = BM (theo giả thiết).

MN chung.

AN = BN (theo giả thiết).

Do đó ΔMAN=ΔMBNΔMAN=ΔMBN (c – c – c).

Vậy MAN^=MBN^\widehat{MAN}=\widehat{MBN} (2 góc tương ứng).

Câu 3

Hướng dẫn chấm do TopStudy biên soạn, mang tính gợi ý

Xét hai tam giác OAM và OBN có:

OAM^=OBN^\widehat{OAM}=\widehat{OBN} (theo giả thiết).

AO = BO (theo giả thiết).

O^\widehat{O} chung.

Do đó ΔOAM=ΔOBNΔOAM=ΔOBN (g – c – g).

Vậy AM = BN (2 cạnh tương ứng).

Câu 4

Hướng dẫn chấm do TopStudy biên soạn, mang tính gợi ý

Xét hai tam giác BAM và ABN có:

AB chung.

ABM^=BAN^\widehat{ABM}=\widehat{BAN} (theo giả thiết).

BM = AN (theo giả thiết).

Do đó ΔBAM=ΔABNΔBAM=ΔABN (c – g – c).

Vậy BAM^=ABN^\widehat{BAM}=\widehat{ABN} (2 góc tương ứng).

Câu 5

Hướng dẫn chấm do TopStudy biên soạn, mang tính gợi ý

Hình minh hoạ

Do M nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng AB nên MA = MB.

Do N nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng AB nên NA = NB.

Mà MA = NA (theo giải thiết có AM = AN) nên MA = MB = NA = NB.

Suy ra MB = NB.

Xét tam giác AMB và tam giác ANB có:

MA = NA (giả thiết)

MB = NB (chứng minh trên)

AB: cạnh chung

Do đó, ∆AMB = ∆ANB (c – c – c).

Suy ra △AMB=△ANB\triangle AMB=\triangle ANB (hai góc tương ứng).

Vậy MB = NB và AMB^=ANB^\widehat{AMB}=\widehat{ANB}.

.

Câu 6

Hướng dẫn chấm do TopStudy biên soạn, mang tính gợi ý

Hình minh hoạ

a) Do MA⊥AB,NA⊥ACMA\perp AB,NA\perp AC nên tam giác BAM vuông tại A, tam giác CAN vuông tại A.

Do tam giác ABC cân tại A nên AB = AC, ABC^=ACB^\widehat{ABC}=\widehat{ACB} hay ABM^=ACN^.\widehat{ABM}=\widehat{ACN}.

Xét hai tam giác BAM vuông tại A và CAN vuông tại A có:

ABM^=ACN^\widehat{ABM}=\widehat{ACN} (chứng minh trên).

AB = AC (chứng minh trên).

Vậy ΔBAM=ΔCANΔBAM=ΔCAN (góc nhọn – cạnh góc vuông).

b) Xét tam giác ABC có: ABC^+ACB^+BAC^=180∘.\widehat{ABC}+\widehat{ACB}+\widehat{BAC}=180^{\circ}.

Mà ABC^=ACB^\widehat{ABC}=\widehat{ACB} (do tam giác ABC cân tại A).

Do đó 2ABC^=180∘−BAC^=180∘−120∘=60∘.2\widehat{ABC}=180^{\circ}-\widehat{BAC}=180^{\circ}-120^{\circ}=60^{\circ}.

Do đó ABC^=ACB^=30∘.\widehat{ABC}=\widehat{ACB}=30^{\circ}.

Do ΔBAM=ΔCANΔBAM=ΔCAN (chứng minh ở ý a) nên AM = AN (2 cạnh tương ứng).

Do đó tam giác AMN cân tại A (1).

Xét tam giác CAN vuông tại A có ANC^+ACN^=90∘\widehat{ANC}+\widehat{ACN}=90^{\circ} (trong tam giác vuông, hai góc nhọn phụ nhau).

Do đó ANC^=90∘−ACN^=90∘−30∘=60∘.\widehat{ANC}=90^{\circ}-\widehat{ACN}=90^{\circ}-30^{\circ}=60^{\circ}.

Từ (1) và (2) suy ra tam giác AMN đều.

Do đó MAN^=60∘.\widehat{MAN}=60^{\circ}.

Ta có: MAN^+NAB^=MAB^\widehat{MAN}+\widehat{NAB}=\widehat{MAB}

Suy ra NAB^=MAB^−MAN^=90∘−60∘=30∘.\widehat{NAB}=\widehat{MAB}-\widehat{MAN}=90^{\circ}-60^{\circ}=30^{\circ}.

Do đó NAB^=ABN^=30∘.\widehat{NAB}=\widehat{ABN}=30^{\circ}.

Suy ra tam giác ANB cân tại N.

Ta có: MAN^+MAC^=NAC^\widehat{MAN}+\widehat{MAC}=\widehat{NAC}

Suy ra MAC^=NAC^−MAN^=90∘−60∘=30∘.\widehat{MAC}=\widehat{NAC}-\widehat{MAN}=90^{\circ}-60^{\circ}=30^{\circ}.

Do đó MAC^=MCA^=30∘.\widehat{MAC}=\widehat{MCA}=30^{\circ}.

Suy ra tam giác AMC cân tại M.

Câu 7

Hướng dẫn chấm do TopStudy biên soạn, mang tính gợi ý

Hình minh hoạ

a) Xét tam giác ABC vuông tại A có ABC^+ACB^=90∘\widehat{ABC}+\widehat{ACB}=90^{\circ} (trong tam giác vuông, hai góc nhọn phụ nhau).

Do đó ACB^=90∘−ABC^=90∘−60∘=30∘.\widehat{ACB}=90^{\circ}-\widehat{ABC}=90^{\circ}-60^{\circ}=30^{\circ}.

ACM^=ACB^\widehat{ACM}=\widehat{ACB} nên ACM^=30∘.\widehat{ACM}=30^{\circ}.

Tam giác CAM có ACM^=CAM^=30∘\widehat{ACM}=\widehat{CAM}=30^{\circ} nên tam giác CAM cân tại M.

Vậy tam giác CAM cân tại M.

b) Có BAC^=BAM^+MAC^.\widehat{BAC}=\widehat{BAM}+\widehat{MAC}.

Do đó BAM^=BAC^−MAC^=90∘−30∘=60∘.\widehat{BAM}=\widehat{BAC}-\widehat{MAC}=90^{\circ}-30^{\circ}=60^{\circ}.

ABM^=ABC^\widehat{ABM}=\widehat{ABC} nên ABM^=60∘.\widehat{ABM}=60^{\circ}.

Xét tam giác BAM có ABM^+BAM^+BMA^=180∘.\widehat{ABM}+\widehat{BAM}+\widehat{BMA}=180^{\circ}.

Do đó BMA^=180∘−ABM^−BAM^=180∘−60∘−60∘=60∘.\widehat{BMA}=180^{\circ}-\widehat{ABM}-\widehat{BAM}=180^{\circ}-60^{\circ}-60^{\circ}=60^{\circ}.

Tam giác BAM có ABM^=BAM^=BMA^=60∘\widehat{ABM}=\widehat{BAM}=\widehat{BMA}=60^{\circ} nên tam giác BAM là tam giác đều.

Vậy tam giác BAM là tam giác đều.

c) Do tam giác CAM cân tại M nên MA = MC (1).

Do tam giác BAM là tam giác đều nên MA = MB (2).

Từ (1) và (2) ta có MB = MC.

Mà M nằm giữa B và C nên M là trung điểm của BC.

Vậy M là trung điểm của BC.