Bài tập cuối chương 5 lớp 9 (có lời giải)

a) A năm trên $(O)$$\Rightarrow OA = OB = OC$.

Tam giác $ABC$ có $O$ là trung điểm đoạn $BC$ nên $AO$ là trung tuyến mà $AO = \frac{1}{2}BC$. Do đó $\Delta ABC$ vuông tại $A$.

Ngược lại tam giác $ABC$ vuông tại $A$ có $AO$ là đường trung tuyến

$\Rightarrow OA = OB = OC$

Chứng tỏ $A$ thuộc đường tròn $(O)$.

b) Khi $A$ là giao điểm của đường tròn ( ${\rm{B}};{\rm{BO}}$ ) với đường tròn $(O)$

Ta có $OA = OB = AB$ nên tam giác $ABC$ đều

$\Rightarrow \widehat {\rm{B}} = \widehat {{\rm{AOB}}} = 60^\circ$

$\Rightarrow \widehat {{\rm{AOC}}} = 180^\circ - \widehat {{\rm{AOB}}}$(hai góc kề bù)

$= 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$

Xét tam giác $AOC$ cân tại $O$ có:

$\widehat {AOC} = 120^\circ (cmt)$$\Rightarrow \widehat C = \widehat {OAC} = 30^\circ$

Xét tam giác $ABC$ có $\widehat {BAC} = 180^\circ - (\widehat B + \widehat C) = 180^\circ - \left( {60^\circ + 30^\circ } \right) = 90^\circ$

Các góc của tam giác $ABC$ là $\widehat {BAC} = 90^\circ ,\widehat B = 60^\circ ,\widehat C = 30^\circ$.

c) Khi $BC = 6\;{\rm{cm}}$ ta có bán kính đường tròn $\left( O \right)$ là $3\;{\rm{cm}}$.

Gọi ${l_{{\rm{AC}}}}$ là độ dài cung $AC$ có ${l_{{\rm{AC}}}} = \frac{{120}}{{180}} \cdot \pi \cdot 3 \approx 6{,}3(\;{\rm{cm}})$

Gọi $S$ là diện tích hình quạt nằm trong $(O)$ giới hạn bởi các bán kính $OA$ và $OC$, ta có:

$S = \frac{{120}}{{360}} \cdot \pi \cdot {3^2} \approx 9{,}4(\;{\rm{cm}})$

a) Nối $A$ với $C$. Gọi $O$ là trung điểm đoạn $AC$.

Xét tam giác $ABC$ vuông tại $B$ (gt) có $OB$ là đường trung tuyến

$\Rightarrow OB = \frac{1}{2}AC$ hay $OA = OB = OC$

Do đó ba điểm $A,B,C$ nằm trên đường tròn $\left( {O;\frac{{AC}}{2}} \right)$

Chứng minh tương tự $D$ nằm trên đường tròn $\left( {O;\frac{{AC}}{2}} \right)$.

b) $AC > BD$ ($AC$ là đường kính).

a) Vì $C$ đối xứng $A$ qua tâm $O$$\Rightarrow OC = OA$.

Chứng minh tương tự $OD = OB$

Mà $OA = OB = 4\,cm$

⇒ $OA = OB = OC = OD = 4{\rm{ }}cm$ hay hai điểm $C$ và $D$ nằm trên đường tròn $\left( O \right)$.

b) $ABCD$ là hình vuông $AC \bot BD$ tại $O$ hay số đo cung nhỏ $AB$ bằng ${90^0}$.

$\Rightarrow$ số đo cung lớn $AB$ bằng ${360^0} - {90^0} = {270^0}$.

Ta có độ dài cung lớn $AB$ là: $l = \frac{{90}}{{180}} \cdot \pi \cdot 4 = 6{,}28{\rm{ }}\left( {cm} \right)$

Gọi $S$ là diện tích hình quạt tròn tạo bởi hai bán kính $OA$ và $OB$

Ta có $S = \frac{{90}}{{360}} \cdot \pi \cdot {4^2} = 12{,}56{\rm{ }}\left( {c{m^2}} \right)$.

a) Xem hình vẽ.

b) Vì $C \in \left( {O;{\rm{ }}2{\rm{ }}cm} \right)$$\Rightarrow CO = 2{\rm{ }}cm$.

Tương tự $C \in \left( {A;{\rm{ }}2{\rm{ }}cm} \right)$$\Rightarrow CA = 2{\rm{ }}cm$.

Ta có $CO = CA = 2{\rm{ }}cm$ nên $\left( {C;{\rm{ }}2{\rm{ }}cm} \right)$đi qua hai điểm $O$ và $A$.

a) Xét $\Delta BA'C$ và $\Delta BAC$ có:

BC (cạnh chung),

BA = BA',

CA = CA'.

Do đó $\Delta BA'C = \Delta BAC$ (c.c.c)

$\Rightarrow \widehat {BA'C} = \widehat {BAC} = {90^0}$ (góc tương ứng) hay $BA' \bot CA'$

Chứng tỏ $BA'$ là tiếp tuyến của đường tròn $\left( {C;{\rm{ }}CA} \right)$

Lại có $BA \bot CA$ (gt) nên $BA$ là tiếp tuyến của đường tròn $\left( {C;{\rm{ }}CA} \right)$

Do đó $BA$ và $BA'$ là hai tiếp tuyến cắt nhau của đường tròn $\left( {C;{\rm{ }}CA} \right)$

b) Chứng minh tương tự $CA$ và $CA'$ là hai tiếp tuyến cắt nhau của đường tròn $\left( {B;{\rm{ }}BA} \right).$

a) Ta có: $OE = OA$ nên tam giác $AOE$ cân tại $O$ có $I$ là trung điểm của $AE$ (gt) nên $OI$ là đường trung tuyến mà $\Delta AOE$ cân tại $O$ (cmt)

$\Rightarrow OI$đồng thời là đường cao hay $OI \bot AE$

Chứng minh tương tự, ta có $O'K \bot AF$ mà $E,{\rm{ }}A,{\rm{ }}F \in d$ nên OI, OF cùng vuông góc với $d$ $\Rightarrow OI//O'K$

Do đó tứ giác $OO'KI$ là hình thang vuông.

b) Ta có: $IK = IA + AK$ mà $IA = \frac{1}{2}EA;\,AK = \frac{1}{2}{\rm{AF}}$

$$\Rightarrow IK = \frac{1}{2}\left( {EA + {\rm{AF}}} \right) = \frac{1}{2}EF$$

c) $d$ đi qua $A$ và $d//OO'$ thì $OO'KI$ là hình chữ nhật.

a) * Đường tròn $\left( {A;{\rm{ }}1{,}5{\rm{ }}cm} \right)$ và đường tròn $\left( {B;{\rm{ }}3{\rm{ }}cm} \right)$ cắt nhau.

* Đường tròn $\left( {A;{\rm{ }}1{,}5{\rm{ }}cm} \right)$ và đường tròn $\left( {C;{\rm{ }}2{\rm{ }}cm} \right)$ cắt nhau.

b) Không có.

c) Đường tròn $\left( {B;{\rm{ }}3{\rm{ }}cm} \right)$ và đường tròn $\left( {C;{\rm{ }}2{\rm{ }}cm} \right)$ tiếp xúc trong.

Diện tích của phần được tô màu trên hình vẽ là diện tích của $8$ hình viên phân tạo bởi cung $AB$ và dây $AB$ (xem hình vẽ).

Gọi $S$ là diện tích hình viên phân, ta có: $S = {S_q} - {S_{AIB}}$

(${S_q}$: diện tích hình quạt chắn cung AB, ${S_{AIB}}$ là diện tích hình tam giác vuông cân cạnh $5{\rm{ }}cm$).

Ta có: ${S_q} = \frac{{90}}{{360}} \cdot \pi \cdot {5^2} = \frac{{25}}{4}\pi {\rm{ }}\left( {c{m^2}} \right)$

$${S_{AOI}} = \frac{1}{2} \cdot AI \cdot BI = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 5 = \frac{{25}}{2}{\rm{ }}\left( {c{m^2}} \right)$$

Do đó diện tích 1 hình viên phân là:

$${S_{AIO}} = \frac{{25}}{2}\pi - \frac{{25}}{2} \approx 7{,}13{\rm{ }}\left( {c{m^2}} \right)$$

Vậy diện tích phần được tô màu là: $8.7{,}13 \approx 57{\rm{ }}\left( {c{m^2}} \right)$

Chu vi phần được tô màu là $8$ cung $AB$.

Gọi $l$ là độ dài cung $AB$, ta có: $l = \frac{{90}}{{180}} \cdot \pi \cdot 5 = \frac{5}{2} \cdot \pi$