Bài tập cuối chương 6 lớp 9 (có lời giải)

Các hàm số có dạng ${\rm{a}}{x^2}({\rm{a}} \ne 0)$ là:

a) $y = {x^2}$, có ${\rm{a}} = 1$; b) $y = - 3{x^2}$, có ${\rm{a}} = - 3$ c) $y = \frac{{4{x^2}}}{9}$, có ${\rm{a}} = \frac{4}{9}$.

a) Với $x = 0$ thì $y = {4.0^2} = 0$.

b) Với $x = 2$ thì $y = 4 \cdot {2^2} = 16$.

c) Với $x = - 2$ thì $y = 4 \cdot {( - 2)^2} = 16$.

Thay $x = - 2$ và $y = 4$ vào phương trình $y = a{x^2}$, ta được: $4 = a.{( - 2)^2} \Leftrightarrow 4a = 4 \Leftrightarrow a = 1$.

Hàm số có dạng ${\rm{y}} = {{\rm{x}}^2}$.

Bảng giá trị của hàm số $y = {x^2}$:

Bảng giá trị của hàm số $y = - {x^2}$:

Bảng giá trị của hàm số:

Trên mặt phẳng tọa độ $Oxy$, lấy các điểm $E\left( { - 2; - 2} \right);F\left( { - 1; - \frac{1}{2}} \right);O\left( {0;0} \right);F'\left( {1; - \frac{1}{2}} \right);E'\left( {2; - 2} \right)$.

Đồ thị của hàm số $y = - \frac{1}{2}{x^2}$ là một đườnh parabol đỉnh $O$, đi qua các điểm trên và có dạng như hình dưới đây.

a) $A$ thuộc đường thẳng ${\rm{y}} = 2{\rm{x}} - 1$ và hoành độ bằng 2 nên tung độ của $A:y = 2.2 - 1 \Rightarrow y = 3$. Vậy $A(2;3)$.

Lại có A là giao điểm của parabol $y = (m + 1){x^2}$ và $y = 2x - 1$ nên ta có $3 = (m + 1) \cdot {(2)^2}$

$\Rightarrow 4\;{\rm{m}} + 4 = 3 \Rightarrow \;{\rm{m}} = - \frac{1}{4}$. Vậy ${\rm{y}} = \frac{3}{4}{{\rm{x}}^2}$.

b) Vẽ parabol (P): $y = \frac{3}{4}{x^2}$.

Bảng giá trị:

Parabol $({\rm{P}})$ có đỉnh O và nhận trục tung làm trục đối xứng.

a) Bảng giá trị:

Đồ thị $({\rm{P}})$ là một parabol có đỉnh O và nhận trục tung làm trục đối xứng.

b) Đặt A(-2; $\left. {{{\rm{y}}_0}} \right) \in ({\rm{P}})$$\Rightarrow {{\rm{y}}_0} = \left( { - \frac{1}{2}} \right){( - 2)^2} \Rightarrow {{\rm{y}}_0} = - 2$

Vậy ${\rm{A}}( - 2; - 2)$.

Đặt $B\left( {1;{y_1}} \right) \in (P) \Rightarrow {y_1} = \left( { - \frac{1}{2}} \right) \cdot {(1)^2} \Rightarrow {y_1} = - \frac{1}{2}$. Vậy $B\left( {1; - \frac{1}{2}} \right)$

Đường thẳng AB có phương trình ${\rm{y}} = {\rm{ax}} + {\rm{b}}({\rm{d}})$.

$A \in (d) \Rightarrow - 2 = - 2a + b;B \in (d) \Rightarrow - \frac{1}{2} = a + b$

Ta có hệ phương trình:

$\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{ - 2a + b = - 2}\\{a + b = - \frac{1}{2}}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{2a - b = 2}\\{a + b = - \frac{1}{2}}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{a = \frac{1}{2}}\\{a + b = - \frac{1}{2}}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{a = \frac{1}{2}}\\{b = - 1}\end{array}} \right.} \right.} \right.} \right.$

Vậy phương trình đường thẳng AB có dạng: ${\rm{y}} = \frac{1}{2}{\rm{x}} - 1$.

Ta có: $a = 1;c = - 10 \Rightarrow ac < 0 \Rightarrow$ phương trình có hai nghiệm phân biệt ${x_1};{x_2}$. Theo định lí Viete, ta có: ${x_1} + {x_2} = 1;{x_1}{x_2} = - 10$. Vậy ${x_1}^2 + {x_2}^2 = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2} = 1 - 2.( - 10) = 21$.

Nhận xét: - Ta có $ac < 0 \Rightarrow \frac{c}{a} < 0$ mà ${x_1}{x_2} = \frac{c}{a} \Rightarrow {x_1}{x_2} < 0$. Vậy khi $a{\rm{ }}v\`a {\rm{ }}c$ trái dấu thì phương trình bậc hai có hai nghiệp phân biệt và trái dấu (chẳng hạn: ${x_1} < 0 < {x_2}$ ).

- Biểu thức ${x_1}^2 + {x_2}^2$ không thay đổi khi ta thay ${x_1}$ bởi ${x_2}$ và ngược lại, gọi là biểu thức đối xứng của ${x_1}$ và ${x_2}$. Bạn cần nhớ một vài công thức sau: $S = {x_1} + {x_2}$, ta có:

${x_1}^2 + {x_2}^2 = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2} = {S^2} - 2P$ (biểu thị qua tổng và tích các nghiệm)

$${{\rm{x}}_1}^3 + {\rm{x}}_2^3 = \left( {{x_1} + {x_2}} \right)\left( {{x_1}^2 - {x_1}{x_2} + {x_2}^2} \right) = \left( {{x_1} + {x_2}} \right)\left[ {{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - 3{x_1}{x_2}} \right] = S\left( {{S^2} - 3P} \right) = {S^3} - 3SP$$

${x_1}^4 + {x_2}^4 = {\left( {x_1^2 + x_2^2} \right)^2} - 2{x_1}^2{x_2}^2 = {\left[ {{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - 2{x_1}{x_2}} \right]^2} - 2{x_1}^2x_2^2 = {\left( {{S^2} - 2P} \right)^2} - 2{P^2}$

${\left| {{x_1} - {x_2}} \right|^2} = {\left( {{x_1} - {x_2}} \right)^2} = {x_1}^2 - 2{x_1}{x_2} + {x_2}^2 = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 4{x_1}{x_2} = {S^2} - 4P$

Ta có $a = 3;b = 2;c = - 6 \Rightarrow \;a.c = - 18 < 0 \Rightarrow$ phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt (khác dấu) ${x_1},{x_2}$.

Theo định lí Viète, ta có: ${x_1} + {x_2} = - \frac{2}{3};{x_1}{x_2} = - 2$.

Vậy $A = {x_1}^2 - 2{x_1}{x_2} + {x_2}^2 = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 4{x_1}{x_2} = {\left( { - \frac{2}{3}} \right)^2} - 4.( - 2) = \frac{{76}}{9}$

Nhận xét: Từ kết quả trên, ta có thể tìm được: $\left| {{x_1} - {x_2}} \right| = \frac{{\sqrt {76} }}{3} = \frac{{2\sqrt {19} }}{3} \Rightarrow {x_1} - {x_2} = \pm \frac{{2\sqrt {19} }}{3}$

Ta có: $a = 3;b = - 7;c = - 4 \Rightarrow a.c = - 12 < 0$. Vậy phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt ${x_1};{x_2}$.

Theo định lí Viète, ta có: ${x_1} + {x_2} = \frac{7}{3};{x_1}{x_2} = \frac{{ - 4}}{3}$.

a) Ta có: ${A^2} = {\left| {{x_1} - {x_2}} \right|^2} = {x_1}^2 - 2{x_1}{x_2} + {x_2}^2 = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 4{x_1}{x_2} = {\left( {\frac{7}{3}} \right)^2} - 4.\left( {\frac{{ - 4}}{3}} \right) = \frac{{97}}{9} \Rightarrow A = \frac{{\sqrt {97} }}{3}$

b) Ta có $B = \frac{{x_1^3 + x_2^3}}{{{x_1}{x_2}}} = \frac{{{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^3} - 3{x_1}{x_2}.\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}}{{{x_1}{x_2}}} = \frac{{{{\left( {\frac{7}{3}} \right)}^3} - 3.\left( {\frac{{ - 4}}{3}} \right).\frac{7}{3}}}{{\frac{{ - 4}}{3}}} = - \frac{{595}}{{36}}$

Ta có: $a = 1;b = - 2 \Rightarrow b' = - 1;c = m + 2$. Phương trình đã cho có hai nghiệm ${x_1};{x_2}$ khi và chỉ khi

$\Delta ' \ge 0 \Leftrightarrow {\left( { - 1} \right)^2} - \left( {m + 2} \right) \ge 0 \Leftrightarrow \;m \le - 1$

Theo hệ thức Viète, ta có: ${x_1} + {x_2} = 2;{x_1}{x_2} = m + 2$. Vậy ${x_1}^2 + {x_2}^2 = 10 \Leftrightarrow {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2} = 10$

$\Leftrightarrow 4 - 2\left( {m + 2} \right) = 10 \Leftrightarrow - 2m = 10 \Leftrightarrow m = - 5{\rm{ }}$(thỏa mãn điều kiện $m \ge - 1$)

Đáp số: $m = - 5$.

Cách khác: Giả sử phương trình đã cho có hai nghiệm ${x_1};{x_2}$. Theo hệ thức Viète, ta có:

${x_1} + {x_2} = 2;{x_1}{x_2} = m + 2$ (Tương tự cách giải trên):

${x_1}^2 + {x_2}^2 = 10 \Leftrightarrow 4 - 2\left( {\;m + 2} \right) = 10 \Leftrightarrow \;m = - 5$

Thử lại: Với $m = - 5$, ta có phương trình ${x^2} - 2x - 3 = 0$. Ta có $a = 1;b = - 2;c = - 3 \Rightarrow ac = - 2 < 0 \Rightarrow$ phương trình có hai nghiệm.

Chú ý: Vì ta giả sử có nghiệm, để tìm được $m$, sau đó ta phải thử lại. Nếu làm như cách thứ nhất, ta tìm điều kiện cho phương trình có nghiệm thì không cần thử lại.

Ta có $a = 1;b = - 2\;m \Rightarrow \;b' = - m;c = 2\;m - 3$. Phương trình đã cho có nghiệm ${x_1},{x_2}$ khi và chỉ khi

$\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{a \ne 0}\\{\Delta ' \ge 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{1 \ne 0}\\{{{\left( { - m} \right)}^2} - \left( {2m - 3} \right) \ge 0}\end{array}} \right.} \right.$

$\Leftrightarrow {m^2} - 2m + 3 \ge 0 \Leftrightarrow {m^2} - 2m + 1 + 2 \ge 0 \Leftrightarrow {\left( {m - 1} \right)^2} + 2 \ge 0$ (luôn đúng với mọi $m$ vì ${\left( {m - 1} \right)^2} \ge 0,\forall m$) Vậy $A = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2} = 4{m^2} - 2\left( {2m - 3} \right) = 4{m^2} - 4m + 6 = \left( {4{m^2} - 4m + 1} \right) + 5n$

$= {(2m - 1)^2} + 5 \ge 5;\forall m\left( {{{(2m - 1)}^2} \ge 0,\forall m} \right)$

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi $2m - 1 = 0 \Leftrightarrow m = \frac{1}{2}$

Chú ý: Nếu ta không đặt điều kiện phương trình có nghiệm thì vẫn đúng đáp số, nhưng lời giải như vậy chưa chính xác.

Ta có: $a = 1;b = 2 \Rightarrow \;b' = 1;c = m$. Phương trình có nghiệm ${x_1}$; ${x_2}$ khi và chỉ khi $\Delta ' \ge 0 \Leftrightarrow 1 - m \ge 0 \Leftrightarrow m \le 1$

Theo hệ thức Viète, ta có: ${x_1} + {x_2} = - 2$ và ${x_1}{x_2} = m$. Xét hệ: $\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{{x_1} + {x_2} = - 2}\\{3{x_1} + 2{x_2} = 1}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{{x_1} = 5}\\{{x_2} = - 7}\end{array}} \right.} \right.$ (hệ hai ẩn bậc nhất đối

với ${x_1}$ và ${x_2}$ ). Thế ${x_1} = 5$ và ${x_2} = - 7$ vào phương trình ${x_1}{x_2} = m$, ta có: $m = 5.( - 7) \Leftrightarrow m = - 35$ (thỏa mãn điều kiện $m \le 1$).

Đáp số: $m{\rm{ }} = - 35$.

1 dặm $= 1609\;{\rm{m}} = 1{,}609\;{\rm{km}}$. Tốc độ của người lái xe là:

$d = \frac{1}{{30f}} \cdot {v^2} \Rightarrow {v^2} = 30fd = 30 \cdot 185 \cdot 0{,}73 = 4051{,}5 \Rightarrow \left[ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{v = 63{,}65{\rm{ (nh\^a n) }}}\\{v = - 63{,}65{\rm{ (loai) }}}\end{array}} \right.$

$v = 63{,}65 \cdot 1{,}609 = 102{,}41(\;{\rm{km}}/{\rm{h}})$

Vì $102{,}41 > 100$ (km/giờ) nên người chủ xe chạy quá tốc độ.

Vậy người chủ xe nói sai.

a) Giả sử trên mặt phẳng tọa độ, độ dài các đoạn thẳng được tính theo đơn vị mét. Do khoảng cách giữa hai chân cổng là 4 m nên ${\rm{MA}} = {\rm{NA}} = 2\;{\rm{m}}$. Theo giả thiết ta có ${\rm{OM}} = {\rm{ON}} = 2\sqrt 5$.

Xét vuông tại $A$, ta có: ${\rm{OA}} = \sqrt {{\rm{O}}{{\rm{M}}^2} - {\rm{A}}{{\rm{M}}^2}} = \sqrt {{{(2\sqrt 5 )}^2} - {2^2}} = 4\;{\rm{m}}$.

$\Rightarrow {\rm{M}}(2; - 4) \in (P):y = a{x^2} \Rightarrow - 4 = a{.2^2} \Rightarrow a = - 1$.

b) Để đáp ứng chiều cao trước hết xe tải phải đi vào chính giữa cổng.

$\Rightarrow {\rm{AB}} = 2{,}5\;{\rm{m}} \Rightarrow {\rm{OB}} = {\rm{OA}} - {\rm{AB}} = 4 - 2{,}5 = 1{,}5\;{\rm{m}}$

$({\rm{HT}}):y = - \frac{3}{2}$

Đường thẳng này cắt Parabol tại 2 điểm có tọa độ thỏa mãn hệ: $\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{y = - {x^2}}\\{y = - \frac{3}{2}}\end{array}} \right.$

$\Rightarrow \left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{{x^2} = \frac{3}{2}}\\{y = - \frac{3}{2}}\end{array} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{x = \frac{{3\sqrt 2 }}{2}}\\{y = - \frac{3}{2}}\end{array}} \right.} \right.$ hay $\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{x = - \frac{{3\sqrt 2 }}{2}}\\{y = - \frac{3}{2}}\end{array} \Rightarrow H\left( {\frac{{3\sqrt 2 }}{2}; - \frac{3}{2}} \right),T\left( { - \frac{{3\sqrt 2 }}{2}; - \frac{3}{2}} \right)} \right.$

$\Rightarrow {\rm{HT}} = 3\sqrt 2 \approx 4{,}24\;{\rm{m}} > 2{,}4\;{\rm{m}}.$Vậy xe tải có thể đi qua cổng.

Cái cổng có hình dạng là một parabol có phương trình dạng: $(P):y = a{x^2}(a < 0)$.

${\rm{OA}} = \frac{{{\rm{AB}}}}{2} = \frac{{162}}{2} = 81\;{\rm{m}}$ $\Rightarrow {\rm{A}}(81; - 185{,}6) \in (P):y = a{x^2} \Rightarrow - 185{,}6 = a{.81^2} \Rightarrow a = \frac{{ - 185{,}6}}{{{{81}^2}}} = \frac{{ - 185}}{{6561}}$

$(P):y = \frac{{ - 185}}{{6561}}{x^2}$

${\rm{HM}} = {\rm{EH}} - {\rm{ME}} = 185{,}6 - 43 = 142{,}6\;{\rm{m}}$

$\Rightarrow {\rm{M}}\left( {{x_{\rm{M}}}; - 142{,}6} \right) \in (P):y = \frac{{ - 185}}{{6561}}{x^2} \Rightarrow - 142{,}6 = \frac{{ - 185}}{{6561}}x_{\rm{M}}^2$

$\Rightarrow {x_{\rm{M}}}^2 = \frac{{ - 142{,}6.6561}}{{ - 185}} = \frac{{4677993}}{{925}} \Rightarrow {x_{\rm{M}}} = \sqrt {\frac{{4677993}}{{925}}} \approx 71{,}11\;{\rm{m}}$

$\Rightarrow {\rm{OE}} = 71{,}11\;{\rm{m}} \Rightarrow {\rm{EA}} = {\rm{OA}} - {\rm{OE}} = 81 - 71{,}11 = 9{,}89\;{\rm{m}}.$

Vậy vị trí chạm đất của đầu sợi dây này cách chân cổng $A$ một khoảng là $9{,}89\;{\rm{m}}$.

Ta có: $a = 1;b = - 4 \Rightarrow \;b' = - 2;c = m$. Phương trình có hai nghiệm ${x_1};{x_2}$ khi và chỉ khi

$\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{a \ne 0}\\{\Delta ' \ge 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{1 \ne 0}\\{4 - m \ge 0}\end{array} \Leftrightarrow \;m \le 4} \right.} \right.$

Theo hệ thức Viète, ta có: ${x_1} + {x_2} = 4;{x_1}{x_2} = m$. Xét hệ: $\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{{x_1} + {x_2} = 4}\\{{x_1} - {x_2} = 4}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{{x_1} = 4}\\{{x_2} = 0}\end{array}} \right.} \right.$

Vậy $m = 0$ (thỏa điều kiện $m \le 4$).

Gọi $x$ và $y$ là hai số cần tìm. Theo đề Câu, ta có hệ

$\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{2x - 3y = 9}\\{{x^2} - {y^2} = 119}\end{array}} \right.$

Giải ra hai số cần tìm là $\left( {12;5} \right)$ hoặc $\left( { - 19{,}2; - 15{,}8} \right)$.

Gọi năng suất dự kiến là $x$ (sản phẩm/ngày; $x \in \mathbb{N}$ ).

Nếu tăng năng suất lên 10 sản phẩm thì số ngày hoàn thành 350 sản phẩm là $\frac{{350}}{{x + 10}}$ (ngày).

Nếu giảm năng suất 10 sản phẩm thì số ngày hoàn thành 350 sản phẩm là $\frac{{350}}{{x - 10}}$ (ngày).

Theo đề Câu, ta có phương trình

$\frac{{350}}{{x - 10}} - \frac{{350}}{{x + 10}} = 2 \Leftrightarrow {x^2} = 3600 \Leftrightarrow x = \pm 60$

So với điều kiện, vậy năng suất dự kiến là 60 (sản phẩm/ngày)

Gọi số sản phẩm theo kế hoạch mỗi ngày cần sản xuất là $x$ (sản phẩm/ngày, $\left. {x \in {\mathbb{Z}^*}} \right)$.

Suy ra số sản phẩm làm trong 8 ngày đầu là $8x$ (sản phẩm).

Thời gian làm số sản phẩm còn lại là: $\frac{{3000 - 8x}}{{x + 10}}$ (ngày).

Thời gian theo kế hoạch là $\frac{{3000}}{x}$(ngày).

Theo đề Câu nhóm thợ đã hoàn thành sớm hơn 2 ngày so với dự định, ta có phương trình:

$8 + \frac{{3000 - 8x}}{{x + 10}} + 2 = \frac{{3000}}{x} \Leftrightarrow {x^2} + 50x - 15000 = 0$.

Ta có$\Delta = {21^2} - 4 \cdot \left( { - 270} \right) = 1521 > 0$ nên phương trình có hai nghiệm ${x_1} = - 30$ (loại); ${x_2} = 9$ (nhận).

Vậy mỗi ngày nhó thợ cần sản xuất 9 sản phẩm.

Ta có 20 phút $= \frac{1}{3}$ giờ. Gọi vận tốc lúc đi là $x\,(\;{\rm{km}}/{\rm{h}},x > 0)$.

Suy ra thời gian đi quãng đường từ $A$ đến $B$ dài $30\;{\rm{km}}$ hết $\frac{{30}}{x}$ (h).

Khi về, người đó đi quãng đường dài hơn quãng đường lúc đi $6\;{\rm{km}}$ và đi với vận tốc lớn hơn vận tốc lúc đi là $3\;{\rm{km}}/{\rm{h}}$ nên thời gian hết là $\frac{{36}}{{x + 3}}$ (h).

Theo đầu Câu, vì thời gian về ít hơn thời gian đi là $\frac{1}{3}$ giờ nên có phương trình

$\frac{{30}}{x} - \frac{{36}}{{x + 3}} = \frac{1}{3} \Leftrightarrow {x^2} + 21x - 270 = 0.$.

Ta có $\Delta = {21^2} - 4 \cdot ( - 270) = 1521 > 0$ nên phương trình có nghiệm ${x_1} = - 30$ (loại); ${x_2} = 9$ (nhận).

Vậy vận tốc lúc đi là $9\;{\rm{km}}/{\rm{h}}$.

Ta có 6 giờ 45 phút= $\frac{{27}}{4}$giờ.

Gọi vận tốc của tàu thủy khi nước yên lặng là $x\,({\rm{km}}\,{\rm{/}}\,{\rm{h}},x > 4)$

Suy ra vận tốc của tàu thủy khi xuôi dòng là $x + 4\,(\;{\rm{km}}/{\rm{h}})$.

Vận tốc của tàu thủy khi ngược dòng là $x - 4\,(\;{\rm{km}}/{\rm{h}})$.

Thời gian tàu thủy đi xuôi dòng $120\;{\rm{km}}$ là $\frac{{120}}{{x + 4}}$ (giờ).

Thời gian tàu thủy đi ngược dòng $120\;{\rm{km}}$ là $\frac{{120}}{{x - 4}}$ (giờ).

Theo đề Câu, thời gian cả đi lẫn về mất $\frac{{27}}{4}$ giờ. Ta có phương trình

$\frac{{120}}{{x + 4}} + \frac{{120}}{{x - 4}} = \frac{{27}}{4} \Leftrightarrow 9{x^2} - 320x - 144 = 0.$

Ta có $\Delta = {320^2} - 4 \cdot 9 \cdot ( - 144) = 107584 > 0$ nên phương trình có nghiệm ${x_1} = - \frac{4}{9}$ (loại); ${x_2} = 36$ (nhận).

Vậy vận tốc tàu thủy khi nước yên lặng là $36\;{\rm{km}}/{\rm{h}}$.

Gọi chiều dài hình chữ nhật là $x\,(\;{\rm{m}},x > 70)$, khi đó, chiều rộng của khi vườn hình chữ nhật $280 \div 2 - x = 140 - x(\;{\rm{m}}).$

Người ta làm một lối đi xung quanh vườn thuộc đất của vườn rộng $2\;{\rm{m}}$, thì chiều dài phần đất còn lại để trồng trọt là $x - 4(\;{\rm{m}})$, chiều rộng phần đất còn lại để trồng trọt là $140 - x - 4 = 136 - x$ $({\rm{m}}).$

Theo đầu Câu, diện tích đất trồng còn lại là $4256\;{{\rm{m}}^2}$, ta có phương trình

$(x - 4) \cdot (136 - x) = 4256 \Leftrightarrow {x^2} - 140x + 4800 = 0.$

Ta có $\Delta = {140^2} - 4 \cdot (4800) = 400 > 0$ nên phương trình có nghiệm ${x_1} = 60$ (loại); ${x_2} = 80$ (nhận).

Vậy chiều dài mãnh đất hình chữ nhật là $80\;{\rm{m}}$, chiều rộng là $60\;{\rm{m}}$.

Gọi chữ số hàng chục là $x$, chữ số hàng đơn vị là $y\,(x,y \in \mathbb{N},0 < x \le 9{,}0 \le y \le 9)$.

Theo đề Câu, tổng hai chữ số của nó nhỏ hơn số đó 6 lần, ta có phương trình

$6(x + y) = 10x + y{\rm{. }}$ (1)

Nếu thêm 25 vào tích của hai chữ số đó sẽ được số viết theo thứ tự ngược lại với số đã cho, ta có phương trình

$xy + 25 = 10y + x{\rm{. }}$ (2)

Từ (1) suy ra $x = \frac{{5y}}{4}$thay vào (2) ta có ${y^2} - 9y + 20 = 0$.

Giải phương trình này, ta được ${y_1} = 5,{y_2} = 4$.

Với ${y_1} = 5$ thì ${x_1} = 6{,}25$ (không thỏa mãn).

Với ${y_2} = 4$ thì ${x_2} = 5$ (thỏa mãn).

Vậy số phải tìm là 54.

Gọi số ha dự định trồng mỗi tuần là $x\,({\rm{ha}},x > 0)$.

Suy ra thực tế mỗi tuần trồng được $x + 5$ (ha).

Thời gian dự định trồng 75 ha rừng là $\frac{{75}}{x}$ (tuần).

Thời gian thực tế trồng 80 ha rừng là $\frac{{80}}{{x + 5}}$ (tuần).

Theo đề bài, thực tế hoàn thành sớm 1 tuần ta có phương trình

$\frac{{75}}{x} - \frac{{80}}{{x + 5}} = 1 \Leftrightarrow {x^2} + 10x - 375 = 0$.

$\Delta = {10^2} - 4 \cdot ( - 375) = 1600 > 0$ nên phương trình có nghiệm ${x_1} = - 25$ (loại); ${x_2} = 15$ (nhận).

Vậy mỗi tuần lâm trường dự định trồng 15 ha.