Bài tập cuối chương IV có đáp án

a) + Áp dụng định lí côsin trong tam giác ABC ta có:

BC$^{2}$ = AB$^{2}$ + AC$^{2}$ – 2 . AB . AC . cos$\widehat{BAC}$

= 3$^{2}$ + 4$^{2}$ – 2 . 3. 4 . cos 120°

= 9 + 16 – (– 12)

= 37

Suy ra: $BC=\sqrt{37}\approx 6$.

+ Ta có: $\cos B=\frac{A{B}^{2}+B{C}^{2}-A{C}^{2}}{2.AB.BC}$$=\frac{{3}^{2}+{6}^{2}-{4}^{2}}{2.3.6}=\frac{29}{36}$

Suy ra $\widehat{B}\approx 36^{\circ}$.

b) Áp dụng định lí sin trong tam giác ABC ta có: $\frac{BC}{\sin A}=2R$

Suy ra: $R=\frac{BC}{2\sin A}=\frac{6}{2.\sin 120^{\circ}}=2\sqrt{3}\approx 3$.

Vậy bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là R ≈ 3.

c) Diện tích tam giác ABC là: $S=\frac{1}{2}AB.AC.\sin A$$=\frac{1}{2}.3.4.\sin 120^{\circ}=3\sqrt{3}\approx 5$.

d) Kẻ đường cao AH.

Ta có diện tích tam giác ABC là: $S=\frac{1}{2}AH.BC$

Suy ra: $AH=\frac{2S}{BC}=\frac{2.5}{6}\approx 2$.

e)

+ Ta có: $\overrightarrow{AB}\ .\ \overrightarrow{AC}=\ |\overrightarrow{AB}|\ .\ |\overrightarrow{AC}|.\cos (\overrightarrow{AB},\ \overrightarrow{AC})$

$=AB.\ AC.\ \cos \widehat{BAC}$

= 3 . 4 . cos 120° = – 6.

Do đó: $\overrightarrow{AB}\ .\overrightarrow{AC}\ =-6$.

+ Do M là trung điểm của BC nên ta có: $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AM}$ .

Suy ra: $\overrightarrow{AM}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})$.

Khi đó: $\overrightarrow{AM}\ .\ \overrightarrow{BC}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}).\overrightarrow{BC}$

$=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}).(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC})$

$=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}).((-\overrightarrow{AB})+\overrightarrow{AC})$

$=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AB}).(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB})$

$=\frac{1}{2}({\overrightarrow{AC}}^{2}-{\overrightarrow{AB}}^{2})$

$=\frac{1}{2}(AC-AB)=\frac{1}{2}(4-3)=\frac{1}{2}$

Vậy $\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{BC}=\frac{1}{2}$.

+ Ta có:

A = (sin 20° + sin 70°)$^{2}$ + (cos 20° + cos 110°)$^{2}$

= [sin(90° – 70°) + sin 70°]$^{2}$ + [cos(90° – 70°) + cos(180° – 70°)]$^{2}$

= (cos70° + sin 70°)$^{2}$ + [sin 70° + (– cos 70°)]$^{2}$

= (cos 70° + sin 70°)$^{2}$ + (sin 70° – cos 70°)$^{2}$

= cos$^{2}$70° + 2 . cos 70° . sin 70° + sin$^{2}$ 70° + sin$^{2}$ 70° – 2 . sin 70° . cos 70° + cos$^{2}$ 70°

= 2(cos$^{2}$ 70° + sin$^{2}$ 70°)

= 2 . 1 = 2

Vậy A = 2.

+ Ta có:

B = tan 20° + cot 20° + tan 110° + cot 110°

= tan (90° – 70°) + cot(90° – 70°) + tan (180° – 70°) + cot (180° – 70°)

= cot 70° + tan 70° + (– tan 70°) + (– cot 70°)

= (cot 70° – cot 70°) + (tan 70° – tan 70°)

= 0 + 0 = 0

Vậy B = 0.

* Tính góc xOy bạn Hoài vẽ:

Áp dụng hệ quả của định lí côsin trong tam giác ABO ta có: $\cos O=\frac{O{A}^{2}+O{B}^{2}-A{B}^{2}}{2.OA.OB}$$=\frac{{2}^{2}+{2}^{2}-{(3{,}1)}^{2}}{2.2.2}$$=-\frac{161}{800}$

Do đó: $\widehat{O}\approx 102^{\circ}$

Vậy từ các dự kiện bạn Đông tính được, ta suy ra $\widehat{xOy}\approx 102^{\circ}$ .

Ba vị trí A, B, C tạo thành 3 đỉnh của tam giác ABC.

Ta có: $\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}=180^{\circ}$ (định lí tổng ba góc trong tam giác ABC)

Suy ra: $\widehat{C}=180^{\circ}-(\widehat{A}+\widehat{B})=180^{\circ}-(60^{\circ}+45^{\circ})=75^{\circ}$.

Áp dụng định lí sin trong tam giác ABC ta có: $\frac{AB}{\sin C}=\frac{BC}{\sin A}=\frac{AC}{\sin B}$

Do đó: $AC=\frac{AB.\sin B}{\sin C}=\frac{1200.\sin 45^{\circ}}{\sin 75^{\circ}}\approx 878$(m);

$BC=\frac{AB.\sin A}{\sin C}=\frac{1200.\sin 60^{\circ}}{\sin 75^{\circ}}\approx 1076$(m).

Vậy khoảng cách từ trạm C đến trạm A khoảng 878 m và từ trạm C đến trạm B khoảng 1 076 m.

Dựng AD vuông góc với hai bên bờ sông, khi đó AD là độ rộng của khúc sông chạy qua vị trí của người đó đang đứng. Ta cần tính khoảng cách AD.

Xét tam giác ABC ta có:$\widehat{CAB}+\widehat{ACB}=65^{\circ}$ (tính chất góc ngoài tại đỉnh B của tam giác)

Suy ra $\widehat{ACB}=65^{\circ}-\widehat{CAB}=65^{\circ}-35^{\circ}=30^{\circ}$ .

Lại có $\widehat{ABC}=180^{\circ}-65^{\circ}=115^{\circ}$ .

Áp dụng định lí sin trong tam giác ABC ta có: $\frac{AB}{\sin \widehat{ACB}}=\frac{AC}{\sin \widehat{ABC}}$ .

Suy ra $AC=\frac{AB.\sin \widehat{ABC}}{\sin \widehat{ACB}}=\frac{50.\sin 115^{\circ}}{\sin 30^{\circ}}\approx 90{,}6$ .

Ta có: $\widehat{DAC}=90^{\circ}-35^{\circ}=55^{\circ}$ .

Tam giác ADC vuông tại D nên $\cos \widehat{DAC}=\frac{AD}{AC}$ .

$\Rightarrow AD=AC.\cos \widehat{DAC}=90{,}6.\cos 55^{\circ}\approx 52$ (m).

Vậy độ rộng của khúc sông chảy qua vị trí người đó đang đứng là 52 m.

Ba vị trí O, M, N tạo thành ba đỉnh của tam giác.

Tam giác OMN có OM = 200 m, ON = 500 m và $\widehat{MON}=135^{\circ}$ .

Áp dụng định lí côsin trong tam giác OMN ta có:

MN$^{2}$ = OM$^{2}$ + ON$^{2}$ – 2 . OM . ON . cos$\widehat{MON}$

= 200$^{2}$ + 500$^{2}$ – 2 . 200 . 500 . cos135°

≈ 431421

Suy ra: MN ≈ 657 m.

Vậy khoảng cách giữa hai ví trí M, n khoảng 657 m.

a)

Vì ABCD là hình bình hành nên $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}$ .

Với E là điểm bất kì ta có: $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{CE}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CE}=\overrightarrow{AE}$

Vậy $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{CE}=\overrightarrow{AE}$ với E là điểm bất kì.

b)

Vì I là trung điểm của AB nên với điểm M bất kì ta có: $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}=2\overrightarrow{MI}$

Do đó, với điểm N bất kì, ta có: $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+2\overrightarrow{IN}=2\overrightarrow{MI}+2\overrightarrow{IN}=2(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IN})$$=2\overrightarrow{MN}$.

Vậy $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+2\overrightarrow{IN}=2\overrightarrow{MN}$ với M, N là hai điểm bất kì.

c)

Do G là trọng tâm của tam giác ABC nên với điểm M bất kì ta có: $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=3\overrightarrow{MG}$.

Khi đó với điểm N bất kì ta có: $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}-3\overrightarrow{MN}$$=3\overrightarrow{MG}-3\overrightarrow{MN}$

$=3(\overrightarrow{MG}+(-\overrightarrow{MN}))$$=3(\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{NM})$

$=3(\overrightarrow{NM}+\overrightarrow{MG})=3\overrightarrow{NG}$

Vậy $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}-3\overrightarrow{MN}=3\overrightarrow{NG}$ với M, N là hai điểm bất kì.

a) Ta có: $\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AD}=-\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}$.

Do ABCD là hình bình hành nên $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}$.

b) Ta có: $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AD}=|\overrightarrow{AB}|.|\overrightarrow{AD}|.\cos (\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD})$

$=AB\ .AD.\cos \widehat{BAD}$= 4 . 6 . cos60° = 12.

Do đó: $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AD}=12$

Ta cũng có: $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}.\ (\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD})$

$={\overrightarrow{AB}}^{2}+\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AD}$= AB$^{2}$ + 12 = 4$^{2}$ + 12 = 28.

Do đó: $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=28$

Lại có: $\overrightarrow{BD}.\overrightarrow{AC}=(-\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}).(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD})$

$=(\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB}).(\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AB})$$={\overrightarrow{AD}}^{2}-{\overrightarrow{AB}}^{2}$

= AD$^{2}$ – AB$^{2}$ = 6$^{2}$ – 4$^{2}$ = 20.

Vậy $\overrightarrow{BD}.\overrightarrow{AC}=20$

c) Áp dụng định lí côsin trong tam giác ABD có:

BD$^{2}$ = AB$^{2}$ + AD$^{2}$ – 2 . AB . AD . cosA

= 4$^{2}$ + 6$^{2}$ – 2 . 4 . 6 . cos 60° = 28

$\Rightarrow BD=\sqrt{28}=2\sqrt{7}$

Ta có: $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}$$\Rightarrow {(\overrightarrow{AC})}^{2}={(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD})}^{2}$

$\Leftrightarrow {\overrightarrow{AC}}^{2}={\overrightarrow{AB}}^{2}+2.\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AD}+{\overrightarrow{AD}}^{2}$

$\Leftrightarrow A{C}^{2}=A{B}^{2}+2\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AD}+A{D}^{2}$

Suy ra: AC$^{2}$ = 4$^{2}$ + 2 . 12 + 6$^{2}$ = 76

$\Rightarrow AC=\sqrt{76}=2\sqrt{19}$.

Ta thấy, AOBC là hình bình hành.

Do đó: $\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}$

Suy ra: $\overrightarrow{F}=\overrightarrow{{F}_{1}}+\overrightarrow{{F}_{2}}$ (1).

Ta cần tính cường độ của hợp lực $\overrightarrow{F}$ hay chính là tính $|\overrightarrow{F}|$ .

Từ (1) suy ra ${(\overrightarrow{F})}^{2}={(\overrightarrow{{F}_{1}}+\overrightarrow{{F}_{2}})}^{2}$ .

$\Leftrightarrow {\overrightarrow{F}}^{2}={\overrightarrow{{F}_{1}}}^{2}+2.\overrightarrow{{F}_{1}}.\overrightarrow{{F}_{2}}+{\overrightarrow{{F}_{2}}}^{2}$

$\Leftrightarrow {|\overrightarrow{F}|}^{2}={|\overrightarrow{{F}_{1}}|}^{2}+2.\overrightarrow{{F}_{1}}.\overrightarrow{{F}_{2}}+{|\overrightarrow{{F}_{2}}|}^{2}$. (2)

Ta lại có: $\overrightarrow{{F}_{1}}.\overrightarrow{{F}_{2}}=|\overrightarrow{{F}_{1}}|.|\overrightarrow{{F}_{2}}|.\cos (\overrightarrow{{F}_{1}},\ \overrightarrow{{F}_{2}})$$=|\overrightarrow{{F}_{1}}|.|\overrightarrow{{F}_{2}}|.\cos α$ (3).

Từ (2) và (3) suy ra: ${|\overrightarrow{F}|}^{2}={|\overrightarrow{{F}_{1}}|}^{2}+2.|\overrightarrow{{F}_{1}}|.|\overrightarrow{{F}_{2}}|.\cos α+{|\overrightarrow{{F}_{2}}|}^{2}$

$\Rightarrow |\overrightarrow{F}|=\sqrt{{|\overrightarrow{{F}_{1}}|}^{2}+2.|\overrightarrow{{F}_{1}}|.|\overrightarrow{{F}_{2}}|.\cos α+{|\overrightarrow{{F}_{2}}|}^{2}}$.

Vậy công thức tính cường độ của hợp lực $\overrightarrow{F}$ làm cho vật di chuyển theo hướng từ O đến C là $|\overrightarrow{F}|=\sqrt{{|\overrightarrow{{F}_{1}}|}^{2}+2.|\overrightarrow{{F}_{1}}|.|\overrightarrow{{F}_{2}}|.\cos α+{|\overrightarrow{{F}_{2}}|}^{2}}$.