Bài tập cuối chương III có đáp án

a) Diện tích tam giác ABC:

$S=\frac{1}{2}ac\ .\ \sin B=\frac{1}{2}ac\ .\ \sin {135}^{o}=\frac{\sqrt{2}}{4}ac$.

Chọn D.

b) Theo định lí sin, ta có:

$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R$

A. $R=\frac{a}{\sin A}$sai vì $R=\frac{a}{2\sin A}$

B.$R=\frac{\sqrt{2}}{2}b$

Mà $\sin B=\frac{\sqrt{2}}{2}\Rightarrow R=\frac{b}{2\sin B}=\frac{b}{2\ .\ \frac{\sqrt{2}}{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}b$ .

Do đó B đúng.

C. $R=\frac{\sqrt{2}}{2}c$(loại vì không có dữ kiện về góc C nên không thể tính R theo c).

D. $R=\frac{\sqrt{2}}{2}a$(loại vì không có dữ kiện về góc A nên không thể tính R theo a).

Chọn B.

c)

A. ${a}^{2}={b}^{2}+{c}^{2}+\sqrt{2}ab$ .

Vì theo định lí côsin, ta có: a$^{2}$= b$^{2}$+ c$^{2}$− 2bc . cosA

Không đủ dữ kiện để suy ra: ${a}^{2}={b}^{2}+{c}^{2}+\sqrt{2}ab$ .

Do đó A sai.

B. $\frac{b}{\sin A}=\frac{a}{\sin B}$ .

Theo định lí sin, ta có: $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}$

Nên $\frac{b}{\sin A}\ne \frac{a}{\sin B}$ .

Do đó B sai.

C. $\sin B=\frac{-\sqrt{2}}{2}$ .

Vì theo câu a, $\sin B=\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Do đó C sai.

D. b$^{2}$ = c$^{2}$ + a$^{2}$ – 2ca . cos135$^{o}$. đúng.

Theo định lý côsin ta có:

b$^{2}$ = c$^{2}$ + a$^{2}$ − 2ca . cosB (*)

Mà $\widehat{B}=135^{\circ}$Þ cosB = cos 135$^{o}$.

Thay vào (*) ta được: b$^{2}$ = c$^{2}$ + a$^{2}$ − 2ca . cos 135$^{o}$.

Do đó D đúng.

Chọn D.

a) M = sin45$^{o}$. cos45$^{o}$ + sin30$^{o}$

Ta có: sin 45$^{o}$ = cos 45$^{o}$ =$\frac{\sqrt{2}}{2}$ ; sin 30$^{o}$ = $\frac{1}{2}$ .

Thay vào M, ta được:

M $=\frac{\sqrt{2}}{2}.\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{1}{2}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1$ .

b) $N=\sin {60}^{o}\ .\ cos{30}^{o}+\frac{1}{2}\sin {45}^{o}\ .\ cos{45}^{o}$

Ta có: $\sin {60}^{o}=\frac{\sqrt{3}}{2}$ ;$\cos {30}^{o}=\frac{\sqrt{3}}{2}$ ; $\sin 45^{\circ}=cos45^{\circ}=\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Thay vào N, ta được:

N = $\frac{\sqrt{3}}{2}.\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}.\frac{\sqrt{2}}{2}.\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{3}{4}+\frac{1}{4}=1$ .

c) P = 1 + tan$^{2}$60$^{o}$

Ta có: $\tan {60}^{o}=\sqrt{3}$ .

Thay vào P, ta được: P$=1+{(\sqrt{3})}^{2}=1+3=4$ .

d)$Q=\frac{1}{{\sin }^{2}{120}^{o}}-{\cot }^{2}{120}^{o}.$

Ta có: $\sin {120}^{o}=\frac{\sqrt{3}}{2}$ ;$\cot {120}^{o}=\frac{-\ 1}{\sqrt{3}}$

Thay vào Q, ta được:

Q$=\frac{1}{{(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{2}}-{(\frac{-1}{\sqrt{3}})}^{2}\ =\frac{1}{\frac{3}{4}}-\frac{1}{3}=\frac{4}{3}-\frac{1}{3}=1$

.

a) M = sin45$^{0}$.cos45$^{0}$ + sin30$^{0}$

$^{=\frac{\sqrt{2}}{2}.\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{1}{2}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1}$

b) $\text{​}N=\sin {60}^{0}.cos{30}^{0}+\frac{1}{2}\sin {45}^{0}.cos{45}^{0}$

= $\frac{\sqrt{3}}{2}.\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}.\frac{\sqrt{2}}{2}.\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{3}{4}+\frac{1}{4}=1$

c) P = 1 + tan$^{2}$60$^{0}$

$^{=1+{(\sqrt{3})}^{2}=1+3=4}$

d) $Q=\frac{1}{{\sin }^{2}{120}^{0}}-\cot {120}^{0}$

$=\frac{1}{{\sin }^{2}{60}^{0}}+\cot {60}^{0}$

$=\frac{4}{3}+\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{4+\sqrt{3}}{3}.$

Xét ΔABC, có:

Ta có: $\widehat{A}={180}^{0}-\widehat{B}-\widehat{C}={180}^{0}-{60}^{0}-{45}^{0}={75}^{0}.$

$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R$ (định lí sin)

$\Rightarrow \frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{10}{\sin {60}^{0}}=\frac{10}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{20}{\sqrt{3}}\Rightarrow a=\frac{20}{\sqrt{3}}\sin A=\frac{20}{\sqrt{3}}.\sin {75}^{0}=11{,}15$

$\Rightarrow 2R=\frac{b}{\sin B}=\frac{20}{\sqrt{3}}\Leftrightarrow R=\frac{10}{\sqrt{3}}$..

Diện tích tam giác ABC là: $S=\frac{1}{2}.b.a.\sin C=\frac{1}{2}.10.11{,}15.\sin {45}^{0}\approx 39{,}42$ (đvdt)

$\Rightarrow \frac{c}{\sin C}=\frac{b}{\sin B}=\frac{20}{\sqrt{3}}\Rightarrow c=\frac{20}{\sqrt{3}}\sin C=\frac{20}{\sqrt{3}}.\sin {45}^{0}=\frac{10\sqrt{6}}{3}$

Ta có: $S=pr=\frac{(a+b+c)r}{2}\Rightarrow r=\frac{2S}{a+b+c}=\frac{2.39{,}42}{11{,}15+10+\frac{10\sqrt{6}}{3}}=2{,}69$

Vậy a = 11,15; $R=\frac{10\sqrt{3}}{3},c\approx 8{,}16,$ r $\approx$ 2,69.

a) $cos\widehat{AMB}+cos\widehat{AMC}=0$

Ta có: $\widehat{AMB}+\widehat{AMC}={180}^{0}$

$\widehat{AMC}={180}^{0}-\widehat{AMB}$

$cos\widehat{AMB}=-cos({180}^{0}-\widehat{AMB})=-cos\widehat{AMC}$

$\Rightarrow cos\widehat{AMB}+cos\widehat{AMC}=-cos\widehat{AMC}+cos\widehat{AMC}=0$

b) Áp dụng định lí côsin trong ΔAMB, ta có:

AB$^{2}$ = MA$^{2}$ + MB$^{2}$ – 2MA.MB.cos$\widehat{AMB}$

⇔ MA$^{2}$ + MB$^{2}$ – AB$^{2}$ = 2MA.MB.cos $\widehat{AMB}$(1)

Áp dụng định lí côsin trong ΔAMC, ta có:

AC$^{2}$ = MA$^{2}$ + MC$^{2}$ – 2MA.MC.cos $\widehat{AMC}$

⇔ MA$^{2}$ + MC$^{2}$ – AC$^{2}$ = 2MA.MC.cos $\widehat{AMC}$ (2)

c) Cộng vế với vế của (1) với (2), ta được:

MA$^{2}$ + MB$^{2}$ – AB$^{2}$ + MA$^{2}$ + MC$^{2}$ – AC$^{2}$

= 2MA.MB.cos $\widehat{AMB}$ + 2MA.MC.cos $\widehat{AMC}$

$\Leftrightarrow 2M{A}^{2}+\ \frac{B{C}^{2}}{4}-\ A{B}^{2}+\frac{B{C}^{2}}{4}-\ A{C}^{2}\ =\ 2MA.\frac{BC}{2}.cos\widehat{AMB}+\ 2MA.\frac{BC}{2}.cos\widehat{AMC}$

(Vì $MB=MC=\frac{BC}{2}$)

2MA$^{2}$ = AB$^{2}$ + AC$^{2}$ –${(\frac{BC}{2})}^{2}$ – $^{{(\frac{BC}{2})}^{2}}$+ 2MA.MB.cos + 2MA.MB.cos

Û 2MA$^{2}$ = AB$^{2}$ + AC$^{2}$ –${(\frac{BC}{2})}^{2}$ + 2MA.MB.(cos $\widehat{AMB}$ + cos $\widehat{AMC}$ )

Û 2MA$^{2}$ = AB$^{2}$ + AC$^{2}$ – $\frac{B{C}^{2}}{2}$

Û $M{A}^{2}=\frac{A{B}^{2}+A{C}^{2}-\frac{B{C}^{2}}{2}}{2}$

$\Leftrightarrow M{A}^{2}=\frac{2(A{B}^{2}+A{C}^{2})-B{C}^{2}}{4}$ (công thức đường trung tuyến).